Kurs:Analysis I/Kapitel I: Das System der reellen und komplexen Zahlen/Komplexe Zahlen (§5)

Definition 1

Eine komplexe Zahl $z$ ist ein geordnetes Paar reeller Zahlen $a$ und $b$, also $z=(a,b)$. Dabei heißt $a$ der Realteil und $b$ der Imaginärteil von $z$. Wir schreiben $Re(z):=a$ und $Im(z):=b$. Zwei komplexe Zahlen $x:=(a,b)$ und $y:=(c,d)$ heißen gleich genau dann, wenn $a=c$ und $b=d$ gelten. Die Menge aller komplexen Zahlen nennen wir

$\mathbb {C} :=\{z=(a,b):a,b\in \mathbb {R} \}$.

Für zwei komplexe Zahlen $x=(a,b),y=(c,d)\in \mathbb {C}$ erklären wir durch

(1) $x+y=(a,b)+(c,d):=(a+c,b+d)\in \mathbb {C}$

eine Addition und durch

(2) $x\cdot y=(a,b)\cdot (c,d):=(ac-bd,ad+bc)\in \mathbb {C}$

eine Multiplikation.

Bemerkungen

Eine komplexe Zahl kann als Punkt im $\mathbb {R} ^{2}$ gesehen werden – also als Punkt in der Gaußschen Zahlenebene. Der Unterschied zwischen $\mathbb {C}$ und $\mathbb {R} ^{2}$ besteht in den Verknüpfungsoperationen, die auf den jeweiligen Mengen erklärt sind – insbesondere in der komplexen Multiplikation. So meinen wir mit $\mathbb {C}$ eben nicht nur die Menge aller geordneten Paare reeller Zahlen, sondern die Menge aller geordneten Paare reeller Zahlen mit ihren Verknüpfungen $+$ und $\cdot$ gemäß (1) und (2). Analog verstehen wir unter $\mathbb {R} ^{2}$ die Menge aller geordneten Paare reeller Zahlen als Vektorraum über $\mathbb {R}$ mit der Vektoraddition und der skalaren Multiplikation.

Hilfssatz 1

Für alle $x,y,z\in \mathbb {C}$ gelten

(3) $(x+y)+z=x+(y+z)$ (additive Assoziativität)

(4) $x+y=y+x$ (additive Kommutativität)

(5) $(x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)$ (multiplikative Assoziativität)

(6) $x\cdot y=y\cdot x$ (multiplikative Kommutativität)

(7) $(x+y)\cdot z=x\cdot z+y\cdot z)$ (Distributivität)

Hilfssatz 2

Es gibt ein eindeutig bestimmtes Nullelement $0_{\mathbb {C} }\in \mathbb {C}$, so dass

(8) $x+y=x\Longleftrightarrow y=0_{\mathbb {C} }$

für alle $x\in \mathbb {C}$ richtig ist.

Beweis

Wir wählen

(9) $0_{\mathbb {C} }:=(0,0)\in \mathbb {C}$

Da das Nullelement $0\in \mathbb {R}$ eindeutig bestimmt ist, gilt für alle $a\in \mathbb {R}$ die Identität

$a+c=a\Longleftrightarrow c=0$.

Mit (1) und (8) folgt dann

$x+y=x\Longleftrightarrow y=0_{\mathbb {C} }$

für jedes $x\in \mathbb {C}$.

q.e.d.

Hilfssatz 3

Zu jedem $x\in \mathbb {C}$ gibt es ein eindeutig bestimmtes additiv inverses (bzw. negatives) Element $-x\in \mathbb {C}$, so dass

(10) $x+y=0_{\mathbb {C} }\Longleftrightarrow y=-x$.

Beweis

Sei $x=(a,b)$. Dann wählen wir

(11) $-x:=(-a,-b)$

und erhalten (10) mit (1) und den Eigenschaften von $\mathbb {R}$.

q.e.d.

Hilfssatz 4

Es gibt ein eindeutig bestimmtes Einselement $1_{\mathbb {C} }\in \mathbb {C}$, so dass

(12) $x\cdot y=x\Longleftrightarrow y=1_{\mathbb {C} }$

für alle $x\in \mathbb {C} \setminus \{0_{\mathbb {C} }\}$ richtig ist.

Beweis

„$\Leftarrow$“: Wir wählen

(13) $1_{\mathbb {C} }:=(1_{\mathbb {R} },0)\in \mathbb {C}$.

Sei $x=(a,b)$ beliebig. Dann erhalten wir mit (2):

$x\cdot 1_{\mathbb {C} }=(a,b)\cdot (1,0)=(a\cdot 1_{\mathbb {R} }-b\cdot 0,a\cdot 0+b\cdot 1_{\mathbb {R} })=(a,b)$

„$\Rightarrow$“: Sei nun $y=(c,d)\in \mathbb {C}$, so dass

$(a,b)=x=x\cdot y=(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$

$\Longleftrightarrow a=ac-bd\wedge b=ad+bc$.

Dann ist $(c,d)$ eine Lösung des Gleichungssystems

(14) ${\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix}}$.

Für $(a,b)=x\neq 0_{\mathbb {C} }=(0,0)$ haben wir

$0<a^{2}+b^{2}=\det {\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}$

und damit die eindeutige Lösbarkeit von (14) durch $y=(c,d)=(1_{\mathbb {R} },0)=1_{\mathbb {C} }$.

q.e.d.

Hilfssatz 5

Zu jedem $x\in \mathbb {C} \setminus \{0_{\mathbb {C} }\}$ gibt es ein eindeutig bestimmtes multiplikativ inverses (bzw. reziprokes) Element $x^{-1}\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$, so dass

(15) $x\cdot y=1_{\mathbb {C} }\Longleftrightarrow y=x^{-1}$.

Beweis

„$\Leftarrow$“: Sei $x=(a,b)\neq (0,0)=0_{\mathbb {C} }$. Dann wählen wir

(16) $x^{-1}:=\left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}},{\frac {-b}{a^{2}+b^{2}}}\right)\in \mathbb {C}$

und berechnen mit (2):

$x\cdot x^{-1}=(a,b)\cdot \left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}},{\frac {-b}{a^{2}+b^{2}}}\right)=\left({\frac {a^{2}+b^{2}}{a^{2}+b^{2}}},{\frac {-ab+ab}{a^{2}+b^{2}}}\right)=(1,0)=1_{\mathbb {C} }$.

„$\Rightarrow$“: Sei nun $y=(c,d)\in \mathbb {C}$, so dass

$(1,0)=1_{\mathbb {C} }=x\cdot y=(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$

$\Longleftrightarrow 1=ac-bd\wedge 0=ad+bc$.

Dann ist $(c,d)$ eine Lösung des Gleichungssystems

${\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix}}$.

Wie im Beweis von Hilfssatz 4 erhalten wir für $x\neq 0_{\mathbb {C} }$ Eindeutigkeit und es folgt $y=x^{-1}$.

q.e.d.

Für $x,y\in \mathbb {C} ,x\neq 0_{\mathbb {C} }$ schreiben wir auch

(17) $x^{-1}=:{\frac {1_{\mathbb {C} }}{x}}$ und $y\cdot x^{-1}=:{\frac {y}{x}}$.

Satz 1

Die Menge der rationalen Zahlen mit den Verknüpfungen $+$ und $\cdot$ gemäß (1) und (2) bildet einen Körper (siehe Definition 1 in §1).

Definition 2

Die Teilmenge

(18) $\mathbb {C} _{\mathbb {R} }:=\{(a,0)\in \mathbb {C} :a\in \mathbb {R} \}\subset \mathbb {C}$

der komplexen Zahlen nennen wir die reelle Achse von $\mathbb {C}$.

Hilfssatz 6

$\mathbb {C} _{\mathbb {R} }\subset \mathbb {C}$ ist ein Unterkörper von $\mathbb {C}$, das heißt die Teilmenge $\mathbb {C} _{\mathbb {R} }\subset \mathbb {C}$ der komplexen Zahlen bildet mit den Verknüpfungen $+$ und $\cdot$ gemäß (1) und (2) einen Körper.

Beweis

Da sich Assoziativität, Kommutativität und Distributivität automatisch übertragen, bleibt nur (a) die Abgeschlossenheit von $\mathbb {C} _{\mathbb {R} }$ bzgl. $+$ und $\cdot$ sowie (b) die Existenz von Null-, Eins-, negativem und reziprokem Element in $\mathbb {C} _{\mathbb {R} }$ zu zeigen

(a) Seien $x,y\in \mathbb {C} _{\mathbb {R} }$. Dann gibt es zwei Zahlen $a,c\in \mathbb {R}$ mit $x=(a,0),y=(c,0)$ und es ist

$x+y=(a,0)+(c,0)=(a+c,0)\in \mathbb {C} _{\mathbb {R} }$

und

$x\cdot y=(a,0)\cdot (c,0)=(a\cdot c,0)\in \mathbb {C} _{\mathbb {R} }$.

(b) Es gelten

$0_{\mathbb {C} }=(0,0)\in \mathbb {C} _{\mathbb {R} }$ und $1_{\mathbb {C} }=(1,0)\in \mathbb {C} _{\mathbb {R} }$

sowie

$x\in \mathbb {C} _{\mathbb {R} }\Rightarrow x=(a,0),a\in \mathbb {R} \Rightarrow -x=(-a,0)\in \mathbb {C} _{\mathbb {R} }$

und

$x\in \mathbb {C} _{\mathbb {R} }\setminus \{0_{\mathbb {C} }\}\Rightarrow x=(a,0),a\in \mathbb {R} \setminus \{0\}\Rightarrow x^{-1}=({\frac {1}{a}},0)\in \mathbb {C} _{\mathbb {R} }\setminus \{0_{\mathbb {C} }\}$.

Damit hat $\mathbb {C} _{\mathbb {R} }\subset \mathbb {C}$ alle Eigenschaften eines Körpers.

q.e.d.

Mit der Abbildung

$\iota :\mathbb {R} \to \mathbb {C} _{\mathbb {R} }$ vermöge $a\mapsto \iota (a):=(a,0)$,

welche bijektiv ist und

(i) $\iota (a+c)=(a+c,0)=(a,0)+(c,0)=\iota (a)+\iota (c)$ für alle $a,c\in \mathbb {R}$,
(ii) $\iota (a\cdot c)=(a\cdot c,0)=(a,0)\cdot (c,0)=\iota (a)\cdot \iota (c)$ für alle $a,c\in \mathbb {R}$,
(iii) $\iota (1)=(1,0)=1_{\mathbb {C} }$

erfüllt, erhalten wir einen sogenannten Körperisomorphismus vom Körper $\mathbb {R}$ in den Körper $\mathbb {C} _{\mathbb {R} }\subset \mathbb {C}$. Durch diesen können wir die reellen Zahlen mit der reellen Achse von $\mathbb {C}$ identifizieren und somit $\mathbb {R}$ in $\mathbb {C}$ einbetten. In Zukunft identifizieren wir also $a\in \mathbb {R}$ mit $(a,0)\in \mathbb {C}$, $0\in \mathbb {R}$ mit $0_{\mathbb {C} }\in \mathbb {C}$ und $1\in \mathbb {R}$ mit $1_{\mathbb {C} }\in \mathbb {C}$.

Definition 3

Sei $x=(a,b)\in \mathbb {C}$ eine komplexe Zahl. Dann nennen wir

(19) ${\overline {x}}:=(a,-b)\in \mathbb {C}$

die zu $x$ konjugiert komplexe Zahl und

(20) $|x|:={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\geq 0$

den Betrag von $x$.

Bemerkung

Der Betrag einer komplexen Zahl entspricht dem Betrag des zugehörigen Vektors im $\mathbb {R} ^{2}$.

Hilfssatz 7

Für alle $x,y\in \mathbb {C}$ gelten die folgenden Aussagen:

(21) $|x|=0\Longleftrightarrow x=0$,

(22) $x\cdot {\overline {x}}=|x|^{2}$,

(23) ${\overline {({\overline {x}})}}=x$,

(24) ${\overline {x+y}}={\overline {x}}+{\overline {y}}$,

(25) ${\overline {x\cdot y}}={\overline {x}}\cdot {\overline {y}}$,

(26) $|x\cdot y|=|x|\cdot |y|$.

Definition 4

Wir nennen

(27) $i:=(0,1)$

die imaginäre Einheit in $\mathbb {C}$.

Hilfssatz 8

Es gilt

(28) $i^{2}=-1$

und für $x=(a,b)\in \mathbb {C}$ haben wir die Darstellung

(29) $x=a+i\cdot b$.

Beweis

Wir berechnen

$i^{2}=(0,1)^{2}=(0,1)\cdot (0,1)=(-1,0)=-1$

und

$x=(a,b)=(a,0)+(0,b)=(a,0)+(0,1)\cdot (b,0)=a+i\cdot b$.

Satz 2 (Vollständigkeit von $\mathbb {C}$)

Sei $\{z_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }\subset \mathbb {C}$ eine komplexe Cauchy-Folge, d. h. es gebe zu jedem $\varepsilon >0$ eine natürliche Zahl $N=N(\varepsilon )\in \mathbb {N}$, so dass $|z_{k}-z_{l}|<\varepsilon$ für alle $k,l\geq N$ richtig ist. Dann existiert ein $z\in \mathbb {C}$ mit $\lim _{k\to \infty }|z_{k}-z|=0$. Wir schreiben $z_{k}\to z\ (k\to \infty )$ bzw. $z=\lim _{k\to \infty }z_{k}$.

Satz 3 (Häufungsstellensatz in $\mathbb {C}$)

Sei $\{z_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }\subset \mathbb {C}$ eine beschränkte Folge komplexer Zahlen, d. h. es gebe eine reelle Zahl $c>0$, so dass $|z_{k}|\leq c$ für alle $k\in \mathbb {N}$ richtig ist. Dann gibt es eine Teilfolge $\{z_{k_{p}}\}_{p\in \mathbb {N} }\subset \{z_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }$ und ein $z\in \mathbb {C}$, so dass $z_{k_{p}}\to z\ (p\to \infty )$ gilt.

Erklären wir im Raum

$\mathbb {C} ^{n}:=\{\mathbf {z} =(z_{1},\ldots ,z_{n}):z_{k}\in \mathbb {C} \ \mathrm {f{\ddot {u}}r\ } k=1,\ldots ,n\}$

ein inneres Produkt durch die Setzung

(30) $\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle :=\sum _{k=1}^{n}a_{k}{\overline {b_{k}}}$ für $\mathbf {a} =(a_{1},\ldots ,a_{n}),\mathbf {b} =(b_{1},\ldots ,b_{n})\in \mathbb {C} ^{n}$.

In Verallgemeinerung der reellen Ungleichung von Cauchy-Schwarz aus Satz 4 in §1 wollen wir noch die Abschätzung

$|\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle |^{2}\leq \langle \mathbf {a} ,\mathbf {a} \rangle \langle \mathbf {b} ,\mathbf {b} \rangle$ für alle $\mathbf {a} ,\mathbf {b} \in \mathbb {C} ^{n}$

beweisen. Man kann so zeigen, dass $|\mathbf {a} |:={\sqrt {\langle \mathbb {a} ,\mathbf {a} \rangle }}$ für die komplexen Vektoren $\mathbf {a} \in \mathbb {C} ^{n}$ einen sinnvollen Abstandsbegriff bildet.

Satz 4 (Komplexe Ungleichung von Cauchy-Schwarz)

Seien $a_{k},b_{k}\in \mathbb {C}$ für $k=1,\ldots ,n$. Dann gilt:

(31) $\left|\sum _{k=1}^{n}a_{k}{\overline {b_{k}}}\right|^{2}\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|a_{k}|^{2}\right)\cdot \left(\sum _{k=1}^{n}|b_{k}|^{2}\right)$

Beweis

Mit den Beziehungen aus Hilfssatz 7 erhalten wir

$0\leq \sum _{i,j=1}^{n}|a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}|^{2}=\sum _{i,j=1}^{n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}){\overline {(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})}}$

$=\sum _{i,j=1}^{n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})({\overline {a_{i}}}{\overline {b_{j}}}-{\overline {a_{j}}}{\overline {b_{i}}})$

$=\sum _{i,j=1}^{n}(a_{i}{\overline {a_{i}}}b_{j}{\overline {b_{j}}}+a_{j}{\overline {a_{j}}}b_{i}{\overline {b_{i}}}-a_{i}{\overline {a_{j}}}b_{j}{\overline {b_{i}}}-a_{j}{\overline {a_{i}}}b_{i}{\overline {b_{j}}})$

$=2\cdot \sum _{i,j=1}^{n}a_{i}{\overline {a_{i}}}b_{j}{\overline {b_{j}}}-2\cdot \sum _{i,j=1}^{n}a_{i}{\overline {b_{i}}}{\overline {a_{j}}}b_{j}$

$=2\cdot \left[\left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}|^{2}\right)\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}|b_{i}|^{2}\right)-\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\overline {b_{i}}}\right)\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}{\overline {a_{i}}}b_{i}\right)\right]$

$=2\cdot \left[\left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}|^{2}\right)\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}|b_{i}|^{2}\right)-\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\overline {b_{i}}}\right)\cdot {\overline {\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\overline {b_{i}}}\right)}}\right]$

$=2\cdot \left[\left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}|^{2}\right)\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}|b_{i}|^{2}\right)-\left|\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\overline {b_{i}}}\right|^{2}\right]$,

woraus die behauptete Ungleichung folgt.

q.e.d.