Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen/§5 Polarkoordinaten und Überlagerungsflächen

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Satz 1 (Polarkoordinaten)[Bearbeiten]

Jede komplexe Zahl lässt sich durch
(1)
eindeutig darstellen.

Beweis[Bearbeiten]

1. Wir zeigen zunächst die Existenz einer solchen Darstellung: Die komplexe Zahl liege im 1. Quadranten der Gaußebene:

. Wir setzen dann: .

Dann ist mit sowie und , woraus folgt. Nach Satz 1 aus §2 existiert genau ein mit . Weiter gilt . Damit erhalten wir die geforderte Darstellung

(2) mit und .

2. Nun wollen wir (1) für alle gewinnen. In Polarkoordinaten wird die Spiegelung am Nullpunkt durch

und die Spiegelung an der reellen Achse durch

beschrieben. Für eine beliebige komplexe Zahl wenden wir eine Spiegelung am Nullpunkt oder eine Spiegelung an der reellen Achse an und wir können sie so in den 1. Quadranten überführen. Die Rücktransformation liefert mit und für alle . Wir bestimmen noch ein , so dass gilt und setzen . Wegen ist dann die Darstellung mit und für alle gefunden.
3. Wir weisen jetzt die Eindeutigkeit der Darstellung für nach. Angenommen es gäbe die beiden Darstellungen und . Für den Betrag ermitteln wir und dann folgt bzw. . Wegen liefert Hilfssatz 4 aus §2 die Identität .

q.e.d.

Wir wollen jetzt eine Fläche so konstruieren, dass man ihren Punkten in eindeutiger Weise universelle Polarkoordinaten

zuordnen kann. Hierzu betrachten wir die Punktmenge

.

Sie besteht aus den Blättern

mit dem Schlitz