Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen/§8 Der Fundamentalsatz der Algebra

Definition 1

Die Funktion

(1) $f(z)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}z^{k}=a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+...+a_{1}z+a_{0},\quad z\in \mathbb {C}$

heißt ein Polynom in $z\in \mathbb {C}$ vom Grad $n\in \mathbb {N} _{0}$ – in Zeichen $Grad\,f=n$ – mit den komplexen Koeffizienten $a_{k}\in \mathbb {C}$ für $k=0,1,2,...,n$ und $a_{n}\neq 0$. Wenn alle Koeffizienten gemäß $a_{k}\in \mathbb {R}$ für $k=0,1,2,...,n$ reell sind, so sprechen wir von einem reellen Polynom.

Hilfssatz 1

Sei $f$ ein Polynom (1) mit $Grad\,f>0$. Dann gibt es zu jedem $z_{0}\in \mathbb {C}$ komplexe Koeffizienten $b_{0}=f\left(z_{0}\right),b_{1},...,b_{n-1},b_{n}=a_{n}$ derart, dass folgende Darstellung gültig ist:

(2) $f(z_{0}+\xi )=a_{n}\xi ^{n}+b_{n-1}\xi ^{n-1}+...+b_{1}\xi +f(z_{0}),\quad \xi \in \mathbb {C}$.

Beweis

Wir setzen $z=z_{0}+\xi$ und erhalten mittels (1) die Identität

$f(z)=f(z_{0}+\xi )=\sum _{k=0}^{n}a_{k}(z_{0}+\xi )^{k}$.

Die Terme $\left(z_{0}+\xi \right)^{k}$ werden über den Binomischen Lehrsatz berechnet und die Summe wird nach Potenzen von $\xi$ umgeordnet. Für $k=0,1,...,n$ finden wir dann neue Koeffizienten $b_{k}=b_{k}\left(a_{0},a_{1},...,a_{n},z_{0}\right)$ mit $a_{n}=b_{n}\neq 0$ und $b_{0}=f\left(z_{0}\right)$. Damit ist die Darstellung (2) gezeigt.

q.e.d.

Definition 2

Sei ${\mathcal {O}}\subset \mathbb {C}$ eine offene Menge. Eine funktion $\Phi :{\mathcal {O}}\to \mathbb {R}$ besitzt im Punkt $z_{0}\in {\mathcal {O}}$ ein schwaches relatives Minimum, falls es ein $\varepsilon >0$ gibt mit der folgenden eigenschaft:

$\Phi (z)\geq \Phi (z_{0})$ für alle $z\in {\mathcal {O}}$ mit $|z-z_{0}|<\varepsilon$.

Hilfssatz 2

Sei $f$ ein Polynom (1) mit $Grad\,f>0$ und $f(z_{0})\neq 0$ für ein $z_{0}\in \mathbb {C}$. Dann gibt es zu jedem $R>0$ ein $z_{*}\in \mathbb {C}$ mit $|z_{*}-z_{0}|\leq R$ und $\left|f(z_{*})|<|f(z_{0})\right|$.

Beweis

1. Durch Übergang von $f$ zum Polynom $g(z):={\frac {1}{f(z_{0})}}\cdot f(z),z\in \mathbb {C}$ können wir ohne Einschränkung $g\left(z_{0}\right)=1$ annehmen. Gemäß (2) entwickeln wir

$g\left(z_{0}+\xi \right)=1+b_{k}\xi ^{k}+b_{k+1}\xi ^{k+1}+...+b_{n}\xi ^{n}$

mit $b_{k}\neq 0$ zu geeignetem $1\leq k\leq n$. Mittels Satz 1 aus §5 ergibt sich die eindeutige Darstellung in Polarkoordinaten

$b_{k}=|b_{k}|\exp(i\vartheta )$ mit $\vartheta \in (-\pi ,\pi ]$.

Ferner sei die Darstellung $\xi =r\exp(i\varphi )$ bzw.

$\xi ^{k}=r^{k}\exp(ik\varphi )$ mit $r>0$ und $\varphi \in (-\pi ,\pi ]$

gewählt. Dann erhalten wir

$g(z_{0}+\xi )=1+|b_{k}|\cdot r^{k}\exp(i(\vartheta +k\varphi ))+r^{k}\cdot h(\xi )$.

Dabei erfüllt die Funktion

$h(\xi ):=\exp(ik\varphi )\cdot (b_{k+1}\xi +...+b_{n}\xi ^{n-k}):\mathbb {C} \setminus \{0\}\to \mathbb {C}$

die Bedingung $\lim _{\xi \to 0,\xi \neq 0}h(\xi )=0$.

2. Unser Ziel ist es nun, den zweiten Summanden negativ zu machen. Wir wählen $\varphi$ derart, dass $\vartheta +k\varphi =\pi$ gilt. Anschaulich bewegt sich $\xi$ mit variablem $r>0$ und festgelegtem $\varphi ={\frac {\pi -\vartheta }{k}}$ auf dem Strahl $r\exp(i\varphi )$. Wegen $\exp \left(i\pi \right)=-1$ und nach Wahl eines geeigneten $\varepsilon >0$ mit $|b_{k}|\varepsilon ^{k}\leq 1$ und $2|h(\xi )|\leq |b_{k}|$ für alle $|\xi |<\varepsilon$ gilt die abschätzung

$|g(z_{0}+\xi )|\leq 1+|b_{k}|\exp(i\pi )r^{k}+|h(\xi )|r^{k}=1-|b_{k}|r^{k}+|h(\xi )|r^{k}$

$=1-(|b_{k}|-|h(\xi )|)r^{k}\leq 1-{\frac {1}{2}}|b_{k}|r^{k}<1$

für alle $r\in (0,\varepsilon ]$. Zu gegebenem $R>0$ wählen wir $\xi =r\exp(i\varphi )$ mit $r=\min\{\varepsilon ,R\}$ und erhalten so einen Punkt $z_{*}=z_{0}+\xi$ in der Gauß-Ebene, welcher die geforderte eigenschaft

$|g(z_{*})|=|g(z_{0}+\xi )|<1{\stackrel {n.V.}{=}}|g(z_{0})|$

mit $|z_{*}-z_{0}|=|\xi |\leq R$ erfüllt.

q.e.d.

Hilfssatz 3

Wenn $f$ ein Polynom (1) mit $Grad\,f>0$ darstellt, dann folgt das asymptotische Verhalten

(3) $\lim _{R\to +\infty }\inf\{|f(z)|:z\in \mathbb {C} ,|z|=R\}=+\infty$.

Beweis

Für $z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$ finden wir die Abschätzung

$|f(z)|=\left|a_{n}z^{n}\cdot \left(1+\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {a_{k}}{a_{n}}}\cdot {\frac {1}{z^{n-k}}}\right)\right|\geq |a_{n}||z|^{n}\cdot \left(1-\sum _{k=0}^{n-1}\left|{\frac {a_{k}}{a_{n}}}\right|\cdot {\frac {1}{|z|^{n-k}}}\right)$.

Nun wählen wir $R>0$ so, dass

$\sum _{k=0}^{n-1}\left|{\frac {a_{k}}{a_{n}}}\right|\cdot {\frac {1}{|z|^{n-k}}}=\left|{\frac {a_{n-1}}{a_{n}}}\right|\cdot {\frac {1}{|z|}}+...+\left|{\frac {a_{0}}{a_{n}}}\right|\cdot {\frac {1}{|z|^{n}}}\leq {\frac {1}{2}}$ für alle $|z|\geq R$

ausfällt. Dann ist die Abschätzung

$|f(z)|\geq {\frac {1}{2}}|a_{n}|R^{n}$ für alle $|z|\geq R$

und somit das asymptotische Verhalten (3) erfüllt.

q.e.d.

Satz 1 (Fundamentalsatz der Algebra)

Jedes nicht konstante Polynom $f$ hat wenigstens eine komplexe Nullstelle, d. h. es gibt ein $z_{0}\in \mathbb {C}$ mit $f\left(z_{0}\right)=0$.

Beweis

Wir betrachten die Hilfsfunktion $\Phi (z)=|f(z)|:\mathbb {C} \to \mathbb {R}$. Wegen (3) können wir $R>0$ so groß wählen, dass

$\inf\{\Phi (z):z\in \mathbb {C} ,|z|=R\}>\Phi (0)$

gilt. Auf der kompakten Menge $K:=\{z\in \mathbb {C} :|z|\leq R\}$ ist die Funktion $\Phi$ stetig und folglich gibt es ein $z_{0}\in K$ mit

$\Phi (z_{0})=\{\Phi (z):z\in \mathbb {C} ,|z|\leq R\}$

Wegen $\Phi (z_{0})\leq \Phi (0)<\inf\{\Phi (z):z\in \mathbb {C} ,|z|=R\}$ muss $z_{0}\in {\stackrel {\circ }{K}}$ richtig sein. Wir werden $z_{0}\in \mathbb {C}$ als Nullstelle erkennen: Angenommen es wäre $\Phi (z_{0})\neq 0$ bzw. $f(z_{0})\neq 0$ erfüllt. Nach Hilfssatz 2 gibt es dann ein $z_{*}\in \mathbb {C}$ mit $\left|z_{*}\right|<R$ und $\Phi \left(z_{*}\right)<\Phi (z_{0})$. Dieses liefert einen Widerspruch zur Minimaleigenschaft (4). Also folgt $f\left(z_{0}\right)=0$ und eine Nullstelle ist gefunden.

q.e.d.

Satz 2 (Linearfaktorzerlegung)

Jedes Polynom (1) besitzt eine Linearfaktorzerlegung der Form

$f(z)=a_{n}\cdot \prod _{j=1}^{m}(z-z_{j})^{k_{j}}$.

Dabei sind $z_{1},z_{2},...,z_{m}\in \mathbb {C}$ seine paarweise verschiedenen komplexen Nullstellen. Die Zahlen $k_{j}\in \mathbb {N}$ geben die Vielfachheiten bzw. Ordnungen der Nullstellen $z_{j}$ für $j=1,2,...,m$ an. Schließlich ist die Identität $\sum _{j=1}^{m}k_{j}=n$ für die Vielfachheiten erfüllt.

Beweis

Wegen Satz 1 besitzt $f$ eine Nullstelle $z_{0}\in \mathbb {C}$. Nach Hilfssatz 1 entwickeln wir $f$ an der Stelle $z_{0}$, indem wir $\xi :=z-z_{0}$ setzen:

$f\left(z\right)=f(z_{0}+\xi ){\stackrel {(2)}{=}}f(z_{0})+b_{k}\xi ^{k}+...+a_{n}\xi ^{n}$.

Dabei ist $b_{k}\neq 0$ für ein $1\leq k\leq n$ und $a_{n}\neq 0$ erfüllt. Schließlich ergibt sich die Darstellung

$f(z)=b_{k}\xi ^{k}+b_{k+1}\xi ^{k+1}+...+a_{n}\xi ^{n}=\xi ^{k}(b_{k}+b_{k+1}\xi +...+a_{n}\xi ^{n-k})=(z-z_{0})^{k}\cdot {\tilde {f}}(z)$.

Hierbei besitzt das Polynom ${\tilde {f}}(z)=\sum _{j=1}^{m}c_{j}z^{k}$ den Grad $m=n-k\in \mathbb {N} _{0}$ und die Koeffizienten $c_{j}\in \mathbb {C}$ für $j=1,...,m$ sowie $c_{m}=a_{n}\neq 0$. Das durch Ordnen nach Potenzen von $z$ entstehende Polynom ${\tilde {f}}$ erfüllt $Grad\,{\tilde {f}}<Grad\,f$ und $f(z_{0})\neq 0$. Wiederholte Anwendung von Satz 1 liefert die Behauptung.

Hilfssatz 4

Sei $f$ ein reelles Polynom (1) mit der komplexen Nullstelle $z_{0}\in \mathbb {C}$ der Vielfachheit $k_{0}\in \mathbb {N}$. Dann ist auch ${\overline {z_{0}}}$ eine Nullstelle von $f$ der Vielfachheit $k_{0}$.

Beweis

1. Zunächst sehen wir folgendes leicht ein: Ein Polynom $f$ besitzt in $z_{0}\in \mathbb {C}$ genau dann eine Nullstelle der Vielfachheit $k_{0}\in \mathbb {N}$, wenn die abgeleiteten Polynome $f^{\left(k\right)}$ der Ordnungen $k=0,...,k_{0}-1$ dort verschwinden.

2. Ist nun $z_{0}\in \mathbb {C}$ eine Nullstelle eines reellen Polynoms, so folgt

$0={\overline {f(z_{0})}}={\overline {\sum _{k=0}^{n}a_{k}z_{0}^{k}}}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}{\overline {z_{0}}}^{k}=f({\overline {z_{0}}})$.

Also ist dann auch ${\overline {z_{0}}}$ eine Nullstelle von $f$.

3. Ist nun $z_{0}\in \mathbb {C}$ eine Nullstelle des reellen Polynoms $f$ der Vielfachheit $k_{0}$, so verschwinden dort die abgeleiteten Polynome $f^{\left(k\right)}$ der Ordnungen $k=0,...,k_{0}-1$. Da letztere reell sind, so verschwinden sie auch im Punkt ${\overline {z_{0}}}$. Folglich ist ${\overline {z_{0}}}$ eine Nullstelle der Vielfachheit $k_{0}$ von $f$.

Satz 3 (Reelle Linearfaktorzerlegung)

Jedes reelle Polynom $f$ aus (1) vom Grad $n$ besitzt eine Linearfaktorzerlegung der folgenden Form

(6) $f(x)=a_{n}\cdot \prod _{j=1}^{m}(x-x_{j})^{k_{j}}\cdot \prod _{j=m+1}^{m+\mu }{\Bigl [}(x-z_{j})\cdot (x-{\overline {z_{j}}}){\Bigr ]}^{k_{j}}$

$=a_{n}\cdot \prod _{j=1}^{m}(x-x_{j})^{k_{j}}\cdot \prod _{j=m+1}^{m+\mu }{\Bigl [}x^{2}-2x_{j}\cdot x+|z_{j}|^{2}{\Bigr ]}^{k_{j}},\quad x\in \mathbb {R}$

Dabei sind $x_{1},...,x_{m}\in \mathbb {R}$ – mit $m\in \mathbb {N} _{0}$ – seine paarweise verschiedenen reellen Nullstellen der Vielfachheiten $k_{j}\in \mathbb {N}$ für $j=1,...,m$. Weiter sind $z_{j}=x_{j}+iy_{j}\in \mathbb {C}$ mit $y_{j}>0$ für $j=m+1,...,m+\mu$ – mit $\mu \in \mathbb {N} _{0}$ – seine paarweise verschiedenen Nullstellen in der oberen komplexen Halbebene der Vielfachheiten $k_{j}\in \mathbb {N}$. Schließlich gilt die Identität

(7) $\sum _{j=1}^{m}k_{j}+2\cdot \sum _{j=m+1}^{m+\mu }k_{j}=n$

für ihre Vielfachheiten.