Kurs:Analysis I/Kapitel II: Differential- und Integralrechnung für Funktionen einer Veränderlichen

Stetigkeit von Funktionen mehrerer Veränderlicher (§1)

Definition 1

Seien die Dimensionen $m,n\in \mathbb {N}$ und die Menge

$D\subset \mathbb {R} ^{n}:=\{x=(x_{1},\ldots ,x_{n}):x_{j}\in \mathbb {R} ,j=1,\ldots ,n\}$

sowie der Raum

$\mathbb {R} ^{m}:=\{y=(y_{1},\ldots ,y_{m}):y_{j}\in \mathbb {R} ,j=1,\ldots ,m\}$

gegeben. Jedem Punkt $x\in D$ werde vermöge der Funktion

$f:D\to \mathbb {R} ^{m}$

genau ein Punkt

$y=f(x)\in \mathbb {R} ^{m}$

zugeordnet. Wir nennen ${\begin{matrix}D\end{matrix}}$ den Definitionsbereich und

$W:=\{f(x)\in \mathbb {R} ^{m}:x\in D\}:=f(D)$

den Wertebereich der Funktion ${\begin{matrix}f\end{matrix}}$. Genauer schreiben wir:

$(y_{1},\ldots ,y_{m})=y=f(x)=(f_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ldots ,f_{m}(x_{1},\ldots ,x_{n})):D\to \mathbb {R} ^{m}$.

Wir sprechen von einer beschränkten Funktion $f:D\to \mathbb {R} ^{m}$, wenn es eine Konstante $c\in [0,+\infty )$ gibt, so dass die Abschätzung

$|f(x)|\leq c$ für alle $x\in D$

richtig ist. Andernfalls sprechen wir von einer unbeschränkten Funktion.

Definition 2

Sei im Definitionsbereich $D\subset \mathbb {R} ^{n}$ der Funktion $f:D\to \mathbb {R} ^{m}$ ein Häufungspunkt $x\in D$ gewählt. Weiter existiere ein Punkt $A\in \mathbb {R} ^{m}$, so dass es für alle $\varepsilon >0$ ein $\delta =\delta \left(\varepsilon \right)>0$ gibt mit der Eigenschaft

$|f(t)-A|<\varepsilon$ für alle $t\in D$ mit $\left|t-x\right|<\delta$.

Dann heißt A der Limes der Funktion $f$ an der Stelle $x$ und man schreibt:

$\lim _{t\to x,t\in D}f(t)=A$ oder $f(t)\to A\ (t\in D,t\to x)$.

Definition 3

Auf dem Intervall $D:=(a,b)\subset \mathbb {R}$ mit $a<b$ sei die Funktion $f:D\to \mathbb {R} ^{m}$ gegeben. Dann nennen wir

$f(a+):=\lim _{t\to a,t>a}f(t):=\lim _{t\to a,t\in D}f(t)$

den rechtsseitigen Limes der Funktion $f$ an der Stelle $x$ und

$f(b-):=\lim _{t\to b,t<b}f(t):=\lim _{t\to b,t\in D}f(t)$

den linksseitigen Limes der Funktion $f$ an der Stelle $x$.

Satz 1

Sei die Funktion $f:D\to \mathbb {R} ^{m}$ auf dem Definitionsbereich $D\subset \mathbb {R} ^{n}$ gegeben, welcher den Häufungspunkt $x\in D$ enthält. Weiter sei der Punkt $A\in \mathbb {R} ^{m}$ gewählt. Dann gilt die beziehung

$\lim _{t\to x,t\in D}f(t)=A$

genau dann, wenn für jede Punktfolge

$\{x^{(p)}\}_{p\in \mathbb {N} }\subset D\setminus \{x\}$ mit $x^{(p)}\to x\quad (p\to \infty )$

die Aussage

$\lim _{p\to \infty }f(x^{(p)})=A$

gilt.

Beweis

„$\Rightarrow$“: Sei

$\lim _{t\to x,t\in D}f(t)=A$

erfüllt. Dann gibt es nach Definition 2 für alle $\varepsilon >0$ ein $\delta =\delta (\varepsilon )>0$, so dass

$|f(t)-A|<\varepsilon$ für alle $t\in D$ mit $|t-x|<\delta$

ausfällt. Für eine konvergente Punktfolge

$\{x^{(p)}\}_{p\in \mathbb {N} }\subset D\setminus \{x\}=\{y\in D:y\neq x\}$ mit $x^{(p)}\to x\ (p\to \infty )$

erhalten wir

$\left|x^{(p)}-x\right|<\delta$ für alle $p\geq p_{0}(\varepsilon )$

und somit folgt $|f(x^{(p)})-A|<\varepsilon$. Also ergibt sich

$\lim _{p\to \infty }f(x^{(p)})=A$.

„$\Leftarrow$“: Wir zeigen diese Implikation indirekt – unter der Voraussetzung

(1) Für alle $\{x^{(p)}\}_{p\in \mathbb {N} }\subset D\setminus \{x\}$ mit $x^{(p)}\to x\ (p\to \infty )$ gilt $\lim _{p\to \infty }f(x^{(p)})=A$.

Wäre die Aussage

(2) $\lim _{t\to x,t\in D}f(t)=A$

falsch – also die folgende Behauptung:

(3) Für alle $\varepsilon >0$ existiert ein $\delta =\delta (\varepsilon )>0$, so dass $|f(t)-A|<\varepsilon$ für alle $t\in D$ mit $\left|t-x\right|<\delta$ erfüllt ist.

Dann existiert ein $\varepsilon >0$, sodass es zu jedem $\delta >0$ einen Punkt $t\in D$ mit $\left|t-x\right|<\delta$ gibt, welcher $|f(t)-A|\geq \varepsilon$ erfüllt. Wählen wir nun sukzessiv $\delta ={\frac {1}{p}},\quad p=1,2,\ldots$ so finden wir Punkte

$x^{(p)}\in D\setminus \{x\}$ mit $|x^{(p)}-x|<{\frac {1}{p}}$ und $|f(x^{(p)})-A|\geq \varepsilon$.

Offenbar ist nun $\lim _{p\to \infty }x^{(p)}=x$ aber $\lim _{p\to \infty }f(x^{(p)})\neq A$ erfüllt – im widerspruch zur voraussetzung (1).

q.e.d.

Definition 4

Sei der Punkt $x\in D$ und die Funktion $f:D\to \mathbb {R} ^{m}$ auf dem Definitionsbereich $D\subset \mathbb {R} ^{n}$ gegeben. Dann heißt die Funktion $f$ stetig im Punkt $x$, wenn es zu jedem $\varepsilon >0$ ein $\delta =\delta (\varepsilon ,x)>0$ mit der Eigenschaft

$|f(t)-f(x)|<\varepsilon$ für alle $t\in D$ mit $\left|t-x\right|<\delta$

gibt.

Satz 2

Sei die Funktion $f:D\to \mathbb {R} ^{m}$ auf dem Definitionsbereich $D\subset \mathbb {R} ^{n}$ erklärt und $x\in D$ ein Häufungspunkt von $D$. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent

1. Es ist $f$ stetig im Punkt $x$;

2. Es gilt

$\lim _{t\to x,t\in D}f(t)=f(x)$;

3. Für alle Folgen

$\{x^{(p)}\}_{p\in \mathbb {N} }\subset D\setminus \{x\}$ mit $x^{(p)}\to x\ (p\to \infty )$

haben wir

$\lim _{p\to \infty }f(x^{(p)})=f(x)$.

Beweis

Dieser folgt sofort aus den Definitionen 2 und 4 sowie Satz 1.

q.e.d.

Satz 3

Seien die Funktionen $f,g:D\to \mathbb {R} ^{m}$ im Punkt $x\in D\subset \mathbb {R} ^{n}$ stetig und die Skalare $a,b\in \mathbb {R}$ beliebig gewählt. Dann ist auch die Funktion

$h(t):=a\cdot f(t)+b\cdot g(t),\quad t\in D$

im Punkt $x$ stetig.

Beweis

Sei $\{x^{(p)}\}_{p\in \mathbb {N} }\subset D\setminus \{x\}$ eine Folge mit $x^{(p)}\to x\ (p\to \infty )$. Dann erhalten wir

(4) $\lim _{p\to \infty }h(x^{(p)})=\lim _{p\to \infty }\{af(x^{(p)})+bg(x^{(p)})\}$

$=a\lim _{p\to \infty }f(x^{(p)})+b\lim _{p\to \infty }g(x^{(p)})=af(x)+bg(x)$.

q.e.d.

Satz 4

Seien die Funktionen $f,g:D\to \mathbb {R} ^{m}$ im Punkt $x\in D\subset \mathbb {R} ^{n}$ stetig. Dann ist auch die Funktion

$h(t):=f(t)\cdot g(t),\quad t\in D$

im Punkt $x$ stetig. Falls zusätzlich $g(t)\neq 0$ für alle $t\in D$ erfüllt ist, so ist auch die Funktion

$k(t):={\frac {f(t)}{g(t)}},\quad t\in D$

stetig im Punkt $x$.

Beweis

Sei $\{x^{(p)}\}_{p\in \mathbb {N} }\subset D\setminus \{x\}$ eine Folge mit $x^{(p)}\to x\ (p\to \infty )$. Dann liefern die grenzwertsätze

$\lim _{p\to \infty }h(x^{(p)})=\lim _{p\to \infty }\{f\cdot g\}(x^{(p)})=\{\lim _{p\to \infty }f(x^{(p)})\}\cdot \{\lim _{p\to \infty }g(x^{(p)})\}=f(x)\cdot g(x)$

sowie

$\lim _{p\to \infty }k(x^{(p)})=\lim _{p\to \infty }\left\{{\frac {f}{g}}\right\}(x^{(p)})={\frac {\lim _{p\to \infty }f(x^{(p)})}{\lim _{p\to \infty }g(x^{(p)})}}={\frac {f(x)}{g(x)}}$.

q.e.d.

Satz 5 (Komposition stetiger Abbildungen)

Seien die Punkte $x\in D\subset \mathbb {R} ^{n}$ und $y\in E\subset \mathbb {R} ^{m}$ gegeben sowie die Funktionen $f:D\to \mathbb {R} ^{m}$ und $g:E\to \mathbb {R} ^{l}$ mit $y=f\left(x\right)$ – dabei sind die Dimensionen $n,m,l\in \mathbb {N}$ gewählt. Weiter sei $f$ stetig im Punkt $x$ und $g$ stetig im Punkt $y$. Dann ist auch die verkettete Funktion bzw. die Komposition

(5) $h(t):=g\circ f(t)=g(f(t))={\Bigl (}g_{1}{\bigl (}f_{1}(t_{1},\ldots ,t_{n}),\ldots ,f_{m}(t_{1},\ldots ,t_{n}){\bigr )},\ldots$

$\ldots ,g_{l}{\bigl (}f_{1}(t_{1},\ldots ,t_{n}),\ldots ,f_{m}(t_{1},\ldots ,t_{n}){\bigr )}{\Bigr )},\quad t=(t_{1},\ldots ,t_{n})\in D$

im Punkt $x$ stetig.

Beweis

Sei $\{x^{(p)}\}_{p\in \mathbb {N} }\subset D\setminus \{x\}$ eine Folge mit $x^{(p)}\to x\ (p\to \infty )$, dann ist

$y^{(p)}=f(x^{(p)}),\quad p\in \mathbb {N}$

die Folge der Funktionswerte. Da f im Punkt x stetig ist gilt

$\lim _{p\to \infty }y^{(p)}=\lim _{p\to \infty }f(x^{(p)})=f(x)=y$.

Da nun $g$ im Punkt $y$ stetig ist, folgt

$\lim _{p\to \infty }h(x^{(p)})=\lim _{p\to \infty }g(f(x^{(p)}))=\lim _{p\to \infty }g(y^{(p)})=g(y)=g(f(x))=h(x)$.

Also ist $h\left(t\right)$ im Punkt $x$ stetig.

Definition 5

Sei die Funktion $f:D\to \mathbb {R} ^{m}$ auf dem Definitionsbereich $D\subset \mathbb {R} ^{n}$ gegeben. Dann heißt die Funktion $f$ stetig auf $D$, wenn $f$ in jedem Punkt $x\in D$ stetig ist.

Definition 6

Den Vektorraum der stetigen Funktionen $f:D\to \mathbb {R} ^{m}$ auf dem Definitionsbereich $D\subset \mathbb {R} ^{n}$ bezeichnen wir mit $C^{0}(D,\mathbb {R} ^{m})$. Hierbei haben wir für $f,g\in C^{0}(D,\mathbb {R} ^{m})$ und $\alpha \in \mathbb {R}$ die Verknüpfungen:

$(f+g)(x):=f(x)+g(x),\quad x\in D$ sowie $(\alpha f)(x):=\alpha f(x),\quad x\in D$.

Falls $m=1$ die Bilddimension darstellt, schreiben wir kurz $C^{0}\left(D\right)$. Auch wenn aus dem Zusammenhang der Bildraum hervorgeht, lassen wir diesen unerwähnt. Mit $C^{0}(D,\mathbb {C} )$ deuten wir im Fall $m=2$ an, dass wir im Bildbereich die komplexe Multiplikation verwenden.

Satz 6 (Stetigkeit der Umkehrfunktion)

Auf der kompakten Menge $D\subset \mathbb {R} ^{n}$ sei die stetige Funktion $f:D\to \mathbb {R} ^{m}$ vermöge $y=f(x),\ x\in D$ mit dem Wertebereich

$W=f(D)=\{y\in \mathbb {R} ^{m}:y=f(x)\ mit\ einem\ x\in D\}$

gegeben. Weiter sei $f:D\to \mathbb {R} ^{m}$ injektiv, d. h. für je zwei Punkte $x^{*},x^{**}\in D$ mit $x^{*}\neq x^{**}$ folgt $f(x^{*})\neq f(x^{**})$. Dann ist die Umkehrfunktion

$g:W\to \mathbb {R} ^{n}$

von $f$ erklärt durch

$g\left(y\right):=x$ für $y\in W$ und $x\in D$ mit $y=f\left(x\right)$

stetig auf $D$. Dabei erfüllt die Umkehrfunktion die Identitäten:

$g\left(f(x)\right)=x$ für alle $x\in D$ und $f\left(g(y)\right)=y$ für alle $y\in W$.

Beweis

Sei $y^{*}\in W$ und $\{y^{(p)}\}_{p\in \mathbb {N} }\subset W$ eine Folge mit $\lim _{p\to \infty }y^{(p)}=y^{*}$. Dann haben wir

(6) $\lim _{p\to \infty }g(y^{(p)})=g(y^{*})$

zu zeigen. Hierzu setzen wir $x^{(p)}:=g(y^{(p)}),\ p\in \mathbb {N}$ und $x^{*}:=g\left(y^{*}\right)$. Wäre die Aussage (6) falsch, so gäbe es von der Folge $\{x^{(p)}\}_{p\in \mathbb {N} }\subset D$ in der kompakten Menge $D$ eine Teilfolge $\{x^{(p_{l})}\}_{l\in \mathbb {N} }\subset D$ mit

$\lim _{l\to \infty }x^{(p_{l})}=x^{**}\in D\setminus \{x^{*}\}$.

Da die Funktion $f$ stetig ist, erhalten wir

$f(x^{**})=f(\lim _{l\to \infty }x^{(p_{l})})=\lim _{l\to \infty }f(x^{(p_{l})})=\lim _{l\to \infty }y^{(p_{l})}=\lim _{p\to \infty }y^{(p)}=y^{*}=f(x^{*})$.

Wegen der Injektivität von $f$ folgt mit $x^{*}=x^{**}$ ein Widerspruch – und (6) ist richtig.

q.e.d.

Definition 7

Sei die Funktion $f:D\to \mathbb {R} ^{m}$ auf dem Definitionsbereich $D\subset \mathbb {R} ^{n}$ gegeben. Dann heißt die Funktion $f$ gleichmäßig stetig auf $D$, wenn es zu jedem $\varepsilon >0$ ein $\delta =\delta \left(\varepsilon \right)>0$ mit der Eigenschaft

$|f(x)-f(y)|<\varepsilon$ für alle $x,y\in D$ mit $|x-y|<\varepsilon$

gibt.

Satz 7

Sei $K\subset \mathbb {R} ^{n}$ eine beschränkte und abgeschlossene – d. h. kompakte – Punktmenge und $f:K\to \mathbb {R} ^{m}$ eine stetige Funktion. Dann ist $f$ gleichmäßig stetig auf $K$.

Beweis

Sei $\varepsilon >0$ vorgegeben. Da die Funktion $f:K\to \mathbb {R} ^{m}$ in jedem Punkt $x\in K$ stetig ist, gibt es zu jedem $x\in K$ ein $\delta =\delta (\varepsilon ,x)>0$ derart, dass für alle $y\in K$ mit $|y-x|<\delta (\varepsilon ,x)$ die Ungleichung $|f(y)-f(x)|<\varepsilon$ gilt. Zu jedem $x\in K$ definieren wir nun die offene Teilmenge

$O_{x}:=\left\{y\in \mathbb {R} ^{n}:|y-x|<{\frac {1}{2}}\delta (\varepsilon ,x)\right\}$

Diese Menge $O_{x},x\in K$ bilden eine offene Überdeckung von $K$. Da $K$ nach Voraussetzung beschränkt und abgeschlossen ist, gibt es nach dem Überdeckungssatz von Heine und Borel endlich viele Punkte

$x^{(1)},\ldots ,x^{(N)}\in K$

mit $N\in \mathbb {N}$, so dass

$K\subset \bigcup _{j=1}^{N}O_{x^{(j)}}$

gilt. Wir setzen jetzt

$\delta (\varepsilon ):=\min \left\{{\frac {1}{2}}\delta (\varepsilon ,x^{(1)}),\ldots ,{\frac {1}{2}}\delta (\varepsilon ,x^{(N)})\right\}>0$.

Nun seien $x,y\in K$ beliebige Punkte mit $|x-y|<\delta (\varepsilon )$. Da die Mengen

$\{O_{x^{(j)}}\}_{j=1,\ldots ,N}$

ein Überdeckungssystem von $K$ bilden, finden wir ein $j\in \{1,\ldots ,N\}$ mit der Eigenschaft

$|x-x^{(j)}|<{\frac {1}{2}}\delta (\varepsilon ,x^{(j)})$.

Weiter gilt dann:

(7) $|y-x^{(j)}|\leq |y-x|+|x-x^{(j)}|$

$<\delta (\varepsilon )+\delta (\varepsilon ,x^{(j)})\leq {\frac {1}{2}}\delta (\varepsilon ,x^{(j)})+{\frac {1}{2}}\delta (\varepsilon ,x^{(j)})=\delta (\varepsilon ,x^{(j)})$.

Wegen der Stetigkeit folgt hieraus $|f(x)-f(x^{(j)})|<\varepsilon$ und $|f(y)-f(x^{(j)})|<\varepsilon$

$|f(x)-f(y)|\leq |f(x)-f(x^{(j)})|+|f(y)-f(x^{(j)})|<2\varepsilon$ für alle $x,y\in K$ mit $|x-y|<\delta (\varepsilon )$.

Also ist $f$ gleichmäßig stetig auf $K$.

q.e.d.

Satz 8 (Fundamentalsatz von Weierstrass über Maxima und Minima)

Auf der kompakten Menge $K\subset \mathbb {R} ^{n}$ sei die reellwertige Funktion $f:K\to \mathbb {R}$ stetig. Dann gibt es Punkte $x^{*}\in K$ und $x^{**}\in K$, so dass

$f(x^{*})\leq f(x)\leq f(x^{**})$ für alle $x\in K$

erfüllt ist.

Beweis

Wir zeigen nur die Existenz von ${\begin{matrix}x^{*}\end{matrix}}$. Durch die Spiegelung $f\mapsto (-f)$ folgt dann die Existenz von ${\begin{matrix}x^{**}\end{matrix}}$. Wir erklären

$\mu :=\inf _{x\in K}f(x)$

und finden eine Folge $\{x^{(p)}\}_{p\in \mathbb {N} }$ mit der Eigenschaft

$f(x^{(p)})\to \mu \ (p\to \infty )$.

Die Folge $\{x^{(p)}\}_{p\in \mathbb {N} }$ ist beschränkt, da die Menge ${\begin{matrix}K\end{matrix}}$ beschränkt ist. Nach dem Häufungsstellensatz von Weierstrass gibt es eine konvergente Teilfolge

$\{x^{(p_{l})}\}_{l\in \mathbb {N} }\subset \{x^{(p)}\}_{p\in \mathbb {N} }\subset K$

mit der Eigenschaft

$x^{(p_{l})}\to \xi \in K\ (l\to \infty )$,

denn die Menge ${\begin{matrix}K\end{matrix}}$ ist abgeschlossen. Wegen der Stetigkeit von ${\begin{matrix}f\end{matrix}}$ auf ${\begin{matrix}K\end{matrix}}$ gilt weiter

$f(\xi )=\lim _{l\to \infty }f(x^{(p_{l})})=\mu =\inf _{x\in K}f(x)$.

Mit ${\begin{matrix}x^{*}:=\xi \end{matrix}}$ haben wir einen Punkt gefunden, an dem ${\begin{matrix}f\end{matrix}}$ das Minimum annimmt.

q.e.d.

Satz 9 (Zwischenwertsatz von Bolzano und Weierstrass)

Sei das Intervall $I:=[a,b]\subset \mathbb {R}$ mit $-\infty <a<b<+\infty$ gegeben sowie eine stetige Funktion $f:I\to \mathbb {R}$ mit der Eigenschaft $f\left(a)<f(b\right)$. Dann gibt es zu jedem Wert $\eta \in (f(a),f(b))$ ein $\xi \in (a,b)$ mit $f\left(\xi \right)=\eta$.

Beweis

Nach Voraussetzung ist die Menge

$D:=\{x\in I:f(x)<\eta \}$

nicht leer. Wir erklären

$\xi :=\sup _{x\in D}x$

und sehen $a\leq \xi <b$ ein. Es gilt

$\xi \geq x$ für alle $x\in D$

und wir finden eine Folge $\{x_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }\subset D$ mit $\lim _{k\to \infty }x_{k}=\xi$. Somit gilt

$f(\xi )\lim _{k\to \infty }f(x_{k})\leq \eta$.

Wäre nun $f\left(\xi \right)<\eta$ richtig, so gäbe es wegen der Stetigkeit von ${\begin{matrix}f\end{matrix}}$ ein ${\begin{matrix}\varepsilon >0\end{matrix}}$, so dass

$f\left(x\right)<\eta$ für alle $x\in (\xi ,\xi +\varepsilon )$

gilt. Dieses steht im Widerspruch zur Wahl von $\xi =\sup _{x\in D}$ und es folgt $f\left(x\right)=\eta$.

q.e.d.

Definition 8

Eine reellwertige Funktion $f:D\to \mathbb {R}$ auf dem Definitionsbereich $D\subset \mathbb {R}$ heißt (schwach) monoton steigend, wenn für alle $x_{+},x_{-}\in D$ mit $x_{-}<x_{+}$ die Ungleichung $f\left(x_{-})<f(x_{+}\right)$ (bzw. $f(x_{-})\leq f(x_{+})$) erfüllt ist. Sie heißt (schwach) monoton fallend, wenn für alle $x_{+},x_{-}\in D$ mit $x_{-}<x_{+}$ die Ungleichung $f\left(x_{-})>f(x_{+}\right)$ (bzw. $f(x_{-})\geq f(x_{+})$) gilt.

Satz 10 (Monotone Umkehrfunktion)

Sei auf dem Intervall $[a,b]\subset \mathbb {R}$ die monoton steigende Funktion $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ erklärt und $A:=f\left(a),B:=f(b\right)$ gesetzt. Dann hat die Gleichung $f\left(x\right)=y$ für jedes $y\in [A,B]$ die eindeutig bestimmte Lösung $x=:g(y)\in [a,b]$. Die so definierte Funktion $g:[A,B]\to \mathbb {R}$ ist auf dem Intervall $\left[A,B\right]$ stetig und es gilt:

(9) $g\circ f(x)=g(f(x))=x$ für alle $x\in [a,b]$ und $f\circ g(y)=f(g(y))=y$ für alle $y\in [A,B]$.

Beweis

Nach dem Zwischenwertsatz hat die Gleichung

$f(x)=y,\quad x\in [a,b]$

für alle $y\in [A,B]$ mindestens eine Lösung. Wir zeigen nun die Eindeutigkeit der Lösung: Gäbe es nämlich zwei Lösungen $a\leq x_{-}<x_{+}\leq b$ mit $f\left(x_{-})=y=f(x_{+}\right)$, so entsteht ein Widerspruch zur Monotonie der Funktion $f$. Also gibt es zu jedem $y\in [A,B]$ genau ein $x\in [a,b]$ mit $f\left(x\right)=y$. Wir erhalten mittels $y\mapsto g(y)=x$ die Umkehrfunktion $g:[A,B]\to [a,b]$. Die Stetigkeit der Umkehrfunktion entnehmen wir sofort dem Satz 6.

q.e.d.

Gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen (§2)

Definition 1

Auf dem Definitionsbereich $D\subset \mathbb {R} ^{n}$ sei die Folge der Funktionen

$f_{k}:D\to \mathbb {R} ^{m},\quad k=1,2,\ldots$

gegeben; dabei sind die Dimensionen $n,m\in \mathbb {N}$ gewählt. Dann heißt diese Funktionenfolge (punktweise) konvergent, wenn für jedes $x\in D$ der Grenzwert $\lim _{k\to \infty }f_{k}(x)$ existiert. Wir nennen dann

$f(x):=\lim _{k\to \infty }f_{k}(x),\quad x\in D$

ihre Grenzfunktion.

Definition 2

Auf dem Definitionsbereich D $\subset \mathbb {R} ^{n}$ sei die Folge der stetigen Funktionen

$f_{k}:D\to \mathbb {R} ^{m}\in C^{0}(D,\mathbb {R} ^{m}),\quad k=1,2,\ldots$

gegeben; dabei sind die Dimensionen $n,m\in \mathbb {N}$ gewählt. Dann heißt diese Funktionenfolge gleichmäßig konvergent, wenn für jedes $\varepsilon >0$ ein Index $N=N(\varepsilon )\in \mathbb {N}$ mit der eigenschaft

(3) $|f_{k}(x)-f(x)|<\varepsilon$ für alle $x\in D$ und alle $k\geq N$

existiert.

Satz 1 (Konvergenzsatz von Weierstrass)

Auf dem Definitionsbereich $D\subset \mathbb {R} ^{n}$ konvergiere die Folge stetiger Funktionen

$f_{k}:D\to \mathbb {R} ^{m}\in C^{0}(D,\mathbb {R} ^{m}),k=1,2,\ldots$

gleichmäßig gegen die Grenzfunktion $f:D\to \mathbb {R} ^{m}$. Dann ist ${\begin{matrix}f\end{matrix}}$ stetig auf ${\begin{matrix}D\end{matrix}}$.

Beweis

Sei $\xi \in D$ beliebig gewählt. Zu vorgegebenem ${\begin{matrix}\varepsilon >0\end{matrix}}$ existiert ein Index $N=N(\varepsilon )\in \mathbb {N}$, so dass (3) erfüllt ist. Da die Funktion $f_{N}:D\to \mathbb {R} ^{m}$ im Punkt ${\begin{matrix}\xi \end{matrix}}$ stetig ist, gibt es ein $\delta =\delta \left(\xi ,\varepsilon ,N\right)>0$, so dass

(4) $|f_{N}\left(x)-f_{N}(\xi \right)|<\varepsilon$ für alle $x\in D$ mit ${\begin{matrix}|x-\xi |<\delta \end{matrix}}$

richtig ist. Somit folgt

(5) $|f(x)-f(\xi )|\leq |f(x)-f_{N}(x)|+|f_{N}(x)-f_{N}(\xi )|+|f_{N}(\xi )-f(\xi )|<3\varepsilon$ für alle $x\in D$ mit ${\begin{matrix}|x-\xi |<\delta \end{matrix}}$.

Also ist ${\begin{matrix}f\end{matrix}}$ stetig in ${\begin{matrix}\xi \end{matrix}}$.

q.e.d.

Satz 2 (Vollständigkeit des $C^{0}$-Raums)

Sei die Folge stetiger Funktionen

$f_{k}:D\to \mathbb {R} ^{m}\in C^{0}(D,\mathbb {R} ^{m}),\quad k=1,2,\ldots$

auf dem Definitionsbereich $D\subset \mathbb {R} ^{n}$ gegeben. Dann konvergiert die Funktionenfolge $\{f_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }$ gleichmäßig gegen die stetige Grenzfunktion $f:D\to \mathbb {R} ^{m}$ genau dann, wenn es zu jedem $\varepsilon >0$ einen Index $N=N(\varepsilon )\in \mathbb {N}$ gibt, so dass

(6) $|f_{k}(x)-f_{l}(x)|<\varepsilon$ für alle $x\in D$ und alle $k,l\geq N$

erfüllt ist.

Beweis

$''\Rightarrow ''$ Die Funktionenfolge $\{f_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }$ konvergiere gleichmäßig auf $D$ gegen die Grenzfunktion $f$. Dann gibt es zu jedem $\varepsilon >0$ einen Index $N=N(\varepsilon )\in \mathbb {N}$, so dass $|f_{k}(x)-f(x)|<{\frac {\varepsilon }{2}}$ für alle $x\in D$ und alle $k\geq N$ ausfällt. Damit folgt

(7) $|f_{k}(x)-f_{l}(x)|\leq |f_{k}(x)-f(x)|+|f(x)-f_{l}(x)|<\varepsilon$ für alle $x\in D$ und alle $k,l\geq N$.

$''\Leftarrow ''$ Zu vorgegebenem $\varepsilon >0$ existiert nun ein Index $N=N(\varepsilon )\in \mathbb {N}$ mit der Eigenschaft (6). Damit ist die Punktfolge eine Cauchyfolge im $\mathbb {R} ^{m}$. Wegen der Vollständigkeit dieses Raumes existiert der Grenzwert

$f(x):=\lim _{k\to \infty }f_{k}(x)\in \mathbb {R} ^{m}$

für alle $x\in D$. In der Ungleichung (6) vollziehen wir den Grenzübergang $l\to \infty$ und wir erhalten für jedes $\varepsilon >0$ ein $N=N(\varepsilon )\in \mathbb {N}$ mit folgender Eigenschaft:

$|f_{k}(x)-f(x)|<\varepsilon$ für alle $x\in D$ und alle $k\geq N$.

Also konvergiert die Funktionenfolge $\{f_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }$ gleichmäßig auf $D$ gegen $f$.

q.e.d.

Definition 3

Auf dem Raum $C^{0}(D,\mathbb {R} ^{m})$ mit $D\subset \mathbb {R} ^{n}$ erklären wir die Supremumsnorm oder auch $C^{0}$-Norm wie folgt:

(8) $\|f\|_{0}=\|f\|_{C^{0}(D,\mathbb {R} ^{m})}:=\sup _{x\in D}|f(x)|\quad f\in C^{0}(D,\mathbb {R} ^{m})$.

Definition 4

Auf dem Definitionsbereich $D\subset \mathbb {R} ^{n}$ sei die Folge stetiger Funktionen

$f_{k}:D\to \mathbb {C} \in C^{0}(D,\mathbb {C} ),\quad k=0,1,2,\ldots$

gegeben; dabei ist die Dimension $n\in \mathbb {N}$ gewählt. Dann heißt die Funktionenreihe

$\sum _{k=0}^{\infty }f_{k}:D\to \mathbb {C} :x\mapsto \sum _{k=0}^{\infty }f_{k}(x)$

gleichmäßig konvergent auf $D$, wenn die Folge der Partialsummen

$s_{m}(x):=\sum _{k=0}^{m}f_{k}(x),\quad x\in D\quad m=0,1,2,\ldots$

gleichmäßig auf $D$ konvergiert.

Satz 3 (Weierstraßscher Majorantentest bzw. M-Test)

Auf dem Definitionsbereich $D\subset \mathbb {R} ^{n}$ sei die Folge stetiger Funktionen

$f_{k}:D\to \mathbb {C} \in C^{0}(D,\mathbb {C} ),k=0,1,2,\ldots$

gegeben, welche der Ungleichung

$|f_{k}(x)|\leq M_{k},x\in D$

für alle $k\in \mathbb {N} _{0}$ genügen. Dabei bilden die Zahlen

$M_{k}\in [0,+\infty ),k=0,1,2,\ldots$

gemäß

$\sum _{k=0}^{\infty }M_{k}<\infty$

eine konvergente Reihe. Dann konvergiert die Funktionenreihe

$\sum _{k=0}^{\infty }f_{k}:D\to \mathbb {C}$

gleichmäßig auf $D$.

Beweis

Zu vorgegebenem $\varepsilon >0$ gibt es einen Index $N=N(\varepsilon )\in \mathbb {N}$ dass für alle $p,q\in \mathbb {N}$ mit $q>p\geq N$ die Ungleichung

$\sum _{k=p+1}^{q}M_{k}\leq \varepsilon$

gilt. Damit ist

(10) $|s_{q}(x)-s_{p}(x)|=|\sum _{k=p+1}^{q}f_{k}(x)|\leq \sum _{k=p+1}^{q}M_{k}\leq \varepsilon$ für alle $x\in D$ und alle $q>p\geq N$

erfüllt, sodass die Folge der Partialsummen $\{s_{q}\}_{q\in \mathbb {N} _{0}}$ gleichmäßig konvergent ist.

q.e.d.

Satz 4 (Stetigkeit von Potenzreihen)

Die Potenzreihe

$P(z):=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$

konvergiere für alle $z\in \mathbb {C}$ mit $\left|z\right|<R$ bei festem Radius $R\in (0,+\infty ]$. Dann konvergiert für jeden Radius $0<R_{0}<R$ die Potenzreihe

$P(z),\quad z\in \mathbb {C}$ mit $\left|z\right|\leq R_{0}$

gleichmäßig. Somit stellt

$P(z),\quad z\in \mathbb {C}$ mit $\left|z\right|<R$

eine stetige Funktion dar.

Beweis

Für alle Punkte $z\in \mathbb {C}$ mit $\left|z\right|\leq R_{0}$ gilt

$|a_{n}z^{n}|\leq |a_{n}|R_{0}^{n},\quad n\in \mathbb {N} _{0}$.

Der Satz 12 aus §6 in Kapitel I liefert die konvergenz der Reihe

$\sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|R_{0}^{n}<\infty$.

Der Weierstraßsche Majorantentest impliziert die gleichmäßige Konvergenz der Reihe $P\left(z\right)$ in der abgeschlossenen Kreisscheibe $\{z\in \mathbb {C} :|z|\leq R_{0}\}$ und folglich ist $P\left(z\right)$ dort stetig. Da der Radius $0<R_{0}<R$ beliebig gewählt wurde, ist $P\left(z\right)$ sogar stetig in der offenen Kreisscheibe $\{z\in \mathbb {C} :|z|<R\}$.

q.e.d.

Satz 5 (Leibnizsche Potenzreihe)

Sei $\{a_{k}\}_{k\in \mathbb {N} _{0}}\subset \mathbb {R}$ eine absteigende reelle Zahlenfolge mit

$a_{0}\geq a_{1}\geq a_{2}\geq \ldots \geq 0$

und dem Grenzwert $\lim _{k\to \infty }a_{k}=0$. Dann ist die durch

$P(z):=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k},\quad z\in \mathbb {C} ,\quad |z|\leq 1,\quad z\neq 1$

definierte Funktion stetig auf ihrem Definitionsbereich.

Beweis

Nach Satz 4 stellt $P\left(z\right)$ für $\left|z\right|<1$ eine stetige Funktion dar. Zu zeigen bleibt die Stetigkeit für $\left|z\right|=1$ und $z\neq 1$. Hierzu betrachten wir die Folge stetiger Funktionen.

(11) $f_{n}(z):=\sum _{k=0}^{n}a_{k}z^{k},\quad z\in \mathbb {C} ,\quad |z|\leq 1,\quad |z-1|\geq \delta ,\quad n=0,1,2,\ldots$

mit einem $\delta >0$. Wir zeigen mittels partieller Summation, dass $\{f_{n}(z)\}_{n\in \mathbb {N} _{0}}$ dort gleichmäßig gegen $P\left(z\right)$ konvergiert. Wenn wir über $N$ später verfügen, so ergibt sich für $n\geq m\geq N$ die Ungleichung

(12) $|f_{n}(z)-f_{m}(z)|\leq a_{N+1}\cdot {\frac {2}{|1-z|}}$,

wie man den Abschätzungen

(13) $|f_{n}(z)-f_{m}(z)|=\left|\sum _{k=m+1}^{n}a_{k}z^{k}\right|\leq a_{N+1}\cdot \sup _{q>p\geq N+1}\left|\sum _{k=p}^{q}z^{k}\right|$

und

(14) $\left|\sum _{k=p}^{q}z^{k}\right|=\left|z^{p}\sum _{k=p}^{q}z^{k-p}\right|{\stackrel {|z|\leq 1}{\leq }}\left|\sum _{k=p}^{q}z^{k-p}\right|{\stackrel {p=k-l}{\leq }}\left|\sum _{l=0}^{q-p}z^{l}\right|$

$=\left|{\frac {1-z^{1+q-p}}{1-z}}\right|{\stackrel {|z-1|\neq 0}{\leq }}{\frac {1+|z|^{1+q-p}}{|1-z|}}\leq {\frac {2}{|1-z|}}$

entnimmt. Also erhalten wir

(15) $|f_{n}(z)-f_{m}(z)|\leq a_{N+1}\cdot {\frac {2}{\delta }}$ für alle $z\in \mathbb {C}$ mit $|z|\leq 1$ und $|z-1|\geq \delta$,

falls $n>m\geq N(\varepsilon ,\delta )$ erfüllt ist – mit einem hinreichend großen $N(\varepsilon ,\delta )\in \mathbb {N}$. Somit stellt

$P(z)=\lim _{n\to \infty }f_{n}(z),\quad z\in \mathbb {C} ,\quad |z|\leq 1,\quad |z-1|\geq \delta$

für alle $\delta >0$ eine stetige Funktion dar.

q.e.d.

Satz 6 (Abelscher Stetigkeitssatz)

Sei $\{a_{k}\}_{k\in \mathbb {N} _{0}}\subset \mathbb {C}$ eine komplexe Zahlenfolge, so dass die Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ konvergiert. Dann folgt die Stetigkeit der Funktion $f:[0,1]\to \mathbb {C}$ definiert durch

(16) $f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k},\quad 0\leq x\leq 1$.

Beweis

Da die Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ konvergiert, ist auch die Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}$ für alle $x\in [0,1]$ konvergent. Es bleibt nur die Stetigkeit von $f$ im Punkt $x=1$ zu zeigen: Hierzu weisen wir die gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge

(17) $f_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k},\quad 0\leq x\leq 1,\quad n=0,1,2,\ldots$

nach. Zu vorgegebenem $\varepsilon >0$ gibt es ein $N=N(\varepsilon )\in \mathbb {N}$, so dass

${\Bigl |}\sum _{k=m+1}^{n}a_{k}{\Bigr |}\leq \varepsilon$ für alle $n>m\geq N$

richtig ist. Somit folgt für alle $n>m\geq N$ mittels partieller Summation

(18) $|f_{n}(x)-f_{m}(x)|={\Bigl |}\sum _{k=m+1}^{n}a_{k}{\Bigr |}\leq x^{m+1}\cdot \varepsilon \leq \varepsilon ,\quad 0\leq x\leq 1$.

Da die Funktionen $f_{n}$ auf $[0,1]$ stetig sind für $n=0,1,2,\ldots$ und sie dort konvergieren liefert Satz 1 die Stetigkeit der Grenzfunktion

$f(x)=\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k},\quad 0\leq x\leq 1$.

q.e.d.

Satz 7 (Cauchyscher Produktsatz)

Seien $\{a_{k}\}_{k\in \mathbb {N} _{0}}\subset \mathbb {C}$ und $\{b_{k}\}_{k\in \mathbb {N} _{0}}\subset \mathbb {C}$ Folgen komplexer Zahlen, so dass die Reihen

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k},\quad \sum _{k=0}^{\infty }b_{k},\quad \sum _{k=0}^{\infty }c_{k}$

mit den Koeffizienten

$c_{k}:=\sum _{p=0}^{k}a_{p}b_{k-p},\quad k=0,1,2,\ldots$

konvergieren. Dann gilt die Identität

$\left(\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\right)\cdot \left(\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}$.

Beweis

Wir definieren die Funktionen

(19) $f(x):=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k},\quad g(x):=\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}x^{k},\quad h(x):=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}x^{k},\quad 0\leq x\leq 1$,

welche nach dem Abelschen Stetigkeitssatz auf dem intervall $\left[0,1\right]$ stetig sind. Für alle Punkte $x\in [0,1)$ gilt nun

(20) $f(x)\cdot g(x)=\left(\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}\right)\cdot \left(\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}x^{k}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}x^{k}=h(x)$,

da die Reihen dort absolut konvergieren. Beim Grenzübergang $x\to 1$ erhalten wir

(21) $\left(\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\right)\cdot \left(\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}\right)=f(1)\cdot g(1)=h(1)=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}$.

q.e.d.

Reelle und komplexe Differenzierbarkeit (§3)

Definition 1

Sei das offene Intervall $I:=\left(a,b\right)$ mit den Grenzen $-\infty \leq a<b\leq +\infty$ sowie die Dimension $m\in \mathbb {N}$ gegeben. Dann nennen wir die Funktion

$f:I\to \mathbb {R} ^{m}$

im Punkt $x_{0}\in I$ (reell) differenzierbar, falls der Grenzwert

(1) $\lim _{x\to x_{0},x\neq x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}=:f'(x_{0})\in \mathbb {R} ^{m}$

existiert. Wir nennen $f'(x_{0})\in \mathbb {R} ^{m}$ die Ableitung von $f$ im Punkt $x_{0}$.

Bemerkung

Die Existenz des obigen Grenzwerts (1) bedeutet, dass für jede Folge $\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subset I\setminus \{x_{0}\}$ mit $\lim _{n\to \infty }x_{n}=x_{0}$ folgendes gilt:

(2) $\lim _{n\to \infty }{\frac {f(x_{n})-f(x_{0})}{x_{n}-x_{0}}}=f'(x)\in \mathbb {R} ^{m}$.

Satz 1

Die Funktion $f$ aus Definition 1 ist genau dann im Punkt $x_{0}\in I$ differenzierbar, wenn es eine stetige Funktion

$\phi (.)=\phi (.,x_{0}):I\to \mathbb {R} ^{m}$ mit der Eigenschaft $\phi (x_{0})=0$

so gibt, dass die linear approximative Darstellung

$f(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})\cdot (x-x_{0})+(x-x_{0})\cdot \phi (x),\quad x\in I$

erfüllt ist.

Beweis

$''\Rightarrow ''$ Sei $f$ an der Stelle $x_{0}$ differenzierbar. Dann erklären wir die Hilfsfunktion

(4) $\phi (x)=\phi (x,x_{0}):={\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}-f'(x_{0})$ für $x\in I\setminus \{x_{0}\},\quad :=0$ für $x=x_{0}$.

Die Differenzierbarkeit liefert

(5) $\lim _{x\to x_{0},x\neq x_{0}}\phi (x,x_{0})=\left(\lim _{x\to x_{0},x\neq x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}\right)-f'(x_{0})=0$

Stellen wir (4) geeignet um, so finden wir die gesuchte Darstellung (3).

$''\Leftarrow ''$ Wir gehen nun von der Darstellung (3) aus, subtrahieren $f(x_{0})$ und dividieren durch $x-x_{0}$:

(6) ${\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}=f'(x_{0})+\phi (x),\quad x\in I\setminus \{x_{0}\}$.

Hieraus ermitteln wir

(7) $\lim _{x\to x_{0},x\neq x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}=f'(x_{0})$,

womit die Differenzierbarkeit von $f$ im Punkt $x_{0}$ folgt.

q.e.d.

Satz 2

Sei die Funktion $f$ aus Definition 1 im Punkt $x_{0}\in I$ differenzierbar. Dann ist sie dort auch stetig.

Definition 2

Sei die Funktion $f$ aus Definition 1 gegeben. Falls diese in allen Punkten $x_{0}\in I$ differenzierbar ist, nennen wir $f$ differenzierbar in $I$. Wir erhalten dann die abgeleitete Funktion

$f':I\to \mathbb {R} ^{m}$ vermöge $x\in I,x\mapsto f'(x)\in \mathbb {R} ^{m}$

oder kurz die Ableitung von $f$ auf $I$.

Satz 3 (Linearität der Differentiation)

Seien im offenen Intervall $I:=(a,b)$ mit den Grenzen $-\infty \leq a<b\leq +\infty$ die Funktionen

$f,g:I\to \mathbb {R} ^{m}$

im Punkt $x_{0}\in I$ differenzierbar und die Skalare $\alpha ,\beta \in \mathbb {R}$ beliebig gewählt. Dann ist auch die Funktion

$h(x):=\alpha \cdot f(x)+\beta \cdot g(x),\quad x\in I$

im Punkt $x_{0}$ differenzierbar und es gilt

(9) $h'(x_{0}):=\alpha \cdot f'(x_{0})+\beta \cdot g'(x_{0})$.

Beweis

Für alle $x\in I\setminus \{x_{0}\}$ ermitteln wir die Identität

${\frac {h(x)-h(x_{0})}{x-x_{0}}}=\alpha \cdot {\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}+\beta \cdot {\frac {g(x)-g(x_{0})}{x-x_{0}}}$.

Hieraus folgt durch Grenzübergang $x\to x_{0}$ die Gleichung (9).

Definition 3

Falls die differenzierbare Funktion $f$ aus Definition 2 eine stetige Ableitung

$f':I\to \mathbb {R} ^{m}\in C^{0}(I,\mathbb {R} ^{m})$

besitzt, so sprechen wir von einer in $I$ stetig differenzierbaren Funktion. Der Vektorraum der 1-mal stetig differenzierbaren Funktionen auf dem offenen Intervall $I$ wird gegeben durch

(11) $C^{1}(I,\mathbb {R} ^{m}):=\{f:I\to \mathbb {R} ^{m}\in C^{0}(I,\mathbb {R} ^{m}):$

$es\ existiert\ f'=f'(x)\in C^{0}(I,\mathbb {R} ^{m})\}$

mit den Verknüpfungen aus Definition 6 in §1. Falls die intervallgrenzen $-\infty <a<b<+\infty$ erfüllen, so erklären wir den Vektorraum der 1-mal stetig differenzierbaren Funktionen auf dem kompakten Intervall ${\overline {I}}$ wie folgt:

(12) $C^{1}({\overline {I}},\mathbb {R} ^{m}):=\{f':I\to \mathbb {R} ^{m}\in C^{1}(I,\mathbb {R} ^{m}):$

$f=f(x)\ und\ f'=f'(x)\ sind\ stetig\ auf\ {\overline {I}}\ fortsetzbar\}$.

Satz 4 (Produktregel)

Seien im offenen Intervall $I:=(a,b)$ mit den Grenzen $-\infty \leq a<b\leq +\infty$ die Funktionen

$f,g:I\to \mathbb {C}$

im Punkt $x_{0}\in I$ differenzierbar. Dann ist auch die Funktion

$h(x):=f(x)\cdot g(x),\quad x\in I$

im Punkt $x_{0}$ differenzierbar und es gilt

(13) $h'(x_{0}):=f'(x_{0})\cdot g(x_{0})+f(x_{0})\cdot g'(x_{0})$.

Beweis

Für alle $x\in I\setminus \{x_{0}\}$ berechnen wir

(14) ${\frac {h(x)-h(x_{0})}{x-x_{0}}}={\frac {f(x)\cdot g(x)-f(x_{0})\cdot g(x_{0})}{x-x_{0}}}$

$={\frac {f(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g(x_{0})+f(x)\cdot g(x_{0})-f(x_{0})\cdot g(x_{0})}{x-x_{0}}}$

$=f(x)\cdot {\frac {g(x)-g(x_{0})}{x-x_{0}}}+{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}\cdot g(x_{0})$.

Der Grenzübergang $x\to x_{0}$ liefert schließlich die Identität (13).

q.e.d.

Satz 5 (Quotientenregel)

Seien im offenen Intervall $I:=(a,b)$ mit den Grenzen $-\infty \leq a<b\leq +\infty$ die Funktionen

$f,g:I\to \mathbb {C}$

im Punkt $x_{0}\in I$ differenzierbar. Weiter sei die Bedingung

$g(x)\neq 0$ für alle $x\in I$

erfüllt. Dann ist auch die Funktion

$h(x):={\frac {f(x)}{g(x)}},\quad x\in I$

im Punkt $x_{0}$ differenzierbar und es gilt

(15) $h'(x_{0}):={\frac {f'(x_{0})\cdot g(x_{0})-f(x_{0})\cdot g'(x_{0})}{g^{2}(x_{0})}}$.

Beweis

Für alle $x\in I\setminus \{x_{0}\}$ ermitteln wir

(16) ${\frac {h(x)-h(x_{0})}{x-x_{0}}}=\left({\frac {f(x)}{g(x)}}-{\frac {f(x_{0})}{g(x_{0})}}\right)\cdot {\frac {1}{x-x_{0}}}$

$={\frac {f(x)\cdot g(x_{0})-f(x_{0})\cdot g(x_{0})+f(x_{0})\cdot g(x_{0})-f(x_{0})\cdot g(x)}{g(x)\cdot g(x_{0})\cdot (x-x_{0})}}$

${\frac {1}{g(x)\cdot g(x_{0})}}\left(g(x_{0})\cdot {\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}-f(x_{0})\cdot {\frac {g(x)-g(x_{0})}{x-x_{0}}}\right)$.

Wiederum liefert der Grenzübergang $x\to x_{0}$ die behauptete Identität (15).

Satz 6 (Kettenregel)

Sei im offenen Intervall $I:=(a,b)$ mit den Grenzen $-\infty \leq a<b\leq +\infty$ die Funktion

$f=f(x):I\to \mathbb {R}$

im Punkt $x_{0}\in I$ differenzierbar und der Bildpunkt $y_{0}:=f(x_{0})$ erklärt. Auf dem Intervall $J:=(A,B)$ mit den Grenzen $-\infty \leq A<B\leq +\infty$ sei die Funktion

$g=g(y):J\to \mathbb {R} ^{m}$

im Punkt $y_{0}\in J$ differenzierbar und die Inklusion $f(I)\subset J$ sei erfüllt. Dann ist auch die Funktion

$h(x):=g\circ f(x)=g{\Bigl (}f(x){\Bigr )},\quad x\in I$

im Punkt $x_{0}$ differenzierbar und es gilt die Kettenregel

(17) $h'(x_{0})=g'{\Bigl (}f(x_{0}){\Bigr )}\cdot f'(x_{0})=g'(y_{0})\cdot f'(x_{0})$.

Beweis

Wir betrachten beliebige Folgen $\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subset I\setminus \{x_{0}\}$ mit dem Grenzwert $\lim _{n\to \infty }x_{n}=x_{0}$. Wir definieren

$y_{n}:=f(x_{n}),\quad n=1,2,\ldots$ sowie $y_{0}:=f(x_{0})$

und setzen zunächst die Bedingung

(18) $y_{n}=f(x_{n})\neq f(x_{0})=y_{0}$ für alle $n\geq N$

mit einem hinreichend großen Index $N\in \mathbb {N}$ voraus. Dann erweitern wir die Differenzenquotienten

(19) ${\frac {h(x_{n})-h(x_{0})}{x_{n}-x_{0}}}={\frac {g{\Bigl (}f(x_{n}){\Bigr )}-g{\Bigl (}f(x_{0}){\Bigr )}}{x_{n}-x_{0}}}={\frac {g(y_{n})-g(y_{0})}{x_{n}-x_{0}}}$

$={\frac {g(y_{n})-g(y_{0})}{y_{n}-y_{0}}}\cdot {\frac {f(x_{n})-f(x_{0})}{x_{n}-x_{0}}}$

Hieraus folgt durch Grenzübergang $n\to \infty$ die Gleichung (17). Insofern die Bedingung (18) verletzt ist, so gibt es eine Teilfolge

$\{x'_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subset \{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ mit $f(x'_{n})=f(x_{0})$ für alle $n\in \mathbb {N}$.

Wir erhalten dann für die Differenzenquotienten

(20) ${\frac {h(x'_{n})-h(x_{0})}{x'_{n}-x_{0}}}={\frac {g{\Bigl (}f(x'_{n}){\Bigr )}-g{\Bigl (}f(x_{0}){\Bigr )}}{x'_{n}-x_{0}}}=0$.

Beim Grenzübergang $n\to \infty$ erhalten wir wiederum

$h'(x_{0})=0=g'(y_{0})\cdot f'(x_{0})$.

q.e.d.

Satz 7 (Differentiation der Umkehrfunktion)

Seien die offenen Intervalle $I:=(a,b)$ mit den Grenzen $-\infty <a<b<+\infty$ und $J:=(A,B)$ mit $-\infty <A<B<+\infty$ gegeben. Die stetige, streng monotone, surjektive Funktion

$f:{\overline {I}}\to {\overline {J}}$

besitze die Umkehrfunktion

$g=g(y):{\overline {J}}\to {\overline {I}}$.

Weiter sei $f$ in $I$ differenzierbar und erfülle $f'(x)\neq 0$ für alle $x\in I$. Dann ist die Funktion

$g(y),\quad y\in {\overline {I}}$

im offenen Intervall $J$ differenzierbar und es gilt

(21) $g'(y)={\frac {1}{f'{\Bigl (}g(y){\Bigr )}}},\quad y\in J$.

Beweis

Wir wählen einen Punkt $y_{0}\in J$ beliebig sowie eine Folge

$\{y_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subset J\setminus \{y_{0}\}$ mit $\lim _{n\to \infty }y_{n}=y_{0}$.

Wegen der Stetigkeit der Umkehrfunktion ist für die Folge

$x_{n}:=g(y_{n}),\quad n=1,2,3,\ldots$

die Relation $\lim _{n\to \infty }x_{n}=g(y_{0})=:x_{0}$ erfüllt. Wir erhalten dann

(22) ${\frac {g(y_{n})-g(y_{0})}{y_{n}-y_{0}}}={\frac {x_{n}-x_{0}}{f(x_{n})-f(x_{0})}}=\left\{{\frac {f(x_{n})-f(x_{0})}{x_{n}-x_{0}}}\right\}^{-1}$

für alle $n\in \mathbb {N}$. Wegen $f'(x_{0})\neq 0$ erhalten wir

(23) $\lim _{n\to \infty }{\frac {g(y_{n})-g(y_{0})}{y_{n}-y_{0}}}={\frac {1}{f'{\Bigl (}g(y_{0}){\Bigr )}}}$.

q.e.d.

Satz 8 (Rollescher Satz)

Sei die Funktion $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ auf dem abgeschlossenen Intervall $\left[a,b\right]$ mit den Grenzen $-\infty <a<b<+\infty$ stetig und auf dem offenen Intervall $\left(a,b\right)$ differenzierbar. Weiter sei $f\left(a)=0=f(b\right)$ erfüllt. Dann gibt es eine Stelle $\xi \in (a,b)$ mit $f'\left(\xi \right)=0$.

Beweis

Falls $f(x)=0,x\in [a,b]$ erfüllt ist, so folgt $f'(x)=0,x\in (a,b)$ und die Aussage des Satzes ist richtig.

Andernfalls gibt es ein $x_{0}\in (a,b)$ mit $f(x_{0})\neq 0$ und wir können ohne Einschränkung $f\left(x_{0}\right)>0$ annehmen. Nach Satz 8 aus §1 gibt es eine Maximalstelle $\xi \in (a,b)$ mit der Eigenschaft

(24) $f(x)\leq f(\xi )$ für alle $x\in [a,b]$.

Wir betrachten jetzt den Differenzenquotienten mit den Eigenschaften

(25) ${\frac {f(x)-f(\xi )}{x-\xi }}\geq 0$ für alle $a\leq x<\xi$ und ${\frac {f(x)-f(\xi )}{x-\xi }}\leq 0$ für alle $b\geq x>\xi$.

Da $f$ im Punkt $\xi$ differenzierbar ist, liefern der links- und rechtsseitige Grenzwert in (23) die Beziehung

(26) $f'(\xi )\geq 0$ bzw. $f'(\xi )\leq 0$.

Somit folgt $f'\left(\xi \right)=0$.

q.e.d.

Satz 9 (Allgemeiner Mittelwertsatz der Differentialrechnung)

Seien die Funktionen $f,g:[a,b]\to \mathbb {R}$ auf dem abgeschlossenen Intervall $\left[a,b\right]$ mit den Grenzen $-\infty <a<b<+\infty$ stetig und auf dem offenen Intervall $\left(a,b\right)$ differenzierbar. Weiter gelte

$g'(x)\neq 0$ für alle $x\in (a,b)$

und $g(a)\neq g(b)$. Dann gibt es eine Stelle $\xi \in (a,b)$ mit

${\frac {f'(\xi )}{g'(\xi )}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}$.

Beweis

Wir betrachten die Hilfsfunktion

(27) $h(x):=f(x)-f(a)-{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}\cdot {\bigl (}g(x)-g(a){\bigr )},\quad x\in [a,b]$.

Wir ermitteln, dass $h$ in $\left[a,b\right]$ stetig und in $\left(a,b\right)$ differenzierbar ist sowie

$h\left(a)=0=h(b\right)$.

Nach dem Rolleschen Satz gibt es einen Punkt $\xi \in (a,b)$ mit der Eigenschaft

(28) $0=h'(\xi )=f'(\xi )-{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}\cdot g'(\xi )$

bzw.

(29) ${\frac {f'(\xi )}{g'(\xi )}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}$.

q.e.d.

Satz 10 (Mittelwertsatz der Differentialrechnung)

Sei die Funktion $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ auf dem abgeschlossenen Intervall $\left[a,b\right]$ mit den Grenzen $-\infty <a<b<+\infty$ stetig und auf dem offenen Intervall $\left(a,b\right)$ differenzierbar. Dann gibt es eine Stelle $\xi \in (a,b)$ mit der Eigenschaft

$f'(\xi )={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$.

Bemerkungen

1. Man findet also im Innern des Intervalls einen Punkt, wo das Steigungsmaß der Tangente an die Funktion $f$ mit dem der Sekante durch die Punkte $(a,f(a))$ und $(b,f(b))$ übereinstimmt.
2. Über den Mittelwertsatz sieht man leicht ein, dass eine Funktion schwach monoton steigend bzw. fallend ist, falls ihre Ableitung nicht negativ bzw. nicht positiv in ihrem Definitionsintervall ist.

Definition 4

Auf der offenen Menge $\Omega \subset \mathbb {C}$ sei die Funktion $f=f(z):\Omega \to \mathbb {C}$ erklärt und der Punkt $z_{0}\in \Omega$ sei gewählt. Dann heißt $f$ im Punkt $z_{0}$ komplex differenzierbar, wenn der Grenzwert

$\lim _{z\to z_{0},z\neq z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}=:f'(z_{0})$

existiert. Wir nennen $f'\left(z_{0}\right)$ die komplexe Ableitung der Funktion $f$ an der Stelle $z_{0}$. Falls $f'\left(z\right)$ für alle $z\in \Omega$ existiert und die Funktion $f'=f'(z):\Omega \to \mathbb {C}$ stetig ist, nennen wir die Funktion $f$ holomorph in $\Omega$.

Bemerkungen

Mit den konvergenten Potenzreihen werden wir in Satz 15 wichtige Beispiele holomorpher Funktionen kennen lernen. Insbesondere stellen also die Polynome holomorphe Funktionen dar. Wir geben nun mit der Funktion

$f(z):={\overline {z}},\quad z\in \mathbb {C}$

eine nicht holomorphe Funktion an. Für einen beliebigen Punkt $z\in \mathbb {C}$ betrachten wir die Grenzwerte

$\lim _{h\to 0,h>0}{\frac {f(z+ih)-f(z)}{(z+ih)-z}}=\lim _{h\to 0,h>0}{\frac {{\overline {(z+ih)}}-{\overline {z}}}{ih}}=\lim _{h\to 0,h>0}{\frac {-ih}{ih}}=-1$

sowie

$\lim _{h\to 0,h>0}{\frac {f(z+h)-f(z)}{(z+h)-z}}=\lim _{h\to 0,h>0}{\frac {{\overline {(z+h)}}-{\overline {z}}}{h}}=\lim _{h\to 0,h>0}{\frac {h}{h}}=+1$

Somit ist $f$ für kein $z\in \mathbb {C}$ komplex differenzierbar.

Wir notieren nun die Differentiationsregeln für holomorphe Funktionen, die wir wie im Reellen beweisen können; dieses überlassen wir dem Leser zur Übung.

Satz 11 (Linearitäts-, Produkt- und Quotientenregel für holomorphe Funktionen)

Auf der offenen Menge $\Omega \subset \mathbb {C}$ seien die holomorphen Funktionen $f,g:\Omega \to \mathbb {C}$ sowie die komplexen Konstanten $\alpha ,\beta \in \mathbb {C}$ gegeben. Dann sind auch die Funktionen

$h_{1}(z):=\alpha \cdot f(z)+\beta \cdot g(z)$ und $h_{2}(z):=f(z)\cdot g(z),\quad z\in \mathbb {C}$

holomorph und es gilt die Linearitätsregel

$h_{1}'(z):=\alpha \cdot f'(z)+\beta \cdot g'(z)$

bzw. die Produktregel

$h_{2}'(z):=f'(z)\cdot g(z)+f(z)\cdot g'(z),\quad z\in \mathbb {C}$

Falls zusätzlich $g(z)\neq 0$ für alle $z\in \Omega$ gilt, so erfüllt die holomorphe Funktion

$h_{3}(z):={\frac {f(z)}{g(z)}},\quad z\in \Omega$

die Quotientenregel

$h_{3}'(z):={\frac {f'(z)\cdot g(z)-f(z)\cdot g'(z)}{g^{2}(z)}},\quad z\in \Omega$.

Satz 12 (Kettenregel für holomorphe Funktionen)

Seien $\Omega \subset \mathbb {C}$ und $\Theta \subset \mathbb {C}$ zwei offene Mengen, auf denen die holomorphen Funktionen

$f=f(z):\Omega \to \Theta$ und $g=g(w):\Theta \to \mathbb {C}$

erklärt sind. Dann ist auch die Funktion

$h(z):=g\circ f(z)=g{\Bigl (}f(z){\Bigr )},\quad z\in \Omega$

holomorph und es gilt die Kettenregel

$h'(z)=g'{\Bigl (}f(z){\Bigr )}\cdot f'(z),\quad z\in \Omega$.

Satz 13 (Komplexe Kettenregel)

Auf der offenen Menge $\Theta \subset \mathbb {C}$ sei die Funktion $g=g(w):\Theta \to \mathbb {C}$ holomorph – mit der komplexen Ableitung $g'(w),w\in \Theta$. Weiter sei im offenen Intervall $I:=(a,b)$ mit den Grenzen $-\infty \leq a<b\leq +\infty$ die Funktion $f=f(x):I\to \Theta$ reell differenzierbar mit der stetigen Ableitung $f'(x)\in \mathbb {C} ,x\in I$. Dann ist auch die komponierte Funktion

$h(x):=g\circ f(x)=g{\Bigl (}f(x){\Bigr )},\quad x\in I$

im Intervall $I$ stetig differenzierbar und es gilt die komplexe Kettenregel

(30) $h'(x)=g'{\Bigl (}f(x){\Bigr )}\cdot f'(x),\quad x\in I$.

Beweis

Verwende die Argumente aus dem Beweis zu Satz 6.

Satz 14 (Holomorphe Umkehrfunktion)

Seien $\Omega \subset \mathbb {C}$ und $\Theta \subset \mathbb {C}$ zwei offene Mengen, auf denen die holomorphe und bijektive Funktion $f=f(z):\Omega \to \Theta$ mit der Eigenschaft $f'(z)\neq 0$ für alle $z\in \Omega$ erklärt ist. Dann ist auch ihre Umkehrfunktion $g=g(w):\Theta \to \Omega$ holomorph und es gilt

(31) $g'(w)={\frac {1}{f'{\Bigl (}g(w){\Bigr )}}},\quad w\in \Theta$.

Satz 15 (Differentiation von Potenzreihen)

Die Potenzreihe

$f(z):=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n},\quad z\in K_{R}$

konvergiere in der Kreisscheibe $K_{R}:=\{z\in \mathbb {C} :|z|<R\}$ mit dem festen Konvergenzradius $0<R\leq +\infty$. Dann ist die Funktion $f:K_{R}\to \mathbb {C}$ holomorph und es gilt

$f'(z):=\sum _{n=1}^{\infty }na_{n}z^{n-1},\quad z\in K_{R}$

für ihre komplexe Ableitung.

Beweis

1. Zunächst zeigen wir die Konvergenz der gliedweise differenzierten Reihe $\sum _{n=1}^{\infty }na_{n}z^{n-1}$ für alle $z\in K_{R}$. Nach dem Cauchyschen Konvergenzkriterium für Reihen ist die Konvergenz dieser Reihe äquivalent zur Konvergenz der Reihe

$\sum _{n=1}^{\infty }na_{n}z^{n}=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}z^{n}$ mit $b_{n}:=na_{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$.

Nun ermitteln wir

(32) $\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|b_{n}|}}=\limsup _{n\to \infty }\left({\sqrt[{n}]{n}}{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}\right)=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}$.

Folglich hat die gliedweise differenzierte Reihe den gleichen Konvergenzradius wie die ursprüngliche Reihe.

2. Zu festem $z\in \mathbb {C}$ mit