Kubische Kurve/Lange Weierstraßgleichung/Kurz/Fakt/Beweis

Beweis

Wir schreiben

${}v=y+{\frac {a_{1}}{2}}x+{\frac {a_{3}}{2}}\,.$

Dann ist

${}{\begin{aligned}v^{2}&={\left(y+{\frac {a_{1}}{2}}x+{\frac {a_{3}}{2}}\right)}^{2}\\&=y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y+{\frac {1}{2}}a_{1}a_{3}x+{\frac {1}{4}}a_{1}^{2}x^{2}+{\frac {1}{4}}a_{3}^{2}\\&=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}+{\frac {1}{2}}a_{1}a_{3}x+{\frac {1}{4}}a_{1}^{2}x^{2}+{\frac {1}{4}}a_{3}^{2}\\&=x^{3}+b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0},\end{aligned}}$

wobei wir für dieses kubische Polynom neue Bezeichnungen für die Koeffizienten eingeführt haben. Mit der Transformation ${}u=x+{\frac {b_{2}}{3}}$ können wir den quadratischen Term ${}b_{2}x^{2}$ eliminieren.

Zur bewiesenen Aussage