Kurs:Abitur/Mathematik/Bayern/Geometrie/Vektoren

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Definition[Bearbeiten]

Ein Vektor ist durch seine Länge und seine Richtung festgelegt, und kann als eine Verschiebung im Raum (2D oder 3D) verstanden werden.

Arten und Eigenschaften[Bearbeiten]

Ein Vektor wird in folgender Schreibweiße dargestellt:

Wobei der Wert von

  • x_1 für die x_1 Achse im Kartesisches Koordinatensystem steht.
  • x_2 für die x_2 Achse im Kartesisches Koordinatensystem steht.
  • x_3 für die x_3 Achse im Kartesisches Koordinatensystem steht.


Ortsvektor[Bearbeiten]

1. Darstellung in 2D

Einen Vektor, der den Ursprung: mit einem Punkt P = verbindet. (Bild 1.)

Beispiel

2. Darstellung in 2D
  • Der Ortsvektor zum Punkt P(4|2) ist
  • Der Ortsvektor zum Punkt Q(-5|4) ist

(Bild 2.)


Verbindungsvektor[Bearbeiten]

Verbindungsvektoren beschreiben die Verschiebung von einem Punkt A(a1|a2|a3) zu einem Punkt B(b1|b2|b3).

Beispiel


Zur Veranschaulichung kannst du die Eigenschaften von Verbindungsvektoren in diesem interaktiven Arbeitsblatt selbst (in 2D) untersuchen.

Einheitsvektor[Bearbeiten]

Ein Vektor wird als Einheitsvektor bezeichnet, wenn er die Länge 1 beträgt.

Um den Einheitsvektor des Vektors zu ermitteln wird folgende Formel angewandt:

20x20 =


Betrag eines Vektors[Bearbeiten]

Der Betrag eines Vektors gibt die "Länge der Verschiebung" im Raum an.

Er wird durch folgende Formel ermittelt:

20x20

Beispiel

  • Der Betrag vom Vektor ist

Rechnen mit Vektoren[Bearbeiten]

Addition / Subtraktion[Bearbeiten]

Zwei Vektoren und werden addiert bzw. subtrahiert, indem die einzelnen Koordinaten der Vektoren addiert bzw. subtrahiert werden.

Muster

und


  • .

bzw.:

  • .


Beispiel

Skalare Multiplikation[Bearbeiten]

Ein Vektor wird mit einem Skalar multipliziert, indem jede Koordinate von mit r multipliziert wird. Dabei wird die Länge des Vektors verändert, seine Richtung bleibt jedoch gleich.

Muster

Beispiel

lineare (Un-)Abhängigkeit[Bearbeiten]

Muster

Beispiel

Skalarprodukt[Bearbeiten]

Muster

Beispiel

Kreuzprodukt[Bearbeiten]

3. Darstellung in 3D

Das Kreuzprodukt (auch Vektorprodukt gennant) zweier Vektoren und bildet einen Dritten Vektor , welcher Orthogonal (im rechten Winkel) auf den Vektoren und steht.

(Bild 3.)

Muster

Gebildet wird das Kreuzprodukt mit folgender Formel.

20x20

Daraus ergeben sich folgende Eigenschaften des Vektors .

20x20

Dabei bezeichnen und die Längen der Vektoren und , und ist der Sinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels .

Beispiel

Übungen[Bearbeiten]

spezielle Aufgaben[Bearbeiten]

Abituraufgaben[Bearbeiten]

weitere Lernangebote[Bearbeiten]

TheSimpleMaths: [ttps://youtu.be/UKfKOPjOGio?list=PLjaA00udJtOpn73fqft-kcdST4ac2HW4U Grundlagen Vektoren]