Kurs:Analysis II/Kapitel V: Das Riemannsche Integral im R^n/Flächeninhalt und Differentialformen

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§8 Flächeninhalt und Differentialformen[Bearbeiten]

Definition 1[Bearbeiten]

Sei die offene Menge mit als Parameterbereich gegeben. Weiter sei
mit und eine Abbildung, deren Funktionalmatrix
für alle den Rang hat. Dann nennen wir eine parametrisierte, reguläre Fläche mit der Parameterdarstellung .
Sind und zwei Parameterdarstellungen, so nennen wir diese äquivalent, wenn es eine topologische Abbildung
gibt mit den folgenden Eigenschaften:
  1. für alle ,
  2. für alle .
Man sagt, dass aus durch orientierungstreues Umparametrisieren entsteht. Die Äquivalenzklasse aller zu äquivalenten Parameterdarstellungen nennen wir offene, orientierte, -dimensionale, reguläre Fläche der Klasse im . Wir nennen eine Fläche eingebettet in den , falls zusätzlich injektiv ist.

Seien eine Fläche mit als Parameterbereich und den Dimensionen . Mit

für

bezeichnen wir den metrischen Tensor oder Maßtensor der Fläche . Ferner heißt

ihre Gramsche Determinante. Ergänzen wir das System für beliebiges durch Vektoren im für mit den Eigenschaften

(a) für ,
(b) für und ,
(c)

so können wir das Oberflächenelement folgendermaßen berechnen:

(1)

Hilfssatz 1[Bearbeiten]

Seien zwei -Matrizen mit . Für bezeichne die Matrix, welche aus den Zeilen der Matrix besteht; entsprechend seien die Untermatrizen von definiert. Dann gilt

Beweis[Bearbeiten]

Wir fixieren und zeigen, dass die Identität für alle Matrizen gilt.

  1. Seien die Spalteneinheitsvektoren des , so gilt obige Formel zunächst für alle mit .
  2. Gilt obige Formel für die Matrix , so gilt sie auch für die Matrix .
  3. Gilt die Formel für Matrizen und , so auch für die Matrix .

Folgerung[Bearbeiten]

Eine -Matrix erfüllt

Schreiben wir nun den metrischen Tensor in der Form

mit der Jacobi-Matrix , so folgt

(2)

Also ergibt sich für das Oberflächenelement einer -dimensionalen Fläche im

(3)

Definition 2[Bearbeiten]

Unter dem Flächeninhalt einer offenen, orientierten, -dimensionalen, regulären -Fläche im mit einer Parameterdarstellung verstehen wir das uneigentliche Riemannsche Integral
wobei offen und erfüllt ist. Falls ausfällt, hat die Fläche endlichen Flächeninhalt.

Bemerkungen[Bearbeiten]

  1. Mit Hilfe der Transformationsformel für mehrfache Integrale stellt man fest, dass der Wert des Flächeninhalts unabhängig von der Auswahl der Parameterdarstellung ist.
  2. Es treten häufig Integrale auf, die nur von der -dimensionalen Fläche und nicht von ihrer Parameterdarstellung abhängen. Auf diese Weise werden wir zu Integralen über sogenannte Differentialformen geführt.

Definition 3[Bearbeiten]

Auf der offenen Menge seien die Funktionen mit für gegeben. Wir erklären die Menge
ist reguläre, orientierte, -dimensionale Fläche mit
endlichem Flächeninhalt und
Unter einer Differentialform vom Grade der Klasse , nämlich
oder kurz einer -Form der Klasse verstehen wir die Funktion
(4) erklärt durch

Bemerkungen[Bearbeiten]

1. Wir schreiben , falls kompakt und erfüllt ist.

2. Da die Koeffizientenfunktion beschränkt sind und die Fläche endlichen Flächeninhalt hat, konvergiert das auftretende Integral absolut.

3. Sind

und

zwei Differentialsymbole, so können wir unter diesen die Äquivalenzrelation

für alle

erklären. Eine Differentialform kann somit als Äquivalenzklasse von Differentialsymbolen aufgefasst werden, wobei dann ein Repräsentant zu ihrer Kennzeichnung ausgewählt wird.

4. Sind zwei äquivalente Darstellungen der Fläche , so gilt

Somit stellt eine Abbildung dar, die auf den Äquivalenzklassen der orientierten Flächen mit erklärt ist.

5. Bei einer orientierungsumkehrenden Parametertransformation mit ändert sich das Vorzeichen gemäß .

Definition 4[Bearbeiten]

Unter einer -Form der Klasse verstehen wir eine Funktion also . Zu nennen wir
eine Basis--Form.

Definition 5[Bearbeiten]

Seien die -Formen der Klasse und der Skalar gegeben. Dann erklären wir die Differentialformen und durch
für alle
bzw.
für alle .

Die -dimensionalen Differentialformen bilden einen Vektorraum mit dem Nullelement

für alle .

Definition 6[Bearbeiten]

Seien die Differentialformen
vom Grade sowie
vom Grade der Klasse mit gegeben. Dann erklären wir das äußere Produkt von und als die -Form
der Klasse .

Bemerkungen[Bearbeiten]

1. Für beliebige Differentialformen gilt das Assoziativgesetz

2. Seien zwei -Formen und eine -Form, so gilt das Distributivgesetz

3. Wegen des alternierenden Charakters der Determinante ergibt sich das Permutationsgesetz

Dabei bezeichnet eine Permutation mit dem Vorzeichen .

4. Stimmen zwei Indizes und überein, so folgt

Daher verschwindet jede -Form im der Dimension identisch.

5. Für eine -Form und eine -Form gilt die Vertauschungsregel

Das äußere Produkt ist also nicht kommutativ.

6. Wir können jede -Form in der folgenden Weise darstellen:

Die Basis--Formen

für

bilden eine Basis des Raumes der Differentialformen mit Koeffizientenfunktionen der Klasse und

Definition 7[Bearbeiten]

Sei eine stetige Differentialform
auf der offenen Menge mit erklärt. Dann definieren wir das uneigentliche Riemannsche Integral der Differentialform über die Fläche vermöge
falls absolut integrierbar über im folgenden Sinne ist:

Bemerkung[Bearbeiten]

Mit Hilfe der Transformationsformel zeigt man leicht, dass diese Integrale von der Auswahl des Repräsentanten der Fläche unabhängig sind. Wir können also

schreiben.

Definition 8[Bearbeiten]

Für eine -Form der Klasse erklären wir ihre äußere Ableitung als das Differential
Bezeichnet
eine -Form der Klasse , so erklären wir ihre äußere Ableitung als die -Form

Bemerkungen[Bearbeiten]

1. Sind und zwei -Formen im und , so gilt

Der Differentiator stellt also einen linearen Operator dar.

2. Ist eine -Form und eine -Form der Klasse , so folgt

Wir wollen die letzte Behauptung beweisen: Offenbar reicht es aus, den folgenden Fall zu betrachten:

Dabei sind und Basisformen der Ordnung bzw. . Nun erhalten wir

und somit

(6)

Wir betrachten nun die folgende -Form im der Klasse

(7)

welche wir Gaußsche Differentialform nennen wollen. Ihre äußere Ableitung berechnet sich wie folgt:

Definition 9[Bearbeiten]

Für ein Vektorfeld auf der offenen Menge erklären wir dessen Divergenz oder auch Quelldichte als

Wir können nun die -Form

über einen -dimensionalen Quader integrieren. Diese Differentialform kann man auch über große Klassen von nicht-eben berandeten Gebieten im mit Hilfe des Gaußschen Integralsatzes integrieren, eines der wichtigsten Sätze der Vektoranalysis. Darum erlauben wir uns die Differentialform (7) auch als Gaußsche Differentialform zu bezeichnen.

Beispiel[Bearbeiten]

Wir integrieren zunächst über den Halbwürfel

(8)

mit der oberen begrenzenden Seite

(9)

für ein gegebenes . Der äußere Normalenvektor an ist

Wir fassen und als Flächen im auf:

(10)

bzw.

(11) für .

Wir setzen nun von der Differentialform voraus, was sich auf die Qualität ihrer Koeffizienten bezieht. Dann erhalten wir

(12)

Definition 10[Bearbeiten]

In einer offenen Menge sei
eine stetige -Form. Sei weiter mit eine offene Menge und die Abbildung
(13)
der Klasse sei gegeben. Mit
und
erhalten wir die unter der Abbildung transformierte -Form .

Bemerkungen[Bearbeiten]

1. Sind zwei -Formen und , so folgt

2. Sind eine -Form und eine -Form, so gilt

Satz 1 (Zurückziehen der Differentialform)[Bearbeiten]

Sei eine stetige -Form in der offenen Menge . Weiter sei auf der offenen Menge eine Fläche durch die Parameterdarstellung
mit gegeben. Schließlich erklären wir die Fläche
und beachten
.
Dann gilt die folgende Identität:

Beweis[Bearbeiten]

Wir berechnen

sowie

Es folgt somit

und der Satz ist bewiesen.

q.e.d.

Satz 2[Bearbeiten]

Sei eine -Form in der offenen Menge der Regularitätsklasse . Auf der offenen Menge mit sei die Abbildung
gegeben. Dann gilt

Beweis[Bearbeiten]

Zunächst gilt für eine beliebige Funktion die Identität

Wir beachten nun

und erhalten

also

q.e.d.

Satz 3 (Kettenregel für Differentialformen)[Bearbeiten]

Sei eine stetige -Form in einer offenen Menge . Auf den offenen Mengen und mit seien die -Funktionen gemäß
mit
gegeben. Dann gilt

Beweis[Bearbeiten]

Wir berechnen

also

wobei über und summiert wird.

q.e.d.