Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen/§2 Die trigonometrischen Funktionen

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Definition 1[Bearbeiten]

Für alle erklären wir die Cosinusfunktion
(1) ,
sowie die Sinusfunktion
(2) .

Hilfssatz 1[Bearbeiten]

Für alle gilt .

Beweis[Bearbeiten]

Für alle mit ist die Abschätzung

richtig. Wegen usw. für sind nämlich alle alle Summanden positiv.

q.e.d.

Hilfssatz 2[Bearbeiten]

Es gilt .

Beweis[Bearbeiten]

Wir ermitteln

An der Stelle folgt wegen usw. die Behauptung .

q.e.d.

Hilfssatz 3[Bearbeiten]

Die Gleichung besitzt für genau eine Lösung.

Beweis[Bearbeiten]

Zuerst weisen wir die Existenz einer Lösung nach. Es ist erfüllt und gemäß Hilfssatz 2 gilt . Nach dem Zwischenwertsatz von Bolzano-Weierstraß aus §1 in Kapitel II existiert ein mit . Wir zeigen jetzt die Eindeutigkeit der Lösung. Gemäß Hilfssatz 2 gilt

, für alle

Somit ist die Cosinusfunktion streng monoton fallend im Intervall , wie der Mittelwertsatz der Differentialrechnung lehrt. Damit ist die einzige Nullstelle von im Intervall .

Definition 2[Bearbeiten]

Für die gemäß Hilfssatz 3 existierende kleinste positive Nullstelle der Cosinusfunktion setzen wir
.

Satz 1[Bearbeiten]

Die Funktion vermöge ist im Intervall streng monoton steigend und wir haben und .

Beweis[Bearbeiten]

Mit der Definition 2 ergibt sich

für alle .

Da die Cosinusfunktion gerade ist, folgt auch für die Ungleichung . Also gilt

für alle

und somit ist im Intervall streng monoton wachsend. Formel (12) liefert

und zusammen mit Hilfssatz 1 folgt sowie

.

q.e.d.

Bemerkungen[Bearbeiten]

Für die Exponentialfunktion gilt

(15)

und somit folgt

(16) für alle .

Satz 2[Bearbeiten]

Die Funktionen (1) und (2) sind holomorph und es gilt
(17) und für alle .
Sie sind darstellbar durch die konvergenten Potenzreihen
(18)
und
(19) .
Sie sind miteinander verknüpft durch die Eulersche Formel (3) und es gilt die Identität
(20) .
Schließlich geben wir die Gesamtheit der Stammfunktionen an
(21) und mit .

Beweis[Bearbeiten]

1. Für alle gilt

(22) .

Analog zeigt man .

2. Da die komplexe Exponentialfunktion eine konvergente Potenzreihe in darstellt, müssen nach Definition 1 auch die Sinus- und Cosinusfunktion dort durch eine konvergente Potenzreihe gegeben sein. Deren Koeffizienten bestimmen wir mit den Überlegungen in §6 von Kapitel II als Taylor-Koeffizienten ihrer Einschränkung auf die reelle Achse . Eben diese reellen Taylor-Reihen kennen wir schon aus (10) bzw. (11). Also stellen die Reihen (18) und (19), welche nach Satz 14 aus Kapitel I in absolut konvergieren, die entsprechenden trigonometrischen Funktionen dar.

3. Nach Formel (12) gilt die Identität (20) bereits für alle reellen Argumente. Zumal die angegebene Funktion aus (20) in eine konvergente Potenzreihe in entwickelbar ist, liefert der nachfolgende Satz – spezialisiert auf einfache Reihen – die angegebene Identität.

4. Die Stammfunktionen verifizieren wir sofort mit den obigen Differentiationsregeln.

q.e.d.

Satz 3 (Identitätssatz für Doppelreihen)[Bearbeiten]

Es sei in die absolut konvergente Doppelreihe
(23) für
mit den Koeffizienten für gegeben. Wenn auf der reellen Ebene verschwindet, so folgt die Identität für alle . Stimmen also zwei durch absolut konvergente Doppelreihen dargestellte Funktionen auf der reellen Ebene überein, so ist dieses auch auf der komplexen Ebene der Fall.

Beweis[Bearbeiten]

Wie in §6 von Kapitel II differenzieren wir die Doppelreihe (23) mal reel nach sowie mal reel nach und erhalten

(24) .

Setzen wir dann die Stelle ein, so folgt

(25) bzw. für alle Indices .

Der Potenzreihendarstellung (23) entnehmen wir schließlich die Behauptung.

q.e.d.

Satz 4[Bearbeiten]

Für alle gelten die Additionstheoreme:
(26) und
(27) .
Des Weiteren gelten für alle folgende Duplikationsformeln:
(28)
(29) .

Beweis von (26) und (27)[Bearbeiten]

Wegen Satz 3 reicht es aus, die Additionstheoreme nur für reelle Argumente nachzuweisen – zumal die darin erscheinenden Funktionen in absolut konvergente Doppelreihen entwickelbar sind. Mit der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion berechnen wir für alle :

(30)
.

Der Vergleich von Real- und Imaginärteil liefert die o. a. Additionstheoreme.

Beweis von (28) und (29)[Bearbeiten]

Wir setzen in (26) ein und erhalten

.

Analog folgt aus (27) die Duplikationsformel (29).

q.e.d.

Bemerkungen[Bearbeiten]

Sehr praktisch zum Integrieren sind die Identitäten

(31) und ,

welche man leicht nachweist.

Satz 5 (Phasenverschiebung)[Bearbeiten]

Für alle gelten
(32) und .

Beweis[Bearbeiten]

Mit dem Additionstheorem (27) erhalten wir

.

Setzen wir in diese Identität mit , so folgt

.

q.e.d.

Satz 6[Bearbeiten]

Die Funktion vermöge ist im Intervall streng monoton fallend und es gilt und .

Beweis[Bearbeiten]

Nach Satz 5 ist die Identität

mit

gültig. Damit können wir alle Aussagen dem obigen Satz 1 entnehmen.

q.e.d.

Hilfssatz 4[Bearbeiten]

Alle Lösungen von der Gleichung mit sind in der Form mit darstellbar.

Beweis[Bearbeiten]

Der Formel (16) entnehmen wir, dass die angegebenen komplexen Zahlen die Gleichung lösen. Sei nun umgekehrt mit eine Lösung der Gleichung

,

so folgt und damit . Wir ermitteln

und wählen so, dass erfüllt ist. Nach Satz 1 folgt aus der Bedingung dann und wir finden bzw. , wie es oben behauptet wurde.

q.e.d.

Satz 7 (Periodizität der Exponentialfunktion)[Bearbeiten]

Die komplexe Exponentialfunktion hat die Periode . Die Gleichung mit ist genau dann erfüllt, falls mit geeignetem gültig ist.

Beweis[Bearbeiten]

Seien mit , so ist äquivalent erfüllt. Gemäß Hilfssatz 4 bedeutet dieses mit geeignetem .

q.e.d.

Satz 8[Bearbeiten]

Die Komplexen trigonometrischen Funktionen und haben die Periode . Alle komplexen Nullstellen von sind durch und von durch mit gegeben.

Beweis[Bearbeiten]

Für alle und gilt nach Hilfssatz 4 für die Cosinusfunktion

(33) .

Wir berechnen jetzt alle Nullstellen der Cosinusfunktion. Für alle gilt

(34)
.

Die angegebenen Eigenschaften der Sinusfunktion ergeben sich aus der Phasenverschiebung gegenüber der Cosinusfunktion.

q.e.d.

Definition 3[Bearbeiten]

Für alle erklären wir die Tangensfunktion
(35)
und für alle erklären wir die Cotangensfunktion
(36) .

Satz 9[Bearbeiten]

Die Funktionen aus Definition 3 sind holomorph in ihren Definitionsbereichen und es gilt
(37) für und ,
(38) für und .

Beweis[Bearbeiten]

Die komplexen trigonometrischen Funktionen (35) und (36) sind holomorph, da sie als Quotient holomorpher Funktionen definiert sind. Für alle und mit gilt

.

Für alle und mit berechnen wir

.

Satz 10 (Additionstheorem für und )[Bearbeiten]

Für alle gilt
(39) .
Für alle gilt
(40) .

Beweis[Bearbeiten]

Für alle gilt

(41)
.

Analog beweisen wir (40).

q.e.d.

Satz 11[Bearbeiten]

Für alle mit haben wir
(42) .

Beweis[Bearbeiten]

Mit Hilfe von Satz 5 berechnen wir

.

q.e.d.

Wir wollen schließlich die reelle Tangens- und Cotangensfunktion untersuchen.

Satz 12[Bearbeiten]

Die Funktion vermöge ist im Intervall streng monoton steigend. Diese Funktion ist ungerade, erfüllt und besitzt folgendes asymptotische Verhalten:
(43) und .

Beweis[Bearbeiten]

Wegen (37) gilt

sowie .

Somit ist diese Funktion im Definitionsbereich streng monoton steigend und ungerade mit der Eigenschaft

.

Wir ermitteln nun ihr asymptotisches Verhalten

.

q.e.d.

Satz 13[Bearbeiten]

Die Funktion vermöge ist im Intervall streng monoton fallend und es gilt
.

Beweis[Bearbeiten]

Wir beachten für alle und Satz 12 liefert die angegebenen Eigenschaften.

q.e.d.

Satz 14[Bearbeiten]

Die Gesamtheit der reellen Stammfunktionen ist gegeben durch
(44)
und
(45)
mit den reellen Integrationskonstanten .