Kurs:Analysis I/Kapitel II: Differential- und Integralrechnung für Funktionen einer Veränderlichen

Stetigkeit von Funktionen mehrerer Veränderlicher (§1)

Definition 1

Seien die Dimensionen $m,n\in \mathbb {N}$ und die Menge

$D\subset \mathbb {R} ^{n}:=\{x=(x_{1},\ldots ,x_{n}):x_{j}\in \mathbb {R} ,j=1,\ldots ,n\}$

sowie der Raum

$\mathbb {R} ^{m}:=\{y=(y_{1},\ldots ,y_{m}):y_{j}\in \mathbb {R} ,j=1,\ldots ,m\}$

gegeben. Jedem Punkt $x\in D$ werde vermöge der Funktion

$f:D\to \mathbb {R} ^{m}$

genau ein Punkt

$y=f(x)\in \mathbb {R} ^{m}$

zugeordnet. Wir nennen ${\begin{matrix}D\end{matrix}}$ den Definitionsbereich und

$W:=\{f(x)\in \mathbb {R} ^{m}:x\in D\}:=f(D)$

den Wertebereich der Funktion ${\begin{matrix}f\end{matrix}}$. Genauer schreiben wir:

$(y_{1},\ldots ,y_{m})=y=f(x)=(f_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ldots ,f_{m}(x_{1},\ldots ,x_{n})):D\to \mathbb {R} ^{m}$.

Wir sprechen von einer beschränkten Funktion $f:D\to \mathbb {R} ^{m}$, wenn es eine Konstante $c\in [0,+\infty )$ gibt, so dass die Abschätzung

$|f(x)|\leq c$ für alle $x\in D$

richtig ist. Andernfalls sprechen wir von einer unbeschränkten Funktion.

Definition 2

Sei im Definitionsbereich $D\subset \mathbb {R} ^{n}$ der Funktion $f:D\to \mathbb {R} ^{m}$ ein Häufungspunkt $x\in D$ gewählt. Weiter existiere ein Punkt $A\in \mathbb {R} ^{m}$, so dass es für alle $\varepsilon >0$ ein $\delta =\delta \left(\varepsilon \right)>0$ gibt mit der Eigenschaft

$|f(t)-A|<\varepsilon$ für alle $t\in D$ mit $\left|t-x\right|<\delta$.

Dann heißt A der Limes der Funktion $f$ an der Stelle $x$ und man schreibt:

$\lim _{t\to x,t\in D}f(t)=A$ oder $f(t)\to A\ (t\in D,t\to x)$.

Definition 3

Auf dem Intervall $D:=(a,b)\subset \mathbb {R}$ mit $a<b$ sei die Funktion $f:D\to \mathbb {R} ^{m}$ gegeben. Dann nennen wir

$f(a+):=\lim _{t\to a,t>a}f(t):=\lim _{t\to a,t\in D}f(t)$

den rechtsseitigen Limes der Funktion $f$ an der Stelle $x$ und

$f(b-):=\lim _{t\to b,t<b}f(t):=\lim _{t\to b,t\in D}f(t)$

den linksseitigen Limes der Funktion $f$ an der Stelle $x$.

Satz 1

Sei die Funktion $f:D\to \mathbb {R} ^{m}$ auf dem Definitionsbereich $D\subset \mathbb {R} ^{n}$ gegeben, welcher den Häufungspunkt $x\in D$ enthält. Weiter sei der Punkt $A\in \mathbb {R} ^{m}$ gewählt. Dann gilt die beziehung

$\lim _{t\to x,t\in D}f(t)=A$

genau dann, wenn für jede Punktfolge

$\{x^{(p)}\}_{p\in \mathbb {N} }\subset D\setminus \{x\}$ mit $x^{(p)}\to x\quad (p\to \infty )$

die Aussage

$\lim _{p\to \infty }f(x^{(p)})=A$

gilt.

Beweis

„$\Rightarrow$“: Sei

$\lim _{t\to x,t\in D}f(t)=A$

erfüllt. Dann gibt es nach Definition 2 für alle $\varepsilon >0$ ein $\delta =\delta (\varepsilon )>0$, so dass

$|f(t)-A|<\varepsilon$ für alle $t\in D$ mit $|t-x|<\delta$

ausfällt. Für eine konvergente Punktfolge

$\{x^{(p)}\}_{p\in \mathbb {N} }\subset D\setminus \{x\}=\{y\in D:y\neq x\}$ mit $x^{(p)}\to x\ (p\to \infty )$

erhalten wir

$\left|x^{(p)}-x\right|<\delta$ für alle $p\geq p_{0}(\varepsilon )$

und somit folgt $|f(x^{(p)})-A|<\varepsilon$. Also ergibt sich

$\lim _{p\to \infty }f(x^{(p)})=A$.

„$\Leftarrow$“: Wir zeigen diese Implikation indirekt – unter der Voraussetzung

(1) Für alle $\{x^{(p)}\}_{p\in \mathbb {N} }\subset D\setminus \{x\}$ mit $x^{(p)}\to x\ (p\to \infty )$ gilt $\lim _{p\to \infty }f(x^{(p)})=A$.

Wäre die Aussage

(2) $\lim _{t\to x,t\in D}f(t)=A$

falsch – also die folgende Behauptung:

(3) Für alle $\varepsilon >0$ existiert ein $\delta =\delta (\varepsilon )>0$, so dass $|f(t)-A|<\varepsilon$ für alle $t\in D$ mit $\left|t-x\right|<\delta$ erfüllt ist.

Dann existiert ein $\varepsilon >0$, sodass es zu jedem $\delta >0$ einen Punkt $t\in D$ mit $\left|t-x\right|<\delta$ gibt, welcher $|f(t)-A|\geq \varepsilon$ erfüllt. Wählen wir nun sukzessiv $\delta ={\frac {1}{p}},\quad p=1,2,\ldots$ so finden wir Punkte

$x^{(p)}\in D\setminus \{x\}$ mit $|x^{(p)}-x|<{\frac {1}{p}}$ und $|f(x^{(p)})-A|\geq \varepsilon$.

Offenbar ist nun $\lim _{p\to \infty }x^{(p)}=x$ aber $\lim _{p\to \infty }f(x^{(p)})\neq A$ erfüllt – im widerspruch zur voraussetzung (1).

q.e.d.

Definition 4

Sei der Punkt $x\in D$ und die Funktion $f:D\to \mathbb {R} ^{m}$ auf dem Definitionsbereich $D\subset \mathbb {R} ^{n}$ gegeben. Dann heißt die Funktion $f$ stetig im Punkt $x$, wenn es zu jedem $\varepsilon >0$ ein $\delta =\delta (\varepsilon ,x)>0$ mit der Eigenschaft

$|f(t)-f(x)|<\varepsilon$ für alle $t\in D$ mit $\left|t-x\right|<\delta$

gibt.

Satz 2

Sei die Funktion $f:D\to \mathbb {R} ^{m}$ auf dem Definitionsbereich $D\subset \mathbb {R} ^{n}$ erklärt und $x\in D$ ein Häufungspunkt von $D$. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent

1. Es ist $f$ stetig im Punkt $x$;

2. Es gilt

$\lim _{t\to x,t\in D}f(t)=f(x)$;

3. Für alle Folgen

$\{x^{(p)}\}_{p\in \mathbb {N} }\subset D\setminus \{x\}$ mit $x^{(p)}\to x\ (p\to \infty )$

haben wir

$\lim _{p\to \infty }f(x^{(p)})=f(x)$.

Beweis

Dieser folgt sofort aus den Definitionen 2 und 4 sowie Satz 1.

q.e.d.

Satz 3

Seien die Funktionen $f,g:D\to \mathbb {R} ^{m}$ im Punkt $x\in D\subset \mathbb {R} ^{n}$ stetig und die Skalare $a,b\in \mathbb {R}$ beliebig gewählt. Dann ist auch die Funktion

$h(t):=a\cdot f(t)+b\cdot g(t),\quad t\in D$

im Punkt $x$ stetig.

Beweis

Sei $\{x^{(p)}\}_{p\in \mathbb {N} }\subset D\setminus \{x\}$ eine Folge mit $x^{(p)}\to x\ (p\to \infty )$. Dann erhalten wir

(4) $\lim _{p\to \infty }h(x^{(p)})=\lim _{p\to \infty }\{af(x^{(p)})+bg(x^{(p)})\}$

$=a\lim _{p\to \infty }f(x^{(p)})+b\lim _{p\to \infty }g(x^{(p)})=af(x)+bg(x)$.

q.e.d.

Satz 4

Seien die Funktionen $f,g:D\to \mathbb {R} ^{m}$ im Punkt $x\in D\subset \mathbb {R} ^{n}$ stetig. Dann ist auch die Funktion

$h(t):=f(t)\cdot g(t),\quad t\in D$

im Punkt $x$ stetig. Falls zusätzlich $g(t)\neq 0$ für alle $t\in D$ erfüllt ist, so ist auch die Funktion

$k(t):={\frac {f(t)}{g(t)}},\quad t\in D$

stetig im Punkt $x$.

Beweis

Sei $\{x^{(p)}\}_{p\in \mathbb {N} }\subset D\setminus \{x\}$ eine Folge mit $x^{(p)}\to x\ (p\to \infty )$. Dann liefern die grenzwertsätze

$\lim _{p\to \infty }h(x^{(p)})=\lim _{p\to \infty }\{f\cdot g\}(x^{(p)})=\{\lim _{p\to \infty }f(x^{(p)})\}\cdot \{\lim _{p\to \infty }g(x^{(p)})\}=f(x)\cdot g(x)$

sowie

$\lim _{p\to \infty }k(x^{(p)})=\lim _{p\to \infty }\left\{{\frac {f}{g}}\right\}(x^{(p)})={\frac {\lim _{p\to \infty }f(x^{(p)})}{\lim _{p\to \infty }g(x^{(p)})}}={\frac {f(x)}{g(x)}}$.

q.e.d.

Satz 5 (Komposition stetiger Abbildungen)

Seien die Punkte $x\in D\subset \mathbb {R} ^{n}$ und $y\in E\subset \mathbb {R} ^{m}$ gegeben sowie die Funktionen $f:D\to \mathbb {R} ^{m}$ und $g:E\to \mathbb {R} ^{l}$ mit $y=f\left(x\right)$ – dabei sind die Dimensionen $n,m,l\in \mathbb {N}$ gewählt. Weiter sei $f$ stetig im Punkt $x$ und $g$ stetig im Punkt $y$. Dann ist auch die verkettete Funktion bzw. die Komposition

(5) $h(t):=(g\circ f)(t)=g(f(t))={\Bigl (}g_{1}{\bigl (}f_{1}(t_{1},\ldots ,t_{n}),\ldots ,f_{m}(t_{1},\ldots ,t_{n}){\bigr )},\ldots$

$\ldots ,g_{l}{\bigl (}f_{1}(t_{1},\ldots ,t_{n}),\ldots ,f_{m}(t_{1},\ldots ,t_{n}){\bigr )}{\Bigr )},\quad t=(t_{1},\ldots ,t_{n})\in D$

im Punkt $x$ stetig.

Beweis

Sei $\{x^{(p)}\}_{p\in \mathbb {N} }\subset D\setminus \{x\}$ eine Folge mit $x^{(p)}\to x\ (p\to \infty )$, dann ist

$y^{(p)}=f(x^{(p)}),\quad p\in \mathbb {N}$

die Folge der Funktionswerte. Da f im Punkt x stetig ist gilt

$\lim _{p\to \infty }y^{(p)}=\lim _{p\to \infty }f(x^{(p)})=f(x)=y$.

Da nun $g$ im Punkt $y$ stetig ist, folgt

$\lim _{p\to \infty }h(x^{(p)})=\lim _{p\to \infty }g(f(x^{(p)}))=\lim _{p\to \infty }g(y^{(p)})=g(y)=g(f(x))=h(x)$.

Also ist $h\left(t\right)$ im Punkt $x$ stetig.

Definition 5

Sei die Funktion $f:D\to \mathbb {R} ^{m}$ auf dem Definitionsbereich $D\subset \mathbb {R} ^{n}$ gegeben. Dann heißt die Funktion $f$ stetig auf $D$, wenn $f$ in jedem Punkt $x\in D$ stetig ist.

Definition 6

Den Vektorraum der stetigen Funktionen $f:D\to \mathbb {R} ^{m}$ auf dem Definitionsbereich $D\subset \mathbb {R} ^{n}$ bezeichnen wir mit $C^{0}(D,\mathbb {R} ^{m})$. Hierbei haben wir für $f,g\in C^{0}(D,\mathbb {R} ^{m})$ und $\alpha \in \mathbb {R}$ die Verknüpfungen:

$(f+g)(x):=f(x)+g(x),\quad x\in D$ sowie $(\alpha f)(x):=\alpha f(x),\quad x\in D$.

Falls $m=1$ die Bilddimension darstellt, schreiben wir kurz $C^{0}\left(D\right)$. Auch wenn aus dem Zusammenhang der Bildraum hervorgeht, lassen wir diesen unerwähnt. Mit $C^{0}(D,\mathbb {C} )$ deuten wir im Fall $m=2$ an, dass wir im Bildbereich die komplexe Multiplikation verwenden.

Satz 6 (Stetigkeit der Umkehrfunktion)

Auf der kompakten Menge $D\subset \mathbb {R} ^{n}$ sei die stetige Funktion $f:D\to \mathbb {R} ^{m}$ vermöge $y=f(x),\ x\in D$ mit dem Wertebereich

$W=f(D)=\{y\in \mathbb {R} ^{m}:y=f(x)\ mit\ einem\ x\in D\}$

gegeben. Weiter sei $f:D\to \mathbb {R} ^{m}$ injektiv, d. h. für je zwei Punkte $x^{*},x^{**}\in D$ mit $x^{*}\neq x^{**}$ folgt $f(x^{*})\neq f(x^{**})$. Dann ist die Umkehrfunktion

$g:W\to \mathbb {R} ^{n}$

von $f$ erklärt durch

$g\left(y\right):=x$ für $y\in W$ und $x\in D$ mit $y=f\left(x\right)$

stetig auf $D$. Dabei erfüllt die Umkehrfunktion die Identitäten:

$g\left(f(x)\right)=x$ für alle $x\in D$ und $f\left(g(y)\right)=y$ für alle $y\in W$.

Beweis

Sei $y^{*}\in W$ und $\{y^{(p)}\}_{p\in \mathbb {N} }\subset W$ eine Folge mit $\lim _{p\to \infty }y^{(p)}=y^{*}$. Dann haben wir

(6) $\lim _{p\to \infty }g(y^{(p)})=g(y^{*})$

zu zeigen. Hierzu setzen wir $x^{(p)}:=g(y^{(p)}),\ p\in \mathbb {N}$ und $x^{*}:=g\left(y^{*}\right)$. Wäre die Aussage (6) falsch, so gäbe es von der Folge $\{x^{(p)}\}_{p\in \mathbb {N} }\subset D$ in der kompakten Menge $D$ eine Teilfolge $\{x^{(p_{l})}\}_{l\in \mathbb {N} }\subset D$ mit

$\lim _{l\to \infty }x^{(p_{l})}=x^{**}\in D\setminus \{x^{*}\}$.

Da die Funktion $f$ stetig ist, erhalten wir

$f(x^{**})=f(\lim _{l\to \infty }x^{(p_{l})})=\lim _{l\to \infty }f(x^{(p_{l})})=\lim _{l\to \infty }y^{(p_{l})}=\lim _{p\to \infty }y^{(p)}=y^{*}=f(x^{*})$.

Wegen der Injektivität von $f$ folgt mit $x^{*}=x^{**}$ ein Widerspruch – und (6) ist richtig.

q.e.d.

Definition 7

Sei die Funktion $f:D\to \mathbb {R} ^{m}$ auf dem Definitionsbereich $D\subset \mathbb {R} ^{n}$ gegeben. Dann heißt die Funktion $f$ gleichmäßig stetig auf $D$, wenn es zu jedem $\varepsilon >0$ ein $\delta =\delta \left(\varepsilon \right)>0$ mit der Eigenschaft

$|f(x)-f(y)|<\varepsilon$ für alle $x,y\in D$ mit $|x-y|<\varepsilon$

gibt.

Satz 7

Sei $K\subset \mathbb {R} ^{n}$ eine beschränkte und abgeschlossene – d. h. kompakte – Punktmenge und $f:K\to \mathbb {R} ^{m}$ eine stetige Funktion. Dann ist $f$ gleichmäßig stetig auf $K$.

Beweis

Sei $\varepsilon >0$ vorgegeben. Da die Funktion $f:K\to \mathbb {R} ^{m}$ in jedem Punkt $x\in K$ stetig ist, gibt es zu jedem $x\in K$ ein $\delta =\delta (\varepsilon ,x)>0$ derart, dass für alle $y\in K$ mit $|y-x|<\delta (\varepsilon ,x)$ die Ungleichung $|f(y)-f(x)|<\varepsilon$ gilt. Zu jedem $x\in K$ definieren wir nun die offene Teilmenge

$O_{x}:=\left\{y\in \mathbb {R} ^{n}:|y-x|<{\frac {1}{2}}\delta (\varepsilon ,x)\right\}$

Diese Menge $O_{x},x\in K$ bilden eine offene Überdeckung von $K$. Da $K$ nach Voraussetzung beschränkt und abgeschlossen ist, gibt es nach dem Überdeckungssatz von Heine und Borel endlich viele Punkte

$x^{(1)},\ldots ,x^{(N)}\in K$

mit $N\in \mathbb {N}$, so dass

$K\subset \bigcup _{j=1}^{N}O_{x^{(j)}}$

gilt. Wir setzen jetzt

$\delta (\varepsilon ):=\min \left\{{\frac {1}{2}}\delta (\varepsilon ,x^{(1)}),\ldots ,{\frac {1}{2}}\delta (\varepsilon ,x^{(N)})\right\}>0$.

Nun seien $x,y\in K$ beliebige Punkte mit $|x-y|<\delta (\varepsilon )$. Da die Mengen

$\{O_{x^{(j)}}\}_{j=1,\ldots ,N}$

ein Überdeckungssystem von $K$ bilden, finden wir ein $j\in \{1,\ldots ,N\}$ mit der Eigenschaft

$|x-x^{(j)}|<{\frac {1}{2}}\delta (\varepsilon ,x^{(j)})$.

Weiter gilt dann:

(7) $|y-x^{(j)}|\leq |y-x|+|x-x^{(j)}|$

$<\delta (\varepsilon )+\delta (\varepsilon ,x^{(j)})\leq {\frac {1}{2}}\delta (\varepsilon ,x^{(j)})+{\frac {1}{2}}\delta (\varepsilon ,x^{(j)})=\delta (\varepsilon ,x^{(j)})$.

Wegen der Stetigkeit folgt hieraus $|f(x)-f(x^{(j)})|<\varepsilon$ und $|f(y)-f(x^{(j)})|<\varepsilon$

$|f(x)-f(y)|\leq |f(x)-f(x^{(j)})|+|f(y)-f(x^{(j)})|<2\varepsilon$ für alle $x,y\in K$ mit $|x-y|<\delta (\varepsilon )$.

Also ist $f$ gleichmäßig stetig auf $K$.

q.e.d.

Satz 8 (Fundamentalsatz von Weierstrass über Maxima und Minima)

Auf der kompakten Menge $K\subset \mathbb {R} ^{n}$ sei die reellwertige Funktion $f:K\to \mathbb {R}$ stetig. Dann gibt es Punkte $x^{*}\in K$ und $x^{**}\in K$, so dass

$f(x^{*})\leq f(x)\leq f(x^{**})$ für alle $x\in K$

erfüllt ist.

Beweis

Wir zeigen nur die Existenz von ${\begin{matrix}x^{*}\end{matrix}}$. Durch die Spiegelung $f\mapsto (-f)$ folgt dann die Existenz von ${\begin{matrix}x^{**}\end{matrix}}$. Wir erklären

$\mu :=\inf _{x\in K}f(x)$

und finden eine Folge $\{x^{(p)}\}_{p\in \mathbb {N} }$ mit der Eigenschaft

$f(x^{(p)})\to \mu \ (p\to \infty )$.

Die Folge $\{x^{(p)}\}_{p\in \mathbb {N} }$ ist beschränkt, da die Menge ${\begin{matrix}K\end{matrix}}$ beschränkt ist. Nach dem Häufungsstellensatz von Weierstrass gibt es eine konvergente Teilfolge

$\{x^{(p_{l})}\}_{l\in \mathbb {N} }\subset \{x^{(p)}\}_{p\in \mathbb {N} }\subset K$

mit der Eigenschaft

$x^{(p_{l})}\to \xi \in K\ (l\to \infty )$,

denn die Menge ${\begin{matrix}K\end{matrix}}$ ist abgeschlossen. Wegen der Stetigkeit von ${\begin{matrix}f\end{matrix}}$ auf ${\begin{matrix}K\end{matrix}}$ gilt weiter

$f(\xi )=\lim _{l\to \infty }f(x^{(p_{l})})=\mu =\inf _{x\in K}f(x)$.

Mit ${\begin{matrix}x^{*}:=\xi \end{matrix}}$ haben wir einen Punkt gefunden, an dem ${\begin{matrix}f\end{matrix}}$ das Minimum annimmt.

q.e.d.

Satz 9 (Zwischenwertsatz von Bolzano und Weierstrass)

Sei das Intervall $I:=[a,b]\subset \mathbb {R}$ mit $-\infty <a<b<+\infty$ gegeben sowie eine stetige Funktion $f:I\to \mathbb {R}$ mit der Eigenschaft $f\left(a)<f(b\right)$. Dann gibt es zu jedem Wert $\eta \in (f(a),f(b))$ ein $\xi \in (a,b)$ mit $f\left(\xi \right)=\eta$.

Beweis

Nach Voraussetzung ist die Menge

$D:=\{x\in I:f(x)<\eta \}$

nicht leer. Wir erklären

$\xi :=\sup _{x\in D}x$

und sehen $a\leq \xi <b$ ein. Es gilt

$\xi \geq x$ für alle $x\in D$

und wir finden eine Folge $\{x_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }\subset D$ mit $\lim _{k\to \infty }x_{k}=\xi$. Somit gilt

$f(\xi )\lim _{k\to \infty }f(x_{k})\leq \eta$.

Wäre nun $f\left(\xi \right)<\eta$ richtig, so gäbe es wegen der Stetigkeit von ${\begin{matrix}f\end{matrix}}$ ein ${\begin{matrix}\varepsilon >0\end{matrix}}$, so dass

$f\left(x\right)<\eta$ für alle $x\in (\xi ,\xi +\varepsilon )$

gilt. Dieses steht im Widerspruch zur Wahl von $\xi =\sup _{x\in D}$ und es folgt $f\left(x\right)=\eta$.

q.e.d.

Definition 8

Eine reellwertige Funktion $f:D\to \mathbb {R}$ auf dem Definitionsbereich $D\subset \mathbb {R}$ heißt (schwach) monoton steigend, wenn für alle $x_{+},x_{-}\in D$ mit $x_{-}<x_{+}$ die Ungleichung $f\left(x_{-})<f(x_{+}\right)$ (bzw. $f(x_{-})\leq f(x_{+})$) erfüllt ist. Sie heißt (schwach) monoton fallend, wenn für alle $x_{+},x_{-}\in D$ mit $x_{-}<x_{+}$ die Ungleichung $f\left(x_{-})>f(x_{+}\right)$ (bzw. $f(x_{-})\geq f(x_{+})$) gilt.

Satz 10 (Monotone Umkehrfunktion)

Sei auf dem Intervall $[a,b]\subset \mathbb {R}$ die monoton steigende Funktion $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ erklärt und $A:=f\left(a),B:=f(b\right)$ gesetzt. Dann hat die Gleichung $f\left(x\right)=y$ für jedes $y\in [A,B]$ die eindeutig bestimmte Lösung $x=:g(y)\in [a,b]$. Die so definierte Funktion $g:[A,B]\to \mathbb {R}$ ist auf dem Intervall $\left[A,B\right]$ stetig und es gilt:

(9) $g\circ f(x)=g(f(x))=x$ für alle $x\in [a,b]$ und $f\circ g(y)=f(g(y))=y$ für alle $y\in [A,B]$.

Beweis

Nach dem Zwischenwertsatz hat die Gleichung

$f(x)=y,\quad x\in [a,b]$

für alle $y\in [A,B]$ mindestens eine Lösung. Wir zeigen nun die Eindeutigkeit der Lösung: Gäbe es nämlich zwei Lösungen $a\leq x_{-}<x_{+}\leq b$ mit $f\left(x_{-})=y=f(x_{+}\right)$, so entsteht ein Widerspruch zur Monotonie der Funktion $f$. Also gibt es zu jedem $y\in [A,B]$ genau ein $x\in [a,b]$ mit $f\left(x\right)=y$. Wir erhalten mittels $y\mapsto g(y)=x$ die Umkehrfunktion $g:[A,B]\to [a,b]$. Die Stetigkeit der Umkehrfunktion entnehmen wir sofort dem Satz 6.

q.e.d.

Gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen (§2)

Definition 1

Auf dem Definitionsbereich $D\subset \mathbb {R} ^{n}$ sei die Folge der Funktionen

$f_{k}:D\to \mathbb {R} ^{m},\quad k=1,2,\ldots$

gegeben; dabei sind die Dimensionen $n,m\in \mathbb {N}$ gewählt. Dann heißt diese Funktionenfolge (punktweise) konvergent, wenn für jedes $x\in D$ der Grenzwert $\lim _{k\to \infty }f_{k}(x)$ existiert. Wir nennen dann

$f(x):=\lim _{k\to \infty }f_{k}(x),\quad x\in D$

ihre Grenzfunktion.

Definition 2

Auf dem Definitionsbereich D $\subset \mathbb {R} ^{n}$ sei die Folge der stetigen Funktionen

$f_{k}:D\to \mathbb {R} ^{m}\in C^{0}(D,\mathbb {R} ^{m}),\quad k=1,2,\ldots$

gegeben; dabei sind die Dimensionen $n,m\in \mathbb {N}$ gewählt. Dann heißt diese Funktionenfolge gleichmäßig konvergent, wenn für jedes $\varepsilon >0$ ein Index $N=N(\varepsilon )\in \mathbb {N}$ mit der eigenschaft

(3) $|f_{k}(x)-f(x)|<\varepsilon$ für alle $x\in D$ und alle $k\geq N$

existiert.

Satz 1 (Konvergenzsatz von Weierstrass)

Auf dem Definitionsbereich $D\subset \mathbb {R} ^{n}$ konvergiere die Folge stetiger Funktionen

$f_{k}:D\to \mathbb {R} ^{m}\in C^{0}(D,\mathbb {R} ^{m}),k=1,2,\ldots$

gleichmäßig gegen die Grenzfunktion $f:D\to \mathbb {R} ^{m}$. Dann ist ${\begin{matrix}f\end{matrix}}$ stetig auf ${\begin{matrix}D\end{matrix}}$.

Beweis

Sei $\xi \in D$ beliebig gewählt. Zu vorgegebenem ${\begin{matrix}\varepsilon >0\end{matrix}}$ existiert ein Index $N=N(\varepsilon )\in \mathbb {N}$, so dass (3) erfüllt ist. Da die Funktion $f_{N}:D\to \mathbb {R} ^{m}$ im Punkt ${\begin{matrix}\xi \end{matrix}}$ stetig ist, gibt es ein $\delta =\delta \left(\xi ,\varepsilon ,N\right)>0$, so dass

(4) $|f_{N}\left(x)-f_{N}(\xi \right)|<\varepsilon$ für alle $x\in D$ mit ${\begin{matrix}|x-\xi |<\delta \end{matrix}}$

richtig ist. Somit folgt

(5) $|f(x)-f(\xi )|\leq |f(x)-f_{N}(x)|+|f_{N}(x)-f_{N}(\xi )|+|f_{N}(\xi )-f(\xi )|<3\varepsilon$ für alle $x\in D$ mit ${\begin{matrix}|x-\xi |<\delta \end{matrix}}$.

Also ist ${\begin{matrix}f\end{matrix}}$ stetig in ${\begin{matrix}\xi \end{matrix}}$.

q.e.d.

Satz 2 (Vollständigkeit des $C^{0}$-Raums)

Sei die Folge stetiger Funktionen

$f_{k}:D\to \mathbb {R} ^{m}\in C^{0}(D,\mathbb {R} ^{m}),\quad k=1,2,\ldots$

auf dem Definitionsbereich $D\subset \mathbb {R} ^{n}$ gegeben. Dann konvergiert die Funktionenfolge $\{f_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }$ gleichmäßig gegen die stetige Grenzfunktion $f:D\to \mathbb {R} ^{m}$ genau dann, wenn es zu jedem $\varepsilon >0$ einen Index $N=N(\varepsilon )\in \mathbb {N}$ gibt, so dass

(6) $|f_{k}(x)-f_{l}(x)|<\varepsilon$ für alle $x\in D$ und alle $k,l\geq N$

erfüllt ist.

Beweis

$''\Rightarrow ''$ Die Funktionenfolge $\{f_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }$ konvergiere gleichmäßig auf $D$ gegen die Grenzfunktion $f$. Dann gibt es zu jedem $\varepsilon >0$ einen Index $N=N(\varepsilon )\in \mathbb {N}$, so dass $|f_{k}(x)-f(x)|<{\frac {\varepsilon }{2}}$ für alle $x\in D$ und alle $k\geq N$ ausfällt. Damit folgt

(7) $|f_{k}(x)-f_{l}(x)|\leq |f_{k}(x)-f(x)|+|f(x)-f_{l}(x)|<\varepsilon$ für alle $x\in D$ und alle $k,l\geq N$.

$''\Leftarrow ''$ Zu vorgegebenem $\varepsilon >0$ existiert nun ein Index $N=N(\varepsilon )\in \mathbb {N}$ mit der Eigenschaft (6). Damit ist die Punktfolge eine Cauchyfolge im $\mathbb {R} ^{m}$. Wegen der Vollständigkeit dieses Raumes existiert der Grenzwert

$f(x):=\lim _{k\to \infty }f_{k}(x)\in \mathbb {R} ^{m}$

für alle $x\in D$. In der Ungleichung (6) vollziehen wir den Grenzübergang $l\to \infty$ und wir erhalten für jedes $\varepsilon >0$ ein $N=N(\varepsilon )\in \mathbb {N}$ mit folgender Eigenschaft:

$|f_{k}(x)-f(x)|<\varepsilon$ für alle $x\in D$ und alle $k\geq N$.

Also konvergiert die Funktionenfolge $\{f_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }$ gleichmäßig auf $D$ gegen $f$.

q.e.d.

Definition 3

Auf dem Raum $C^{0}(D,\mathbb {R} ^{m})$ mit $D\subset \mathbb {R} ^{n}$ erklären wir die Supremumsnorm oder auch $C^{0}$-Norm wie folgt:

(8) $\|f\|_{0}=\|f\|_{C^{0}(D,\mathbb {R} ^{m})}:=\sup _{x\in D}|f(x)|\quad f\in C^{0}(D,\mathbb {R} ^{m})$.

Definition 4

Auf dem Definitionsbereich $D\subset \mathbb {R} ^{n}$ sei die Folge stetiger Funktionen

$f_{k}:D\to \mathbb {C} \in C^{0}(D,\mathbb {C} ),\quad k=0,1,2,\ldots$

gegeben; dabei ist die Dimension $n\in \mathbb {N}$ gewählt. Dann heißt die Funktionenreihe

$\sum _{k=0}^{\infty }f_{k}:D\to \mathbb {C} :x\mapsto \sum _{k=0}^{\infty }f_{k}(x)$

gleichmäßig konvergent auf $D$, wenn die Folge der Partialsummen

$s_{m}(x):=\sum _{k=0}^{m}f_{k}(x),\quad x\in D\quad m=0,1,2,\ldots$

gleichmäßig auf $D$ konvergiert.

Satz 3 (Weierstraßscher Majorantentest bzw. M-Test)

Auf dem Definitionsbereich $D\subset \mathbb {R} ^{n}$ sei die Folge stetiger Funktionen

$f_{k}:D\to \mathbb {C} \in C^{0}(D,\mathbb {C} ),k=0,1,2,\ldots$

gegeben, welche der Ungleichung

$|f_{k}(x)|\leq M_{k},x\in D$

für alle $k\in \mathbb {N} _{0}$ genügen. Dabei bilden die Zahlen

$M_{k}\in [0,+\infty ),k=0,1,2,\ldots$

gemäß

$\sum _{k=0}^{\infty }M_{k}<\infty$

eine konvergente Reihe. Dann konvergiert die Funktionenreihe

$\sum _{k=0}^{\infty }f_{k}:D\to \mathbb {C}$

gleichmäßig auf $D$.

Beweis

Zu vorgegebenem $\varepsilon >0$ gibt es einen Index $N=N(\varepsilon )\in \mathbb {N}$ dass für alle $p,q\in \mathbb {N}$ mit $q>p\geq N$ die Ungleichung

$\sum _{k=p+1}^{q}M_{k}\leq \varepsilon$

gilt. Damit ist

(10) $|s_{q}(x)-s_{p}(x)|=|\sum _{k=p+1}^{q}f_{k}(x)|\leq \sum _{k=p+1}^{q}M_{k}\leq \varepsilon$ für alle $x\in D$ und alle $q>p\geq N$

erfüllt, sodass die Folge der Partialsummen $\{s_{q}\}_{q\in \mathbb {N} _{0}}$ gleichmäßig konvergent ist.

q.e.d.

Satz 4 (Stetigkeit von Potenzreihen)

Die Potenzreihe

$P(z):=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$

konvergiere für alle $z\in \mathbb {C}$ mit $\left|z\right|<R$ bei festem Radius $R\in (0,+\infty ]$. Dann konvergiert für jeden Radius $0<R_{0}<R$ die Potenzreihe

$P(z),\quad z\in \mathbb {C}$ mit $\left|z\right|\leq R_{0}$

gleichmäßig. Somit stellt

$P(z),\quad z\in \mathbb {C}$ mit $\left|z\right|<R$

eine stetige Funktion dar.

Beweis

Für alle Punkte $z\in \mathbb {C}$ mit $\left|z\right|\leq R_{0}$ gilt

$|a_{n}z^{n}|\leq |a_{n}|R_{0}^{n},\quad n\in \mathbb {N} _{0}$.

Der Satz 12 aus §6 in Kapitel I liefert die konvergenz der Reihe

$\sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|R_{0}^{n}<\infty$.

Der Weierstraßsche Majorantentest impliziert die gleichmäßige Konvergenz der Reihe $P\left(z\right)$ in der abgeschlossenen Kreisscheibe $\{z\in \mathbb {C} :|z|\leq R_{0}\}$ und folglich ist $P\left(z\right)$ dort stetig. Da der Radius $0<R_{0}<R$ beliebig gewählt wurde, ist $P\left(z\right)$ sogar stetig in der offenen Kreisscheibe $\{z\in \mathbb {C} :|z|<R\}$.

q.e.d.

Satz 5 (Leibnizsche Potenzreihe)

Sei $\{a_{k}\}_{k\in \mathbb {N} _{0}}\subset \mathbb {R}$ eine absteigende reelle Zahlenfolge mit

$a_{0}\geq a_{1}\geq a_{2}\geq \ldots \geq 0$

und dem Grenzwert $\lim _{k\to \infty }a_{k}=0$. Dann ist die durch

$P(z):=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k},\quad z\in \mathbb {C} ,\quad |z|\leq 1,\quad z\neq 1$

definierte Funktion stetig auf ihrem Definitionsbereich.

Beweis

Nach Satz 4 stellt $P\left(z\right)$ für $\left|z\right|<1$ eine stetige Funktion dar. Zu zeigen bleibt die Stetigkeit für $\left|z\right|=1$ und $z\neq 1$. Hierzu betrachten wir die Folge stetiger Funktionen.

(11) $f_{n}(z):=\sum _{k=0}^{n}a_{k}z^{k},\quad z\in \mathbb {C} ,\quad |z|\leq 1,\quad |z-1|\geq \delta ,\quad n=0,1,2,\ldots$

mit einem $\delta >0$. Wir zeigen mittels partieller Summation, dass $\{f_{n}(z)\}_{n\in \mathbb {N} _{0}}$ dort gleichmäßig gegen $P\left(z\right)$ konvergiert. Wenn wir über $N$ später verfügen, so ergibt sich für $n\geq m\geq N$ die Ungleichung

(12) $|f_{n}(z)-f_{m}(z)|\leq a_{N+1}\cdot {\frac {2}{|1-z|}}$,

wie man den Abschätzungen

(13) $|f_{n}(z)-f_{m}(z)|=\left|\sum _{k=m+1}^{n}a_{k}z^{k}\right|\leq a_{N+1}\cdot \sup _{q>p\geq N+1}\left|\sum _{k=p}^{q}z^{k}\right|$

und

(14) $\left|\sum _{k=p}^{q}z^{k}\right|=\left|z^{p}\sum _{k=p}^{q}z^{k-p}\right|{\stackrel {|z|\leq 1}{\leq }}\left|\sum _{k=p}^{q}z^{k-p}\right|{\stackrel {p=k-l}{\leq }}\left|\sum _{l=0}^{q-p}z^{l}\right|$

$=\left|{\frac {1-z^{1+q-p}}{1-z}}\right|{\stackrel {|z-1|\neq 0}{\leq }}{\frac {1+|z|^{1+q-p}}{|1-z|}}\leq {\frac {2}{|1-z|}}$

entnimmt. Also erhalten wir

(15) $|f_{n}(z)-f_{m}(z)|\leq a_{N+1}\cdot {\frac {2}{\delta }}$ für alle $z\in \mathbb {C}$ mit $|z|\leq 1$ und $|z-1|\geq \delta$,

falls $n>m\geq N(\varepsilon ,\delta )$ erfüllt ist – mit einem hinreichend großen $N(\varepsilon ,\delta )\in \mathbb {N}$. Somit stellt

$P(z)=\lim _{n\to \infty }f_{n}(z),\quad z\in \mathbb {C} ,\quad |z|\leq 1,\quad |z-1|\geq \delta$

für alle $\delta >0$ eine stetige Funktion dar.

q.e.d.

Satz 6 (Abelscher Stetigkeitssatz)

Sei $\{a_{k}\}_{k\in \mathbb {N} _{0}}\subset \mathbb {C}$ eine komplexe Zahlenfolge, so dass die Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ konvergiert. Dann folgt die Stetigkeit der Funktion $f:[0,1]\to \mathbb {C}$ definiert durch

(16) $f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k},\quad 0\leq x\leq 1$.

Beweis

Da die Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ konvergiert, ist auch die Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}$ für alle $x\in [0,1]$ konvergent. Es bleibt nur die Stetigkeit von $f$ im Punkt $x=1$ zu zeigen: Hierzu weisen wir die gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge

(17) $f_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k},\quad 0\leq x\leq 1,\quad n=0,1,2,\ldots$

nach. Zu vorgegebenem $\varepsilon >0$ gibt es ein $N=N(\varepsilon )\in \mathbb {N}$, so dass

${\Bigl |}\sum _{k=m+1}^{n}a_{k}{\Bigr |}\leq \varepsilon$ für alle $n>m\geq N$

richtig ist. Somit folgt für alle $n>m\geq N$ mittels partieller Summation

(18) $|f_{n}(x)-f_{m}(x)|={\Bigl |}\sum _{k=m+1}^{n}a_{k}{\Bigr |}\leq x^{m+1}\cdot \varepsilon \leq \varepsilon ,\quad 0\leq x\leq 1$.

Da die Funktionen $f_{n}$ auf $[0,1]$ stetig sind für $n=0,1,2,\ldots$ und sie dort konvergieren liefert Satz 1 die Stetigkeit der Grenzfunktion

$f(x)=\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k},\quad 0\leq x\leq 1$.

q.e.d.

Satz 7 (Cauchyscher Produktsatz)

Seien $\{a_{k}\}_{k\in \mathbb {N} _{0}}\subset \mathbb {C}$ und $\{b_{k}\}_{k\in \mathbb {N} _{0}}\subset \mathbb {C}$ Folgen komplexer Zahlen, so dass die Reihen

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k},\quad \sum _{k=0}^{\infty }b_{k},\quad \sum _{k=0}^{\infty }c_{k}$

mit den Koeffizienten

$c_{k}:=\sum _{p=0}^{k}a_{p}b_{k-p},\quad k=0,1,2,\ldots$

konvergieren. Dann gilt die Identität

$\left(\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\right)\cdot \left(\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}$.

Beweis

Wir definieren die Funktionen

(19) $f(x):=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k},\quad g(x):=\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}x^{k},\quad h(x):=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}x^{k},\quad 0\leq x\leq 1$,

welche nach dem Abelschen Stetigkeitssatz auf dem intervall $\left[0,1\right]$ stetig sind. Für alle Punkte $x\in [0,1)$ gilt nun

(20) $f(x)\cdot g(x)=\left(\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}\right)\cdot \left(\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}x^{k}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}x^{k}=h(x)$,

da die Reihen dort absolut konvergieren. Beim Grenzübergang $x\to 1$ erhalten wir

(21) $\left(\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\right)\cdot \left(\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}\right)=f(1)\cdot g(1)=h(1)=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}$.

q.e.d.

Reelle und komplexe Differenzierbarkeit (§3)

Definition 1

Sei das offene Intervall $I:=\left(a,b\right)$ mit den Grenzen $-\infty \leq a<b\leq +\infty$ sowie die Dimension $m\in \mathbb {N}$ gegeben. Dann nennen wir die Funktion

$f:I\to \mathbb {R} ^{m}$

im Punkt $x_{0}\in I$ (reell) differenzierbar, falls der Grenzwert

(1) $\lim _{x\to x_{0},x\neq x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}=:f'(x_{0})\in \mathbb {R} ^{m}$

existiert. Wir nennen $f'(x_{0})\in \mathbb {R} ^{m}$ die Ableitung von $f$ im Punkt $x_{0}$.

Bemerkung

Die Existenz des obigen Grenzwerts (1) bedeutet, dass für jede Folge $\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subset I\setminus \{x_{0}\}$ mit $\lim _{n\to \infty }x_{n}=x_{0}$ folgendes gilt:

(2) $\lim _{n\to \infty }{\frac {f(x_{n})-f(x_{0})}{x_{n}-x_{0}}}=f'(x)\in \mathbb {R} ^{m}$.

Satz 1

Die Funktion $f$ aus Definition 1 ist genau dann im Punkt $x_{0}\in I$ differenzierbar, wenn es eine stetige Funktion

$\phi (.)=\phi (.,x_{0}):I\to \mathbb {R} ^{m}$ mit der Eigenschaft $\phi (x_{0})=0$

so gibt, dass die linear approximative Darstellung

$f(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})\cdot (x-x_{0})+(x-x_{0})\cdot \phi (x),\quad x\in I$

erfüllt ist.

Beweis

$''\Rightarrow ''$ Sei $f$ an der Stelle $x_{0}$ differenzierbar. Dann erklären wir die Hilfsfunktion

(4) $\phi (x)=\phi (x,x_{0}):={\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}-f'(x_{0})$ für $x\in I\setminus \{x_{0}\},\quad :=0$ für $x=x_{0}$.

Die Differenzierbarkeit liefert

(5) $\lim _{x\to x_{0},x\neq x_{0}}\phi (x,x_{0})=\left(\lim _{x\to x_{0},x\neq x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}\right)-f'(x_{0})=0$

Stellen wir (4) geeignet um, so finden wir die gesuchte Darstellung (3).

$''\Leftarrow ''$ Wir gehen nun von der Darstellung (3) aus, subtrahieren $f(x_{0})$ und dividieren durch $x-x_{0}$:

(6) ${\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}=f'(x_{0})+\phi (x),\quad x\in I\setminus \{x_{0}\}$.

Hieraus ermitteln wir

(7) $\lim _{x\to x_{0},x\neq x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}=f'(x_{0})$,

womit die Differenzierbarkeit von $f$ im Punkt $x_{0}$ folgt.

q.e.d.

Satz 2

Sei die Funktion $f$ aus Definition 1 im Punkt $x_{0}\in I$ differenzierbar. Dann ist sie dort auch stetig.

Definition 2

Sei die Funktion $f$ aus Definition 1 gegeben. Falls diese in allen Punkten $x_{0}\in I$ differenzierbar ist, nennen wir $f$ differenzierbar in $I$. Wir erhalten dann die abgeleitete Funktion

$f':I\to \mathbb {R} ^{m}$ vermöge $x\in I,x\mapsto f'(x)\in \mathbb {R} ^{m}$

oder kurz die Ableitung von $f$ auf $I$.

Satz 3 (Linearität der Differentiation)

Seien im offenen Intervall $I:=(a,b)$ mit den Grenzen $-\infty \leq a<b\leq +\infty$ die Funktionen

$f,g:I\to \mathbb {R} ^{m}$

im Punkt $x_{0}\in I$ differenzierbar und die Skalare $\alpha ,\beta \in \mathbb {R}$ beliebig gewählt. Dann ist auch die Funktion

$h(x):=\alpha \cdot f(x)+\beta \cdot g(x),\quad x\in I$

im Punkt $x_{0}$ differenzierbar und es gilt

(9) $h'(x_{0}):=\alpha \cdot f'(x_{0})+\beta \cdot g'(x_{0})$.

Beweis

Für alle $x\in I\setminus \{x_{0}\}$ ermitteln wir die Identität

${\frac {h(x)-h(x_{0})}{x-x_{0}}}=\alpha \cdot {\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}+\beta \cdot {\frac {g(x)-g(x_{0})}{x-x_{0}}}$.

Hieraus folgt durch Grenzübergang $x\to x_{0}$ die Gleichung (9).

Definition 3

Falls die differenzierbare Funktion $f$ aus Definition 2 eine stetige Ableitung

$f':I\to \mathbb {R} ^{m}\in C^{0}(I,\mathbb {R} ^{m})$

besitzt, so sprechen wir von einer in $I$ stetig differenzierbaren Funktion. Der Vektorraum der 1-mal stetig differenzierbaren Funktionen auf dem offenen Intervall $I$ wird gegeben durch

(11) $C^{1}(I,\mathbb {R} ^{m}):=\{f:I\to \mathbb {R} ^{m}\in C^{0}(I,\mathbb {R} ^{m}):$

$es\ existiert\ f'=f'(x)\in C^{0}(I,\mathbb {R} ^{m})\}$

mit den Verknüpfungen aus Definition 6 in §1. Falls die intervallgrenzen $-\infty <a<b<+\infty$ erfüllen, so erklären wir den Vektorraum der 1-mal stetig differenzierbaren Funktionen auf dem kompakten Intervall ${\overline {I}}$ wie folgt:

(12) $C^{1}({\overline {I}},\mathbb {R} ^{m}):=\{f':I\to \mathbb {R} ^{m}\in C^{1}(I,\mathbb {R} ^{m}):$

$f=f(x)\ und\ f'=f'(x)\ sind\ stetig\ auf\ {\overline {I}}\ fortsetzbar\}$.

Satz 4 (Produktregel)

Seien im offenen Intervall $I:=(a,b)$ mit den Grenzen $-\infty \leq a<b\leq +\infty$ die Funktionen

$f,g:I\to \mathbb {C}$

im Punkt $x_{0}\in I$ differenzierbar. Dann ist auch die Funktion

$h(x):=f(x)\cdot g(x),\quad x\in I$

im Punkt $x_{0}$ differenzierbar und es gilt

(13) $h'(x_{0}):=f'(x_{0})\cdot g(x_{0})+f(x_{0})\cdot g'(x_{0})$.

Beweis

Für alle $x\in I\setminus \{x_{0}\}$ berechnen wir

(14) ${\frac {h(x)-h(x_{0})}{x-x_{0}}}={\frac {f(x)\cdot g(x)-f(x_{0})\cdot g(x_{0})}{x-x_{0}}}$

$={\frac {f(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g(x_{0})+f(x)\cdot g(x_{0})-f(x_{0})\cdot g(x_{0})}{x-x_{0}}}$

$=f(x)\cdot {\frac {g(x)-g(x_{0})}{x-x_{0}}}+{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}\cdot g(x_{0})$.

Der Grenzübergang $x\to x_{0}$ liefert schließlich die Identität (13).

q.e.d.

Satz 5 (Quotientenregel)

Seien im offenen Intervall $I:=(a,b)$ mit den Grenzen $-\infty \leq a<b\leq +\infty$ die Funktionen

$f,g:I\to \mathbb {C}$

im Punkt $x_{0}\in I$ differenzierbar. Weiter sei die Bedingung

$g(x)\neq 0$ für alle $x\in I$

erfüllt. Dann ist auch die Funktion

$h(x):={\frac {f(x)}{g(x)}},\quad x\in I$

im Punkt $x_{0}$ differenzierbar und es gilt

(15) $h'(x_{0}):={\frac {f'(x_{0})\cdot g(x_{0})-f(x_{0})\cdot g'(x_{0})}{g^{2}(x_{0})}}$.

Beweis

Für alle $x\in I\setminus \{x_{0}\}$ ermitteln wir

(16) ${\frac {h(x)-h(x_{0})}{x-x_{0}}}=\left({\frac {f(x)}{g(x)}}-{\frac {f(x_{0})}{g(x_{0})}}\right)\cdot {\frac {1}{x-x_{0}}}$

$={\frac {f(x)\cdot g(x_{0})-f(x_{0})\cdot g(x_{0})+f(x_{0})\cdot g(x_{0})-f(x_{0})\cdot g(x)}{g(x)\cdot g(x_{0})\cdot (x-x_{0})}}$

${\frac {1}{g(x)\cdot g(x_{0})}}\left(g(x_{0})\cdot {\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}-f(x_{0})\cdot {\frac {g(x)-g(x_{0})}{x-x_{0}}}\right)$.

Wiederum liefert der Grenzübergang $x\to x_{0}$ die behauptete Identität (15).

Satz 6 (Kettenregel)

Sei im offenen Intervall $I:=(a,b)$ mit den Grenzen $-\infty \leq a<b\leq +\infty$ die Funktion

$f=f(x):I\to \mathbb {R}$

im Punkt $x_{0}\in I$ differenzierbar und der Bildpunkt $y_{0}:=f(x_{0})$ erklärt. Auf dem Intervall $J:=(A,B)$ mit den Grenzen $-\infty \leq A<B\leq +\infty$ sei die Funktion

$g=g(y):J\to \mathbb {R} ^{m}$

im Punkt $y_{0}\in J$ differenzierbar und die Inklusion $f(I)\subset J$ sei erfüllt. Dann ist auch die Funktion

$h(x):=g\circ f(x)=g{\Bigl (}f(x){\Bigr )},\quad x\in I$

im Punkt $x_{0}$ differenzierbar und es gilt die Kettenregel

(17) $h'(x_{0})=g'{\Bigl (}f(x_{0}){\Bigr )}\cdot f'(x_{0})=g'(y_{0})\cdot f'(x_{0})$.

Beweis

Wir betrachten beliebige Folgen $\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subset I\setminus \{x_{0}\}$ mit dem Grenzwert $\lim _{n\to \infty }x_{n}=x_{0}$. Wir definieren

$y_{n}:=f(x_{n}),\quad n=1,2,\ldots$ sowie $y_{0}:=f(x_{0})$

und setzen zunächst die Bedingung

(18) $y_{n}=f(x_{n})\neq f(x_{0})=y_{0}$ für alle $n\geq N$

mit einem hinreichend großen Index $N\in \mathbb {N}$ voraus. Dann erweitern wir die Differenzenquotienten

(19) ${\frac {h(x_{n})-h(x_{0})}{x_{n}-x_{0}}}={\frac {g{\Bigl (}f(x_{n}){\Bigr )}-g{\Bigl (}f(x_{0}){\Bigr )}}{x_{n}-x_{0}}}={\frac {g(y_{n})-g(y_{0})}{x_{n}-x_{0}}}$

$={\frac {g(y_{n})-g(y_{0})}{y_{n}-y_{0}}}\cdot {\frac {f(x_{n})-f(x_{0})}{x_{n}-x_{0}}}$

Hieraus folgt durch Grenzübergang $n\to \infty$ die Gleichung (17). Insofern die Bedingung (18) verletzt ist, so gibt es eine Teilfolge

$\{x'_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subset \{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ mit $f(x'_{n})=f(x_{0})$ für alle $n\in \mathbb {N}$.

Wir erhalten dann für die Differenzenquotienten

(20) ${\frac {h(x'_{n})-h(x_{0})}{x'_{n}-x_{0}}}={\frac {g{\Bigl (}f(x'_{n}){\Bigr )}-g{\Bigl (}f(x_{0}){\Bigr )}}{x'_{n}-x_{0}}}=0$.

Beim Grenzübergang $n\to \infty$ erhalten wir wiederum

$h'(x_{0})=0=g'(y_{0})\cdot f'(x_{0})$.

q.e.d.

Satz 7 (Differentiation der Umkehrfunktion)

Seien die offenen Intervalle $I:=(a,b)$ mit den Grenzen $-\infty <a<b<+\infty$ und $J:=(A,B)$ mit $-\infty <A<B<+\infty$ gegeben. Die stetige, streng monotone, surjektive Funktion

$f:{\overline {I}}\to {\overline {J}}$

besitze die Umkehrfunktion

$g=g(y):{\overline {J}}\to {\overline {I}}$.

Weiter sei $f$ in $I$ differenzierbar und erfülle $f'(x)\neq 0$ für alle $x\in I$. Dann ist die Funktion

$g(y),\quad y\in {\overline {I}}$

im offenen Intervall $J$ differenzierbar und es gilt

(21) $g'(y)={\frac {1}{f'{\Bigl (}g(y){\Bigr )}}},\quad y\in J$.

Beweis

Wir wählen einen Punkt $y_{0}\in J$ beliebig sowie eine Folge

$\{y_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subset J\setminus \{y_{0}\}$ mit $\lim _{n\to \infty }y_{n}=y_{0}$.

Wegen der Stetigkeit der Umkehrfunktion ist für die Folge

$x_{n}:=g(y_{n}),\quad n=1,2,3,\ldots$

die Relation $\lim _{n\to \infty }x_{n}=g(y_{0})=:x_{0}$ erfüllt. Wir erhalten dann

(22) ${\frac {g(y_{n})-g(y_{0})}{y_{n}-y_{0}}}={\frac {x_{n}-x_{0}}{f(x_{n})-f(x_{0})}}=\left\{{\frac {f(x_{n})-f(x_{0})}{x_{n}-x_{0}}}\right\}^{-1}$

für alle $n\in \mathbb {N}$. Wegen $f'(x_{0})\neq 0$ erhalten wir

(23) $\lim _{n\to \infty }{\frac {g(y_{n})-g(y_{0})}{y_{n}-y_{0}}}={\frac {1}{f'{\Bigl (}g(y_{0}){\Bigr )}}}$.

q.e.d.

Satz 8 (Rollescher Satz)

Sei die Funktion $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ auf dem abgeschlossenen Intervall $\left[a,b\right]$ mit den Grenzen $-\infty <a<b<+\infty$ stetig und auf dem offenen Intervall $\left(a,b\right)$ differenzierbar. Weiter sei $f\left(a)=0=f(b\right)$ erfüllt. Dann gibt es eine Stelle $\xi \in (a,b)$ mit $f'\left(\xi \right)=0$.

Beweis

Falls $f(x)=0,x\in [a,b]$ erfüllt ist, so folgt $f'(x)=0,x\in (a,b)$ und die Aussage des Satzes ist richtig.

Andernfalls gibt es ein $x_{0}\in (a,b)$ mit $f(x_{0})\neq 0$ und wir können ohne Einschränkung $f\left(x_{0}\right)>0$ annehmen. Nach Satz 8 aus §1 gibt es eine Maximalstelle $\xi \in (a,b)$ mit der Eigenschaft

(24) $f(x)\leq f(\xi )$ für alle $x\in [a,b]$.

Wir betrachten jetzt den Differenzenquotienten mit den Eigenschaften

(25) ${\frac {f(x)-f(\xi )}{x-\xi }}\geq 0$ für alle $a\leq x<\xi$ und ${\frac {f(x)-f(\xi )}{x-\xi }}\leq 0$ für alle $b\geq x>\xi$.

Da $f$ im Punkt $\xi$ differenzierbar ist, liefern der links- und rechtsseitige Grenzwert in (23) die Beziehung

(26) $f'(\xi )\geq 0$ bzw. $f'(\xi )\leq 0$.

Somit folgt $f'\left(\xi \right)=0$.

q.e.d.

Satz 9 (Allgemeiner Mittelwertsatz der Differentialrechnung)

Seien die Funktionen $f,g:[a,b]\to \mathbb {R}$ auf dem abgeschlossenen Intervall $\left[a,b\right]$ mit den Grenzen $-\infty <a<b<+\infty$ stetig und auf dem offenen Intervall $\left(a,b\right)$ differenzierbar. Weiter gelte

$g'(x)\neq 0$ für alle $x\in (a,b)$

und $g(a)\neq g(b)$. Dann gibt es eine Stelle $\xi \in (a,b)$ mit

${\frac {f'(\xi )}{g'(\xi )}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}$.

Beweis

Wir betrachten die Hilfsfunktion

(27) $h(x):=f(x)-f(a)-{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}\cdot {\bigl (}g(x)-g(a){\bigr )},\quad x\in [a,b]$.

Wir ermitteln, dass $h$ in $\left[a,b\right]$ stetig und in $\left(a,b\right)$ differenzierbar ist sowie

$h\left(a)=0=h(b\right)$.

Nach dem Rolleschen Satz gibt es einen Punkt $\xi \in (a,b)$ mit der Eigenschaft

(28) $0=h'(\xi )=f'(\xi )-{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}\cdot g'(\xi )$

bzw.

(29) ${\frac {f'(\xi )}{g'(\xi )}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}$.

q.e.d.

Satz 10 (Mittelwertsatz der Differentialrechnung)

Sei die Funktion $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ auf dem abgeschlossenen Intervall $\left[a,b\right]$ mit den Grenzen $-\infty <a<b<+\infty$ stetig und auf dem offenen Intervall $\left(a,b\right)$ differenzierbar. Dann gibt es eine Stelle $\xi \in (a,b)$ mit der Eigenschaft

$f'(\xi )={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$.

Bemerkungen

1. Man findet also im Innern des Intervalls einen Punkt, wo das Steigungsmaß der Tangente an die Funktion $f$ mit dem der Sekante durch die Punkte $(a,f(a))$ und $(b,f(b))$ übereinstimmt.
2. Über den Mittelwertsatz sieht man leicht ein, dass eine Funktion schwach monoton steigend bzw. fallend ist, falls ihre Ableitung nicht negativ bzw. nicht positiv in ihrem Definitionsintervall ist.

Definition 4

Auf der offenen Menge $\Omega \subset \mathbb {C}$ sei die Funktion $f=f(z):\Omega \to \mathbb {C}$ erklärt und der Punkt $z_{0}\in \Omega$ sei gewählt. Dann heißt $f$ im Punkt $z_{0}$ komplex differenzierbar, wenn der Grenzwert

$\lim _{z\to z_{0},z\neq z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}=:f'(z_{0})$

existiert. Wir nennen $f'\left(z_{0}\right)$ die komplexe Ableitung der Funktion $f$ an der Stelle $z_{0}$. Falls $f'\left(z\right)$ für alle $z\in \Omega$ existiert und die Funktion $f'=f'(z):\Omega \to \mathbb {C}$ stetig ist, nennen wir die Funktion $f$ holomorph in $\Omega$.

Bemerkungen

Mit den konvergenten Potenzreihen werden wir in Satz 15 wichtige Beispiele holomorpher Funktionen kennen lernen. Insbesondere stellen also die Polynome holomorphe Funktionen dar. Wir geben nun mit der Funktion

$f(z):={\overline {z}},\quad z\in \mathbb {C}$

eine nicht holomorphe Funktion an. Für einen beliebigen Punkt $z\in \mathbb {C}$ betrachten wir die Grenzwerte

$\lim _{h\to 0,h>0}{\frac {f(z+ih)-f(z)}{(z+ih)-z}}=\lim _{h\to 0,h>0}{\frac {{\overline {(z+ih)}}-{\overline {z}}}{ih}}=\lim _{h\to 0,h>0}{\frac {-ih}{ih}}=-1$

sowie

$\lim _{h\to 0,h>0}{\frac {f(z+h)-f(z)}{(z+h)-z}}=\lim _{h\to 0,h>0}{\frac {{\overline {(z+h)}}-{\overline {z}}}{h}}=\lim _{h\to 0,h>0}{\frac {h}{h}}=+1$

Somit ist $f$ für kein $z\in \mathbb {C}$ komplex differenzierbar.

Wir notieren nun die Differentiationsregeln für holomorphe Funktionen, die wir wie im Reellen beweisen können; dieses überlassen wir dem Leser zur Übung.

Satz 11 (Linearitäts-, Produkt- und Quotientenregel für holomorphe Funktionen)

Auf der offenen Menge $\Omega \subset \mathbb {C}$ seien die holomorphen Funktionen $f,g:\Omega \to \mathbb {C}$ sowie die komplexen Konstanten $\alpha ,\beta \in \mathbb {C}$ gegeben. Dann sind auch die Funktionen

$h_{1}(z):=\alpha \cdot f(z)+\beta \cdot g(z)$ und $h_{2}(z):=f(z)\cdot g(z),\quad z\in \mathbb {C}$

holomorph und es gilt die Linearitätsregel

$h_{1}'(z):=\alpha \cdot f'(z)+\beta \cdot g'(z)$

bzw. die Produktregel

$h_{2}'(z):=f'(z)\cdot g(z)+f(z)\cdot g'(z),\quad z\in \mathbb {C}$

Falls zusätzlich $g(z)\neq 0$ für alle $z\in \Omega$ gilt, so erfüllt die holomorphe Funktion

$h_{3}(z):={\frac {f(z)}{g(z)}},\quad z\in \Omega$

die Quotientenregel

$h_{3}'(z):={\frac {f'(z)\cdot g(z)-f(z)\cdot g'(z)}{g^{2}(z)}},\quad z\in \Omega$.

Satz 12 (Kettenregel für holomorphe Funktionen)

Seien $\Omega \subset \mathbb {C}$ und $\Theta \subset \mathbb {C}$ zwei offene Mengen, auf denen die holomorphen Funktionen

$f=f(z):\Omega \to \Theta$ und $g=g(w):\Theta \to \mathbb {C}$

erklärt sind. Dann ist auch die Funktion

$h(z):=g\circ f(z)=g{\Bigl (}f(z){\Bigr )},\quad z\in \Omega$

holomorph und es gilt die Kettenregel

$h'(z)=g'{\Bigl (}f(z){\Bigr )}\cdot f'(z),\quad z\in \Omega$.

Satz 13 (Komplexe Kettenregel)

Auf der offenen Menge $\Theta \subset \mathbb {C}$ sei die Funktion $g=g(w):\Theta \to \mathbb {C}$ holomorph – mit der komplexen Ableitung $g'(w),w\in \Theta$. Weiter sei im offenen Intervall $I:=(a,b)$ mit den Grenzen $-\infty \leq a<b\leq +\infty$ die Funktion $f=f(x):I\to \Theta$ reell differenzierbar mit der stetigen Ableitung $f'(x)\in \mathbb {C} ,x\in I$. Dann ist auch die komponierte Funktion

$h(x):=g\circ f(x)=g{\Bigl (}f(x){\Bigr )},\quad x\in I$

im Intervall $I$ stetig differenzierbar und es gilt die komplexe Kettenregel

(30) $h'(x)=g'{\Bigl (}f(x){\Bigr )}\cdot f'(x),\quad x\in I$.

Beweis

Verwende die Argumente aus dem Beweis zu Satz 6.

Satz 14 (Holomorphe Umkehrfunktion)

Seien $\Omega \subset \mathbb {C}$ und $\Theta \subset \mathbb {C}$ zwei offene Mengen, auf denen die holomorphe und bijektive Funktion $f=f(z):\Omega \to \Theta$ mit der Eigenschaft $f'(z)\neq 0$ für alle $z\in \Omega$ erklärt ist. Dann ist auch ihre Umkehrfunktion $g=g(w):\Theta \to \Omega$ holomorph und es gilt

(31) $g'(w)={\frac {1}{f'{\Bigl (}g(w){\Bigr )}}},\quad w\in \Theta$.

Satz 15 (Differentiation von Potenzreihen)

Die Potenzreihe

$f(z):=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n},\quad z\in K_{R}$

konvergiere in der Kreisscheibe $K_{R}:=\{z\in \mathbb {C} :|z|<R\}$ mit dem festen Konvergenzradius $0<R\leq +\infty$. Dann ist die Funktion $f:K_{R}\to \mathbb {C}$ holomorph und es gilt

$f'(z):=\sum _{n=1}^{\infty }na_{n}z^{n-1},\quad z\in K_{R}$

für ihre komplexe Ableitung.

Beweis

1. Zunächst zeigen wir die Konvergenz der gliedweise differenzierten Reihe $\sum _{n=1}^{\infty }na_{n}z^{n-1}$ für alle $z\in K_{R}$. Nach dem Cauchyschen Konvergenzkriterium für Reihen ist die Konvergenz dieser Reihe äquivalent zur Konvergenz der Reihe

$\sum _{n=1}^{\infty }na_{n}z^{n}=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}z^{n}$ mit $b_{n}:=na_{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$.

Nun ermitteln wir

(32) $\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|b_{n}|}}=\limsup _{n\to \infty }\left({\sqrt[{n}]{n}}{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}\right)=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}$.

Folglich hat die gliedweise differenzierte Reihe den gleichen Konvergenzradius wie die ursprüngliche Reihe.

2. Zu festem $z\in \mathbb {C}$ mit $|z|<R_{0}<R$ wählen wir $w\in \mathbb {C}$ mit $w\neq z$ sowie $|w|\leq R_{0}$ beliebig und betrachten den Differenzenquotienten

(33) ${\frac {f(w)-f(z)}{w-z}}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\cdot {\frac {w^{n}-z^{n}}{w-z}}=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\cdot g_{n}(w,z)$.

Hier verwenden wir die Hilfsfunktion

(34) $g_{n}(w,z):=(w^{n-1}+w^{n-2}z+\ldots +wz^{n-2}+z^{n-1}),\quad w,z\in K_{R_{0}}$

für alle $n\in \mathbb {N}$. Wegen der Abschätzung

(35) $|a_{n}\cdot g_{n}(w,z)|\leq n\cdot |a_{n}|\cdot R_{0}^{n-1}$ für alle $w,z\in \mathbb {C}$ mit $|w|\leq R_{0},|z|\leq R_{0}$

für alle $n\in \mathbb {N}$ und der Aussage

$\sum _{n=1}^{\infty }n\cdot |a_{n}|\cdot R_{0}^{n-1}<\infty$

liefert der Weierstraßsche Majorantentest (M-Test) die gleichmäßige Konvergenz der Reihe aus (33) für alle $w,z\in \mathbb {C}$ mit $|w|\leq R_{0},|z|\leq R_{0}$. Somit erhalten wir eine in $w$ und $z$ stetige Funktion. Beim Grenzübergang $w\to z,w\neq z$ ergibt sich schließlich

(36) $f'(z)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\cdot g_{n}(z,z)=\sum _{n=1}^{\infty }n\cdot a_{n}\cdot z^{n-1}$.

Riemannsches Integral für stetige Funktionen (§4)

Wir betrachten ein kompaktes Intervall $Q:=[a,b]$ mit den Grenzen $-\infty <a<b<+\infty$ und der Länge $|Q|=b-a$ sowie eine reellwertige, beschränkte Funktion

$f=f(x):Q\to \mathbb {R}$

Nun wählen wir eine Zerlegung ${\mathcal {Z}}$ des Intervalls $Q$ in $p=p({\mathcal {Z}})\in \mathbb {N}$ Teilintervalle wie folgt:

(1) ${\begin{matrix}{\mathcal {Z}}:{\text{Es gibt }}p=p({\mathcal {Z}})\in \mathbb {N} {\text{ Teilintervalle }}Q_{j}:=[x_{j-1},x_{j}]\\\mathrm {der\ L{\ddot {a}}ngen\ } |Q_{j}|=x_{j}-x_{j-1},\quad j=1,...,p\\{\text{mit den Teilungspunkten }}a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<...<x_{p-1}<x_{p}=b.\end{matrix}}$

Definition 1

Wir nennen $\|{\mathcal {Z}}\|:=\max\{x_{1}-x_{0},\ldots ,x_{p}-x_{p-1}\}$ das Feinheitsmaß der Zerlegung ${\mathcal {Z}}$.

Definition 2

Wählen wir zur Zerlegung ${\mathcal {Z}}$ aus (1) beliebige Zwischenpunkte $\xi _{j}\in Q_{j}$ für $j=1,\ldots ,p$, welche wir zum Vektor $\xi :=\left\{\xi _{j}\right\}_{j=1,\ldots ,p}$ zusammenfassen, so definiert man mittels

(2) $R(f,{\mathcal {Z}},\xi ):=\sum _{j=1}^{p}f(\xi _{j})(x_{j}-x_{j-1})$

die Riemannsche Zwischensumme in Abhängigkeit von ${\mathcal {Z}}$ und $\xi$.

Satz 1 (Integrabilität stetiger Funktionen auf kompakten Intervallen)

Sei $f=f(x):Q\to \mathbb {R} \in C^{0}(Q)$ eine stetige Funktion auf dem kompakten Intervall $Q$. Dann gibt es zu jedem $\varepsilon >0$ ein $\delta =\delta \left(\varepsilon \right)>0$ mit folgender Eigenschaft:

Für je zwei beliebige Zerlegungen ${\mathcal {Z}}^{(k)}$ gemäß (1) mit den Feinheitsmaßen $\|{\mathcal {Z}}^{(k)}\|<\delta$ sowie beliebig ausgewählten Zwischenpunkten

$\xi ^{(k)}:=\{\xi _{j}^{(k)}\}_{j=1,\ldots ,p^{(k)}},\quad k=1,2$

ist die nachfolgende Abschätzung

(3) $|R(f,{\mathcal {Z}}^{(1)},\xi ^{(1)})-R(f,{\mathcal {Z}}^{(1)},\xi ^{(1)})|\leq \varepsilon \cdot (b-a)$

richtig.

Beweis

1. Da stetige Funktionen auf kompakten Mengen gemäß Satz 7 aus §1 gleichmäßig stetig sind, gibt es zu vorgegebenem $\varepsilon >0$ ein $\delta \left(\varepsilon \right)>0$ mit der folgenden Eigenschaft

(4) $x_{*},x_{**}\in Q$ mit $|x_{*}-x_{**}|<2\delta \left(\varepsilon \right)\quad \Rightarrow \quad |f(x_{*})-f(x_{**})|<\varepsilon$.

2. Mit $k=1,2$ betrachten wir nun zwei Zerlegungen ${\mathcal {Z}}^{(k)}$ des Intervalls $Q$ in die $p^{(k)}=p({\mathcal {Z}}^{(k)})$ Teilintervalle

$Q_{j}^{(k)}:=[x_{j-1}^{(k)},x_{j}^{(k)}],\quad j=1,\ldots ,p^{(k)}$

mit den Teilungspunkten

$a=x_{0}^{(k)}<x_{1}^{(k)}<x_{2}^{(k)}<\ldots <x_{p^{(k)}-1}^{(k)}<x_{p^{(k)}}^{(k)}=b$,

deren Feinheitsmaße $\|{\mathcal {Z}}^{(k)}\|<\delta (\varepsilon )$ erfüllen. Wir verwenden jetzt die Verfeinerung der beiden Zerlegungen ${\mathcal {Z}}^{(1)}$ und ${\mathcal {Z}}^{(2)}$, nämlich

${\mathcal {Z}}:={\mathcal {Z}}^{(1)}\cup {\mathcal {Z}}^{(2)}$

gemäß (1). Dabei bestehen die Teilungspunkte von ${\mathcal {Z}}$ aus den Punkten

$\{x_{j}\}_{j=1,\ldots ,p}=\{x_{j}^{(1)}\}_{j=1,\ldots ,p^{(1)}}\cup \{x_{j}^{(2)}\}_{j=1,\ldots ,p^{(2)}}$

und sie bilden die Intervalle

$Q_{j}=[x_{j-1},x_{j}]\quad j=1,\ldots ,p$

der Gesamtzahl

$\max\{p^{(1)},p^{(2)}\}\leq p\leq p^{(1)}+p^{(2)}$.

3. Seien nun zu den Zerlegungen ${\mathcal {Z}}^{(k)}$ beliebige zwischenpunkte

$\xi _{j}^{(k)}\in Q_{j}^{(k)},\quad j=1,\ldots ,p^{(k)}$

mit $k=1,2$ ausgewählt. Dann setzen wir für $j=1,2,\ldots ,p$ und $k=1,2$ folgendermaßen Zwischenwerte fest:

(5) $y_{j}^{(k)}:=f{\Bigl (}\xi _{l(j,k)}^{(k)}{\Bigr )}$, falls $Q_{j}\subset Q_{l}^{(k)}$ für ein $l=l(j,k)\in \{1,\ldots ,p^{(k)}\}$.

Mit Hilfe von (4) und (5) und der Ungleichung $\|{\mathcal {Z}}^{(k)}\|<\delta (\varepsilon )$ schätzen wir wie folgt ab:

(6) $|y_{j}^{(1)}-y_{j}^{(2)}|=|f{\Bigl (}\xi _{l(j,1)}^{(1)}{\Bigr )}-f{\Bigl (}\xi _{l(j,2)}^{(2)}{\Bigr )}|<\varepsilon$ für $j=1,2,\ldots ,p$.

Die Riemannschen Zwischensummen $R^{(k)}=R(f,{\mathcal {Z}}^{(k)},\xi ^{(k)})$ ermitteln wir folgendermaßen:

(7) $R^{(k)}=\sum _{j=1}^{p^{(k)}}f(\xi _{j}^{(k)})(x_{j}^{(k)}-x_{j-1}^{(k)})=\sum _{j=1}^{p}y_{j}^{(k)}(x_{j}-x_{j-1}),\quad k=1,2$.

4. Mit Hilfe der Ungleichungen (6) und (7) schätzen wir nun ab:

(8) $|R^{(1)}-R^{(2)}|=\left|\sum _{j=1}^{p}{\Bigl (}y_{j}^{(1)}-y_{j}^{(2)}{\Bigr )}\cdot (x_{j}-x_{j-1})\right|$

$\leq \sum _{j=1}^{p}{\Bigl |}y_{j}^{(1)}-y_{j}^{(2)}{\Bigr |}\cdot (x_{j}-x_{j-1})$

$\leq \varepsilon \cdot \sum _{j=1}^{p}(x_{j}-x_{j-1})=\varepsilon \cdot (b-a)$.

q.e.d.

Definition 3

Eine Folge von Zerlegungen $\{{\mathcal {Z}}^{(k)}\}_{k=1,2,3,\ldots }$ nennen wir ausgezeichnet, wenn deren Feinheitsmaß gemäß

$\lim _{k\to \infty }\|{\mathcal {Z}}^{(k)}\|=0$

gegen Null strebt.

Definition 4

Eine beschränkte Funktion $f=f(x):Q\to \mathbb {R}$ auf dem kompakten Intervall $I$ nennen wir Riemann-integrierbar oder kurz integrierbar, wenn für jede ausgezeichnete Zerlegungsfolge $\{{\mathcal {Z}}^{(k)}\}_{k=1,2,3,\ldots }$ und beliebig ausgewählte Zwischenpunkte

$\xi ^{(k)}:=\{\xi _{j}^{(k)}\}_{j=1,\ldots ,p^{(k)}},\quad k=1,2,\ldots$

die Folge der Riemannschen Zwischensummen

$R(f,{\mathcal {Z}}^{(k)},\xi ^{(k)}),\quad k=1,2,\ldots$

konvergiert. In diesem Falle nennen wir

(9) $\int _{a}^{b}f(x)\,dx:=\lim _{k\to \infty }R(f,{\mathcal {Z}}^{(k)},\xi ^{(k)})$

das (Riemannsche) Integral von $f$ über das Intervall $\left[a,b\right]$.

Satz 2 (Integration stetiger Funktionen auf kompakten Intervallen)

Es gelten die folgenden Aussagen:

1. Jede stetige Funktion $f\in C^{0}(Q)$ ist Riemann-integrierbar.

2. Für stetige Funktionen $f,g\in C^{0}(Q)$ und Skalare $\alpha ,\beta \in \mathbb {R}$ gilt die Linearitätsregel

$\int _{a}^{b}(\alpha f(x)+\beta g(x))\,dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx+\beta \int _{a}^{b}g(x)\,dx$.

3. Für jede stetige Funktion $f\in C^{0}(Q)$ gilt die Abschätzung

$\left|\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right|\leq (b-a)\cdot \sup _{x\in Q}|f(x)|$.

Beweis

1. Die Integrabilität folgt sofort aus obigem Satz 1.

2. Für beliebige Zerlegungen ${\mathcal {Z}}$ von $Q$ und beliebige Zwischenpunkte $\xi$ gilt die Identität

$R(\alpha f+\beta g,{\mathcal {Z}},\xi )=\alpha \cdot R(f,{\mathcal {Z}},\xi )+\beta \cdot R(g,{\mathcal {Z}},\xi )$.

Betrachten wir dann eine ausgezeichnete Zerlegungsfolge mit entsprechenden beliebigen Zwischenpunkten, so folgt

(10) $\lim _{k\to \infty }R(\alpha f+\beta g,{\mathcal {Z}}^{(k)},\xi ^{(k)})$

$=\alpha \lim _{k\to \infty }R(f,{\mathcal {Z}}^{(k)},\xi ^{(k)})+\beta \lim _{k\to \infty }R(g,{\mathcal {Z}}^{(k)},\xi ^{(k)})$.

Damit erhalten wir die Linearitätsregel.

3. Wiederum gehen wir auf die Riemannschen Zwischensummen zurück und schätzen wie folgt ab:

(11) $|R(f,{\mathcal {Z}},\xi )|=\left|\sum _{j=1}^{p}f(\xi _{j})(x_{j}-x_{j-1})\right|\leq \sum _{j=1}^{p}|f(\xi _{j})|(x_{j}-x_{j-1})$

$\leq \sup _{x\in Q}|f(x)|\cdot \sum _{j=1}^{p}(x_{j}-x_{j-1})=(b-a)\cdot \sup _{x\in Q}|f(x)|$.

Dann lassen wir die Zerlegungen eine ausgezeichnete Folge mit ihren Zwischenpunkten durchlaufen und wir erhalten beim Grenzübergang auch diese Aussage.

q.e.d.

Bemerkungen

1. Wenn wir eine positive Funktion $f=f(x):Q\to (0,+\infty )\in C^{0}(Q)$ betrachten, so approximiert das Integral offenbar den Flächeninhalt des ebenen Bereichs

$\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:a\leq x\leq b,0\leq y\leq f(x)\}$.

2. Bei der Dirichletschen Sprungfunktion

$f(x):=1$ für $x\in [0,1]\cap \mathbb {Q}$, $f(x):=0$ für $x\in [0,1]\setminus \mathbb {Q}$

wählen wir zu jeder ausgezeichneten Zerlegungsfolge des Intervalls $[0,1]$ alternierend nur rationale oder irrationale Zwischenpunkte, so dass dann die Riemannschen Zwischensummen alternierend die Werte $+1$ bzw. $0$ annehmen. Somit ist gemäß Definition 4 die Dirichletsche Sprungfunktion nicht Riemann-integrierbar.
3. In Kapitel V werden wir eine Riemannsche Integrationstheorie für reellwertige Funktionen in $n$ Veränderlichen entwickeln. Wir werden insbesondere die Frage beantworten, wie groß die Menge der Unstetigkeiten einer Funktion sein darf, damit sie noch Riemann-integrierbar ist

Integration mittels reeller und komplexer Stammfunktionen (§5)

Hilfssatz 1

Für jede stetig differenzierbare Funktion

$f=f(x):Q\to \mathbb {R} \in C^{1}(Q)$

gilt die Leibnizsche Identität

(1) $\int _{a}^{b}f'(x)\,dx=f(b)-f(a)$.

Beweis

Wir wählen eine beliebige Zerlegung

(2) ${\mathcal {Z}}:a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{p-1}<x_{p}=b$

des Intervalls $Q$. In jedem Teilintervall $Q_{j}$ finden wir mit dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung einen Punkt $\xi _{j}\in Q_{j}$, so dass

$f(x_{j})-f(x_{j-1})=f'(\xi _{j})\left(x_{j}-x_{j-1}\right)$

für $j=1,\ldots ,p$ richtig ist. Als Riemannsche Zwischensumme für die Ableitung $f'$ erhalten wir dann

(3) $R(f',{\mathcal {Z}},\xi )=\sum _{j=1}^{p}f'(\xi _{j})\cdot (x_{j}-x_{j-1})=\sum _{j=1}^{p}{\Bigl (}f(x_{j})-f(x_{j-1}){\Bigr )}=f(b)-f(a)$.

Lassen wir nun die Zerlegungen eine ausgezeichnete Folge durchlaufen, so ergibt sich die Leibnizsche Identität. Hierbei beachten wir, dass die Ableitung als stetige Funktion auf $Q$ integrierbar ist.

q.e.d.

Definition 1

Die komplexwertige Funktion $f=f_{1}(x)+if_{2}(x):Q\to \mathbb {C}$ heißt genau dann integrierbar, wenn sowohl ihr Realteil $f_{1}=f_{1}(x):Q\to \mathbb {R}$ als auch ihr Imaginärteil $f_{2}=f_{2}(x):Q\to \mathbb {R}$ integrierbar ist. In diesem Fall setzen wir

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\int _{a}^{b}f_{1}(x)\,dx+i\int _{a}^{b}f_{2}(x)\,dx$.

Definition 2

Für die komplexwertige, integrierbare Funktion $f:Q\to \mathbb {C}$ erklären wir mit Hilfe von Definition 1 wie folgt ein orientiertes Integral. Seien die Punkte $x_{0},x_{1}\in Q$ beliebig, so definieren wir

(4) $\int _{x_{0}}^{x_{1}}f(x)\,dx=\int _{x_{0}}^{x_{1}}f(x)\,dx$, falls $x_{0}<x_{1}$ gilt;

(4) $\int _{x_{0}}^{x_{1}}f(x)\,dx=0$, falls $x_{0}=x_{1}$ gilt;

(4) $\int _{x_{0}}^{x_{1}}f(x)\,dx=-\int _{x_{0}}^{x_{1}}f(x)\,dx$, falls $x_{0}>x_{1}$ gilt.

Hilfssatz 2 (Additivität des orientierten Integrals)

Für die komplexwertige, integrierbare Funktion $f=f_{1}(x)+if_{2}(x):Q\to \mathbb {C}$ gilt die Additivitätsregel

$\int _{x_{1}}^{x_{2}}f(x)\,dx+\int _{x_{2}}^{x_{3}}f(x)\,dx=\int _{x_{1}}^{x_{3}}f(x)\,dx$

bei beliebigen Zwischenpunkten $x_{1},x_{2},x_{3}\in Q$.

Beweis

Falls $a\leq x_{1}<x_{2}<x_{3}\leq b$ für die Zwischenpunkte erfüllt ist, sehen wir die Additivitätsregel durch Approximation mit den Riemannschen Summen ein. Mit Hilfe von Definition 2 des orientierten Integrals erhalten wir dann die Identität auch im allgemeinen Fall.

q.e.d.

Satz 1 (Fundamentalsatz der Integral- und Differentialrechnung)

Für jede stetig differenzierbare Funktion

$f=f(x):Q\to \mathbb {C} \in C^{1}(Q,\mathbb {C} )$

und je zwei Punkte $x_{0},x_{1}\in Q$ gilt die Identität

$\int _{x_{0}}^{x_{1}}f'(x)\,dx=f(x_{1})-f(x_{0})$.

Beweis

Im Falle $x_{0}<x_{1}$ wenden wir Hilfssatz 1 sowohl auf den Realteil als auch auf den Imaginärteil der Funktion an:

$\int _{x_{0}}^{x_{1}}f_{j}'(x)\,dx=f_{j}(x_{1})-f_{j}(x_{2})$ für $j=1,2$.

Addition liefert dann die Leibnizsche Identität. Im Falle $x_{0}>x_{1}$ ermitteln wir

$\int _{x_{0}}^{x_{1}}f'(x)\,dx=-\int _{x_{1}}^{x_{0}}f'(x)\,dx=-(f(x_{0})-f(x_{1}))=f(x_{1})-f(x_{0})$.

q.e.d.

Satz 2 (Partielle Integration)

Für zwei stetig differenzierbare Funktionen

$f=f(x),g=g(x):Q\to \mathbb {C} \in C^{1}(Q,\mathbb {C} )$

gilt die Identität

(5) $\int _{a}^{b}{\Bigl (}f'(x)\cdot g(x){\Bigr )}\,dx={\Bigl [}f(x)\cdot g(x){\Bigr ]}_{x=a}^{x=b}-\int _{a}^{b}{\Bigl (}f(x)\cdot g'(x){\Bigr )}\,dx$

mit der üblichen Abkürzung

(6) ${\Bigl [}h(x){\Bigr ]}_{x=a}^{x=b}:=h(b)-h(a)$.

Beweis

Wir differenzieren mit der Produktregel

$f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)={\Bigl (}f(x)\cdot g(x){\Bigr )}',\quad x\in Q$

und integrieren anschließend mit Hilfe von Satz 1 wie folgt: $\int _{a}^{b}{\Bigl (}f'(x)\cdot g(x){\Bigr )}\,dx+\int _{a}^{b}{\Bigl (}f(x)\cdot g'(x){\Bigr )}\,dx={\Bigl [}f(x)\cdot g(x){\Bigr ]}_{x=a}^{x=b}$

q.e.d.

Definition 3

Die Funktion $F=F_{1}(x)+iF_{2}(x):Q\to \mathbb {C} \in C^{1}(Q,\mathbb {C} )$ heißt reelle Stammfunktion der Funktion $f=f_{1}(x)+if_{2}(x):Q\to \mathbb {C} \in C^{0}(Q,\mathbb {C} )$, falls deren reelle Ableitung die Identität

$F'(x)=f(x),\quad x\in Q$

erfüllt. Die Gesamtheit der reellen Stammfunktionen bezeichnen wir mit

(7) $\int f(x)\,dx:=\{F:Q\to \mathbb {C} |F\ ist\ reelle\ Stammfunktion\ von\ f:Q\to \mathbb {C} \}$.

Satz 3 (Integrationskonstanten)

Ist $F:Q\to \mathbb {C}$ eine reelle Stammfunktion von $f:Q\to \mathbb {C}$, so wird die Gesamtheit aller reellen Stammfunktionen gegeben durch

(8) $\int f(x)\,dx=F(x)+c,\quad x\in Q$ mit einer Konstante $c\in \mathbb {C}$.

Satz 4 (Unbestimmtes Integral)

Sei $f:Q\to \mathbb {C} \in C^{0}(Q,\mathbb {C} )$ eine stetige Funktion und $x_{0}\in Q$ beliebig gewählt. Dann liefert das unbestimmte Integral

$F(x):=\int _{x_{0}}^{x}f(t)\,dt,\quad x\in Q$

eine reelle Stammfunktion von $f$.

Beweis

1. Zunächst betrachten wir reellwertige stetige Funktionen $f:Q\to \mathbb {R}$ und wählen $x_{1}\in {\stackrel {\circ }{Q}}$ mit der Eigenschaft $f(x_{1})=0$. Die Additivität des Integrals liefert

(9) ${\frac {F(x)-F(x_{1})}{x-x_{1}}}={\frac {1}{x-x_{1}}}\cdot \int _{x_{1}}^{x}f(t)\,dt$.

Teil 3.) aus Satz 2 in §4 ergibt die Abschätzung

(10) $\left|{\frac {F(x)-F(x_{1})}{x-x_{1}}}\right|={\frac {\left|\int _{x_{1}}^{x}f(t)\,dt\right|}{|x-x_{1}|}}$

$\leq {\frac {|x-x_{1}|\cdot \sup\{f(\xi ):\xi =\lambda x+(1-\lambda )x_{1},\lambda \in [0,1]\}}{|x-x_{1}|}}$

$=\sup\{f(\xi ):\xi =\lambda x+(1-\lambda )x_{1},\lambda \in [0,1]\}$.

Beim Grenzübergang $x\to x_{1}$ folgt

$F'(x_{1})=0=f(x_{1})$

wegen der Stetigkeit von $f$ im Punkr $x_{1}$.

2. Sei nun $f:Q\to \mathbb {R}$ eine reellwertige Funktion und $x_{1}\in {\stackrel {\circ }{Q}}$ beliebig gewählt. Mit dem Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung ermitteln wir für die konstante Funktion $\phi (x):=f(x_{1}),x\in Q$ das unbestimmte Integral

$\Phi (x):=\int _{x_{0}}^{x}\phi (t)\,dt=f(x_{1})\cdot \int _{x_{0}}^{x}1\,dt=f(x_{1})\cdot (x-x_{0}),\quad x\in Q$.

Mit Hilfe von Teil 1.) differenzieren wir die Stammfunktion

$F(x)=\int _{x_{0}}^{x}(f(t)-f(x_{1}))\,dt+\Phi (x),\quad x\in Q$

im Punkt $x_{1}$ wie folgt:

$F'(x_{1})=0+\Phi '(x_{1})=f(x_{1})$.

3. Für die komplexwertige stetige Funktionen $f:Q\to \mathbb {C}$ differenzieren wir ihr unbestimmtes Integral

$F(x)=\int _{x_{0}}^{x}f_{1}(t)\,dt+i\int _{x_{0}}^{x}f_{2}(t)\,dt,\quad x\in Q$

getrennt im Real- bzw. Imaginärteil gemäß Teil 2.) und erhalten:

$F'(x)=f_{1}(x)+if_{2}(x)=f(x),\quad x\in Q$.

q.e.d.

Definition 4

Eine nicht leere, offene Menge $\Omega \subset \mathbb {C}$ heißt ein Gebiet, falls sie in folgendem Sinne zusammenhängend ist: Zu je zwei Punkten $z_{0},z_{1}\in \Omega$ gibt es eine stetige Funktion

(11) $\zeta (t)=\xi (t)+i\eta (t):[0,1]\to \Omega \in C^{0}([0,1],\Omega )$ mit dem Anfangswert $\zeta (0)=z_{0}$ und dem Endpunkt $\zeta (1)=z_{1}$.

Wir nennen $\zeta$ einen stetigen Weg von $z_{0}$ nach $z_{1}$ in $\Omega$.

Im nachfolgenden Beweis wird ein Fortsetzungsargument in Gebieten präsentiert, das oft in der Analysis verwandt wird.

Satz 5

Sei die holomorphe Funktion $f:\Omega \to \mathbb {C}$ auf dem Gebiet $\Omega \subset \mathbb {C}$ mit der Eigenschaft

$f'(z)=0$, für alle $z\in \Omega$

gegeben. Dann folgt $f(z)=c$ für alle $z\in \Omega$ mit einer Konstanten $c\in \mathbb {C}$.

Beweis

1. Seien $z_{0},z_{1}\in \Omega$ zwei Punkte, die durch einen differenzierbaren Weg

(12) $\zeta (t):[0,1]\to \Omega \in C^{1}([0,1],\Omega )$ mit dem Anfangswert $\zeta (0)=z_{0}$ und dem Endpunkt $\zeta (1)=z_{1}$

verbunden werden können. Wir betrachten dann die Funktion

$F(t):=f(\zeta (t)),\quad 0\leq t\leq 1$

und differenzieren sie mit Hilfe der komplexen Kettenregel. Wir erhalten

$F'(t):=f'(\zeta (t))\cdot \zeta '(t)=0,\quad 0<t<1$.

Mit den Argumenten zum Beweis von Satz 2 ist diese Funktion auf ihrem Definitionsintervall konstant. Damit ergibt sich

$f(z_{0})=f(\zeta (0))=F(0)=F(1)=f(\zeta (1))=f(z_{1})$.

2. Ist nun $z_{0}\in \Omega$ und $\varepsilon >0$ so gewählt, dass die Kreisscheibe

$K_{\varepsilon }(z_{0})=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|<\varepsilon \}$

die Inklusion $K_{\varepsilon }(z_{0})\subset \Omega$ erfüllt. Da jetzt jeder Punkt $z\in K_{\varepsilon }(z_{0})$ mit $z_{0}$ durch den differenzierbaren Weg

$\zeta (t):=z_{0}+t(z-z_{0}),\quad t\in [0,1]$

verbunden werden kann, liefert Teil 1.) die Aussage

$f(z)=const$ auf $K_{\varepsilon }(z_{0})$.

Somit ist die Funktion $f$ lokal konstant

3. Sind nun $z_{0},z_{1}$ zwei beliebige Punkte in $\Omega$, so können wir sie durch einen stetigen Weg

$\zeta (t):[0,1]\to \Omega \in C^{0}([0,1],\Omega )$ mit $\zeta (0)=z_{0}$ und $\zeta (1)=z_{1}$

miteinander verbinden. Wir betrachten nun die stetige Funktion

$F(t):=f(\zeta (t)),\quad t\in [0,1]$.

Nun wählen wir $t_{*}\in [0,1]$ maximal, so dass

$F(t)=const$ für alle $t\in [0,t_{*}]$

gilt. Wäre $t_{*}<1$ erfüllt, so gäbe es es wegen Teil 2.) ein $\varepsilon >0$, so dass

$F(t)=const,\quad t_{*}-\varepsilon <t<t_{*}+\varepsilon$

richtig ist – denn $f$ ist lokal konstant. Dieses steht im Widerspruch zur Wahl von $t_{*}$. Somit folgt $t_{*}=1$ und schließlich

$f(z_{0})=F(0)=F(1)=f(z_{1})$.

q.e.d.

Definition 5

Die auf dem Gebiet $\Omega$ holomorphe Funktion

$F=F(z):\Omega \to \mathbb {C}$

heißt komplexe Stammfunktion der Funktion $f=f(z):\Omega \to \mathbb {C}$, falls deren komplexe Ableitung die Identität

$F'(z)=f(z),\quad z\in \Omega$

erfüllt. Die Gesamtheit der komplexen Stammfunktionen bezeichnen wir mit

(13) $\int f(z)\,dz:=\{F:\Omega \to \mathbb {C} |F\ ist\ eine\ Stammfunktion\ von\ f:\Omega \to \mathbb {C} \}$.

Bemerkung

Nach Satz 5 sind die komplexen Stammfunktionen auf einem Gebiet $\Omega \subset \mathbb {C}$ bis auf eine Konstante bestimmt: Ist $F:\Omega \to \mathbb {C}$ eine komplexe Stammfunktion von $f:\Omega \to \mathbb {C}$, so wird die Gesamtheit aller komplexen Stammfunktionen gegeben durch

(14) $\int f(z)\,dz=F(z)+c,\quad z\in \Omega$ mit einer Konstante $c\in \mathbb {C}$.

Satz 6 (Komplexe Substitutionsregel)

Sei die holomorphe Funktion $f:\Omega \to \mathbb {C}$ auf dem Gebiet $\Omega \subset \mathbb {C}$ mit der stammfunktion $F:\Omega \to \mathbb {C}$ gegeben. Weiter sei der differenzierbare Weg $\zeta (t):[0,1]\to \Omega \in C^{1}([0,1],\Omega )$ mit dem Anfangspunkt $\zeta (0)=z_{0}$ und dem Endpunkt $\zeta (1)=z_{1}$ beliebig in $\Omega$ gewählt. Dann gilt

(15) $\int _{0}^{1}f(\zeta (t))\cdot \zeta '(t)\,dt=F(z_{1})-F(z_{0})$.

Der Wert des Integrals hängt also nur von dem Anfangs- und Endpunkt – aber nicht vom gewählten Weg – ab.

Beweis

Mit hilfe der komplexen kettenregel und des fundamentalsatzes der Differential- und integralrechnung ermitteln wir:

(16) $\int _{0}^{1}f(\zeta (t))\cdot \zeta '(t)\,dt=\int _{0}^{1}F'(\zeta (t))\cdot \zeta '(t)\,dt=\int _{0}^{1}{\frac {d}{dt}}{\Bigl (}F(\zeta (t)){\Bigr )}\,dt$

$={\Bigl [}F(\zeta (t)){\Bigr ]}_{t=0}^{t=1}=F(\zeta (1))-F(\zeta (0))=F(z_{1})-F(z_{0})$.

q.e.d.

Satz 7 (Substitutionsregel)

Wir betrachten eine reellwertige Kurve

$\xi (t):[\alpha ,\beta ]\to \mathbb {R} \in C^{1}([\alpha ,\beta ],\mathbb {R} )$,

definiert auf einem kompakten Intervall mit den Grenzen $-\infty <\alpha <\beta <+\infty$ und wir setzen als Bildpunkte $a:=\xi \left(\alpha \right)$ sowie $b:=\xi \left(\beta \right)$. Weiter wählen wir ein Intervall $P:=\left[A,B\right]$ mit den Grenzen $-\infty <A<B<+\infty$, welches die Inklusion $\xi ([\alpha ,\beta ])\subset P$ erfüllt. Dann haben wir für jede stetige Funktion $f:P\to \mathbb {C} \in C^{0}(P,\mathbb {C} )$ die Identität

(17) $\int _{\alpha }^{\beta }f(\xi (t))\cdot \xi '(t)\,dt=\int _{a}^{b}f(x)\,dx$.

Beweis

Die Funktion $f:P\to \mathbb {C}$ besitzt das uneigentliche Integral

$F(x):=\int _{A}^{x}f(\xi )\,d\xi ,\quad x\in P$

als Stammfunktion. Wie im Beweis zu Satz 6 integrieren wir jetzt die Ableitung der Komposition

$F(\xi (t)),\quad t\in [\alpha ,\beta ]$,

nämlich

$f(\xi (t))\cdot \xi '(t),\quad t\in [\alpha ,\beta ]$

und erhalten

(18) $\int _{\alpha }^{\beta }f(\xi (t))\cdot \xi '(t)=F(\xi (\beta ))-F(\xi (\alpha ))=F(b)-F(a)$.

Wählen wir nun speziell

$\xi (t):=x,\quad x\in [a,b]$

in (18), so erhalten wir

(19) $\int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)$.

Aus den Identitäten (18) und (19) folgt die Substitutionsregel (17).

q.e.d.

Satz 8 (Reelle Stammfunktionen)

Zur Bestimmung von reellen Stammfunktionen sind die folgenden Aussagen richtig:

1. Unbestimmte Linearitätsregel: Seien $f,g\in C^{0}(Q,\mathbb {C} )$ beliebige Funktionen und die Skalare $\alpha ,\beta \in \mathbb {R}$ gewählt, so gilt

(20) $\int (\alpha f(x)+\beta g(x))\,dx=\alpha \int f(x)\,dx+\beta \int g(x)\,dx$.

2. Unbestimmte partielle Integration: Für beliebige Funktionen $f,g\in C^{1}(Q,\mathbb {C} )$ gilt

(21) $\int {\Bigl (}f'(x)\cdot g(x){\Bigr )}\,dx=f(x)\cdot g(x)-\int {\Bigl (}f(x)\cdot g'(x){\Bigr )}\,dx$

3. Unbestimmte Substitution: Wir betrachten eine reellwertige Funktion

$\xi (t):[\alpha ,\beta ]\to \mathbb {R} \in C^{1}([\alpha ,\beta ],\mathbb {R} )$,

welche auf einem kompakten Intervall mit den Grenzen $-\infty <\alpha <\beta <+\infty$ definiert ist. Weiter wählen wir ein Intervall $P:=[A,B]$ mit den Grenzen $-\infty <A<B<+\infty$, welches die Inklusion $\xi ([\alpha ,\beta ])\subset P$ erfüllt. Dann haben wir für jede stetige Funktion $f:P\to \mathbb {C} \in C^{0}(P,\mathbb {C} )$ die Identität

(22) $\int f(\xi (t))\cdot \xi '(t)\,dt=\left\{\int f(x)\,dx\right\}{\Bigl |}_{x=\xi (t)}$

Beweis

Nach Satz 3 ist die stammfunktion einer stetigen funktion bis auf eine Konstante bestimmt und sie kann durch das unbestimmte Integral aus Satz 4 berechnet werden. Somit liefern der Satz 2 aus §4 und die Sätze 2 sowie 7 über bestimmte Integrale durch differentiation nach der oberen Grenze die angegebenen rechenregeln. Zum Beispiel wird die Regel für die unbestimmte partielle Integration aus der identität (5) mit der oberen Grenze $b=x$, nämlich

$\int _{a}^{x}{\Bigl (}f'(\xi )\cdot g(\xi ){\Bigr )}\,d\xi =f(x)\cdot g(x)-\left\{\int _{a}^{x}{\Bigl (}f(\xi )\cdot g'(\xi ){\Bigr )}\,d\xi +f(a)\cdot g(a)\right\},\quad x\in Q$,

gewonnen.

q.e.d.

Satz 9 (Integration von Potenzreihen)

Die Potenzreihe

$f(z):=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n},\quad z\in K_{R}$

mit den komplexen Koeffizienten $a_{n}\in \mathbb {C} ,n\in \mathbb {N} _{0}$ konvergiere in der Kreisscheibe $K_{R}:=\{z\in \mathbb {C} :|z|<R\}$ mit dem festen Konvergenzradius $0<R\leq +\infty$. Dann ist die Gesamtheit der Stammfunktionen von $f$ gegeben durch

(23) $\int f(z)\,dz=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}a_{n}z^{n+1}+c,\quad z\in K_{R}$

mit einer Integrationskonstante $c\in \mathbb {C}$.

Beweis

Ebenso wie im Beweis zu Satz 15 in §3 zeigt man mit dem Wurzelkriterium die Konvergenz der gliedweise integrierten Reihe

$F(z):=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}a_{n}z^{n+1}+c,\quad z\in K_{R}$.

Nach Satz 15 aus §3 stellt die angegebene Potenzreihe eine holomorphe Funktion in $K_{R}$ dar und gliedweise Differentiation ergibt

$F'(z):=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}=f(z),\quad z\in K_{R}$.

Nach Satz 15 aus §3 stellt die angegebene Potenzreihe eine holomorphe Funktion in $K_{R}$ dar und gliedweise Differentiation ergibt

$F'(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}=f(z),\quad z\in K_{R}$.

q.e.d.

Bemerkungen

1. Um allgemeiner für beliebige holomorphe Funktionen eine komplexe Stammfunktion zu bestimmen, benötigen wir die Theorie der Kurvenintegrale, welche von A. Cauchy begründet wurde.
2. Im folgenden werden wir einfach von Stammfunktionen sprechen, wenn aus dem Zusammenhang klar ist, ob es sich um reelle oder komplexe Stammfunktionen handelt.

Die Taylorsche Formel (§6)

Definition 1

Sei $f:I\to \mathbb {R} ^{m}$ eine differenzierbare Funktion $f'(x),x\in I$ auf dem offenen Intervall $I:=\left(a,b\right)$ mit den Grenzen $-\infty \leq a<b\leq +\infty$. Ist $f':I\to \mathbb {R} ^{m}$ wiederum eine differenzierbare Funktion auf $I$ mit der Ableitung $f''(x),x\in I$, so nennen wir $f$ 2-mal differenzierbar auf $I$. Entsprechend erklären wir die $k$-malige Differenzierbarkeit induktiv. Für eine $k$-mal differenzierbare Funktion $f$ bezeichnen wir deren Ableitungen 0-ter bis $k$-ter Ordnung mit

$f(x),f'(x),f''(x),\ldots ,f^{(k)}(x),\quad x\in I$

Hierbei ist $k\in \mathbb {N} _{0}$ gewählt worden. Eine $k$-mal differenzierbare Funktion nennen wir $k$-mal stetig differenzierbar, wenn die $k$-te Ableitung

$f^{(k)}(x),\quad x\in I$

eine stetige Funktion auf $I$ darstellt.

Definition 2

Mit den Bezeichnungen aus Definition 1 erklären wir den Vektorraum der $k$-mal stetig differenzierbaren Funktionen auf dem offenen Intervall $I$ (oder kurz den $C^{k}(I,\mathbb {R} ^{m})$-Raum) wie folgt:

$C^{k}(I,\mathbb {R} ^{m}):=\{f:I\to \mathbb {R} ^{m}:f\ ist\ k\ mal\ stetig\ differenzierbar\ in\ I\}$.

Die Verknüpfungen hatten wir bereits im Raum $C^{0}(I,\mathbb {R} ^{m})$ in Definition 6 aus §1 erklärt. Falls $m=1$ gilt, schreiben wir kurz $C^{k}(I):=C^{k}(I,\mathbb {R} )$. Falls $m=2$ ist, setzen wir $C^{k}(I,\mathbb {C} ):=C^{k}(I,\mathbb {R} ^{2})$ und verwenden im Bildraum die komplexe Multiplikation. Unter der Menge

$C^{\infty }(I,\mathbb {R} ^{m}):=\bigcap _{k=0}^{\infty }C^{k}(I,\mathbb {R} ^{m})$

verstehen wir den Vektorraum der beliebig oft differenzierbaren Funktionen auf dem Intervall $I$ – oder kurz den $C^{\infty }(I,\mathbb {R} ^{m})$-Raum.

Mit den Differentiationsregeln aus §3 und den Stetigkeitsaussagen in §1 prüft man leicht nach, dass diese Funktionenräume mit den angegebenen Verknüpfungen Vektorräume sind.

Definition 3

Seien die Intervallgrenzen $-\infty <a<b<+\infty$ für das Intervall $I$ in Definition 1 gegeben und $k\in \mathbb {N} _{0}$. Dann erklären wir den Vektorraum der $k$-mal stetig differenzierbaren Funktionen auf dem kompakten Intervall ${\overline {I}}$ oder kurz den $C^{k}({\overline {I}},\mathbb {R} ^{m})$-Raum wie folgt:

(1) $C^{k}({\overline {I}},\mathbb {R} ^{m}):=\{f:I\to \mathbb {R} ^{m}\in C^{k}(I,\mathbb {R} ^{m}):$

$f^{(j)}\ ist\ stetig\ auf\ {\overline {I}}\ fortsetzbar\ f{\ddot {u}}r\ j=0,1,2,\ldots ,k\}$.

Die Verknüpfungen haben wir im Raum $C^{0}(I,\mathbb {R} ^{m})$ in Definition 6 aus §1 erklärt. Falls $m=1$ gilt, schreiben wir kurz $C^{k}({\overline {I}}):=C^{k}({\overline {I}},\mathbb {R} )$. Falls $m=2$ ist, setzen wir $C^{k}({\overline {I}},\mathbb {C} ):=C^{k}({\overline {I}},\mathbb {R} ^{2})$ und verwenden im Bildraum die komplexe Multiplikation.

Auch hier prüft man sofort die Vektorraumeigenschaften mit Hilfe der Stetigkeitsaussagen aus §1 nach.

Wir wollen nun die Taylorsche Formel und die Taylorsche Reihe behandeln, die wir dem englischen Mathematiker B. Taylor verdanken. Mit der Taylorschen Formel können wir $C^{k}$-Funktionen durch Polynome $(k-1)$-ten Grades so approximieren, dass die Abweichung kontrolliert werden kann. Wir wählen als Entwicklungspunkt $x_{0}\in \mathbb {R}$ sowie den Konvergenzradius $0<r\leq +\infty$ und wir betrachten im Intervall $I:=(x_{0}-r,x_{0}+r)$ die konvergente Potenzreihe

(2) $f(x):=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}(x_{0})\cdot (x-x_{0})^{k},\quad x\in I$

mit den reellen Koeffizienten

$c_{k}(x_{0})\in \mathbb {R}$ für alle $k\in \mathbb {N} _{0}$.

Gemäß Satz 15 aus §3 können wir nun diese Reihe beliebig oft differenzieren und der Konvergenzradius $r$ bleibt dabei erhalten! Für die $m$-te Ableitung ermitteln wir

(3) $f^{(m)}(x)=\sum _{k=m}^{\infty }\{k\cdot (k-1)\cdot \ldots \cdot (k-m+1)\}\cdot c_{k}(x_{0})\cdot (x-x_{0})^{k},\quad x\in I$,

wobei $m=0,1,2,\ldots$ durchläuft. Wir setzen jetzt in (3) $x=x_{0}$ ein und berechnen

(4) $f^{(m)}(x_{0})=m\cdot (m-1)\cdot \ldots \cdot 1\cdot c_{m}(x_{0})=m!\cdot c_{m}(x_{0}),\quad m\in \mathbb {N} _{0}$.

Somit sind die Koeffizienten der Potenzreihe durch

(5) $c_{m}(x_{0})={\frac {f^{(m)}(x_{0})}{m!}},\quad m\in \mathbb {N} _{0}$

eindeutig bestimmt. Wir nennen letztere die Taylorkoeffizienten der Potenzreihe (2). Setzen wir sie in die Potenzreihe ein, so erhalten wir die Taylorreihe

(6) $f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f^{(k)}(x_{0})}{k!}}\cdot (x-x_{0})^{k},\quad x\in I$.

Zu einem vorgegebenen Differenzierbarkeitsgrad $n\in \mathbb {N}$ gehen wir jetzt von einer Funktion

(7) $f=f(x):{\overline {I}}\to \mathbb {R} \in C^{n}(I)\cap C^{n-1}({\overline {I}})$

aus. Diese ist $n$-mal stetig differenzierbar in $I:=(x_{0}-r,x_{0}+r)$ mit stetig fortsetzbaren Ableitungen der Ordnungen $0,\ldots ,n-1$ auf das kompakte Intervall ${\overline {I}}$ vom endlichen Radius $0<r<\infty$. Wir erklären das Taylorpolynom $(n-1)$-ten Grades an der Stelle $x_{0}$ mittels

(8) $T_{n}(x,x_{0}):=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {f^{(k)}(x_{0})}{k!}}\cdot (x-x_{0})^{k},\quad x\in I$,

indem wir die Taylorreihe beim Term $n$-ter Ordnung abbrechen. Nun betrachten wir die Taylorsche Identität

(9) $f(x)=T_{n}(x,x_{0})+R_{n}(x,x_{0}),\quad x\in I$

mit dem Restglied $n$-ter Ordnung $R_{n}(x,x_{0})$. Da dieses die Abweichung zwischen der $C^{n}$-Funktion $f$ und dem Taylorpolynom $(n-1)$-ten Grades misst, wollen wir es genauer bestimmen: Hierzu führen wir die Hilfsfunktion

(10) $\Phi (\lambda ):=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {f^{(k)}{\Bigl (}x+\lambda (x_{0}-x){\Bigr )}}{k!}}\cdot {\Bigl (}\lambda (x-x_{0}){\Bigr )}^{k},\quad 0\leq \lambda \leq 1$

der Regularitätsklasse $C^{1}(I)\cap C^{0}({\overline {I}})$ ein. Dann beachten wir die Randwerte

(11) $\Phi (1)=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {f^{(k)}(x_{0})}{k!}}\cdot (x-x_{0})^{k}=f(x)-R_{n}(x,x_{0})$

sowie

(12) $\Phi (0)=\lim _{\lambda \to 0+}\Phi (\lambda )=f(x)$.

Die Hilfsfunktion (10) differenzieren wir wie folgt:

(13) $\Phi '(\lambda )=-\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {f^{(k+1)}{\Bigl (}x+\lambda (x_{0}-x){\Bigr )}}{k!}}\cdot \lambda ^{k}\cdot (x-x_{0})^{k+1}$

$+\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {f^{(k)}{\Bigl (}x+\lambda (x_{0}-x){\Bigr )}}{(k-1)!}}\cdot \lambda ^{k-1}\cdot (x-x_{0})^{k}$

$=-{\frac {f^{(n)}{\Bigl (}x+\lambda (x_{0}-x){\Bigr )}}{(n-1)!}}\cdot \lambda ^{n-1}\cdot (x-x_{0})^{n}$

Ferner verwenden wir die Funktion

(14) $\Psi (\lambda ):=-\lambda ^{n},\quad 0\leq \lambda \leq 1$ mit $\Psi (1)=-1,\quad \Psi (0)=0$ und $\Psi '(\lambda )=-n\lambda ^{n-1}$.

Wir ziehen jetzt den Mittelwertsatz der Differentialrechnung heran und mit Hilfe der Identitäten (11) – (14) ermitteln wir

(15) $R_{n}(x,x_{0})={\frac {\Phi (1)-\Phi (0)}{\Psi (1)-\Psi (0)}}={\frac {\Phi '(\theta )}{\Psi '(\theta )}}={\frac {f^{(n)}{\Bigl (}x+\theta (x_{0}-x){\Bigr )}}{n!}}\cdot (x-x_{0})^{n}$

mit einem $\theta \in (0,1)$. Damit ist der folgende Satz bewiesen:

Satz 1 (Taylorsche Formel)

Die Funktion $f$ aus (7) auf dem Intervall $I$ vom Differenzierbarkeitsgrad $n\in \mathbb {N}$ besitzt die Darstellung

$f(x)=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {f^{(k)}(x_{0})}{k!}}\cdot (x-x_{0})^{k}+R_{n}(x,x_{0}),\quad x\in {\overline {I}}$.

Dabei ist im Lagrangeschen Restglied

$R_{n}(x,x_{0}):={\frac {f^{(n)}{\Bigl (}x+\theta (x_{0}-x){\Bigr )}}{n!}}\cdot (x-x_{0})^{n}$

der Zwischenwert $\theta \in (0,1)$ – nach dem Mittelwertsatz – geeignet zu wählen.

Satz 2 (Taylorsche Reihe)

Genau dann ist die Funktion $f\in C^{\infty }(I)$ im Punkt $x_{0}$ in ihre taylorreihe (6) entwickelbar, wenn für alle $x\in I$ das Langrangesche Restglied die beziehung

$\lim _{n\to \infty }R_{n}(x,x_{0})=0$

erfüllt.

Beweis

Dieser folgt sofort aus Satz 1.

q.e.d.

Bemerkung

Wir werden in §1 des nächsten Kapitels eine $C^{\infty }$-Funktion kennen lernen, welche nicht in ihre Taylorreihe entwickelt werden kann.

Definition 4

Eine konvexe Funktion ist ein Element der Menge

$C^{+}(a,b):=\{f:(a,b)\to \mathbb {R} \in C^{2}((a,b))|f''(x)\geq 0\ f{\ddot {u}}r\ alle\ x\in (a,b)\}$.

Satz 3

Für eine konvexe Funktion $f:(a,b)\to \mathbb {R} \in C^{+}(a,b)$ haben wir folgende Aussagen:

1. Die Ungleichung $f(x)\geq f(\xi )+f'(\xi )\cdot (x-\xi )$ für alle $x,\xi \in (a,b)$ ist erfüllt, d. h. $f$ ist superlinear.

2. Es gilt die Jensensche Ungleichung

$f\left(\sum _{j=1}^{m}\lambda _{j}x_{j}\right)\leq \sum _{j=1}^{m}\lambda _{j}f(x_{j})$

für alle $x_{1},\ldots ,x_{m}\in (a,b)$ und $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{m}\geq 0$ mit $\sum _{j=1}^{m}\lambda _{j}=1$.

Beweis

1. Auf die konvexe Funktion $f$ wenden wir die Taylorsche Formel vom Differenzierbarkeitsgrad 2 mit dem Lagrangeschen Restglied an. Für alle $x,\xi \in (a,b)$ finden wir ein $\theta \in (0,1)$, so dass die Ungleichung

(16) $f(x)=f(\xi )+f'(\xi )\cdot (x-\xi )+{\frac {f''{\Bigl (}\xi +\theta (x-\xi ){\Bigr )}}{2!}}\cdot (x-\xi )^{2}\geq f(\xi )+f'(\xi )\cdot (x-\xi )$

richtig ist, da nach Voraussetzung $f''(x)\geq 0$ für alle $x\in (a,b)$ gilt.

2. Wir wenden nun den ersten Teil auf $\xi :=\sum _{j=1}^{m}\lambda _{j}x_{j}$ sowie $x:=x_{j}$ an und erhalten die Ungleichungen

(17) $f(x_{j})\geq f(\xi )+f'(\xi )\cdot (x_{j}-\xi )$ für $j=1,\ldots ,m$.

Multiplikation mit $\lambda _{j}$ und Summation liefert

(18) $\sum _{j=1}^{m}\lambda _{j}f(x_{j})\geq f(\xi )\cdot \sum _{j=1}^{m}\lambda _{j}+f'(\xi )\cdot \left(\sum _{j=1}^{m}\lambda _{j}x_{j}-\xi \sum _{j=1}^{m}\lambda _{j}\right)$

$=f(\xi )+f'(\xi )\cdot (\xi -\xi )=f(\xi )$,

wenn wir $\sum _{j=1}^{m}\lambda _{j}=1$ beachten.

q.e.d.

Definition 5

Eine konkave Funktion ist ein Element der Menge

$C^{-}(a,b):=\{f:(a,b)\to \mathbb {R} \in C^{2}((a,b))|f''(x)\leq 0\ f{\ddot {u}}r\ alle\ x\in (a,b)\}$.