Stetigkeit von Funktionen mehrerer Veränderlicher (§1)[Bearbeiten]
- Seien die Dimensionen
und die Menge

- sowie der Raum

- gegeben. Jedem Punkt
werde vermöge der Funktion

- genau ein Punkt

- zugeordnet. Wir nennen
den Definitionsbereich und

- den Wertebereich der Funktion
. Genauer schreiben wir:

.
- Wir sprechen von einer beschränkten Funktion
, wenn es eine Konstante
gibt, so dass die Abschätzung
für alle 
- richtig ist. Andernfalls sprechen wir von einer unbeschränkten Funktion.
- Sei im Definitionsbereich
der Funktion
ein Häufungspunkt
gewählt. Weiter existiere ein Punkt
, so dass es für alle
ein
gibt mit der Eigenschaft
für alle
mit
.
- Dann heißt A der Limes der Funktion
an der Stelle
und man schreibt:
oder
.
- Auf dem Intervall
mit
sei die Funktion
gegeben. Dann nennen wir

- den rechtsseitigen Limes der Funktion
an der Stelle
und

- den linksseitigen Limes der Funktion
an der Stelle
.
- Sei die Funktion
auf dem Definitionsbereich
gegeben, welcher den Häufungspunkt
enthält. Weiter sei der Punkt
gewählt. Dann gilt die beziehung

- genau dann, wenn für jede Punktfolge
mit 
- die Aussage

- gilt.
„
“:
Sei

erfüllt. Dann gibt es nach Definition 2 für alle
ein
, so dass

für alle

mit

ausfällt. Für eine konvergente Punktfolge

mit

erhalten wir

für alle

und somit folgt
. Also ergibt sich

.
„
“:
Wir zeigen diese Implikation indirekt – unter der Voraussetzung
(1) Für alle

mit

gilt

.
Wäre die Aussage
(2)

falsch – also die folgende Behauptung:
(3) Für alle

existiert ein

, so dass

für alle

mit

erfüllt ist.
Dann existiert ein
, sodass es zu jedem
einen Punkt
mit
gibt, welcher
erfüllt. Wählen wir nun sukzessiv
so finden wir Punkte

mit

und

.
Offenbar ist nun
aber
erfüllt – im widerspruch zur voraussetzung (1).
q.e.d.
- Sei der Punkt
und die Funktion
auf dem Definitionsbereich
gegeben. Dann heißt die Funktion
stetig im Punkt
, wenn es zu jedem
ein
mit der Eigenschaft
für alle
mit 
- gibt.
- Sei die Funktion
auf dem Definitionsbereich
erklärt und
ein Häufungspunkt von
. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent
- 1. Es ist
stetig im Punkt
;
- 2. Es gilt

;
- 3. Für alle Folgen
mit 
- haben wir

.
Dieser folgt sofort aus den Definitionen 2 und 4 sowie Satz 1.
q.e.d.
- Seien die Funktionen
im Punkt
stetig und die Skalare
beliebig gewählt. Dann ist auch die Funktion

- im Punkt
stetig.
Sei
eine Folge mit
. Dann erhalten wir
(4)


.
q.e.d.
- Seien die Funktionen
im Punkt
stetig. Dann ist auch die Funktion

- im Punkt
stetig. Falls zusätzlich
für alle
erfüllt ist, so ist auch die Funktion

- stetig im Punkt
.
Sei
eine Folge mit
. Dann liefern die grenzwertsätze

sowie

.
q.e.d.
Satz 5 (Komposition stetiger Abbildungen)[Bearbeiten]
- Seien die Punkte
und
gegeben sowie die Funktionen
und
mit
– dabei sind die Dimensionen
gewählt. Weiter sei
stetig im Punkt
und
stetig im Punkt
. Dann ist auch die verkettete Funktion bzw. die Komposition
(5)


- im Punkt
stetig.
Sei
eine Folge mit
, dann ist

die Folge der Funktionswerte. Da f im Punkt x stetig ist gilt

.
Da nun
im Punkt
stetig ist, folgt

.
Also ist
im Punkt
stetig.
- Sei die Funktion
auf dem Definitionsbereich
gegeben. Dann heißt die Funktion
stetig auf
, wenn
in jedem Punkt
stetig ist.
- Den Vektorraum der stetigen Funktionen
auf dem Definitionsbereich
bezeichnen wir mit
. Hierbei haben wir für
und
die Verknüpfungen:
sowie
.
- Falls
die Bilddimension darstellt, schreiben wir kurz
. Auch wenn aus dem Zusammenhang der Bildraum hervorgeht, lassen wir diesen unerwähnt. Mit
deuten wir im Fall
an, dass wir im Bildbereich die komplexe Multiplikation verwenden.
Satz 6 (Stetigkeit der Umkehrfunktion)[Bearbeiten]
- Auf der kompakten Menge
sei die stetige Funktion
vermöge
mit dem Wertebereich

- gegeben. Weiter sei
injektiv, d. h. für je zwei Punkte
mit
folgt
. Dann ist die Umkehrfunktion

- von
erklärt durch
für
und
mit 
- stetig auf
. Dabei erfüllt die Umkehrfunktion die Identitäten:
für alle
und
für alle
.
Sei
und
eine Folge mit
. Dann haben wir
(6)

zu zeigen. Hierzu setzen wir
und
. Wäre die Aussage (6) falsch, so gäbe es von der Folge
in der kompakten Menge
eine Teilfolge
mit

.
Da die Funktion
stetig ist, erhalten wir

.
Wegen der Injektivität von
folgt mit
ein Widerspruch – und (6) ist richtig.
q.e.d.
- Sei die Funktion
auf dem Definitionsbereich
gegeben. Dann heißt die Funktion
gleichmäßig stetig auf
, wenn es zu jedem
ein
mit der Eigenschaft
für alle
mit 
- gibt.
- Sei
eine beschränkte und abgeschlossene – d. h. kompakte – Punktmenge und
eine stetige Funktion. Dann ist
gleichmäßig stetig auf
.
Sei
vorgegeben. Da die Funktion
in jedem Punkt
stetig ist, gibt es zu jedem
ein
derart, dass für alle
mit
die Ungleichung
gilt. Zu jedem
definieren wir nun die offene Teilmenge

Diese Menge
bilden eine offene Überdeckung von
. Da
nach Voraussetzung beschränkt und abgeschlossen ist, gibt es nach dem Überdeckungssatz von Heine und Borel endlich viele Punkte

mit
, so dass

gilt. Wir setzen jetzt

.
Nun seien
beliebige Punkte mit
. Da die Mengen

ein Überdeckungssystem von
bilden, finden wir ein
mit der Eigenschaft

.
Weiter gilt dann:
(7)


.
Wegen der Stetigkeit folgt hieraus
und

für alle

mit

.
Also ist
gleichmäßig stetig auf
.
q.e.d.
Satz 8 (Fundamentalsatz von Weierstrass über Maxima und Minima)[Bearbeiten]
- Auf der kompakten Menge
sei die reellwertige Funktion
stetig. Dann gibt es Punkte
und
, so dass
für alle 
- erfüllt ist.
Wir zeigen nur die Existenz von
. Durch die Spiegelung
folgt dann die Existenz von
. Wir erklären

und finden eine Folge
mit der Eigenschaft

.
Die Folge
ist beschränkt, da die Menge
beschränkt ist. Nach dem Häufungsstellensatz von Weierstrass gibt es eine konvergente Teilfolge

mit der Eigenschaft

,
denn die Menge
ist abgeschlossen. Wegen der Stetigkeit von
auf
gilt weiter

.
Mit
haben wir einen Punkt gefunden, an dem
das Minimum annimmt.
q.e.d.
Satz 9 (Zwischenwertsatz von Bolzano und Weierstrass)[Bearbeiten]
- Sei das Intervall
mit
gegeben sowie eine stetige Funktion
mit der Eigenschaft
. Dann gibt es zu jedem Wert
ein
mit
.
Nach Voraussetzung ist die Menge

nicht leer. Wir erklären

und sehen
ein. Es gilt

für alle

und wir finden eine Folge
mit
. Somit gilt

.
Wäre nun
richtig, so gäbe es wegen der Stetigkeit von
ein
, so dass

für alle

gilt. Dieses steht im Widerspruch zur Wahl von
und es folgt
.
q.e.d.
- Eine reellwertige Funktion
auf dem Definitionsbereich
heißt (schwach) monoton steigend, wenn für alle
mit
die Ungleichung
(bzw.
) erfüllt ist. Sie heißt (schwach) monoton fallend, wenn für alle
mit
die Ungleichung
(bzw.
) gilt.
Satz 10 (Monotone Umkehrfunktion)[Bearbeiten]
- Sei auf dem Intervall
die monoton steigende Funktion
erklärt und
gesetzt. Dann hat die Gleichung
für jedes
die eindeutig bestimmte Lösung
. Die so definierte Funktion
ist auf dem Intervall
stetig und es gilt:
Nach dem Zwischenwertsatz hat die Gleichung
![{\displaystyle f(x)=y,\quad x\in [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26151302fe092499ec2042e44a3013882f103de5)
für alle
mindestens eine Lösung.
Wir zeigen nun die Eindeutigkeit der Lösung: Gäbe es nämlich zwei Lösungen
mit
,
so entsteht ein Widerspruch zur Monotonie der Funktion
. Also gibt es zu jedem
genau ein
mit
. Wir erhalten mittels
die Umkehrfunktion
.
Die Stetigkeit der Umkehrfunktion entnehmen wir sofort dem Satz 6.
q.e.d.
Gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen (§2)[Bearbeiten]
- Auf dem Definitionsbereich
sei die Folge der Funktionen

- gegeben; dabei sind die Dimensionen
gewählt. Dann heißt diese Funktionenfolge (punktweise) konvergent, wenn für jedes
der Grenzwert
existiert. Wir nennen dann

- ihre Grenzfunktion.
- Auf dem Definitionsbereich D
sei die Folge der stetigen Funktionen

- gegeben; dabei sind die Dimensionen
gewählt. Dann heißt diese Funktionenfolge gleichmäßig konvergent, wenn für jedes
ein Index
mit der eigenschaft
- existiert.
Satz 1 (Konvergenzsatz von Weierstrass)[Bearbeiten]
- Auf dem Definitionsbereich
konvergiere die Folge stetiger Funktionen

- gleichmäßig gegen die Grenzfunktion
. Dann ist
stetig auf
.
Sei
beliebig gewählt. Zu vorgegebenem
existiert ein Index
, so dass (3) erfüllt ist. Da die Funktion
im Punkt
stetig ist, gibt es ein
, so dass
(4)

für alle

mit

richtig ist. Somit folgt
(5)

für alle

mit

.
Also ist
stetig in
.
q.e.d.
Satz 2 (Vollständigkeit des
-Raums)[Bearbeiten]
- Sei die Folge stetiger Funktionen

- auf dem Definitionsbereich
gegeben. Dann konvergiert die Funktionenfolge
gleichmäßig gegen die stetige Grenzfunktion
genau dann, wenn es zu jedem
einen Index
gibt, so dass
- erfüllt ist.
Die Funktionenfolge
konvergiere gleichmäßig auf
gegen die Grenzfunktion
. Dann gibt es zu jedem
einen Index
, so dass
für alle
und alle
ausfällt. Damit folgt
(7)

für alle

und alle

.
Zu vorgegebenem
existiert nun ein Index
mit der Eigenschaft (6). Damit ist die Punktfolge eine Cauchyfolge im
. Wegen der Vollständigkeit dieses Raumes existiert der Grenzwert

für alle
. In der Ungleichung (6) vollziehen wir den Grenzübergang
und wir erhalten für jedes
ein
mit folgender Eigenschaft:

für alle

und alle

.
Also konvergiert die Funktionenfolge
gleichmäßig auf
gegen
.
q.e.d.
- Auf dem Raum
mit
erklären wir die Supremumsnorm oder auch
-Norm wie folgt:
(8)

.
- Auf dem Definitionsbereich
sei die Folge stetiger Funktionen

- gegeben; dabei ist die Dimension
gewählt. Dann heißt die Funktionenreihe

- gleichmäßig konvergent auf
, wenn die Folge der Partialsummen

- gleichmäßig auf
konvergiert.
Satz 3 (Weierstraßscher Majorantentest bzw. M-Test)[Bearbeiten]
- Auf dem Definitionsbereich
sei die Folge stetiger Funktionen

- gegeben, welche der Ungleichung

- für alle
genügen. Dabei bilden die Zahlen

- gemäß

- eine konvergente Reihe. Dann konvergiert die Funktionenreihe

- gleichmäßig auf
.
Zu vorgegebenem
gibt es einen Index
dass für alle
mit
die Ungleichung

gilt. Damit ist
(10)

für alle

und alle

erfüllt, sodass die Folge der Partialsummen
gleichmäßig konvergent ist.
q.e.d.
Satz 4 (Stetigkeit von Potenzreihen)[Bearbeiten]
- Die Potenzreihe

- konvergiere für alle
mit
bei festem Radius
. Dann konvergiert für jeden Radius
die Potenzreihe

mit

- gleichmäßig. Somit stellt

mit

- eine stetige Funktion dar.
Für alle Punkte
mit
gilt

.
Der Satz 12 aus §6 in Kapitel I liefert die konvergenz der Reihe

.
Der Weierstraßsche Majorantentest impliziert die gleichmäßige Konvergenz der Reihe
in der abgeschlossenen Kreisscheibe
und folglich ist
dort stetig. Da der Radius
beliebig gewählt wurde, ist
sogar stetig in der offenen Kreisscheibe
.
q.e.d.
Satz 5 (Leibnizsche Potenzreihe)[Bearbeiten]
- Sei
eine absteigende reelle Zahlenfolge mit

- und dem Grenzwert
. Dann ist die durch

- definierte Funktion stetig auf ihrem Definitionsbereich.
Nach Satz 4 stellt
für
eine stetige Funktion dar. Zu zeigen bleibt die Stetigkeit für
und
. Hierzu betrachten wir die Folge stetiger Funktionen.
(11)

mit einem
. Wir zeigen mittels partieller Summation, dass
dort gleichmäßig gegen
konvergiert. Wenn wir über
später verfügen, so ergibt sich für
die Ungleichung
(12)

,
wie man den Abschätzungen
(13)

und
(14)


entnimmt. Also erhalten wir
(15)

für alle

mit

und

,
falls
erfüllt ist – mit einem hinreichend großen
. Somit stellt

für alle
eine stetige Funktion dar.
q.e.d.
Satz 6 (Abelscher Stetigkeitssatz)[Bearbeiten]
- Sei
eine komplexe Zahlenfolge, so dass die Reihe
konvergiert. Dann folgt die Stetigkeit der Funktion
definiert durch
(16)

.
Da die Reihe
konvergiert, ist auch die Reihe
für alle
konvergent. Es bleibt nur die Stetigkeit von
im Punkt
zu zeigen: Hierzu weisen wir die gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge
(17)

nach. Zu vorgegebenem
gibt es ein
, so dass

für alle

richtig ist. Somit folgt für alle
mittels partieller Summation
(18)

.
Da die Funktionen
auf
stetig sind für
und sie dort konvergieren liefert Satz 1 die Stetigkeit der Grenzfunktion

.
q.e.d.
Satz 7 (Cauchyscher Produktsatz)[Bearbeiten]
- Seien
und
Folgen komplexer Zahlen, so dass die Reihen

- mit den Koeffizienten

- konvergieren. Dann gilt die Identität

.
Wir definieren die Funktionen
(19)

,
welche nach dem Abelschen Stetigkeitssatz auf dem intervall
stetig sind. Für alle Punkte
gilt nun
(20)

,
da die Reihen dort absolut konvergieren. Beim Grenzübergang
erhalten wir
(21)

.
q.e.d.
Reelle und komplexe Differenzierbarkeit (§3)[Bearbeiten]
- Sei das offene Intervall
mit den Grenzen
sowie die Dimension
gegeben. Dann nennen wir die Funktion

- im Punkt
(reell) differenzierbar, falls der Grenzwert
(1)

- existiert. Wir nennen
die Ableitung von
im Punkt
.
Die Existenz des obigen Grenzwerts (1) bedeutet, dass für jede Folge
mit
folgendes gilt:
(2)

.
- Die Funktion
aus Definition 1 ist genau dann im Punkt
differenzierbar, wenn es eine stetige Funktion
mit der Eigenschaft 
- so gibt, dass die linear approximative Darstellung

- erfüllt ist.
Sei
an der Stelle
differenzierbar. Dann erklären wir die Hilfsfunktion
(4)

für

für

.
Die Differenzierbarkeit liefert
(5)

Stellen wir (4) geeignet um, so finden wir die gesuchte Darstellung (3).
Wir gehen nun von der Darstellung (3) aus, subtrahieren
und dividieren durch
:
(6)

.
Hieraus ermitteln wir
(7)

,
womit die Differenzierbarkeit von
im Punkt
folgt.
q.e.d.
- Sei die Funktion
aus Definition 1 im Punkt
differenzierbar. Dann ist sie dort auch stetig.
- Sei die Funktion
aus Definition 1 gegeben. Falls diese in allen Punkten
differenzierbar ist, nennen wir
differenzierbar in
. Wir erhalten dann die abgeleitete Funktion
vermöge 
- oder kurz die Ableitung von
auf
.
Satz 3 (Linearität der Differentiation)[Bearbeiten]
- Seien im offenen Intervall
mit den Grenzen
die Funktionen

- im Punkt
differenzierbar und die Skalare
beliebig gewählt. Dann ist auch die Funktion

- im Punkt
differenzierbar und es gilt
(9)

.
Für alle
ermitteln wir die Identität

.
Hieraus folgt durch Grenzübergang
die Gleichung (9).
- Falls die differenzierbare Funktion
aus Definition 2 eine stetige Ableitung

- besitzt, so sprechen wir von einer in
stetig differenzierbaren Funktion. Der Vektorraum der 1-mal stetig differenzierbaren Funktionen auf dem offenen Intervall
wird gegeben durch
(11)


- mit den Verknüpfungen aus Definition 6 in §1. Falls die intervallgrenzen
erfüllen, so erklären wir den Vektorraum der 1-mal stetig differenzierbaren Funktionen auf dem kompakten Intervall
wie folgt:
(12)


.
Satz 4 (Produktregel)[Bearbeiten]
- Seien im offenen Intervall
mit den Grenzen
die Funktionen

- im Punkt
differenzierbar. Dann ist auch die Funktion

- im Punkt
differenzierbar und es gilt
(13)

.
Für alle
berechnen wir
(14)



.
Der Grenzübergang
liefert schließlich die Identität (13).
q.e.d.
Satz 5 (Quotientenregel)[Bearbeiten]
- Seien im offenen Intervall
mit den Grenzen
die Funktionen

- im Punkt
differenzierbar. Weiter sei die Bedingung
für alle 
- erfüllt. Dann ist auch die Funktion

- im Punkt
differenzierbar und es gilt
(15)

.
Für alle
ermitteln wir
(16)



.
Wiederum liefert der Grenzübergang
die behauptete Identität (15).
Satz 6 (Kettenregel)[Bearbeiten]
- Sei im offenen Intervall
mit den Grenzen
die Funktion

- im Punkt
differenzierbar und der Bildpunkt
erklärt. Auf dem Intervall
mit den Grenzen
sei die Funktion

- im Punkt
differenzierbar und die Inklusion
sei erfüllt. Dann ist auch die Funktion

- im Punkt
differenzierbar und es gilt die Kettenregel
(17)

.
Wir betrachten beliebige Folgen
mit dem Grenzwert
. Wir definieren

sowie

und setzen zunächst die Bedingung
(18)

für alle

mit einem hinreichend großen Index
voraus. Dann erweitern wir die Differenzenquotienten
(19)


Hieraus folgt durch Grenzübergang
die Gleichung (17).
Insofern die Bedingung (18) verletzt ist, so gibt es eine Teilfolge

mit

für alle

.
Wir erhalten dann für die Differenzenquotienten
(20)

.
Beim Grenzübergang
erhalten wir wiederum

.
q.e.d.
Satz 7 (Differentiation der Umkehrfunktion)[Bearbeiten]
- Seien die offenen Intervalle
mit den Grenzen
und
mit
gegeben. Die stetige, streng monotone, surjektive Funktion

- besitze die Umkehrfunktion

.
- Weiter sei
in
differenzierbar und erfülle
für alle
. Dann ist die Funktion

- im offenen Intervall
differenzierbar und es gilt
(21)

.
Wir wählen einen Punkt
beliebig sowie eine Folge

mit

.
Wegen der Stetigkeit der Umkehrfunktion ist für die Folge

die Relation
erfüllt. Wir erhalten dann
(22)

für alle
. Wegen
erhalten wir
(23)

.
q.e.d.
Satz 8 (Rollescher Satz)[Bearbeiten]
- Sei die Funktion
auf dem abgeschlossenen Intervall
mit den Grenzen
stetig und auf dem offenen Intervall
differenzierbar. Weiter sei
erfüllt. Dann gibt es eine Stelle
mit
.
Falls
erfüllt ist, so folgt
und die Aussage des Satzes ist richtig.
Andernfalls gibt es ein
mit
und wir können ohne Einschränkung
annehmen. Nach Satz 8 aus §1 gibt es eine Maximalstelle
mit der Eigenschaft
(24)

für alle
![{\displaystyle x\in [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/026357b404ee584c475579fb2302a4e9881b8cce)
.
Wir betrachten jetzt den Differenzenquotienten mit den Eigenschaften
(25)

für alle

und

für alle

.
Da
im Punkt
differenzierbar ist, liefern der links- und rechtsseitige Grenzwert in (23) die Beziehung
(26)

bzw.

.
Somit folgt
.
q.e.d.
Satz 9 (Allgemeiner Mittelwertsatz der Differentialrechnung)[Bearbeiten]
- Seien die Funktionen
auf dem abgeschlossenen Intervall
mit den Grenzen
stetig und auf dem offenen Intervall
differenzierbar. Weiter gelte
für alle 
- und
. Dann gibt es eine Stelle
mit

.
Wir betrachten die Hilfsfunktion
(27)
![{\displaystyle h(x):=f(x)-f(a)-{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}\cdot {\bigl (}g(x)-g(a){\bigr )},\quad x\in [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0422aedfb1486166cfa24a6055871a3dcb5d1f21)
.
Wir ermitteln, dass
in
stetig und in
differenzierbar ist sowie

.
Nach dem Rolleschen Satz gibt es einen Punkt
mit der Eigenschaft
(28)

bzw.
(29)

.
q.e.d.
Satz 10 (Mittelwertsatz der Differentialrechnung)[Bearbeiten]
- Sei die Funktion
auf dem abgeschlossenen Intervall
mit den Grenzen
stetig und auf dem offenen Intervall
differenzierbar. Dann gibt es eine Stelle
mit der Eigenschaft

.
- Man findet also im Innern des Intervalls einen Punkt, wo das Steigungsmaß der Tangente an die Funktion
mit dem der Sekante durch die Punkte
und
übereinstimmt.
- Über den Mittelwertsatz sieht man leicht ein, dass eine Funktion schwach monoton steigend bzw. fallend ist, falls ihre Ableitung nicht negativ bzw. nicht positiv in ihrem Definitionsintervall ist.
- Auf der offenen Menge
sei die Funktion
erklärt und der Punkt
sei gewählt. Dann heißt
im Punkt
komplex differenzierbar, wenn der Grenzwert

- existiert. Wir nennen
die komplexe Ableitung der Funktion
an der Stelle
. Falls
für alle
existiert und die Funktion
stetig ist, nennen wir die Funktion
holomorph in
.
Mit den konvergenten Potenzreihen werden wir in Satz 15 wichtige Beispiele holomorpher Funktionen kennen lernen. Insbesondere stellen also die Polynome holomorphe Funktionen dar. Wir geben nun mit der Funktion

eine nicht holomorphe Funktion an. Für einen beliebigen Punkt
betrachten wir die Grenzwerte

sowie

Somit ist
für kein
komplex differenzierbar.
Wir notieren nun die Differentiationsregeln für holomorphe Funktionen, die wir wie im Reellen beweisen können; dieses überlassen wir dem Leser zur Übung.
Satz 11 (Linearitäts-, Produkt- und Quotientenregel für holomorphe Funktionen)[Bearbeiten]
- Auf der offenen Menge
seien die holomorphen Funktionen
sowie die komplexen Konstanten
gegeben. Dann sind auch die Funktionen
und 
- holomorph und es gilt die Linearitätsregel

- bzw. die Produktregel

- Falls zusätzlich
für alle
gilt, so erfüllt die holomorphe Funktion

- die Quotientenregel

.
Satz 12 (Kettenregel für holomorphe Funktionen)[Bearbeiten]
- Seien
und
zwei offene Mengen, auf denen die holomorphen Funktionen
und 
- erklärt sind. Dann ist auch die Funktion

- holomorph und es gilt die Kettenregel

.
Satz 13 (Komplexe Kettenregel)[Bearbeiten]
- Auf der offenen Menge
sei die Funktion
holomorph – mit der komplexen Ableitung
. Weiter sei im offenen Intervall
mit den Grenzen
die Funktion
reell differenzierbar mit der stetigen Ableitung
. Dann ist auch die komponierte Funktion

- im Intervall
stetig differenzierbar und es gilt die komplexe Kettenregel
(30)

.
Verwende die Argumente aus dem Beweis zu Satz 6.
Satz 14 (Holomorphe Umkehrfunktion)[Bearbeiten]
- Seien
und
zwei offene Mengen, auf denen die holomorphe und bijektive Funktion
mit der Eigenschaft
für alle
erklärt ist. Dann ist auch ihre Umkehrfunktion
holomorph und es gilt
(31)

.
Satz 15 (Differentiation von Potenzreihen)[Bearbeiten]
- Die Potenzreihe

- konvergiere in der Kreisscheibe
mit dem festen Konvergenzradius
. Dann ist die Funktion
holomorph und es gilt

- für ihre komplexe Ableitung.
1. Zunächst zeigen wir die Konvergenz der gliedweise differenzierten Reihe
für alle
. Nach dem Cauchyschen Konvergenzkriterium für Reihen ist die Konvergenz dieser Reihe äquivalent zur Konvergenz der Reihe

mit

für alle

.
Nun ermitteln wir
(32)
![{\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|b_{n}|}}=\limsup _{n\to \infty }\left({\sqrt[{n}]{n}}{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}\right)=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e97056e92bb607a827d50bf0e0fde34bdd0e98ec)
.
Folglich hat die gliedweise differenzierte Reihe den gleichen Konvergenzradius wie die ursprüngliche Reihe.
2. Zu festem 