Es ist
![{\displaystyle {}\mathbb {Z} [{\sqrt[{3}]{2}}]=\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{3}-2\right)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8162c863a71fda7daf86af50633bb0d8e01a69e)
,
es gibt die reelle Einbettung ![{\displaystyle {}X\mapsto {\sqrt[{3}]{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc9458d58e1f40f9f9958074ab778a2c6ea049df)
und die beiden zueinander konjugierten komplexen Einbettungen ![{\displaystyle {}X\mapsto \zeta \cdot {\sqrt[{3}]{2}}={\frac {-{\sqrt[{3}]{2}}+{\sqrt {3}}{\sqrt[{3}]{2}}{\mathrm {i} }}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94a4a391d3741f98edd59e555a65af757ac4ae51)
und ![{\displaystyle {}X\mapsto \zeta ^{2}\cdot {\sqrt[{3}]{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07b5ba3f33b929b0e0f7bd6dc0f70d3983486934)
mit der dritten Einheitswurzel
-
Die Ganzheitsbasis 
wird unter der reellen Einbettung auf ![{\displaystyle {}\left(1,\,{\sqrt[{3}]{2}},\,{\sqrt[{3}]{4}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2097b339991a7776375bf2e7c2816ae966fae1a5)
und unter der ersten komplexen Einbettung auf ![{\displaystyle {}\left(1,\,{\frac {-{\sqrt[{3}]{2}}+{\sqrt {3}}{\sqrt[{3}]{2}}{\mathrm {i} }}{2}},\,{\frac {-{\sqrt[{3}]{4}}-{\sqrt {3}}{\sqrt[{3}]{4}}{\mathrm {i} }}{2}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41464bf58cde7fc1b1c0bd4a7a162488ec22a417)
. Somit ist die reelle Ganzheitsmatrix gleich
-
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&{\sqrt[{3}]{2}}&{\sqrt[{3}]{4}}\\1&-{\frac {\sqrt[{3}]{2}}{2}}&-{\frac {\sqrt[{3}]{4}}{2}}\\0&{\frac {{\sqrt {3}}{\sqrt[{3}]{2}}}{2}}&-{\frac {{\sqrt {3}}{\sqrt[{3}]{4}}}{2}}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2473b21f55d480317d861f4867bf1d236c2a292a)
