Kugel/Radius/Weingartenabbildung/Beispiel

Es sei

${}h(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}\,$

und wir betrachten die Faser ${}Y$ zu ${}h$ über ${}r^{2}$, also die Kugeloberfläche zum Radius  ${}r>0$  mit dem Ursprung als Mittelpunkt. Es sei  ${}P=\left(x_{0},\,y_{0},\,z_{0}\right)\in Y$.  Durch eine Isometrie kann man diesen Punkt nach  ${}Q=\left(r,\,0,\,0\right)$  transformieren, was die Weingartenabbildung nicht ändert. Eine Basis des Tangentialraumes ist dann ${}{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$. Das nach innen gerichtete Einheitsnormalenfeld ${}N$ ist ${}-{\frac {1}{2r}}{\begin{pmatrix}2x\\2y\\2z\end{pmatrix}}$ und daher ist zu

${}v={\begin{pmatrix}0\\b\\c\end{pmatrix}}\,$

${}{\left(D_{v}N\right)}{\left(Q\right)}=b{\frac {\partial N}{\partial y}}(Q)+c{\frac {\partial N}{\partial z}}(Q)=-b{\frac {1}{2r}}{\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}}-c{\frac {1}{2r}}{\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}}=-{\frac {1}{r}}{\begin{pmatrix}0\\b\\c\end{pmatrix}}\,.$

Daher ist die Weingartenabbildung Multiplikation mit dem Kehrwert ${}{\frac {1}{r}}$ des Radius.