Kurs:Analysis/Teil I/16/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 6 }
\renewcommand{\avier}{ 4 }
\renewcommand{\afuenf}{ 4 }
\renewcommand{\asechs}{ 3 }
\renewcommand{\asieben}{ 5 }
\renewcommand{\aacht}{ 6 }
\renewcommand{\aneun}{ 6 }
\renewcommand{\azehn}{ 7 }
\renewcommand{\aelf}{ 4 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 5 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 8 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 64 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ }
\renewcommand{\asechzehn}{ }
\renewcommand{\asiebzehn}{ }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabelledreizehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Der \stichwort {Betrag} {} eines Elementes $x$ in einem angeordneten Körper $K$.
}{Der \stichwort {Grad} {} eines Polynoms
\mathbed {P \in K[X]} {}
{P \neq 0} {}
{} {} {} {,}
über einem Körper $K$.
}{Ein \stichwort {lokales Minimum} {} einer Funktion
\maabbdisp {f} {D} {\R
} {}
\zusatzklammer {\mathlk{D \subseteq \R}{} eine Teilmenge} {} {}
in einem Punkt
\mathl{x \in D}{.}
}{Die Zahl $\pi$ \zusatzklammer {gefragt ist nach der analytischen Definition} {} {.}
}{Die
\stichwort {Potenzreihe} {}
in $z \in {\mathbb C}$ zu den Koeffizienten
\mathbed {c_n \in {\mathbb C}} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {.}
}{Die
\stichwort {Zeitunabhängigkeit} {}
einer
\definitionsverweis {gewöhnlichen Differentialgleichung}{}{}
\mathdisp {y'= f(t,y)} { . }
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der \stichwort {Satz über beschränkte Teilmengen} {} von $\R$.}{Die \stichwort {Funktionalgleichung} {} der komplexen Exponentialfunktion.}{Der Satz über \stichwort {partielle Integration} {.}}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6 (1+1+1+1+2)}
{
Bei einer Fernsehaufzeichnung sitzen $n$ Zuschauer im Studio, die über ein elektronisches Gerät auf verschiedene Fragen mit Ja oder Nein antworten und wobei das Ergebnis
\zusatzklammer {die Ja-Antworten} {} {}
in vollen Prozent auf einem Bildschirm erscheint und wobei ab
\mathl{,5}{} nach oben gerundet wird.
a) Erstelle eine Formel mit Hilfe der
\definitionsverweis {Gaußklammer}{}{}
$\lfloor \, \, \rfloor$, die bei gegebenem $n$ aus $i$ die Prozentzahl
\mathl{p(i)}{} berechnet.
b) Für welche $n$ ist die Prozentabbildung aus a) injektiv und für welche surjektiv?
c) Es sei
\mathl{n=99}{.} Welche Prozentzahl tritt nie auf dem Bildschirm auf?
d) Es sei
\mathl{n=101}{.} Hinter welcher Prozentzahl können sich unterschiedlich viele Ja-Stimmen verbergen?
e) Es sei
\mathl{n=102}{.} Hinter welchen Prozentzahlen können sich unterschiedlich viele Ja-Stimmen verbergen?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und es seien
\mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {}
\definitionsverweis {konvergente Folgen}{}{}
in $K$. Zeige, dass die Produktfolge
\mathl{{ \left( x_n \cdot y_n \right) }_{ n \in \N }}{} ebenfalls konvergent mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} { \left( x_n \cdot y_n \right) }
}
{ =} { { \left( \lim_{n \rightarrow \infty} x_n \right) } \cdot { \left( \lim_{n \rightarrow \infty} y_n \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Es sei
\mathl{P \in K[X]}{} ein Polynom und
\mathl{a \in K}{.} Zeige, dass $a$ genau dann eine Nullstelle von $P$ ist, wenn $P$ ein Vielfaches des linearen Polynoms
\mathl{X-a}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es seien
\maabbdisp {f,g} {[a,b]} {\R
} {}
\definitionsverweis {stetige Funktionen}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(a)
}
{ \geq }{g(a)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(b)
}
{ \leq }{g(b)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass es einen Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \in }{ [a,b]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(c)
}
{ = }{g(c)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Beweise die Funktionalgleichung für die komplexe Exponentialfunktion.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6 (3+3)}
{
Untersuche die Funktionenfolge
\maabbeledisp {} {\R_{> 0}} { \R
} {x} {f_n(x)
} {,}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f_n(x)
}
{ =} { x^{ { \frac{ n }{ n+1 } } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auf
a) punktweise Konvergenz und auf
b) gleichmäßige Konvergenz.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6 (4+2)}
{
a) Man gebe ein quadratisches Polynom an, dessen Graph die Diagonale und die Gegendiagonale bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
jeweils tangential schneidet.
b) Man zeige, dass der Graph des Lösungspolynoms aus Teil a) innerhalb des oberen, durch die Diagonale und die Gegendiagonale begrenzten Viertels der Ebene liegt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7 (1+1+3+2)}
{
Wir betrachten die Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ \sin x } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im Reellen.
a) Bestimme den Definitionsbereich von $f$.
b) Skizziere $f$ für $x$ zwischen \mathkor {} {-2 \pi} {und} {2 \pi} {.}
c) Bestimme die ersten drei Ableitungen von $f$.
d) Bestimme das Taylor-Polynom der Ordnung $3$ von $f$ im Punkt ${ \frac{ \pi }{ 2 } }$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4 (2+2)}
{
Es sei \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} eine \definitionsverweis {periodische Funktion}{}{} mit der Periode $L>0$.
a) Es sei $f$ \definitionsverweis {differenzierbar}{}{.} Zeige, dass die Ableitung $f'$ ebenfalls periodisch mit der Periode $L$ ist.
b) Man gebe ein Beispiel einer nichtkonstanten, periodischen, \definitionsverweis {stetigen Funktion}{}{} \maabb {f} {\R} {\R } {,} deren \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} nicht periodisch ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion \maabbeledisp {f} {\R_{>0}} { \R } {x} {{ \frac{ e^{3x} }{ e^x-e^{-x} } } } {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{8 (2+2+4)}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y'
}
{ =} {h(y)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine zeitunabhängige Differentialgleichung mit einer unendlich oft differenzierbaren Funktion
\maabbdisp {h} {\R} {\R
} {}
und es sei
\maabbdisp {y} {I} {\R
} {}
eine Lösung dazu auf einem offenen Intervall $I$.
a) Drücke die zweite Ableitung von $y$ mit
\mathl{h,h'}{} und $y$ aus.
b) Drücke die dritte Ableitung von $y$ mit
\mathl{h,h',h^{\prime \prime}}{} und $y$ aus.
c) Zeige, dass die $n$-te Ableitung von $y$ die Form
\mathdisp {{ \left( \sum_{ \nu } a_{ \nu } { \left( \prod_{j = 0}^{n-1} { \left( h^{(j)} \right) }^{ \nu_j} \right) } \right) } \circ y} { }
mit gewissen Zahlen
\mathl{a_{\nu} \in \N}{} für jedes $n$-Tupel
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\nu
}
{ = }{(\nu_0 , \ldots , \nu_{n-1})
}
{ \in }{ \N^n
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mathl{\nu_j \leq n-1}{} besitzt.
}
{} {}