Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen/§9 Partialbruchzerlegung gebrochen rationaler Funktionen

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Definition 1[Bearbeiten]

Sei die gebrochen rationale Funktion
für
gegeben: Hierbei tritt im Nenner das nicht konstante Polynom
wie in §8 mit den komplexen Koeffizienten für sowie vom auf. Im Zähler erscheint das Polynom
mit den komplexen Koeffizienten für . Falls für gilt, erhalten wir den . Falls gilt, setzen wir . Wir sprechen von einer echt gebrochen rationalen Funktion , falls erfüllt ist.

Wir fixieren nun das Nennerpolynom und zerlegen es gemäß Satz 2 aus §8 in Linearfaktoren im Komplexen. Nehmen wir dessen Nullstellen aus heraus, so erhalten wir die eventuell mehrfach punktierte komplexe Ebene . Nun betrachten wir die echt gebrochen rationalen Funktionen

für .

Definition 2[Bearbeiten]

Die Funktionen heißen linear unabhängig, wenn für alle aus der Identität
für alle
die Beziehung folgt. Dabei ist beliebig gewählt worden.

Nun spannen die Funktionen den -dimensionalen Vektorraum

(2)

auf. Zum festen Nennerpolynom enthält die Menge gerade alle echt gebrochen rationalen Funktionen gemäß Definition 1.

Satz 1 (Partialbruchzerlegung)[Bearbeiten]

Die echt gebrochen rationale Funktion aus Definition 1, dessen Nennerpolynom gemäß Satz 2 aus §8 in Linearfaktoren zerlegt sei, lässt sich in der Form
(3)
darstellen – mit den komplexen Koeffizienten für und . Die Koeffizienten sind durch eindeutig bestimmt.

Beweis[Bearbeiten]

Wir betrachten die echt gebrochen rationalen Funktionen

(4) für und .

Die sind im Sinne von Definition 2 linear unabhängig: Seien nämlich die Zahlen für und mit der Identität

(5)

gegeben. Dann multiplizieren wir diese Identität mit dem Faktor , setzen nun in diese Gleichung ein und wir erhalten

(6) für .

Insofern richtig ist, verfahren wir entsprechend mit dem nächst niedrigeren Koeffizienten und erhalten . Nach endlich vielen Schritten ergibt sich

(7) für und .

Somit ist das Funktionensystem (4) linear unabhängig. Durch Erweitern mit den komplementären Linearfaktoren des Nennerpolynoms sehen wir ferner die Inklusion

(8) für und

ein. Folglich liefern diese Funktionen eine Basis des -dimensionalen Vektorraums und die Aussage des Satzes ist gezeigt.

q.e.d.

Satz 2 (Reelle Partialbruchzerlegung)[Bearbeiten]

Die reelle echt gebrochen rationale Funktion aus Definition 1, dessen Nennerpolynom gemäß Satz 3 aus §8 in Linearfaktoren zerlegt sei, lässt sich für alle in folgender Form darstellen:
(9)
.
Dabei sind sowohl die reellen koeffizienten
für und
als auch die komplexen koeffizienten
für und
durch eindeutig bestimmt.

Beweis[Bearbeiten]

Das Nennerpolynom besitzt gemäß Satz 3 aus §8 die paarweise verschiedenen Nullstellen der Vielfachheiten . Stellen wir nun die reelle echt gebrochen rationale Funktion mit Hilfe von Satz 1 dar, so erhalten wir zunächst Terme der Form

zu den reellen Nullstellen. Die Konstante muss dabei reell sein, da die Funktion reell ist. Jedem Term

zur Nullstelle in der oberen komplexen Halbebene korrespondiert ein Term

zur Nullstelle in der unteren komplexen Halbebene. Damit die Summe beider Terme reell wird, müssen die komplexen Konstanten die Bedingung erfüllen. Somit erhalten wir die im Satz angegebenen Summanden.

q.e.d.

Bemerkung[Bearbeiten]

Für eine beliebige gebrochen rationale Funktion – mit den Polynomen – ist es zweckmäßig, sie zunächst gemäß

(10) mit

und den polynomen zu verlegen. Nach Ausführung dieses Euklidischen Algorithmus wenden wir das o. a. Verfahren auf die echt gebrochen rationale Funktion an. Dann können wir alle beteiligten Summanden integrieren.