- Die Funktion
(1)

- heißt ein Polynom in
vom Grad
– in Zeichen
– mit den komplexen Koeffizienten
für
und
. Wenn alle Koeffizienten gemäß
für
reell sind, so sprechen wir von einem reellen Polynom.
- Sei
ein Polynom (1) mit
. Dann gibt es zu jedem
komplexe Koeffizienten
derart, dass folgende Darstellung gültig ist:
(2)

.
Wir setzen
und erhalten mittels (1) die Identität

.
Die Terme
werden über den Binomischen Lehrsatz berechnet und die Summe wird nach Potenzen von
umgeordnet. Für
finden wir dann neue Koeffizienten
mit
und
. Damit ist die Darstellung (2) gezeigt.
q.e.d.
- Sei
eine offene Menge. Eine funktion
besitzt im Punkt
ein schwaches relatives Minimum, falls es ein
gibt mit der folgenden eigenschaft:
für alle
mit
.
- Sei
ein Polynom (1) mit
und
für ein
. Dann gibt es zu jedem
ein
mit
und
.
1. Durch Übergang von
zum Polynom
können wir ohne Einschränkung
annehmen. Gemäß (2) entwickeln wir

mit
zu geeignetem
. Mittels Satz 1 aus §5 ergibt sich die eindeutige Darstellung in Polarkoordinaten

mit
![{\displaystyle \vartheta \in (-\pi ,\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a16adb4fff2661107dae7bfd459fdfb05960bd2e)
.
Ferner sei die Darstellung
bzw.

mit

und
![{\displaystyle \varphi \in (-\pi ,\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fe5985d246d3e5295e76ed92b2bbf41c47a4e53)
gewählt. Dann erhalten wir

.
Dabei erfüllt die Funktion

die Bedingung
.
2. Unser Ziel ist es nun, den zweiten Summanden negativ zu machen. Wir wählen
derart, dass
gilt. Anschaulich bewegt sich
mit variablem
und festgelegtem
auf dem Strahl
. Wegen
und nach Wahl eines geeigneten
mit
und
für alle
gilt die abschätzung


für alle
. Zu gegebenem
wählen wir
mit
und erhalten so einen Punkt
in der Gauß-Ebene, welcher die geforderte eigenschaft

mit
erfüllt.
q.e.d.
- Wenn
ein Polynom (1) mit
darstellt, dann folgt das asymptotische Verhalten
(3)

.
Für
finden wir die Abschätzung

.
Nun wählen wir
so, dass

für alle

ausfällt. Dann ist die Abschätzung

für alle

und somit das asymptotische Verhalten (3) erfüllt.
q.e.d.
- Jedes nicht konstante Polynom
hat wenigstens eine komplexe Nullstelle, d. h. es gibt ein
mit
.
Wir betrachten die Hilfsfunktion
. Wegen (3) können wir
so groß wählen, dass

gilt. Auf der kompakten Menge
ist die Funktion
stetig und folglich gibt es ein
mit

Wegen
muss
richtig sein. Wir werden
als Nullstelle erkennen: Angenommen es wäre
bzw.
erfüllt. Nach Hilfssatz 2 gibt es dann ein
mit
und
. Dieses liefert einen Widerspruch zur Minimaleigenschaft (4). Also folgt
und eine Nullstelle ist gefunden.
q.e.d.
- Jedes Polynom (1) besitzt eine Linearfaktorzerlegung der Form

.
- Dabei sind
seine paarweise verschiedenen komplexen Nullstellen. Die Zahlen
geben die Vielfachheiten bzw. Ordnungen der Nullstellen
für
an. Schließlich ist die Identität
für die Vielfachheiten erfüllt.
Wegen Satz 1 besitzt
eine Nullstelle
. Nach Hilfssatz 1 entwickeln wir
an der Stelle
, indem wir
setzen:

.
Dabei ist
für ein
und
erfüllt. Schließlich ergibt sich die Darstellung

.
Hierbei besitzt das Polynom
den Grad
und die Koeffizienten
für
sowie
. Das durch Ordnen nach Potenzen von
entstehende Polynom
erfüllt
und
. Wiederholte Anwendung von Satz 1 liefert die Behauptung.
- Sei
ein reelles Polynom (1) mit der komplexen Nullstelle
der Vielfachheit
. Dann ist auch
eine Nullstelle von
der Vielfachheit
.
1. Zunächst sehen wir folgendes leicht ein: Ein Polynom
besitzt in
genau dann eine Nullstelle der Vielfachheit
, wenn die abgeleiteten Polynome
der Ordnungen
dort verschwinden.
2. Ist nun
eine Nullstelle eines reellen Polynoms, so folgt

.
Also ist dann auch
eine Nullstelle von
.
3. Ist nun
eine Nullstelle des reellen Polynoms
der Vielfachheit
, so verschwinden dort die abgeleiteten Polynome
der Ordnungen
. Da letztere reell sind, so verschwinden sie auch im Punkt
. Folglich ist
eine Nullstelle der Vielfachheit
von
.
- Jedes reelle Polynom
aus (1) vom Grad
besitzt eine Linearfaktorzerlegung der folgenden Form
(6)
![{\displaystyle f(x)=a_{n}\cdot \prod _{j=1}^{m}(x-x_{j})^{k_{j}}\cdot \prod _{j=m+1}^{m+\mu }{\Bigl [}(x-z_{j})\cdot (x-{\overline {z_{j}}}){\Bigr ]}^{k_{j}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee6c18c2e581c74269e3886631d2dc8f3ff8b24c)
![{\displaystyle =a_{n}\cdot \prod _{j=1}^{m}(x-x_{j})^{k_{j}}\cdot \prod _{j=m+1}^{m+\mu }{\Bigl [}x^{2}-2x_{j}\cdot x+|z_{j}|^{2}{\Bigr ]}^{k_{j}},\quad x\in \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61a4d380ffcc4f216367dc2013f0698a86f6fab3)
- Dabei sind
– mit
– seine paarweise verschiedenen reellen Nullstellen der Vielfachheiten
für
. Weiter sind
mit
für
– mit
– seine paarweise verschiedenen Nullstellen in der oberen komplexen Halbebene der Vielfachheiten
. Schließlich gilt die Identität
(7)

- für ihre Vielfachheiten.