Die Ableitung der Funktion
ist
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![{\displaystyle {}f'(x)=-6x^{2}+14x-3\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e2ac12299469d34ea1fe48389baaaca8cabf2d1)
und die zweite Ableitung ist
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![{\displaystyle {}f^{\prime \prime }(x)=-12x+14\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a1247a23ae68ffd50dc822e667f5902c1ef6c7e)
Wenn wir die erste Ableitung gleich
setzen, so erhalten wir
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![{\displaystyle {}x^{2}-{\frac {7}{3}}x+{\frac {1}{2}}=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81f2ffc190b75c59dfacbf52fafbf9a5fa68d011)
und damit
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![{\displaystyle {}x_{1,2}={\frac {7}{6}}\pm {\sqrt {\left({\frac {7}{6}}\right)^{2}-{\frac {1}{2}}}}={\frac {7}{6}}\pm {\sqrt {{\frac {49}{36}}-{\frac {18}{36}}}}={\frac {7}{6}}\pm {\frac {\sqrt {31}}{6}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7441d94ffafaa9d7c04ab0bed1ad447a609edae6)
Für die zweite Ableitung an
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![{\displaystyle {}x_{2}={\frac {7}{6}}-{\frac {\sqrt {31}}{6}}={\frac {7-{\sqrt {31}}}{6}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55583aff54405e3e9057bc9ee0003faf6ba5e4c4)
ist
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![{\displaystyle {}f^{\prime \prime }{\left({\frac {7-{\sqrt {31}}}{6}}\right)}=-14+2{\sqrt {31}}+14>0\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e3b70f693ca93d984f6c9f380df193cb436fcda)
also liegt an der Stelle
ein isoliertes lokales Minimum vor.
Für die zweite Ableitung an
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![{\displaystyle {}x_{1}={\frac {7}{6}}+{\frac {\sqrt {31}}{6}}={\frac {7+{\sqrt {31}}}{6}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/901e4669f34f71ba60f65ffedeeaba595c4d4221)
ist
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![{\displaystyle {}f^{\prime \prime }{\left({\frac {7+{\sqrt {31}}}{6}}\right)}=-14-2{\sqrt {31}}+14<0\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/976ccd4b79103376d5bb42bfbb63c00d7280f90d)
also liegt an der Stelle
![{\displaystyle {}{\frac {7+{\sqrt {31}}}{6}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22ff92226ac725f4bb1f3314e1ae56bab4e68e87)
ein isoliertes lokales Maximum vor. Beide sind nicht global, da das kubische Polynom surjektiv ist.