Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 21/latex
\setcounter{section}{21}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {} {D} {{\mathbb C} } {z} { \tan z = \frac{ \sin z }{ \cos z } } {.} Was ist die \definitionsverweis {Definitionsmenge}{}{} $D$ des \stichwort {Tangens} {?}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass die Sinus- bzw. die Kosinusfunktion die folgenden Werte besitzt.
a)
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sin { \frac{ \pi }{ 4 } }
}
{ =} { \cos { \frac{ \pi }{ 4 } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ \sqrt{2} } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
b)
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \cos { \frac{ \pi }{ 3 } }
}
{ =} {{ \frac{ 1 }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
c)
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sin { \frac{ \pi }{ 3 } }
}
{ =} {{ \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {reelle Sinusfunktion}{}{} eine \definitionsverweis {bijektive}{}{,} \definitionsverweis {streng wachsende}{}{} Funktion \maabbdisp {} {[- \pi/2, \pi/2]} {[-1,1] } {} induziert, und dass die \definitionsverweis {reelle Kosinusfunktion}{}{} eine bijektive, streng fallende Funktion \maabbdisp {} {[0,\pi]} {[-1,1] } {} induziert.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {komplexe Exponentialfunktion}{}{} \maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C} \setminus \{0\} } {z} { \exp z } {,} \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
\aufzaehlungdrei{Zeige, dass die
\definitionsverweis {reelle Sinusfunktion}{}{}
auf
\mathl{[0, \pi]}{}
\definitionsverweis {konkav}{}{}
ist.
}{Zeige, dass die reelle Sinusfunktion auf
\mathl{[- \pi, 0]}{}
\definitionsverweis {konvex}{}{}
ist.
}{Zeige, dass die reelle Sinusfunktion im Nullpunkt einen
\definitionsverweis {Wendepunkt}{}{}
besitzt.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass für reelles
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \geq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 1 - \cos x
}
{ \leq} { x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
} {Zeige, dass für reelles
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \geq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 1 - \cos x
}
{ \leq} { { \frac{ x }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nicht gilt.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass für reelles
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \geq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 1 - \cos x
}
{ \leq} { { \frac{ x^2 }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
} {Zeige, dass für reelles $x$
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { 1 -e^{ { \mathrm i} x } }
}
{ \leq} { \betrag { x }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
}
{} {}
Aufgrund von Korollar 21.4 ist die reelle Sinusfunktion und die reelle Kosinusfunktion bijektiv auf gewissen Intervallen. Die Umkehrfunktionen heißen folgendermaßen.
Die \definitionsverweis {Umkehrfunktion}{}{} der reellen \definitionsverweis {Sinusfunktion}{}{} ist \maabbeledisp {} { [-1,1]} {[- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] } {x} { \arcsin x } {,} und heißt \definitionswort {Arkussinus}{.}
Die \definitionsverweis {Umkehrfunktion}{}{} der reellen \definitionsverweis {Kosinusfunktion}{}{} ist \maabbeledisp {} {[-1,1]} {[0, \pi] } {x} { \arccos x } {,} und heißt \definitionswort {Arkuskosinus}{.}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {reelle Tangensfunktion}{}{} eine \definitionsverweis {bijektive}{}{,} \definitionsverweis {streng wachsende}{}{} Funktion \maabbdisp {} {]- \pi/2, \pi/2[ } { \R } {} und die \definitionsverweis {reelle Kotangensfunktion}{}{} eine bijektive streng fallende Funktion \maabbdisp {} {[0,\pi]} {\R } {} induziert.
}
{} {}
Die \definitionsverweis {Umkehrfunktion}{}{} der reellen \definitionsverweis {Tangensfunktion}{}{} ist \maabbeledisp {} {\R} {] - { \frac{ \pi }{ 2 } } , { \frac{ \pi }{ 2 } } [ } {x} { \arctan x } {,} und heißt \definitionswort {Arkustangens}{.}
Die \definitionsverweis {Umkehrfunktion}{}{} der reellen \definitionsverweis {Kotangensfunktion}{}{} ist \maabbeledisp {} {\R} {] 0 , \pi [ } {x} { \arccot x } {,} und heißt \definitionswort {Arkuskotangens}{.}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die inversen trigonometrischen Funktionen die folgenden
\definitionsverweis {Ableitungen}{}{}
besitzen.
\aufzaehlungvier{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \arcsin x \right) }'
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ \sqrt{1-x^2} } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \arccos x \right) }'
}
{ =} { - { \frac{ 1 }{ \sqrt{1-x^2} } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \arctan x \right) }'
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 1+x^2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \arccot x \right) }'
}
{ =} {- { \frac{ 1 }{ 1+x^2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten auf $\R_+$ die Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ =} { \arctan x + \arctan { \left( x^{-1} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungzwei {Zeige mit Hilfe der Ableitung, dass $f$ konstant ist.
} {Bestimme den konstanten Wert von $f$.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {f(x) = \begin{cases} x \sin \frac{1}{x} \text{ für } x \in {]0,1]}, \\ 0 \text{ für } x = 0,\end{cases}} { }
\definitionsverweis {stetig}{}{}
ist und unendlich viele
\definitionsverweis {Nullstellen}{}{}
besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die durch
\mathdisp {f(x) = \begin{cases}x \cdot \sin \frac{1}{x} \text{ für } x \neq 0\, , \\ 0 \text{ sonst} \, , \end{cases}} { }
definierte Funktion
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {.}
Zeige, dass es zu jedem
\mathl{\lambda,\, - 1 \leq \lambda \leq 1}{,} eine Nullfolge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N } \in \R_+}{} derart gibt, dass die Folge der Differenzenquotienten
\mathdisp {{ \frac{ f(x_n) -f(0) }{ x_n } }} { }
gegen $\lambda$ konvergiert.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme den Grenzwert der Folge
\mathdisp {\frac{ \sin n }{n} , \, n \in \N_+} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Folge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ \defeq} { \sin n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nicht konvergiert.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zu einem Startwert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_0
}
{ \in }{ [0, { \frac{ \pi }{ 2 } }]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sei eine Folge rekursiv durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_{n+1}
}
{ \defeq} {\sin x_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert. Entscheide, ob
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Untersuche die
\definitionsverweis {Funktionenfolge}{}{}
\maabbeledisp {f_n} {\R} {\R
} {x} { (\sin x )^n
} {,}
auf
\definitionsverweis {punktweise}{}{}
und
\definitionsverweis {gleichmäßige Konvergenz}{}{.}
An welchen Punkten existiert die
\definitionsverweis {Grenzfunktion}{}{,}
an welchen ist sie
\definitionsverweis {stetig}{}{,}
an welchen
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{?}
Wie verhält sich die abgeleitete Funktionenfolge, also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g_n(x)
}
{ = }{ f_n'(x)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mathl{F}{} eine komplexe, auf
\mathl{{\mathbb C}}{} konvergente
\definitionsverweis {Potenzreihe}{}{}
der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F
}
{ =} { \sum _{ j = 0}^\infty c_{ j n } z^{ j n }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass für jede $n$-te komplexe Einheitswurzel
\mathl{\zeta}{} die Gleichheit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F( \zeta z)
}
{ = }{F( z)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{F=\sum _{ i= 0}^\infty c_i z^{ i }}{} eine komplexe auf
\mathl{{\mathbb C}}{} konvergente Potenzreihe und $n \in \N_+$. Für jede $n$-te komplexe Einheitswurzel
\mathl{\zeta}{} gelte
\mathl{F( \zeta z) =F( z)}{} für alle
\mathl{z \in {\mathbb C}}{.} Zeige, dass
\mathl{c_i =0}{} für alle
\mathl{i}{} gilt, die kein Vielfaches von
\mathl{n}{} sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $n \in \N_+$ und sei $\zeta$ eine $n$-te komplexe Einheitswurzel. Es sei
\maabbeledisp {f} {{\mathbb C}} {{\mathbb C}
} {z} {f(z)
} {,}
eine differenzierbare Funktion mit der Eigenschaft, dass die Gleichheit
\mathl{f( \zeta z) =f( z)}{} für alle
\mathl{z \in {\mathbb C}}{} gelte. Zeige unter Bezug auf den Differenzenquotienten, dass die Ableitung die Beziehung
\mathl{f'(\zeta z) = \zeta^{n-1} f' ( z)}{}
erfüllt.
}
{} {}
Was bedeutet die vorstehende Aufgabe für gerade und ungerade Funktionen?
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbdisp {f} {{\mathbb C}} {{\mathbb C}
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.}
Zeige, dass die beiden folgenden Aussagen äquivalent sind.
\aufzaehlungdrei{Es gibt eine stetige Funktion
\maabbdisp {g} {\R_{\geq 0}} {{\mathbb C}
} {}
mit
\mathl{f(z) = g ( \betrag { z })}{} für alle
\mathl{z \in {\mathbb C}}{.}
}{Für alle $n$-ten Einheitswurzeln
\mathl{\zeta \in {\mathbb C}}{}
\zusatzklammer {alle \mathlk{n \in \N}{}} {} {}
ist
\mathl{f (\zeta z)= f(z)}{} für alle
\mathl{z \in {\mathbb C}}{.}
}{Für alle
\mathl{w \in {\mathbb C}}{} mit
\mathl{\betrag { w } =1}{} ist
\mathl{f (w z)= f(z)}{} für alle
\mathl{z \in {\mathbb C}}{.}
}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {f(x) = \begin{cases} x \sin \frac{1}{x} \text{ für } x \in {]0,1]}, \\ 0 \text{ für } x = 0,\end{cases}} { }
unendlich viele
\definitionsverweis {isolierte lokale Maxima}{}{}
und unendlich viele
\definitionsverweis {isolierte lokale Minima}{}{}
besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Man gebe ein Beispiel für eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {[0,1]} {\R } {x} {f(x) } {,} die unendlich viele \definitionsverweis {Nullstellen}{}{} und unendlich viele \definitionsverweis {isolierte lokale Maxima}{}{} besitzt, deren Funktionswert $\geq 1$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Zeige, dass es keine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {[0,1]} {\R } {x} {f(x) } {,} gibt, die unendlich viele \definitionsverweis {Nullstellen}{}{} besitzt derart, dass zwischen je zwei Nullstellen ein \definitionsverweis {lokales Maximum}{}{} existiert, dessen Funktionswert $\geq 1$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Es sei
\mathl{z_n \in {\mathbb C}}{} eine Folge von komplexen Zahlen, die wir in Polarkoordinaten als
\mathdisp {z_n =r_n e^{ { \mathrm i} \varphi_n}} { }
mit
\mathl{r_n \in \R_{\geq 0}}{} und
\mathl{\varphi_n \in [0, 2 \pi[}{} schreiben. Zeige, dass die Folge genau dann konvergiert, wenn einer der folgenden Fälle vorliegt.
\aufzaehlungdrei{Die Folge
\mathl{r_n}{} konvergiert gegen
\mathl{0}{.}
}{Die beiden Folgen
\mathl{r_n}{} und
\mathl{\varphi_n}{} konvergieren (in
\mathl{\R}{}).
}{Die Folge
\mathl{r_n}{} konvergiert und die Folge
\mathl{\varphi_n}{} besitzt die Punkte
\mathl{0}{} und
\mathl{2 \pi}{} als einzige Häufungspunkte.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \geq }{ 3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sei
\mathl{A_n}{} der Flächeninhalt eines in den Einheitskreis eingeschriebenen gleichmäßigen $n$-Eckes. Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A_n
}
{ \leq }{ A_{n+1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}