Kubisches irreduzibles Polynom/Q/Nullstellen/Rationaler Abstand/Aufgabe/Lösung

Nehmen wir an, die Nullstellen hätten die Form ${}\alpha ,\alpha +\beta ,\alpha +\gamma$ mit rationalen Zahlen ${}\beta ,\gamma$. Dann würde über ${}L$ für ${}F$, das wir als normiert annehmen dürfen, die Faktorzerlegung

${}F=(X-\alpha )(X-(\alpha +\beta ))(X-(\alpha +\gamma ))\,$

vorliegen. Dann wäre insbesondere der Koeffizient vor ${}X^{2}$, also das Negative von

${}\alpha +\alpha +\beta +\alpha +\gamma =3\alpha +\beta +\gamma \,$

eine rationale Zahl. Doch dann ist schon ${}\alpha$ eine rationale Zahl und wir haben eine rationale Nullstelle im Widerspruch zur Voraussetzung der Irreduzibilität von ${}F$.

Zur gelösten Aufgabe