Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen/§3 Die Hyperbelfunktionen

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Definition 1 (Hyperbelfunktionen)[Bearbeiten]

Für alle erklären wir den Cosinus hyperbolicus durch
,
den Sinus hyperbolicus durch
,
den Tangens hyperbolicus durch
und den Cotangens hyperbolicus durch

Satz 1[Bearbeiten]

Die Hyperbelfunktionen sind in stetig differenzierbar und es gelten für die folgenden Differentiationsregeln:
(1) und
(1) und .

Beweis[Bearbeiten]

Wir beachten die obige Definition der Hyperbelfunktionen durch die trigonometrischen Funktionen. Von den ersten beiden Differentiationsregeln berechnen wir

(2) .

Unter Verwendung von Satz 9 aus §2 ermitteln wir die dritte Differentiationsregel:

(3) .

Satz 2 (Additionstheorem für die Hyperbelfunktionen)[Bearbeiten]

Für alle gelten die folgenden Identitäten:
(4)
Des Weiteren gilt für alle die Identität
(5) .

Beweis[Bearbeiten]

Mit dem Additionstheorem berechnen wir von (4) die erste Gleichung:

(6)
für alle .

Weiter ermitteln wir für alle :

(7) .

q.e.d.

Satz 3[Bearbeiten]

Die ungerade Funktion vermöge ist in streng monoton steigend und wir haben das asymptotische Verhalten
.

Beweis[Bearbeiten]

Wegen der Ungleichung

ist die Funktion Sinus hyperbolicus auf streng monoton steigend. Weiter ist eine gerade Funktion, da dieses auch für zutrifft und es gilt

.

Gemäß §1 ist und erfüllt und wir erhalten

.

Aus der Eigenschaft folgen nun alle weiteren Aussagen.

q.e.d.

Satz 4[Bearbeiten]

Die ungerade Funktion vermöge ist im Intervall streng monoton steigend und es gilt
sowie .

Beweis[Bearbeiten]

Wegen für alle ist die Funktion Cosinus hyperbolicus im Intervall streng monoton steigend. Weiter gilt . Da die Cosinusfunktion gerade ist, folgt

.

Wegen der asymptotischen Eigenschaften der Exponentialfunktion ist die Bedingung

erfüllt. Schließlich folgt noch , denn ist eine gerade Funktion.

q.e.d.

Satz 5[Bearbeiten]

Die Gesamtheit der reellen Stammfunktionen vom Cosinus hyperbolicus bzw. vom Sinus hyperbolicus sind gegeben durch
(8) und
mit den reellen Integrationskonstanten

Satz 6[Bearbeiten]

Für den Tangens hyperbolicus gilt
(9)
mit der reellen Integrationskonstante .