Kubisches Polynom/Lokale Extrema/1/Aufgabe/Lösung

Die Ableitung der Funktion $f$ ist

$f^{\prime }(x)=-6x^2+14x-3$

und die zweite Ableitung ist

$f^{\prime \prime }(x)=-12x+14.$

Wenn wir die erste Ableitung gleich $0$ setzen, so erhalten wir

$x^2-\frac{7}{3}x+\frac{1}{2}=0$

und damit

$x_{1,2}=\frac{7}{6}\pm \sqrt{{\left(\frac{7}{6}\right)}^2-\frac{1}{2}}=\frac{7}{6}\pm \sqrt{\frac{49}{36}-\frac{18}{36}}=\frac{7}{6}\pm \frac{\sqrt{31}}{6}.$

Für die zweite Ableitung an

$x_2=\frac{7}{6}-\frac{\sqrt{31}}{6}=\frac{7-\sqrt{31}}{6}$

ist

$f^{\prime \prime }\left(\frac{7-\sqrt{31}}{6}\right)=-14+2\sqrt{31}+14>0,$

also liegt an der Stelle $\frac{7-\sqrt{31}}{6}$ ein isoliertes lokales Minimum vor.

Für die zweite Ableitung an

$x_1=\frac{7}{6}+\frac{\sqrt{31}}{6}=\frac{7+\sqrt{31}}{6}$

ist

$f^{\prime \prime }\left(\frac{7+\sqrt{31}}{6}\right)=-14-2\sqrt{31}+14<0,$

also liegt an der Stelle $\frac{7+\sqrt{31}}{6}$ ein isoliertes lokales Maximum vor. Beide sind nicht global, da das kubische Polynom surjektiv ist.

Zur gelösten Aufgabe