Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen/§8 Der Fundamentalsatz der Algebra

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Definition 1[Bearbeiten]

Die Funktion
(1)
heißt ein Polynom in vom Grad – in Zeichen – mit den komplexen Koeffizienten für und . Wenn alle Koeffizienten gemäß für reell sind, so sprechen wir von einem reellen Polynom.

Hilfssatz 1[Bearbeiten]

Sei ein Polynom (1) mit . Dann gibt es zu jedem komplexe Koeffizienten derart, dass folgende Darstellung gültig ist:
(2) .

Beweis[Bearbeiten]

Wir setzen und erhalten mittels (1) die Identität

.

Die Terme werden über den Binomischen Lehrsatz berechnet und die Summe wird nach Potenzen von umgeordnet. Für finden wir dann neue Koeffizienten mit und . Damit ist die Darstellung (2) gezeigt.

q.e.d.

Definition 2[Bearbeiten]

Sei eine offene Menge. Eine funktion besitzt im Punkt ein schwaches relatives Minimum, falls es ein gibt mit der folgenden eigenschaft:
für alle mit .

Hilfssatz 2[Bearbeiten]

Sei ein Polynom (1) mit und für ein . Dann gibt es zu jedem ein mit und .

Beweis[Bearbeiten]

1. Durch Übergang von zum Polynom können wir ohne Einschränkung annehmen. Gemäß (2) entwickeln wir

mit zu geeignetem . Mittels Satz 1 aus §5 ergibt sich die eindeutige Darstellung in Polarkoordinaten

mit .

Ferner sei die Darstellung bzw.

mit und

gewählt. Dann erhalten wir

.

Dabei erfüllt die Funktion

die Bedingung .

2. Unser Ziel ist es nun, den zweiten Summanden negativ zu machen. Wir wählen derart, dass gilt. Anschaulich bewegt sich mit variablem und festgelegtem auf dem Strahl . Wegen und nach Wahl eines geeigneten mit und für alle gilt die abschätzung

für alle . Zu gegebenem wählen wir mit und erhalten so einen Punkt in der Gauß-Ebene, welcher die geforderte eigenschaft

mit erfüllt.

q.e.d.

Hilfssatz 3[Bearbeiten]

Wenn ein Polynom (1) mit darstellt, dann folgt das asymptotische Verhalten
(3) .

Beweis[Bearbeiten]

Für finden wir die Abschätzung

.

Nun wählen wir so, dass

für alle

ausfällt. Dann ist die Abschätzung

für alle

und somit das asymptotische Verhalten (3) erfüllt.

q.e.d.

Satz 1 (Fundamentalsatz der Algebra)[Bearbeiten]

Jedes nicht konstante Polynom hat wenigstens eine komplexe Nullstelle, d. h. es gibt ein mit .

Beweis[Bearbeiten]

Wir betrachten die Hilfsfunktion . Wegen (3) können wir so groß wählen, dass

gilt. Auf der kompakten Menge ist die Funktion stetig und folglich gibt es ein mit

Wegen muss richtig sein. Wir werden als Nullstelle erkennen: Angenommen es wäre bzw. erfüllt. Nach Hilfssatz 2 gibt es dann ein mit und . Dieses liefert einen Widerspruch zur Minimaleigenschaft (4). Also folgt und eine Nullstelle ist gefunden.

q.e.d.

Satz 2 (Linearfaktorzerlegung)[Bearbeiten]

Jedes Polynom (1) besitzt eine Linearfaktorzerlegung der Form
.
Dabei sind seine paarweise verschiedenen komplexen Nullstellen. Die Zahlen geben die Vielfachheiten bzw. Ordnungen der Nullstellen für an. Schließlich ist die Identität für die Vielfachheiten erfüllt.

Beweis[Bearbeiten]

Wegen Satz 1 besitzt eine Nullstelle . Nach Hilfssatz 1 entwickeln wir an der Stelle , indem wir setzen:

.

Dabei ist für ein und erfüllt. Schließlich ergibt sich die Darstellung

.

Hierbei besitzt das Polynom den Grad und die Koeffizienten für sowie . Das durch Ordnen nach Potenzen von entstehende Polynom erfüllt und . Wiederholte Anwendung von Satz 1 liefert die Behauptung.

Hilfssatz 4[Bearbeiten]

Sei ein reelles Polynom (1) mit der komplexen Nullstelle der Vielfachheit . Dann ist auch eine Nullstelle von der Vielfachheit .

Beweis[Bearbeiten]

1. Zunächst sehen wir folgendes leicht ein: Ein Polynom besitzt in genau dann eine Nullstelle der Vielfachheit , wenn die abgeleiteten Polynome der Ordnungen dort verschwinden.

2. Ist nun eine Nullstelle eines reellen Polynoms, so folgt

.

Also ist dann auch eine Nullstelle von .

3. Ist nun eine Nullstelle des reellen Polynoms der Vielfachheit , so verschwinden dort die abgeleiteten Polynome der Ordnungen . Da letztere reell sind, so verschwinden sie auch im Punkt . Folglich ist eine Nullstelle der Vielfachheit von .

Satz 3 (Reelle Linearfaktorzerlegung)[Bearbeiten]

Jedes reelle Polynom aus (1) vom Grad besitzt eine Linearfaktorzerlegung der folgenden Form
(6)
Dabei sind – mit – seine paarweise verschiedenen reellen Nullstellen der Vielfachheiten für . Weiter sind mit für – mit – seine paarweise verschiedenen Nullstellen in der oberen komplexen Halbebene der Vielfachheiten . Schließlich gilt die Identität
(7)
für ihre Vielfachheiten.