Kurs:Analysis I/Kapitel I: Das System der reellen und komplexen Zahlen/Folgen und Reihen (§6)

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Satz 1[Bearbeiten]

Es gelten die folgenden Aussagen:
(a) Für ist richtig.
(b) Es gilt .
(c) Für alle mit ist erfüllt.

Beweis[Bearbeiten]

(a) Für ist für alle richtig, also . Für haben wir für alle . Sei mit erklärt, so gilt für alle . Mit der Ungleichung von Bernoulli erhalten wir und damit

für alle .

Nun ist eine Nullfolge. Damit muss auch eine Nullfolge sein und es folgt

.

Für setzen wir mit . Dann gilt und damit

.

(b) Für ist . Sei mit gesetzt, so folgt für alle mit . Mit dem Binomischen Lehrsatz (Satz 5 aus §1) erhalten wir

und damit

Nun ist wieder eine Nullfolge, also besitzt auch und damit diese Konvergenzeigenschaft und wir erhalten

.

(c) Für folgt mit (26) aus §5, dass für alle gilt. Sei nun mit gewählt, dann gibt es ein , so dass richtig ist. Mit der Ungleichung von Bernoulli gilt dann und damit

für alle

Die Folge ist eine Nullfolge und somit auch . Schließlich erhalten wir

.

q.e.d.

Definition 1[Bearbeiten]

Sei eine Folge komplexer Zahlen. Für nennen wir
(1)
die -te Partialsumme der Folge . Die Folge der Partialsummen nennen wir eine Reihe und bezeichnen diese mit
(2) .
Wir nennen die Reihe beschränkt, falls die Folge der Partialsummen beschränkt ist.
Die Reihe ist konvergent genau dann, wenn die Partialsummen konvergieren gemäß . In diesem Falle schreiben wir
und nennen die komplexe Zahl die Summe oder den Wert der Reihe. Falls eine Reihe nicht konvergiert, die Folge der Partialsummen also nicht konvergiert, so sprechen wir von einer divergenten Reihe.

Bemerkung[Bearbeiten]

Bei konvergenten Reihen bezeichnet das Symbol einerseits die Folge der Partialsummen und andererseits deren Grenzwert bzw. die Summe der Reihe.

Satz 2 (Cauchysches Konvergenzkriterium für Reihen)[Bearbeiten]

Die Reihe konvergiert genau dann, wenn es zu jedem eine natürliche Zahl gibt, so dass
für alle
richtig ist.

Beweis[Bearbeiten]

Mit gilt:

konvergent konvergent Cauchy-Folge.

Nun ist genau dann eine Cauchy-Folge, wenn zu jedem ein existiert, so dass für alle mit o. B. d. A. gilt:

.

q.e.d.

Satz 3 (Notwendiges Konvergenzkriterium)[Bearbeiten]

Wenn die Reihe konvergiert, dann ist eine Nullfolge.

Beweis[Bearbeiten]

Wenn die Reihe konvergiert, dann liefert Satz 2 zu jedem ein , so dass für alle richtig ist. Damit ist eine Nullfolge.

q.e.d.

Bemerkungen[Bearbeiten]

  1. Durch Negation erhalten wir aus Satz 3 sofort das Divergenzkriterium: Ist keine Nullfolge, so konvergiert die Reihe nicht.
  2. Das folgende Beispiel zeigt, dass Satz 3 kein hinreichendes Kriterium ist.

Beispiel 1 (Harmonische Reihe)[Bearbeiten]

Betrachten wir die Reihe

(4) ,

so erkennt man . Allerdings erfüllt (4) nicht das Cauchysche Konvergenzkriterium für Reihen: Mit erhalten wir für beliebiges die Ungleichung

.

Folglich konvergiert die Reihe (4) nicht – sie ist also divergent

Satz 4[Bearbeiten]

Sei eine Reihe mit den nicht negativen Gliedern für alle gegeben. Dann konvergiert sie genau dann, wenn sie beschränkt ist.

Beweis[Bearbeiten]

Die Partialsummen bilden eine monoton nicht fallende Folge nicht negativer reeller Zahlen. Der Satz 5 aus §3 liefert:

(5) Die Reihe konvergiert;
Die Folge der Partialsummen konvergiert;
Die Folge der Partialsummen ist nach oben beschränkt;
Die Reihe ist beschränkt.

Definition 2[Bearbeiten]

Sei eine reelle Zahlenfolge mit nicht negativen Gliedern für alle . Falls die Reihe konvergiert, schreiben wir
(6) .
Im Falle der Divergenz schreiben wir
(7) .

Satz 5 (Majorantenkriterium)[Bearbeiten]

Die Folgen und seien gegeben. Weiter existiere ein Index , so dass für alle mit richtig ist. Dann gilt die Implikation
ist konvergent.

Beweis[Bearbeiten]

Sei . Dann gibt es zu beliebig vorgegebenem ein , so dass die Abschätzung

richtig ist für alle mit . Also ist nach Satz 2 konvergent.

q.e.d.

Bemerkungen[Bearbeiten]

  1. Man nennt eine Majorante der Reihe .
  2. Falls erfüllt ist, so konvergiert auch .
  3. Analog werden wir im nachfolgenden Satz ein Kriterium für die Divergenz der Reihe finden.

Satz 6 (Minorantenkriterium)[Bearbeiten]

Seien reelle Zahlenfolgen mit der Eigenschaft für alle . Dann gilt die Implikation
.

Beweis[Bearbeiten]

Würde die Reihe erfüllen und somit konvergieren, so müsste auch die majorisierte Reihe nach Satz 5 konvergieren – im Widerspruch zur Annahme .

Satz 7 (Geometrische Reihe)[Bearbeiten]

Es gelten die folgenden Aussagen:
(a) Für alle komplexen Zahlen der offenen Einheitskreisscheibe konvergiert die Reihe und es gilt
(8) .
(b) Für alle komplexen Zahlen des Komplements divergiert die Reihe .

Beweis[Bearbeiten]

Mit der geometrischen Summenformel am Ende von §1 haben wir für beliebiges die Identität

(9) .

(a) Sei nun gewählt. Nach Satz 1(c) ist dann eine Nullfolge und damit erhalten wir

.

(b) Für ist für alle erfüllt und damit ergibt keine Nullfolge. Somit ist die Reihe nach Satz 3 divergent.

q.e.d.

Satz 8 (Vergleichskriterium für Reihen)[Bearbeiten]

Sei die komplexe Zahlenfolge gegeben. Weiter seien die Größen mit und so gewählt, dass die Ungleichung
für alle mit
mit festem Index richtig ist. Dann ist die Reihe konvergent.

Satz 9 (Wurzelkriterium)[Bearbeiten]

Sei die Folge gegeben, so gelten die Implikationen:
(10) ist konvergent
und
(11) ist divergent.

Beweis von (10)[Bearbeiten]

Sei . Zu einer Zahl können wir wegen Satz 12 in §3 eine Zahl finden, so dass bzw. für alle gilt. Nach Satz 8 konvergiert dann .

Beweis von (11)[Bearbeiten]

Seien und . Dann gibt es nach Satz 12 in §3 eine Teilfolge , so dass richtig ist. Wegen gibt es einen Index , so dass und damit für alle gilt. Es ist somit keine Nullfolge und nach Satz 3 divergent.

q.e.d.

Bemerkung[Bearbeiten]

Falls erfüllt ist, kann man mit dem Wurzelkriterium nicht über Konvergenz oder Divergenz von entscheiden.

Satz 10 (Quotientenkriterium)[Bearbeiten]

Sei die Folge mit einem Index gegeben, so dass für alle richtig ist. Dann gelten die Implikationen
(12) ist konvergent
und
(13) Für alle gilt mit geeignetem Index
ist divergent.

Beweis von (12)[Bearbeiten]

Sei

gesetzt. Dann gibt es eine reelle Zahl und nach Satz 12 in §3 einen Index mit , so dass

für alle

gilt. Für beliebiges erhalten wir

und damit

,

wobei abgekürzt wurde. Damit folgt nach Satz 8 die Konvergenz von .

Beweis von (13)[Bearbeiten]

Sei ein Index mit

für alle .

Dann folgt für beliebiges :

.

Also gilt für alle , wobei wir abkürzen.Damit kann keine Nullfolge sein und nach Satz 3 ist die Reihe divergent.

q.e.d.

Beispiel 2 (Komplexe Exponentialreihe)[Bearbeiten]

Für alle konvergiert die Reihe

(14) .

Setzen wir nämlich

als Glieder der Reihe, so berechnen wir

Die Konvergenz der Reihe für alle Punkte liefert nun das Quotientenkriterium.

Satz 11[Bearbeiten]

Sei eine Folge mit für alle . Dann gilt
(15) .

Beweis[Bearbeiten]

Seien und erklärt. Nehmen wir an, es wäre erfüllt. Dann gibt es eine reelle Zahl und einen Index , so dass für alle gilt. Wie im Beweis von (12) erhalten wir und damit für alle . Nach Satz 1(a) gilt und es folgt

,

im Widerspruch zur Wahl von .

q.e.d.

Definition 3[Bearbeiten]

Seien die komplexen Zahlen gegeben. Dann ordnen wir jeder komplexen Zahl die Reihe
(16)
zu und nennen diese eine Potenzreihe in mit den Koeffizienten .

Bemerkung[Bearbeiten]

Falls es einen Index gibt, so dass und für alle richtig ist, so reduziert sich die Potenzreihe auf ein Polynom vom Grade .

Satz 12 (A. Cauchy und J. Hadamard)[Bearbeiten]

Seien eine Potenzreihe und . Sei weiter
(17)
gesetzt. Dann gelten die Implikationen:
(18) ist konvergent
und
(19) ist divergent.

Beweis[Bearbeiten]

Sei . Dann ist

und mit (10) bzw. (11) ist die Konvergenz bzw. Divergenz von sofort zu ermitteln.

q.e.d.

Definition 4[Bearbeiten]

Die Zahl aus Satz 12 heißt der Konvergenzradius der Potenzreihe.

Bemerkung[Bearbeiten]

Das Konvergenzgebiet ist eine offene Kreisscheibe um den Nullpunkt vom Radius

(20) .

Diese ist als Formel von Cauchy-Hadamard bekannt und wurde bereits 1821 gefunden.

Beispiel 3 (Konvergenzradien)[Bearbeiten]

1. Die geometrische Reihe

konvergiert für alle mit und divergiert für alle mit . Damit besitzt sie den Konvergenzradius .

2. Die Exponentialreihe

konvergiert für alle und hat somit als Konvergenzradius

3. Man ermittelt leicht den Konvergenzradius der Potenzreihe

.

In Satz 16 werden wir genau ihren Konvergenzbereich bestimmen.

Definition 5[Bearbeiten]

Sei die Folge gegeben. Die Reihe heißt absolut konvergent, falls
(21)

ausfällt.

Satz 13[Bearbeiten]

Jede absolut konvergente Reihe ist auch konvergent.

Satz 14 (Absolute Konvergenz von Potenzreihen)[Bearbeiten]

Sei die Potenzreihe gegeben und ein Punkt, an dem konvergiert. Dann ist absolut konvergent für alle mit .

Beweis[Bearbeiten]

Sei für konvergent. Dann gilt und es gibt eine Zahl , so dass für alle richtig ist. Somit können wir für beliebiges mit und beliebiges die Terme

abschätzen, wobei wir setzen. Mit Satz 8 folgt die Konvergenz von , also die absolute Konvergenz von .

q.e.d.

Hilfssatz 1 (Partielle Summation)[Bearbeiten]

Seien und für mit so gegeben, dass gilt. Dann haben wir die Abschätzung
(22) .

Beweis[Bearbeiten]

Wir setzen für sowie und erhalten für . Nun berechnen wir leicht

,

wenn wir die Identität

beachten. Nach Voraussetzung ist für richtig und es folgt

(23)
.

Satz 15[Bearbeiten]

Sei eine Folge derart, dass die Reihe beschränkt ist und sei eine Nullfolge mit für alle . Dann konvergiert die Reihe .

Beweis[Bearbeiten]

Wegen der Beschränktheit der Reihe existiert eine obere Schranke , so dass die Partialsummen die Ungleichung für alle erfüllen. Da eine Nullfolge darstellt, gibt es zu jedem einen Index , so dass für alle richtig ist. Da diese Nullfolge absteigend ist, können wir mit obigem Hilfssatz über Partielle Summation wie folgt abschätzen:

(24)
für alle .

Mit dem Cauchyschen Konvergenzkriterium für Reihen aus Satz 2 erschließen wir die Konvergenz der o. a. Reihe.

q.e.d.

Satz 16[Bearbeiten]

Sei eine Nullfolge mit für alle . Dann konvergiert die Potenzreihe für alle mit und .

Beweis[Bearbeiten]

Sei mit und beliebig gewählt. Dann erhalten wir für alle mittels Formel (9) die Abschätzung

.

Somit ist die Reihe beschränkt und Satz 15 liefert die Konvergenz von .

Satz 17 (Konvergenzkriterium von Leibniz)[Bearbeiten]

Sei eine Nullfolge mit für alle . Dann konvergiert die Reihe .