§8 Flächeninhalt und Differentialformen[Bearbeiten]
- Sei die offene Menge
mit
als Parameterbereich gegeben. Weiter sei

- mit
und
eine Abbildung, deren Funktionalmatrix

- für alle
den Rang
hat. Dann nennen wir
eine parametrisierte, reguläre Fläche mit der Parameterdarstellung
.
- Sind
und
zwei Parameterdarstellungen, so nennen wir diese äquivalent, wenn es eine topologische Abbildung

- gibt mit den folgenden Eigenschaften:
für alle
,
für alle
.
- Man sagt, dass
aus
durch orientierungstreues Umparametrisieren entsteht. Die Äquivalenzklasse
aller zu
äquivalenten Parameterdarstellungen nennen wir offene, orientierte,
-dimensionale, reguläre Fläche der Klasse
im
. Wir nennen eine Fläche eingebettet in den
, falls zusätzlich
injektiv ist.
Seien
eine Fläche mit
als Parameterbereich und den Dimensionen
. Mit

für

bezeichnen wir den metrischen Tensor oder Maßtensor der Fläche
. Ferner heißt

ihre Gramsche Determinante. Ergänzen wir das System
für beliebiges
durch Vektoren
im
für
mit den Eigenschaften
- (a)
für
,
- (b)
für
und
,
- (c)

so können wir das Oberflächenelement folgendermaßen berechnen:
(1)

- Seien
zwei
-Matrizen mit
. Für
bezeichne
die Matrix, welche aus den Zeilen
der Matrix
besteht; entsprechend seien die Untermatrizen von
definiert. Dann gilt

Wir fixieren
und zeigen, dass die Identität für alle Matrizen
gilt.
- Seien
die Spalteneinheitsvektoren des
, so gilt obige Formel zunächst für alle
mit
.
- Gilt obige Formel für die Matrix
, so gilt sie auch für die Matrix
.
- Gilt die Formel für Matrizen
und
, so auch für die Matrix
.
Eine
-Matrix
erfüllt

Schreiben wir nun den metrischen Tensor in der Form

mit der Jacobi-Matrix
, so folgt
(2)

Also ergibt sich für das Oberflächenelement einer
-dimensionalen Fläche im
(3)

- Unter dem Flächeninhalt einer offenen, orientierten,
-dimensionalen, regulären
-Fläche im
mit einer Parameterdarstellung
verstehen wir das uneigentliche Riemannsche Integral

- wobei
offen und
erfüllt ist. Falls
ausfällt, hat die Fläche
endlichen Flächeninhalt.
- Mit Hilfe der Transformationsformel für mehrfache Integrale stellt man fest, dass der Wert des Flächeninhalts unabhängig von der Auswahl der Parameterdarstellung ist.
- Es treten häufig Integrale auf, die nur von der
-dimensionalen Fläche und nicht von ihrer Parameterdarstellung abhängen. Auf diese Weise werden wir zu Integralen über sogenannte Differentialformen geführt.
- Auf der offenen Menge
seien die Funktionen
mit
für
gegeben. Wir erklären die Menge
ist reguläre, orientierte,
-dimensionale Fläche mit
endlichem Flächeninhalt und

- Unter einer Differentialform vom Grade
der Klasse
, nämlich

- oder kurz einer
-Form der Klasse
verstehen wir die Funktion
(4)
erklärt durch 
1. Wir schreiben
, falls
kompakt und
erfüllt ist.
2. Da die Koeffizientenfunktion
beschränkt sind und die Fläche endlichen Flächeninhalt hat, konvergiert das auftretende Integral absolut.
3. Sind

und

zwei Differentialsymbole, so können wir unter diesen die Äquivalenzrelation

für alle

erklären. Eine Differentialform kann somit als Äquivalenzklasse von Differentialsymbolen aufgefasst werden, wobei dann ein Repräsentant zu ihrer Kennzeichnung ausgewählt wird.
4. Sind
zwei äquivalente Darstellungen der Fläche
, so gilt



Somit stellt
eine Abbildung dar, die auf den Äquivalenzklassen der orientierten Flächen
mit
erklärt ist.
5. Bei einer orientierungsumkehrenden Parametertransformation
mit
ändert sich das Vorzeichen gemäß
.
- Unter einer
-Form der Klasse
verstehen wir eine Funktion
also
. Zu
nennen wir

- eine Basis-
-Form.
- Seien die
-Formen
der Klasse
und der Skalar
gegeben. Dann erklären wir die Differentialformen
und
durch
für alle 
- bzw.
für alle
.
Die
-dimensionalen Differentialformen bilden einen Vektorraum mit dem Nullelement

für alle

.
- Seien die Differentialformen

- vom Grade
sowie

- vom Grade
der Klasse
mit
gegeben. Dann erklären wir das äußere Produkt von
und
als die
-Form

- der Klasse
.
1. Für beliebige Differentialformen
gilt das Assoziativgesetz

2. Seien
zwei
-Formen und
eine
-Form, so gilt das Distributivgesetz

3. Wegen des alternierenden Charakters der Determinante ergibt sich das Permutationsgesetz

Dabei bezeichnet
eine Permutation mit dem Vorzeichen
.
4. Stimmen zwei Indizes
und
überein, so folgt

Daher verschwindet jede
-Form im
der Dimension
identisch.
5. Für eine
-Form
und eine
-Form
gilt die Vertauschungsregel

Das äußere Produkt ist also nicht kommutativ.
6. Wir können jede
-Form in der folgenden Weise darstellen:

Die Basis-
-Formen

für

bilden eine Basis des Raumes der Differentialformen mit Koeffizientenfunktionen der Klasse
und
- Sei eine stetige Differentialform

- auf der offenen Menge
mit
erklärt. Dann definieren wir das uneigentliche Riemannsche Integral der Differentialform
über die Fläche
vermöge
![{\displaystyle \int \limits _{[X]}\omega :=\int \limits _{T}\sum _{1\leq i_{1},\ldots ,i_{m}\leq n}a_{i_{1}\ldots i_{m}}{\Bigl (}X(t){\Bigr )}{\frac {\partial (x_{i_{1}},\ldots ,x_{i_{m}})}{\partial (t_{1},\ldots ,t_{m})}}\,dt_{1}\ldots dt_{m},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c48ed968d7f91679ab026081be21a24b048031dc)
- falls
absolut integrierbar über
im folgenden Sinne ist:
![{\displaystyle \int \limits _{[X]}|\omega |:=\int \limits _{T}\left|\sum _{1\leq i_{1},\ldots ,i_{m}\leq n}a_{i_{1}\ldots i_{m}}{\Bigl (}X(t){\Bigr )}{\frac {\partial (x_{i_{1}},\ldots ,x_{i_{m}})}{\partial (t_{1},\ldots ,t_{m})}}\right|\,dt_{1}\ldots dt_{m}<+\infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a05c2a9df177658896a29c6abb6571a1b7f1ef0)
Mit Hilfe der Transformationsformel zeigt man leicht, dass diese Integrale von der Auswahl des Repräsentanten der Fläche unabhängig sind. Wir können also
![{\displaystyle \int \limits _{[X]}|\omega |=\int \limits _{X}|\omega |,\int \limits _{[X]}\omega =\int \limits _{X}\omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3018b1f0185c3af0216743f81a83b6ae25345d6f)
schreiben.
- Für eine
-Form
der Klasse
erklären wir ihre äußere Ableitung als das Differential

- Bezeichnet

- eine
-Form der Klasse
, so erklären wir ihre äußere Ableitung als die
-Form

1. Sind
und
zwei
-Formen im
und
, so gilt

Der Differentiator
stellt also einen linearen Operator dar.
2. Ist
eine
-Form und
eine
-Form der Klasse
, so folgt

Wir wollen die letzte Behauptung beweisen: Offenbar reicht es aus, den folgenden Fall zu betrachten:

Dabei sind
und
Basisformen der Ordnung
bzw.
. Nun erhalten wir

und somit
(6)

Wir betrachten nun die folgende
-Form im
der Klasse
(7)

welche wir Gaußsche Differentialform nennen wollen. Ihre äußere Ableitung berechnet sich wie folgt:




- Für ein Vektorfeld
auf der offenen Menge
erklären wir dessen Divergenz oder auch Quelldichte als

Wir können nun die
-Form

über einen
-dimensionalen Quader integrieren. Diese Differentialform kann man auch über große Klassen von nicht-eben berandeten Gebieten im
mit Hilfe des Gaußschen Integralsatzes integrieren, eines der wichtigsten Sätze der Vektoranalysis. Darum erlauben wir uns die Differentialform (7) auch als Gaußsche Differentialform zu bezeichnen.
Wir integrieren
zunächst über den Halbwürfel
(8)

mit der oberen begrenzenden Seite
(9)

für ein gegebenes
. Der äußere Normalenvektor an
ist

Wir fassen
und
als Flächen im
auf:
(10)

bzw.
(11)

für

.
Wir setzen nun von der Differentialform
voraus, was sich auf die Qualität ihrer Koeffizienten bezieht. Dann erhalten wir
(12)

- In einer offenen Menge
sei

- eine stetige
-Form. Sei weiter
mit
eine offene Menge und die Abbildung
(13)

- der Klasse
sei gegeben. Mit

- und

- erhalten wir die unter der Abbildung
transformierte
-Form
.
1. Sind
zwei
-Formen und
, so folgt

2. Sind
eine
-Form und
eine
-Form, so gilt

Satz 1 (Zurückziehen der Differentialform)[Bearbeiten]
- Sei
eine stetige
-Form in der offenen Menge
. Weiter sei auf der offenen Menge
eine Fläche
durch die Parameterdarstellung

- mit
gegeben. Schließlich erklären wir die Fläche

- und beachten

.
- Dann gilt die folgende Identität:

Wir berechnen


sowie

Es folgt somit

und der Satz ist bewiesen.
q.e.d.
- Sei
eine
-Form in der offenen Menge
der Regularitätsklasse
. Auf der offenen Menge
mit
sei die Abbildung

- gegeben. Dann gilt

Zunächst gilt für eine beliebige Funktion
die Identität

Wir beachten nun

und erhalten



also

q.e.d.
Satz 3 (Kettenregel für Differentialformen)[Bearbeiten]
- Sei
eine stetige
-Form in einer offenen Menge
. Auf den offenen Mengen
und
mit
seien die
-Funktionen
gemäß
mit 
- gegeben. Dann gilt

Wir berechnen




also

wobei über
und
summiert wird.
q.e.d.