Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen/§1 Komplexe Exponentialfunktion und natürliche Logarithmusfunktion

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Definition 1[Bearbeiten]

Für definieren wir
(1)
und nennen die komplexe Exponentialfunktion.

Satz 1[Bearbeiten]

Die Exponentialfunktion ist in holomorph und es gilt die Identität
.

Beweis[Bearbeiten]

In Bsp. 2 aus §6 von Kapitel I haben wir die Konvergenz der Reihe (1) nachgewiesen. Nach Satz 15 aus Kapitel II, §3 ist die Funktion holomorph und die gliedweise Differentiation liefert

.

q.e.d.

Satz 2 (Funktionalgleichung der Exponentialfunktion)[Bearbeiten]

Es gilt für alle die Funktionalgleichung
(2) .

Beweis[Bearbeiten]

Da die Exponentialreihe in nach Satz 14 aus §6 in Kapitel I absolut konvergiert, können wir mit dem Multiplikationssatz für Reihen (vgl. Satz 3 aus §7 in Kapitel I) für alle wie folgt multiplizieren:

(3)
.

Hierbei haben wir den Binomialsatz aus §1 in Kapitel I verwendet.

q.e.d.

Satz 3[Bearbeiten]

In jeder kompakten Kreisscheibe mit dem festen Radius konvergiert die Funktionenfolge
gleichmäßig gegen die Funktion .

Beweis[Bearbeiten]

Nach dem Binomialsatz gilt für festes und die Identität

mit mit .

Für erhalten wir

.

und damit

.

Weiter gilt

für alle und alle .

Die Zahlenreihe

stellt also eine konvergente Majorante für die Funktionenreihe dar. Nach dem Weierstraßschen Majorantentest aus Kapitel II, §2 konvergiert die Reihe

gleichmäßig in gegen die Reihe

.

Somit folgt die gleichmäßige Konvergenz

(4) mit .

Definition 2[Bearbeiten]

Wir definieren die Eulersche Zahl durch die Gleichung
(5) .

Satz 4[Bearbeiten]

Die Gesamtheit der komplexen Stammfunktionen für die Exponentialfunktion wird gegeben durch
, mit einer Konstante .

Satz 5[Bearbeiten]

Die Funktion , vermöge als Einschränkung der komplexen Exponentialfunktion auf die reelle Achse definiert, nennen wir die reelle Exponentialfunktion. Diese stellt eine positive, streng monoton wachsende, konvexe Funktion mit dem folgenden asymptotischen Verhalten dar:
(6) und .

Beweis[Bearbeiten]

1. Da die Exponentialreihe reelle Koeffizienten besitzt, folgt für die Einschränkung der komplexen Exponentialfunktion auf die reelle Achse. Genauer gilt die Abschätzung

(7) für alle .

Wir beachten und ermitteln

für alle .

2. Mit Hilfe von Satz 1 differenzieren wir auch unsere reelle Funktion

für alle .

Also ist die reelle Exponentialfunktion nach dem Mittelwertsatz streng monoton wachsend. Weiter liefert die Ungleichung

die Konvexität der Funktion.

3. Mit Hilfe von (7) ersehen wir

Schließlich berechnen wir

Satz 6[Bearbeiten]

Für alle rationalen Exponenten mit und gilt
(8) .

Beweis[Bearbeiten]

Für ein festes berechnen wir mit der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion

und folglich .

Für und somit erhalten wir . Für berechnet man

.

Im Fall erhalten wir aus dem vorhergehenden:

.

Hilfssatz 1[Bearbeiten]

Für beliebige gilt
.

Beweis[Bearbeiten]

Für beliebige gilt

bzw. für alle .

Hieraus folgt wegen

sofort die Behauptung.

Hilfssatz 2[Bearbeiten]

Für alle gibt es ein Polynom vom Grad , so dass folgende Darstellung gilt:
für alle .

Beweis durch vollständige Induktion über [Bearbeiten]

Für den Induktionsanfang haben wir

mit dem Polynom vom Grad . Die obige Darstellung sei nun für ein bereits gültig. Dann berechnen wir mit der Kettenregel

(11)
.

Für den Grad des entstehenden Polynoms ermitteln wir

und damit haben wir die Behauptung vollständig gezeigt.

q.e.d.

Satz 7 (Glättungsfunktion)[Bearbeiten]

Es sei . Dann existiert eine Funktion mit und für alle und für alle .

Beweis[Bearbeiten]

Wir wählen die Funktion

für ,

welche das Gewünschte leistet.

Definition 3[Bearbeiten]

Die natürliche Logarithmusfunktion definieren wir auf dem Intervall
(12) mit und
als Umkehrfunktion von .

Satz 8 (Natürliche Logarithmusfunktion)[Bearbeiten]

Die Funktion ist stetig differenzierbar in mit der Ableitung
(13) .
Sie ist in streng monoton steigend und besitzt die asymptotischen Eigenschaften
(14) .
Schließlich genügt sie der Funktionalgleichung
(15) für alle .

Beweis[Bearbeiten]

1. Nach entsprechenden Sätzen aus §1 und §3 in Kapitel II ist die Funktion stetig bzw. differenzierbar und ihre Ableitung ermitteln wir wie folgt:

(16) .

Also ist die Ableitungsfunktion stetig auf und positiv, woraus sich die strikte Monotonie von ergibt.

2. Wegen folgt zunächst . Sei nun eine Folge in mit der Eigenschaft . Dann erhalten wir . Damit haben wir die erste asymptotische Eigenschaft in (14) bewiesen – und die zweite folgt genauso.

3. Die Funktionalgleichung (15) für die Logarithmusfunktion überführen wir äquivalent in die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion:

(17)
für alle mit .

q.e.d.

Satz 9[Bearbeiten]

Für festes bestimmen wir in die Gesamtheit der Stammfunktionen
(18)
mit der reellen Integrationskonstante

Beweis[Bearbeiten]

Falls richtig ist, berechnen wir

(19) für

Falls richtig ist, ermitteln wir

(20) für

Bemerkung[Bearbeiten]

Die reellen Stammfunktionen bestimmt man mittels partieller Integration wie folgt:

(21)

mit der Integrationskonstante .