Kurs:Analysis/Teil II/9/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 4 }
\renewcommand{\avier}{ 7 }
\renewcommand{\afuenf}{ 2 }
\renewcommand{\asechs}{ 6 }
\renewcommand{\asieben}{ 4 }
\renewcommand{\aacht}{ 4 }
\renewcommand{\aneun}{ 7 }
\renewcommand{\azehn}{ 5 }
\renewcommand{\aelf}{ 9 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 9 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 1 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 64 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ }
\renewcommand{\asechzehn}{ }
\renewcommand{\asiebzehn}{ }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabelledreizehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden
\zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe.
\aufzaehlungsechs{Die
\stichwort {Abstandsfunktion} {}
auf einem
\definitionsverweis {reellen Vektorraum}{}{}
$V$ mit einem
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.}
}{Die \stichwort {Vollständigkeit} {} eines metrischen Raumes $M$.
}{Ein \stichwort {inhomogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten} {} \zusatzklammer {über ${\mathbb C}$} {} {.}
}{Eine \stichwort {symmetrische} {} \definitionsverweis {Bilinearform}{}{} auf einem reellen Vektorraum $V$.
}{Die \stichwort {Hesse-Matrix} {} zu einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion \maabbdisp {f} {\R^n} {\R } {} in einem Punkt $P\in\R^n$.
}{Die
\stichwort {Integrabilitätsbedingung} {}
eines differenzierbaren
\definitionsverweis {Vektorfeldes}{}{}
\maabbdisp {G} {U} {\R^n
} {,}
wobei
\mathl{U \subseteq \R^n}{} eine
\stichwort {offene Teilmenge} {}
ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der \stichwort {Satz über die Eigenschaften des Abstandes} {} auf einem reellen Vektorraum mit einem Skalarprodukt.}{Der \stichwort {Satz von Schwarz} {.}}{Der \stichwort {Satz über die Grenzabbildung} {} einer gleichmäßig konvergenten Abbildungsfolge \maabbdisp {f_n} {L} {M } {} zwischen \definitionsverweis {metrischen Räumen}{}{} \mathkor {} {L} {und} {M} {.}}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {abzählbare}{}{}
Teilmenge
\zusatzklammer {
\mathl{n\geq 1}{}} {} {.}
Es sei $d$ eine Metrik auf $\R^n$ derart, dass
\mathl{d(x,y)}{} für $x \not\in T$ und
\mathl{y \in \R^n}{} mit der
\definitionsverweis {euklidischen Metrik}{}{}
übereinstimmt. Zeige, dass $d$ auf ganz $\R^n$ die euklidische Metrik ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7}
{
Beweise das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Funktion
\maabb {f} {L} {M
} {}
zwischen metrischen Räumen in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2 (1+1)}
{
a) Skizziere die \zusatzklammer {Bahn der} {} {} archimedische Spirale \maabbeledisp {f} {\R_{\geq 0}} {\R^2 } {t} {\left( t \cos t , \, t \sin t \right) } {.}
b) Skizziere die \zusatzklammer {Bahn der} {} {} archimedische Spirale \maabbeledisp {f} {\R} {\R^2 } {t} {\left( t \cos t , \, t \sin t \right) } {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Beweise die \stichwort {Integralabschätzung für stetige Kurven} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme die Lösung $\varphi$ des
\definitionsverweis {Anfangswertproblems}{}{}
für das
\definitionsverweis {Zentralfeld}{}{}
\maabbeledisp {F} {\R \times \R^2} {\R^2
} {(t,x,y)} {e^t x \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}
} {,}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(0)
}
{ = }{\begin{pmatrix} -1 \\4 \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Zeige für Polynomfunktionen
\maabbdisp {f} {{\mathbb K}^n } { {\mathbb K}
} {}
direkt, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial }{ \partial x_i } } { \frac{ \partial f }{ \partial x_j } }
}
{ =} { { \frac{ \partial }{ \partial x_j } } { \frac{ \partial f }{ \partial x_i } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{7}
{
Man gebe ein Beispiel für eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{}
\maabbdisp {f} {\R^2} {\R
} {,}
die im Nullpunkt
\definitionsverweis {partiell differenzierbar}{}{}
ist und dort die Eigenschaft besitzt, dass die
\definitionsverweis {Richtungsableitung}{}{}
in keine Richtung
\mathl{v=(a,b)}{} mit
\mathl{a,b \neq 0}{} existiert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Beweise den Satz über die Offenheit der positiven Definitheit der Hesse-Form.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{9 (2+2+5)}
{
Wir betrachten die Abbildung \maabbeledisp {\varphi} { \R ^3 } {\R^2 } {(x,y,z)} {\left( x^2+y^2+z^2 , \, 2x+3y+4z \right) } {.}
a) Bestimme die regulären Punkte der Abbildung $\varphi$. Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{(1,-2,1)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
regulär ist.
b) Beschreibe für den Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{(1,-2,1)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
den
\definitionsverweis {Tangentialraum an die Faser}{}{}
$F$ von $\varphi$ durch $P$.
c) Man gebe für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{ (1,-2,1)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
einen lokalen Diffeomorphismus zwischen einem offenen Intervall und einer offenen Umgebung von $P$ in der Faser $F$ durch $P$ an.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{9}
{
Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und
\maabbdisp {F} {V} {V
} {}
ein
\definitionsverweis {stetig differenzierbares}{}{} \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{.}
Es sei
\mathl{C=C^\infty(V, \R)}{} die Menge der unendlich oft stetig differenzierbaren Funktionen von $V$ nach $\R$. Wir betrachten die Abbildung
\maabbeledisp {\delta = \delta_F} {C} {C
} {g} { \delta (g)
} {,}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ( \delta (g) ) (P)
}
{ =} { { \left( D_{F(P)} g \right) } { \left( P \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Man erhält also aus der Funktion $g$ die neue Funktion $\delta(g)$, indem man an einem Punkt $P \in V$ die Richtungsableitung der Funktion $g$ in Richtung
\mathl{F(P)}{} berechnet. Zeige, dass für
\mathl{g \in C}{} folgende Eigenschaften äquivalent sind.
\aufzaehlungzwei {Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta(g)
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
} {Das Bild einer jeden Lösung zur Differentialgleichung
\mathl{y'=F(y)}{} liegt in einer Faser von $g$.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{1}
{
Skizziere den Graphen einer Funktion
\maabbdisp {f} {\R} { \R_{\geq 0}
} {}
mit der Eigenschaft, dass der Subgraph
\mathl{{ \left\{ (x,y) \mid x\in \R , \, 0 \leq y \leq f(x) \right\} }}{} nicht
\definitionsverweis {konvex}{}{,}
aber
\definitionsverweis {sternförmig}{}{}
ist.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Hilfsmittel}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \arcsin 0,6
}
{ =} { 0,643501109 ...
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}