- Eine komplexe Zahl
ist ein geordnetes Paar reeller Zahlen
und
, also
. Dabei heißt
der Realteil und
der Imaginärteil von
. Wir schreiben
und
. Zwei komplexe Zahlen
und
heißen gleich genau dann, wenn
und
gelten. Die Menge aller komplexen Zahlen nennen wir

.
- Für zwei komplexe Zahlen
erklären wir durch
(1)

- eine Addition und durch
(2)

- eine Multiplikation.
Eine komplexe Zahl kann als Punkt im
gesehen werden – also als Punkt in der Gaußschen Zahlenebene. Der Unterschied zwischen
und
besteht in den Verknüpfungsoperationen, die auf den jeweiligen Mengen erklärt sind – insbesondere in der komplexen Multiplikation. So meinen wir mit
eben nicht nur die Menge aller geordneten Paare reeller Zahlen, sondern die Menge aller geordneten Paare reeller Zahlen mit ihren Verknüpfungen
und
gemäß (1) und (2). Analog verstehen wir unter
die Menge aller geordneten Paare reeller Zahlen als Vektorraum über
mit der Vektoraddition und der skalaren Multiplikation.
- Für alle
gelten
(3)
(additive Assoziativität)
(4)
(additive Kommutativität)
(5)
(multiplikative Assoziativität)
(6)
(multiplikative Kommutativität)
(7)
(Distributivität)
- Es gibt ein eindeutig bestimmtes Nullelement
, so dass
(8)

- für alle
richtig ist.
Wir wählen
(9)

Da das Nullelement
eindeutig bestimmt ist, gilt für alle
die Identität

.
Mit (1) und (8) folgt dann

für jedes
.
q.e.d.
- Zu jedem
gibt es ein eindeutig bestimmtes additiv inverses (bzw. negatives) Element
, so dass
(10)

.
Sei
. Dann wählen wir
(11)

und erhalten (10) mit (1) und den Eigenschaften von
.
q.e.d.
- Es gibt ein eindeutig bestimmtes Einselement
, so dass
(12)

- für alle
richtig ist.
„
“:
Wir wählen
(13)

.
Sei
beliebig. Dann erhalten wir mit (2):

„
“:
Sei nun
, so dass


.
Dann ist
eine Lösung des Gleichungssystems
(14)

.
Für
haben wir

und damit die eindeutige Lösbarkeit von (14) durch
.
q.e.d.
- Zu jedem
gibt es ein eindeutig bestimmtes multiplikativ inverses (bzw. reziprokes) Element
, so dass
(15)

.
„
“:
Sei
. Dann wählen wir
(16)

und berechnen mit (2):

.
„
“:
Sei nun
, so dass


.
Dann ist
eine Lösung des Gleichungssystems

.
Wie im Beweis von Hilfssatz 4 erhalten wir für
Eindeutigkeit und es folgt
.
q.e.d.
Für
schreiben wir auch
(17)

und

.
- Die Menge der rationalen Zahlen mit den Verknüpfungen
und
gemäß (1) und (2) bildet einen Körper (siehe Definition 1 in §1).
- Die Teilmenge
(18)

- der komplexen Zahlen nennen wir die reelle Achse von
.
ist ein Unterkörper von
, das heißt die Teilmenge
der komplexen Zahlen bildet mit den Verknüpfungen
und
gemäß (1) und (2) einen Körper.
Da sich Assoziativität, Kommutativität und Distributivität automatisch übertragen, bleibt nur (a) die Abgeschlossenheit von
bzgl.
und
sowie (b) die Existenz von Null-, Eins-, negativem und reziprokem Element in
zu zeigen
(a) Seien
. Dann gibt es zwei Zahlen
mit
und es ist

und

.
(b) Es gelten

und

sowie

und

.
Damit hat
alle Eigenschaften eines Körpers.
q.e.d.
Mit der Abbildung

vermöge

,
welche bijektiv ist und
(i)
für alle
,
(ii)
für alle
,
(iii)
erfüllt, erhalten wir einen sogenannten Körperisomorphismus vom Körper
in den Körper
. Durch diesen können wir die reellen Zahlen mit der reellen Achse von
identifizieren und somit
in
einbetten. In Zukunft identifizieren wir also
mit
,
mit
und
mit
.
- Sei
eine komplexe Zahl. Dann nennen wir
(19)

- die zu
konjugiert komplexe Zahl und
(20)

- den Betrag von
.
Der Betrag einer komplexen Zahl entspricht dem Betrag des zugehörigen Vektors im
.
- Für alle
gelten die folgenden Aussagen:
(21)

,
(22)

,
(23)

,
(24)

,
(25)

,
(26)

.
- Wir nennen
(27)

- die imaginäre Einheit in
.
- Es gilt
(28)

- und für
haben wir die Darstellung
(29)

.
Wir berechnen

und

.
Satz 2 (Vollständigkeit von
)
[Bearbeiten]
- Sei
eine komplexe Cauchy-Folge, d. h. es gebe zu jedem
eine natürliche Zahl
, so dass
für alle
richtig ist. Dann existiert ein
mit
. Wir schreiben
bzw.
.
Satz 3 (Häufungsstellensatz in
)
[Bearbeiten]
- Sei
eine beschränkte Folge komplexer Zahlen, d. h. es gebe eine reelle Zahl
, so dass
für alle
richtig ist. Dann gibt es eine Teilfolge
und ein
, so dass
gilt.
Erklären wir im Raum

ein inneres Produkt durch die Setzung
(30)

für

.
In Verallgemeinerung der reellen Ungleichung von Cauchy-Schwarz aus Satz 4 in §1 wollen wir noch die Abschätzung

für alle

beweisen. Man kann so zeigen, dass
für die komplexen Vektoren
einen sinnvollen Abstandsbegriff bildet.
Satz 4 (Komplexe Ungleichung von Cauchy-Schwarz)
[Bearbeiten]
- Seien
für
. Dann gilt:
(31)

Mit den Beziehungen aus Hilfssatz 7 erhalten wir




![{\displaystyle =2\cdot \left[\left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}|^{2}\right)\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}|b_{i}|^{2}\right)-\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\overline {b_{i}}}\right)\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}{\overline {a_{i}}}b_{i}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4c2ef8ad4d5f1ce54171369378b846c0023ed86)
![{\displaystyle =2\cdot \left[\left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}|^{2}\right)\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}|b_{i}|^{2}\right)-\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\overline {b_{i}}}\right)\cdot {\overline {\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\overline {b_{i}}}\right)}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b1f8e45e0785b1d617b1af221f4131b46174a1c)
![{\displaystyle =2\cdot \left[\left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}|^{2}\right)\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}|b_{i}|^{2}\right)-\left|\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\overline {b_{i}}}\right|^{2}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/375e0912a5e7dd5ece2391ec2046b092aa3f9f6f)
,
woraus die behauptete Ungleichung folgt.
q.e.d.