Kubisches Polynom/Lokale Extrema/1/Aufgabe/Lösung

Die Ableitung der Funktion ${}f$ ist

${}f'(x)=-6x^{2}+14x-3\,$

und die zweite Ableitung ist

${}f^{\prime \prime }(x)=-12x+14\,.$

Wenn wir die erste Ableitung gleich ${}0$ setzen, so erhalten wir

${}x^{2}-{\frac {7}{3}}x+{\frac {1}{2}}=0\,$

und damit

${}x_{1,2}={\frac {7}{6}}\pm {\sqrt {\left({\frac {7}{6}}\right)^{2}-{\frac {1}{2}}}}={\frac {7}{6}}\pm {\sqrt {{\frac {49}{36}}-{\frac {18}{36}}}}={\frac {7}{6}}\pm {\frac {\sqrt {31}}{6}}\,.$

Für die zweite Ableitung an

${}x_{2}={\frac {7}{6}}-{\frac {\sqrt {31}}{6}}={\frac {7-{\sqrt {31}}}{6}}\,$

ist

${}f^{\prime \prime }{\left({\frac {7-{\sqrt {31}}}{6}}\right)}=-14+2{\sqrt {31}}+14>0\,,$

also liegt an der Stelle ${}{\frac {7-{\sqrt {31}}}{6}}$ ein isoliertes lokales Minimum vor.

Für die zweite Ableitung an

${}x_{1}={\frac {7}{6}}+{\frac {\sqrt {31}}{6}}={\frac {7+{\sqrt {31}}}{6}}\,$

ist

${}f^{\prime \prime }{\left({\frac {7+{\sqrt {31}}}{6}}\right)}=-14-2{\sqrt {31}}+14<0\,,$

also liegt an der Stelle ${}{\frac {7+{\sqrt {31}}}{6}}$ ein isoliertes lokales Maximum vor. Beide sind nicht global, da das kubische Polynom surjektiv ist.

Zur gelösten Aufgabe