Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen/§4 Die Arcusfunktionen

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Definition 1[Bearbeiten]

Die Umkehrfunktion von heißt Arcus-Sinusfunktion . Die Umkehrfunktion von heißt Arcus-Cosinusfunktion .

Satz 1[Bearbeiten]

Für alle mit gilt
(1) .

Beweis[Bearbeiten]

Nach Satz 5 in §2 gilt

für alle .

Unter Anwendung von auf die Identität und von auf erhalten wir

(2)

für alle . Somit folgt die o. a. Behauptung.

q.e.d.

Satz 2[Bearbeiten]

Die in Definition 1 erklärten Funktionen sind im Intervall stetig differenzierbar und es gilt
(3) und
für alle mit .

Beweis[Bearbeiten]

Sei und , wobei mit gilt. Nach den Überlegungen in §2 ist für alle erfüllt. Wir wenden jetzt Satz 7 aus §3 in Kapitel II auf die Funktion und erhalten

.

Aus Satz 1 folgt für alle unmittelbar

.

Satz 3[Bearbeiten]

Für alle gilt die Reihenentwicklung
(4) .

Beweis[Bearbeiten]

Nach dem Satz 4 über die Binomialreihe, welchen wir in §7 zeigen werden, konvergiert für alle die folgende Reihe:

(5) .

Hierbei verwenden wir die – in §7 eingeführten – verallgemeinerten Binomialkoeffizienten

(6)
.

Wenn wir mit erweitern, erhalten wir schließlich

(7) .

Zusammen mit (5) folgt die Identität

(8) .

Mit Hilfe von Satz 9 aus §2 in Kapitel II integrieren wir diese Potenzreihe gliedweise und wir erhalten für alle

(9)

Damit ist die o. a. Reihe hergeleitet.

q.e.d.

Satz 4[Bearbeiten]

Es gilt für alle mit die Aussage
(10)
mit den reellen Integrationskonstanten

Definition 2[Bearbeiten]

Die Umkehrfunktion von heißt Arcus-Tangensfunktion . Die Umkehrfunktion von heißt Arcus-Cotangensfunktion .

Satz 5[Bearbeiten]

Für alle gilt
(11)

Beweis[Bearbeiten]

Diese Identität entnehmen wir dem Satz 11 aus §2, wie wir im Beweis zu Satz 1 vorgestellt haben.

q.e.d.

Satz 6[Bearbeiten]

Die in Definition 2 erklärten Funktionen sind in stetig differenzierbar und es gilt dort
(12) sowie .

Beweis[Bearbeiten]

Sei und , wobei mit gilt. Nach Satz 9 aus §2 ist

für alle erfüllt.

Wir wenden den Satz über die Differentiation von Umkehrfunktionen auf und erhalten

(13) .

Dann liefert Satz 4 für alle die Identität

.

q.e.d.

Satz 7[Bearbeiten]

Für alle gilt die Reihenentwicklung
(14) .

Beweis[Bearbeiten]

Wir entwickeln die Ableitung dieser Funktion in eine konvergente geometrische Reihe:

(15) .

Mit Hilfe von Satz 9 in §5 von Kapitel II integrieren wir die Potenzreihe gliedweise und erhalten

(16)

über den Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung.

q.e.d.

Satz 8[Bearbeiten]

Beweis[Bearbeiten]

Satz 9[Bearbeiten]

Die Gesamtheit der reellen stammfunktionen von der gebrochen rationalen funktion besteht aus
(19) mit

Beweis[Bearbeiten]

Dieser Beweis folgt sofort aus Satz 6.

q.e.d.