Kubisches irreduzibles Polynom/Q/Nullstellen/Rationaler Abstand/Aufgabe/Lösung

Nehmen wir an, die Nullstellen hätten die Form $\alpha ,\alpha +\beta ,\alpha +\gamma$ mit rationalen Zahlen $\beta ,\gamma$. Dann würde über $L$ für $F$, das wir als normiert annehmen dürfen, die Faktorzerlegung

$F=(X-\alpha )(X-(\alpha +\beta ))(X-(\alpha +\gamma ))$

vorliegen. Dann wäre insbesondere der Koeffizient vor $X^2$, also das Negative von

$\alpha +\alpha +\beta +\alpha +\gamma =3\alpha +\beta +\gamma$

eine rationale Zahl. Doch dann ist schon $\alpha$ eine rationale Zahl und wir haben eine rationale Nullstelle im Widerspruch zur Voraussetzung der Irreduzibilität von $F$.

Zur gelösten Aufgabe