Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 33/latex
\setcounter{section}{33}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien \mathkor {} {P=\left( \frac{3}{4} , \, -1 \right)} {und} {Q= \left( 2 , \, \frac{1}{5} \right)} {} zwei Punkte im $\R^2$. Bestimme den Abstand zwischen diesen beiden Punkten in
a) der euklidischen Metrik,
b) der Summenmetrik,
c) der Maximumsmetrik.
d) Vergleiche diese verschiedenen Abstände der Größe nach.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Summenmetrik}{}{} im $\R^n$ eine \definitionsverweis {Metrik}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Maximumsmetrik}{}{} im $\R^n$ eine \definitionsverweis {Metrik}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass für die Norm
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {x} \Vert
}
{ \defeq }{ \operatorname{max} \{ \betrag { x_i }:1 \leq i \leq n \} }
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
auf dem $\R^n$ kein Skalarprodukt $\left\langle - , - \right\rangle$ mit der Eigenschaft
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {x} \Vert
}
{ = }{ \sqrt{ \left\langle x , x \right\rangle }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
existiert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ die Parabel, also der
\definitionsverweis {Graph}{}{}
der Quadratfunktion
\maabbeledisp {} {\R} {\R
} {x} {x^2
} {.}
Entscheide, ob auf $M$ durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{d_1((x_1,y_1), (x_2,y_2))
}
{ \defeq} { \betrag { x_1 -x_2 }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bzw. durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{d_2((x_1,y_1), (x_2,y_2))
}
{ \defeq} { \betrag { y_1 -y_2 }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Metrik}{}{}
definiert wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K
}
{ =} { { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid x^2 +y^2 = 1 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der Einheitskreis. Zeige, dass man auf $K$ eine Metrik definieren kann, indem man
\mathl{d(P,Q)}{}
\zusatzklammer {\mathlk{P,Q \in K}{}} {} {}
als den positiven Winkel zwischen den zugehörigen Strahlen durch den Nullpunkt
\mathl{(0,0)}{} ansetzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbdisp {f} {\R_{\geq 0} } {\R_{\geq 0}
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige}{}{}
\definitionsverweis {konkave Funktion}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(0)
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(t)
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\maabbdisp {d} {M \times M} {\R_{\geq 0}
} {}
eine
\definitionsverweis {Metrik}{}{.}
Zeige, dass dann auch
\mathl{f \circ d}{} eine Metrik ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {(M_1,d_1)} {und} {(M_2,d_2)} {}
\definitionsverweis {metrische Räume}{}{.}
Zeige, dass auf der
\definitionsverweis {Produktmenge}{}{}
\mathl{M_1 \times M_2}{} durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d( (x_1,x_2), (y_1,y_2))
}
{ =} { \sqrt{ d_1(x_1,y_1)^2 + d_2(x_2,y_2)^2 }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine Metrik gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass auf jeder Menge $M$ die \definitionsverweis {diskrete Metrik}{}{} in der Tat eine \definitionsverweis {Metrik}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{.} Zeige, dass folgende Eigenschaften gelten.
\aufzaehlungdrei{Die
\definitionsverweis {leere Menge}{}{} $\emptyset$ und die Gesamtmenge $M$ sind
\definitionsverweis {offen}{}{.}
}{Es sei $I$ eine beliebige Indexmenge und seien
\mathbed {U_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} offene Mengen. Dann ist auch die
\definitionsverweis {Vereinigung}{}{}
\mathdisp {\bigcup_{i \in I} U_i} { }
offen.
}{Es sei $I$ eine endliche Indexmenge und seien
\mathbed {U_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} offene Mengen. Dann ist auch der
\definitionsverweis {Durchschnitt}{}{}
\mathdisp {\bigcap_{i \in I} U_i} { }
offen.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{.} Zeige, dass die
\definitionsverweis {offenen Kugeln}{}{}
$U { \left( x,\epsilon \right) }$
\definitionsverweis {offen}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{.} Zeige, dass die
\definitionsverweis {abgeschlossenen Kugeln}{}{}
$B \left( x,\epsilon \right)$
\definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten im $\R^2$ die
\definitionsverweis {offenen Bälle}{}{}
\mathkor {} {U= U { \left( (0,0),1 \right) }} {und} {V= U { \left( (2,0),2 \right) }} {.}
Man gebe für jeden Punkt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} {(a,b)
}
{ \in} {U \cap V
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
einen expliziten offenen Ball mit Mittelpunkt $x$ an, der ganz innerhalb von
\mathl{U \cap V}{} liegt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass auf dem $\R^n$ die \definitionsverweis {euklidische Metrik}{}{,} die \definitionsverweis {Summenmetrik}{}{} und die \definitionsverweis {Maximumsmetrik}{}{} dieselben \definitionsverweis {offenen Mengen}{}{} definieren.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{.} Zeige, dass in $M$ die sogenannte \stichwort {Hausdorff} {-}Eigenschaft gilt, d.h. zu je zwei verschiedenen Punkten
\mathkor {} {x} {und} {y} {} gibt es
\definitionsverweis {offene Mengen}{}{}
\mathkor {} {U} {und} {V} {} mit
\mathdisp {x \in U \text{ und } y \in V \text{ und } U \cap V = \emptyset} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{.} Zeige, dass jede endliche Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {abgeschlossen}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {reellen Zahlen}{}{} in ${\mathbb C}$ \definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Menge
\mathdisp {S= { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid x^2 +y^2 = 1 \right\} }} { }
in $\R^2$
\definitionsverweis {abgeschlossen}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {rationalen Zahlen}{}{} $\Q$ in $\R$ weder \definitionsverweis {offen}{}{} noch \definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge mit der
\definitionsverweis {induzierten Metrik}{}{.}
Zeige, dass eine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Z
}
{ \subseteq }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann
\definitionsverweis {offen}{}{}
in $T$ ist, wenn es eine in $M$ offene Menge $U$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Z
}
{ = }{ T \cap U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine Menge, die mit der \definitionsverweis {diskreten Metrik}{}{} versehen sei. Zeige, dass jede Teilmenge von $M$ sowohl \definitionsverweis {offen}{}{} als auch \definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
in einem
\definitionsverweis {metrischen Raum}{}{}
$M$. Zeige, dass die Folge genau dann gegen
\mathl{x\in M}{}
\definitionsverweis {konvergiert}{}{,}
wenn die Folge der Abstände
\mathl{d(x_n,x)}{} in $\R$ gegen $0$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass eine \definitionsverweis {Folge}{}{} in einem \definitionsverweis {metrischen Raum}{}{} maximal einen \definitionsverweis {Grenzwert}{}{} besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Entscheide, ob im $\R^3$
\zusatzklammer {versehen mit der
\definitionsverweis {euklidischen Metrik}{}{}} {} {} die
\definitionsverweis {Folge}{}{}
\mathdisp {x_n= \left( { \frac{ n^5-4n^2 }{ e^n } } , \, { \frac{ -5n^4+n^3-n^{-1} }{ 13n^4-9n^2+5n+6 } } , \, { \frac{ 4 \cos^{ 3 } n +6n^2+5n-2 }{ 2n^2- \sin^{ 7 } n } } \right)} { }
\definitionsverweis {konvergiert}{}{}
und bestimme gegebenenfalls den
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zu einem
\definitionsverweis {Dreieck}{}{}
\mathl{\triangle=(A,B,C)}{} ist das Seitenmittelpunktsdreieck durch die Eckpunkte
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 2 } } (A+B), { \frac{ 1 }{ 2 } } (A+C), { \frac{ 1 }{ 2 } } (B+C)}{} gegeben. Diese Konstruktion ergibt eine rekursiv definierte Folge von Dreiecken $\triangle_n$, wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \triangle_1
}
{ = }{\triangle
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und $\triangle_{n+1}$ das Seitenmittelpunktsdreieck zu $\triangle_n$ ist. Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
in $\R^2$ mit
\mathl{x_n \in \triangle_n}{} für alle
\mathl{n \in \N_+}{.} Zeige, dass diese Folge
\definitionsverweis {konvergiert}{}{}
und bestimme den
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass eine \definitionsverweis {konvergente}{}{} \definitionsverweis {Folge}{}{} in einem \definitionsverweis {metrischen Raum}{}{} genau einen \definitionsverweis {Häufungspunkt}{}{} besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{}
und sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
in $M$. Zeige, dass die Menge aller
\definitionsverweis {Häufungspunkte}{}{} dieser Folge
\definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
in einem
\definitionsverweis {metrischen Raum}{}{}
$M$. Zeige, dass die Folge genau dann gegen
\mathl{x\in M}{}
\definitionsverweis {konvergiert}{}{,}
wenn in jeder
\definitionsverweis {offenen Menge}{}{}
$U$ mit
\mathl{x \in U}{} alle bis auf endlich viele Folgenglieder liegen.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{2}
{
Entscheide, ob für vier Punkte
\mathl{A,B,C,X}{} in der euklidischen Ebene $\R^2$ stets die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{d(A,B) +d(B,C)
}
{ \leq} {d(A,X)+ d(B,X) +d(C,X)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es seien \mathkor {} {P} {und} {Q} {} zwei verschiedene Punkte im $\R^2$ und $G$ die dadurch definierte Gerade. Zeige, dass $G$ \definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} in $\R^2$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{6 (2+2+2)}
{
a) Definiere auf der Einheitssphäre, also der Kugeloberfläche
\mathdisp {S= { \left\{ (x,y,z) \in \R^3 \mid x^2+y^2+z^2 = 1 \right\} }} { , }
die \anfuehrung{geodätische Metrik}{}, bei der der Abstand zweier Punkte
\mathl{P,Q \in S}{} durch die Länge der kürzesten Verbindung auf der Oberfläche gegeben ist.
b) Zeige, dass es sich um eine Metrik handelt.
c) Welchen Abstand besitzen die Punkte
\mathl{(0,0,1)}{} und
\mathl{(1,0,0)}{} in der euklidischen und in der geodätischen Metrik?
}
{} {Die kürzeste Verbindung liegt auf dem Großkreis, den man enthält, wenn man die Kugeloberfläche mit der durch
\mathl{P,Q, (0,0,0)}{} gegebenen Ebene schneidet
\zusatzklammer {wann definieren diese drei Punkte keine Ebene?} {} {.}
Die Formel für den Kreisumfang und die Tatsache, dass der Winkel proportional zur Bogenlänge ist, darf verwendet werden.}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{}
und sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
in $M$, die gegen $x \in M$
\definitionsverweis {konvergiere}{}{.}
Es sei ${ \left( y_n \right) }_{n \in \N }$ eine weitere Folge derart, dass die Abstände $d { \left( x_n, y_n \right) }$ eine
\definitionsverweis {Nullfolge}{}{}
in $\R$ sei. Zeige, dass auch ${ \left( y_n \right) }_{n \in \N }$ gegen $x$ konvergiert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{}
und sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
in $M$. Zeige, dass ein Punkt $x \in M$ genau dann ein
\definitionsverweis {Häufungspunkt}{}{}
der Folge ist, wenn es eine gegen $x$
\definitionsverweis {konvergente}{}{}
\definitionsverweis {Teilfolge}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4 (2+2)}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z_n
}
{ = }{ \left( x_n , \, y_n \right)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Folge im $\R^2$, die durch die beiden reellen Komponentenfolgen
\mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {bzw.} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {}
gegeben sei, und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ = }{ (x,y)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt. Beweise oder widerlege die folgenden Aussagen.
\aufzaehlungzwei {Wenn $z$ ein
\definitionsverweis {Häufungspunkt}{}{}
von ${ \left( z_n \right) }_{n \in \N }$ ist, dann ist $x$ ein Häufungspunkt von ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ und $y$ ein Häufungspunkt von ${ \left( y_n \right) }_{n \in \N }$.
} {Wenn $x$ ein Häufungspunkt von ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ und $y$ ein Häufungspunkt von ${ \left( y_n \right) }_{n \in \N }$ ist, dann ist $z$ ein Häufungspunkt von ${ \left( z_n \right) }_{n \in \N }$.
}
}
{} {}