Kurs:Analysis II/Kapitel V: Das Riemannsche Integral im R^n/Flächeninhalt und Differentialformen

§8 Flächeninhalt und Differentialformen

Definition 1

Sei die offene Menge $T\subset \mathbb {R} ^{m}$ mit $m\in \mathbb {N}$ als Parameterbereich gegeben. Weiter sei

$X(t)={\begin{pmatrix}x_{1}(t_{1},\ldots ,t_{m})\\\vdots \\x_{n}(t_{1},\ldots ,t_{m})\end{pmatrix}}:T\to \mathbb {R} ^{n}\in C^{k}(T,\mathbb {R} ^{n})$

mit $k,n\in \mathbb {N}$ und $m\leq n$ eine Abbildung, deren Funktionalmatrix

$\partial X(t)={\Bigl (}X_{t_{1}}(t),\ldots ,X_{t_{m}}(t){\Bigr )},\quad t\in T$

für alle $t\in T$ den Rang $m$ hat. Dann nennen wir $X$ eine parametrisierte, reguläre Fläche mit der Parameterdarstellung $X(t):T\to \mathbb {R} ^{n}$.

Sind $X:T\to \mathbb {R} ^{n}$ und ${\tilde {X}}:{\tilde {T}}\to \mathbb {R} ^{n}$ zwei Parameterdarstellungen, so nennen wir diese äquivalent, wenn es eine topologische Abbildung

$t=t(s)={\Bigl (}t_{1}(s_{1},\ldots ,s_{m}),\ldots ,t_{m}(s_{1},\ldots ,s_{m}){\Bigr )}:{\tilde {T}}\to T\in C^{k}({\tilde {T}},T)$

gibt mit den folgenden Eigenschaften:

1. $J(s):={\frac {\partial (t_{1},\ldots ,t_{m})}{\partial (s_{1},\ldots ,s_{m})}}(s)={\begin{vmatrix}{\frac {\partial t_{1}}{\partial s_{1}}}(s)&\ldots &{\frac {\partial t_{1}}{\partial s_{m}}}(s)\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial t_{m}}{\partial s_{1}}}(s)&\ldots &{\frac {\partial t_{m}}{\partial s_{m}}}(s)\end{vmatrix}}>0$ für alle $s\in {\tilde {T}}$,
2. ${\tilde {X}}(s)=X{\Bigl (}t(s){\Bigr )}$ für alle $s\in {\tilde {T}}$.

Man sagt, dass ${\tilde {X}}$ aus $X$ durch orientierungstreues Umparametrisieren entsteht. Die Äquivalenzklasse $[X]$ aller zu $X$ äquivalenten Parameterdarstellungen nennen wir offene, orientierte, $m$-dimensionale, reguläre Fläche der Klasse $C^{k}$ im $\mathbb {R} ^{n}$. Wir nennen eine Fläche eingebettet in den $\mathbb {R} ^{n}$, falls zusätzlich $X:T\to \mathbb {R} ^{n}$ injektiv ist.

Seien $X:T\to \mathbb {R} ^{n}$ eine Fläche mit $T\subset \mathbb {R} ^{m}$ als Parameterbereich und den Dimensionen $1\leq m\leq n$. Mit

$g_{ij}(t):=X_{t_{i}}(t)\cdot X_{t_{j}}(t),\quad t\in T$ für $i,j=1,\ldots ,m$

bezeichnen wir den metrischen Tensor oder Maßtensor der Fläche $X$. Ferner heißt

$g(t):=\det {\Bigl (}g_{ij}(t){\Bigr )}_{i,j=1,\ldots ,m},\quad t\in T$

ihre Gramsche Determinante. Ergänzen wir das System $\{X_{t_{i}}\}_{i=1,\ldots ,m}$ für beliebiges $t\in T$ durch Vektoren $\xi _{j}(t)$ im $\mathbb {R} ^{n}$ für $j=1,\ldots ,n-m$ mit den Eigenschaften

(a) $\xi _{j}(t)\cdot \xi _{k}(t)=\delta _{jk}$ für $j,k=1,\ldots ,n-m$,

(b) $X_{t_{i}}(t)\cdot \xi _{j}(t)=0$ für $i=1,\ldots ,m$ und $j=1,\ldots ,n-m$,

(c) $\det {\Bigl (}X_{t_{1}},\ldots ,X_{t_{m}},\xi _{1},\ldots ,\xi _{n-m}{\Bigr )}{\Bigl |}_{t}>0,$

so können wir das Oberflächenelement folgendermaßen berechnen:

(1) ${\begin{matrix}d\sigma (t)=\det {\Bigl (}X_{t_{1}},\ldots ,X_{t_{m}},\xi _{1},\ldots ,\xi _{n-m}{\Bigr )}\,dt_{1}\ldots dt_{m}\\={\sqrt {\det {\Bigl \{}(X_{t_{1}},\ldots ,\xi _{n-m})^{*}\circ (X_{t_{1}},\ldots ,\xi _{n-m}){\Bigr \}}}}\,dt_{1}\ldots dt_{m}\\{\sqrt {\det {\Bigl (}g_{ij}(t){\Bigr )}_{i,j=1,\ldots ,m}}}\,dt_{1}\ldots dt_{m}={\sqrt {g(t)}}\,dt_{1}\ldots dt_{m},\quad t\in T.\end{matrix}}$

Hilfssatz 1

Seien $A,B$ zwei $(n\times m)$-Matrizen mit $m\leq n$. Für $1\leq i_{1}<\ldots <i_{m}\leq n$ bezeichne $A_{i_{1}\ldots i_{m}}$ die Matrix, welche aus den Zeilen $i_{1},\ldots ,i_{m}$ der Matrix $A$ besteht; entsprechend seien die Untermatrizen von $B$ definiert. Dann gilt

$\det(A^{*}\circ B)\sum _{1\leq i_{1}<\ldots <i_{m}\leq n}\det A_{i_{1}\ldots i_{m}}\det B_{i_{1}\ldots i_{m}}.$

Beweis

Wir fixieren $A$ und zeigen, dass die Identität für alle Matrizen $B$ gilt.

1. Seien $e_{1},\ldots ,e_{n}$ die Spalteneinheitsvektoren des $\mathbb {R} ^{n}$, so gilt obige Formel zunächst für alle $B=(e_{j_{1}},\ldots ,e_{j_{m}})$ mit $j_{1},\ldots ,j_{m}\in \{1,\ldots ,n\}$.
2. Gilt obige Formel für die Matrix $B=(b_{1},\ldots ,b_{m})$, so gilt sie auch für die Matrix $B'=(b_{1},\ldots ,\lambda b_{i},\ldots ,b_{m})$.
3. Gilt die Formel für Matrizen $B'=(b_{1},\ldots ,b_{i}',\ldots ,b_{m})$ und $B''=(b_{1},\ldots ,b_{i}'',\ldots ,b_{m})$, so auch für die Matrix $B=(b_{1},\ldots ,b_{i}'+b_{i}'',\ldots ,b_{m})$.

Folgerung

Eine $(n\times m)$-Matrix $A$ erfüllt

$\det(A^{*}\circ A)=\sum _{1\leq i_{1}<\ldots <i_{m}\leq n}(\det A_{i_{1}\ldots i_{m}})^{2}.$

Schreiben wir nun den metrischen Tensor in der Form

${\Bigl (}g_{ij}(t){\Bigr )}_{i,j=1,\ldots ,m}=\partial X(t)^{*}\circ \partial X(t)$

mit der Jacobi-Matrix $\partial X(t)={\Bigl (}X_{t_{1}}(t),\ldots ,X_{t_{m}}(t){\Bigr )}$, so folgt

(2) $g(t)=\det {\Bigl (}g_{ij}(t){\Bigr )}_{i,j=1,\ldots ,m}=\sum _{1\leq i_{1}<\ldots <i_{m}\leq n}\left({\frac {\partial (x_{i_{1}},\ldots ,x_{i_{m}}}{\partial (t_{1},\ldots ,t_{m})}}(t)\right)^{2}.$

Also ergibt sich für das Oberflächenelement einer $m$-dimensionalen Fläche im $\mathbb {R} ^{n}$

(3) $d\sigma (t)={\sqrt {g(t)}}\,dt_{1}\ldots dt_{m}={\sqrt {\sum _{1\leq i_{1}<\ldots <i_{m}\leq n}\left({\frac {\partial (x_{i_{1}},\ldots ,x_{i_{m}}}{\partial (t_{1},\ldots ,t_{m})}}(t)\right)^{2}}}\,dt_{1}\ldots dt_{m}.$

Definition 2

Unter dem Flächeninhalt einer offenen, orientierten, $m$-dimensionalen, regulären $C^{1}$-Fläche im $\mathbb {R} ^{n}$ mit einer Parameterdarstellung $X(T):T\to \mathbb {R} ^{n}$ verstehen wir das uneigentliche Riemannsche Integral

$A(X):=\int \limits _{T}{\sqrt {\sum _{1\leq i_{1}<\ldots <i_{m}\leq n}\left({\frac {\partial (x_{i_{1}},\ldots ,x_{i_{m}}}{\partial (t_{1},\ldots ,t_{m})}}(t)\right)^{2}}}\,dt_{1}\ldots dt_{m},$

wobei $T\subset \mathbb {R} ^{m}$ offen und $1\leq m\leq n$ erfüllt ist. Falls $A(X)<+\infty$ ausfällt, hat die Fläche $[X]$ endlichen Flächeninhalt.

Bemerkungen

1. Mit Hilfe der Transformationsformel für mehrfache Integrale stellt man fest, dass der Wert des Flächeninhalts unabhängig von der Auswahl der Parameterdarstellung ist.
2. Es treten häufig Integrale auf, die nur von der $m$-dimensionalen Fläche und nicht von ihrer Parameterdarstellung abhängen. Auf diese Weise werden wir zu Integralen über sogenannte Differentialformen geführt.

Definition 3

Auf der offenen Menge ${\mathcal {O}}\subset \mathbb {R} ^{n}$ seien die Funktionen $a_{i_{1}\ldots i_{m}}\in C^{k}({\mathcal {O}}),k\in \mathbb {N} _{0}$ mit $i_{1},\ldots ,i_{m}\in \{1,\ldots ,n\}$ für $1\leq m\leq n$ gegeben. Wir erklären die Menge

${\mathcal {F}}:={\Bigl \{}X|X:T\to \mathbb {R} ^{n}$ ist reguläre, orientierte, $m$-dimensionale Fläche mit

endlichem Flächeninhalt und $X(T)\subset \subset {\mathcal {O}}{\Bigr \}}.$

Unter einer Differentialform vom Grade $m$ der Klasse $C^{k}({\mathcal {O}})$, nämlich

$\omega :=\sum _{i_{1},\ldots ,i_{m}=1}^{n}a_{i_{1}\ldots i_{m}}(x)\,dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{m}}$

oder kurz einer $m$-Form der Klasse $C^{k}({\mathcal {O}})$ verstehen wir die Funktion

(4) $\omega :{\mathcal {F}}\to \mathbb {R}$ erklärt durch $\omega (X):=\int \limits _{T}\sum _{i_{1},\ldots ,i_{m}=1}^{n}a_{i_{1}\ldots i_{m}}(X(t)){\frac {\partial (x_{i_{1}},\ldots ,x_{i_{m}})}{\partial (t_{1},\ldots ,t_{m})}}\,dt_{1}\ldots dt_{m},\quad X\in {\mathcal {F}}.$

Bemerkungen

1. Wir schreiben $A\subset \subset {\mathcal {O}}$, falls ${\overline {A}}\subset \mathbb {R} ^{n}$ kompakt und ${\overline {A}}\subset {\mathcal {O}}$ erfüllt ist.

2. Da die Koeffizientenfunktion $a_{i_{1}\ldots i_{m}}(X(t))$ beschränkt sind und die Fläche endlichen Flächeninhalt hat, konvergiert das auftretende Integral absolut.

3. Sind

$\omega =\sum _{i_{1},\ldots ,i_{m}=1}^{n}a_{i_{1}\ldots i_{m}}(x)\,dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{m}}$

und

${\tilde {\omega }}=\sum _{i_{1},\ldots ,i_{m}=1}^{n}{\tilde {a}}_{i_{1}\ldots i_{m}}(x)\,dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{m}}$

zwei Differentialsymbole, so können wir unter diesen die Äquivalenzrelation

$\omega \sim {\tilde {\omega }}\Leftrightarrow \omega (X)={\tilde {\omega }}(X)$ für alle $X\in {\mathcal {F}}$

erklären. Eine Differentialform kann somit als Äquivalenzklasse von Differentialsymbolen aufgefasst werden, wobei dann ein Repräsentant zu ihrer Kennzeichnung ausgewählt wird.

4. Sind $X,{\tilde {X}}\in {\mathcal {F}}$ zwei äquivalente Darstellungen der Fläche $[X]$, so gilt

$\omega ({\tilde {X}})=\int \limits _{T}\sum _{i_{1},\ldots ,i_{m}=1}^{n}a_{i_{1}\ldots i_{m}}{\Bigl (}{\tilde {X}}(s){\Bigr )}{\frac {\partial ({\tilde {x}}_{i_{1}},\ldots ,{\tilde {x}}_{i_{m}})}{\partial (s_{1},\ldots ,s_{m})}}\,ds_{1}\ldots ds_{m}$

$=\int \limits _{T}\sum _{i_{1},\ldots ,i_{m}=1}^{n}a_{i_{1}\ldots i_{m}}{\Bigl (}X(t(s)){\Bigr )}{\frac {\partial (x_{i_{1}},\ldots ,x_{i_{m}})}{\partial (t_{1},\ldots ,t_{m})}}{\frac {\partial (t_{1},\ldots ,t_{m})}{\partial (s_{1},\ldots ,s_{m})}}\,ds_{1}\ldots ds_{m}$

$=\int \limits _{T}\sum _{i_{1},\ldots ,i_{m}=1}^{n}a_{i_{1}\ldots i_{m}}{\Bigl (}X(t){\Bigr )}{\frac {\partial (x_{i_{1}},\ldots ,x_{i_{m}})}{\partial (t_{1},\ldots ,t_{m})}}\,dt_{1}\ldots dt_{m}=\omega (X).$

Somit stellt $\omega$ eine Abbildung dar, die auf den Äquivalenzklassen der orientierten Flächen $[X]$ mit $X\in {\mathcal {F}}$ erklärt ist.

5. Bei einer orientierungsumkehrenden Parametertransformation $t=t(s)$ mit $J(s)<0,s\in {\tilde {T}}$ ändert sich das Vorzeichen gemäß $\omega ({\tilde {X}})=-\omega (X)$.

Definition 4

Unter einer $0$-Form der Klasse $C^{k}({\mathcal {O}})$ verstehen wir eine Funktion $f(x)\in C^{k}({\mathcal {O}})$ also $\omega =f(x),x\in {\mathcal {O}}$. Zu $1\leq m\leq n$ nennen wir

$\beta ^{m}:=dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{m}},\quad 1\leq i_{1},\ldots ,i_{m}\leq n$

eine Basis-$m$-Form.

Definition 5

Seien die $m$-Formen $\omega ,\omega _{1},\omega _{2}$ der Klasse $C^{0}({\mathcal {O}})$ und der Skalar $c\in \mathbb {R}$ gegeben. Dann erklären wir die Differentialformen $c\omega$ und $\omega _{1}+\omega _{2}$ durch

$(c\omega )(X):=c\omega (X)$ für alle $X\in {\mathcal {F}}$

bzw.

$(\omega _{1}+\omega _{2})(X):=\omega _{1}(X)+\omega _{2}(X)$ für alle $X\in {\mathcal {F}}$.

Die $m$-dimensionalen Differentialformen bilden einen Vektorraum mit dem Nullelement

$o(X)=0$ für alle $X\in {\mathcal {F}}$.

Definition 6

Seien die Differentialformen

$\omega _{1}:=\sum _{1\leq i_{1},\ldots ,i_{l}\leq n}a_{i_{1}\ldots i_{l}}(x)\,dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{l}}$

vom Grade $l$ sowie

$\omega _{2}:=\sum _{1\leq j_{1},\ldots ,j_{m}\leq n}b_{j_{1}\ldots j_{m}}(x)\,dx_{j_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{j_{m}}$

vom Grade $m$ der Klasse $C^{k}({\mathcal {O}})$ mit $k\in \mathbb {N} _{0}$ gegeben. Dann erklären wir das äußere Produkt von $\omega _{1}$ und $\omega _{2}$ als die $(l+m)$-Form

$\omega =\omega _{1}\wedge \omega _{2}:=\sum _{1\leq i_{1},\ldots ,i_{l};j_{1},\ldots ,j_{m}\leq n}a_{i_{1}\ldots i_{l}}(x)b_{j_{1}\ldots j_{m}}(x)\,dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{l}}\wedge dx_{j_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{j_{m}}$

der Klasse $C^{k}({\mathcal {O}})$.

Bemerkungen

1. Für beliebige Differentialformen $\omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}$ gilt das Assoziativgesetz

$(\omega _{1}\wedge \omega _{2})\wedge \omega _{3}=\omega _{1}\wedge (\omega _{2}\wedge \omega _{3}).$

2. Seien $\omega _{1},\omega _{2}$ zwei $l$-Formen und $\omega _{3}$ eine $m$-Form, so gilt das Distributivgesetz

$(\omega _{1}+\omega _{2})\wedge \omega _{3}=\omega _{1}\wedge \omega _{3}+\omega _{2}\wedge \omega _{3}.$

3. Wegen des alternierenden Charakters der Determinante ergibt sich das Permutationsgesetz

$dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{l}}=\operatorname {sign} \,(\pi )dx_{i_{\pi (1)}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{\pi (l)}}.$

Dabei bezeichnet $\pi :\{1,\ldots ,l\}\to \{1,\ldots ,l\}$ eine Permutation mit dem Vorzeichen $\operatorname {sign} \,(\pi )$.

4. Stimmen zwei Indizes $i_{j_{1}}$ und $i_{j_{2}}$ überein, so folgt

$dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{l}}=0.$

Daher verschwindet jede $m$-Form im $\mathbb {R} ^{n}$ der Dimension $m>n$ identisch.

5. Für eine $l$-Form $\omega _{1}$ und eine $m$-Form $\omega _{2}$ gilt die Vertauschungsregel

$\omega _{1}\wedge \omega _{2}=(-1)^{lm}\omega _{2}\wedge \omega _{1}.$

Das äußere Produkt ist also nicht kommutativ.

6. Wir können jede $m$-Form in der folgenden Weise darstellen:

$\omega =\sum _{1\leq i_{1},\ldots ,i_{m}\leq n}a_{i_{1}\ldots i_{m}}(x)\,dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{m}}.$

Die Basis-$m$-Formen

$dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{m}}$ für $1\leq i_{1}<\ldots <i_{m}\leq n$

bilden eine Basis des Raumes der Differentialformen mit Koeffizientenfunktionen der Klasse $C^{k}({\mathcal {O}})$ und $k\in \mathbb {N} _{0}$

Definition 7

Sei eine stetige Differentialform

$\omega =\sum _{1\leq i_{1},\ldots ,i_{m}\leq n}a_{i_{1}\ldots i_{m}}(x)\,dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{m}},\quad x\in {\mathcal {O}}$

auf der offenen Menge ${\mathcal {O}}\subset \mathbb {R} ^{n}$ mit $1\leq m\leq n$ erklärt. Dann definieren wir das uneigentliche Riemannsche Integral der Differentialform $\omega$ über die Fläche $[X]\subset {\mathcal {O}}$ vermöge

$\int \limits _{[X]}\omega :=\int \limits _{T}\sum _{1\leq i_{1},\ldots ,i_{m}\leq n}a_{i_{1}\ldots i_{m}}{\Bigl (}X(t){\Bigr )}{\frac {\partial (x_{i_{1}},\ldots ,x_{i_{m}})}{\partial (t_{1},\ldots ,t_{m})}}\,dt_{1}\ldots dt_{m},$

falls $\omega$ absolut integrierbar über $X$ im folgenden Sinne ist:

$\int \limits _{[X]}|\omega |:=\int \limits _{T}\left|\sum _{1\leq i_{1},\ldots ,i_{m}\leq n}a_{i_{1}\ldots i_{m}}{\Bigl (}X(t){\Bigr )}{\frac {\partial (x_{i_{1}},\ldots ,x_{i_{m}})}{\partial (t_{1},\ldots ,t_{m})}}\right|\,dt_{1}\ldots dt_{m}<+\infty .$

Bemerkung

Mit Hilfe der Transformationsformel zeigt man leicht, dass diese Integrale von der Auswahl des Repräsentanten der Fläche unabhängig sind. Wir können also

$\int \limits _{[X]}|\omega |=\int \limits _{X}|\omega |,\int \limits _{[X]}\omega =\int \limits _{X}\omega$

schreiben.

Definition 8

Für eine $0$-Form $f(x)$ der Klasse $C^{1}({\mathcal {O}})$ erklären wir ihre äußere Ableitung als das Differential

$df(x)=\sum _{i=1}^{n}f_{x_{i}}(x)\,dx_{i},\quad x\in {\mathcal {O}}.$

Bezeichnet

$\omega =\sum _{1\leq i_{1}<\ldots <i_{m}\leq n}a_{i_{1}\ldots i_{m}}(x)\,dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{m}}$

eine $m$-Form der Klasse $C^{1}({\mathcal {O}})$, so erklären wir ihre äußere Ableitung als die $(m+1)$-Form

$d\omega :=\sum _{1\leq i_{1}<\ldots <i_{m}\leq n}{\Bigl (}da_{i_{1}\ldots i_{m}}(x){\Bigr )}\wedge dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{m}}.$

Bemerkungen

1. Sind $\omega _{1}$ und $\omega _{2}$ zwei $m$-Formen im $\mathbb {R} ^{n}$ und $\alpha _{1},\alpha _{2}\in \mathbb {R}$, so gilt

$d(\alpha _{1}\omega _{1}+alpha_{2}\omega _{2})=\alpha _{1}d\omega _{1}+alpha_{2}d\omega _{2}.$

Der Differentiator $d$ stellt also einen linearen Operator dar.

2. Ist $\lambda$ eine $l$-Form und $\omega$ eine $m$-Form der Klasse $C^{1}({\mathcal {O}})$, so folgt

$d(\omega \wedge \lambda )=(d\omega )\wedge \lambda +(-1)^{m}\omega \wedge d\lambda .$

Wir wollen die letzte Behauptung beweisen: Offenbar reicht es aus, den folgenden Fall zu betrachten:

$\omega =f(x)\beta ^{m},\quad \lambda =g(x)\beta ^{l}.$

Dabei sind $\beta ^{m}$ und $\beta ^{l}$ Basisformen der Ordnung $m$ bzw. $l$. Nun erhalten wir

$\omega \wedge \lambda =f(x)g(x)\beta ^{m}\wedge \beta ^{l}$

und somit

(6) ${\begin{matrix}d(\omega \wedge \lambda )=d{\Bigl (}f(x)g(x){\Bigr )}\wedge \beta ^{m}\wedge \beta ^{l}\\=d{\Bigl (}g(x)df(x)+f(x)dg(x){\Bigr )}\wedge \beta ^{m}\wedge \beta ^{l}=(d\omega )\wedge \lambda +(-1)^{m}\omega \wedge d\lambda .\end{matrix}}$

Wir betrachten nun die folgende $(n-1)$-Form im $\mathbb {R} ^{n}$ der Klasse $C^{1}({\mathcal {O}})$

(7) $\omega =\sum _{i=1}^{n}a_{i}(x)(-1)^{i+1}\,dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{i-1}\wedge dx_{i+1}\wedge \ldots \wedge dx_{n},\quad x\in {\mathcal {O}}\subset \mathbb {R} ^{n},$

welche wir Gaußsche Differentialform nennen wollen. Ihre äußere Ableitung berechnet sich wie folgt:

$d\omega =\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}{\Bigl (}da_{i}(x){\Bigr )}\wedge dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{i-1}\wedge dx_{i+1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}$

$=\sum _{i,j=1}^{n}(-1)^{i+1}{\frac {\partial a_{i}}{\partial x_{j}}}(x)dx_{j}\wedge dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{i-1}\wedge dx_{i+1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}$

$=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}{\frac {\partial a_{i}}{\partial x_{i}}}(x)dx_{i}\wedge dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{i-1}\wedge dx_{i+1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}$

$=\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial a_{i}}{\partial x_{i}}}(x)\right)\,dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}={\Bigl (}\operatorname {div} \,a(x){\Bigr )}\,dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}.$

Definition 9

Für ein Vektorfeld $a(x)={\Bigl (}a_{1}(x),\ldots ,a_{n}(x){\Bigr )}\in C^{1}({\mathcal {O}},\mathbb {R} ^{n})$ auf der offenen Menge ${\mathcal {O}}\subset \mathbb {R} ^{n}$ erklären wir dessen Divergenz oder auch Quelldichte als

$\operatorname {div} \,a(x):=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial a_{i}}{\partial x_{i}}}(x),\quad x\in {\mathcal {O}}.$

Wir können nun die $n$-Form

$d\omega =(\operatorname {div} \,a(x))\,dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}$

über einen $n$-dimensionalen Quader integrieren. Diese Differentialform kann man auch über große Klassen von nicht-eben berandeten Gebieten im $\mathbb {R} ^{n}$ mit Hilfe des Gaußschen Integralsatzes integrieren, eines der wichtigsten Sätze der Vektoranalysis. Darum erlauben wir uns die Differentialform (7) auch als Gaußsche Differentialform zu bezeichnen.

Beispiel

Wir integrieren $d\omega$ zunächst über den Halbwürfel

(8) $H:={\Bigl \{}x=(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}|x_{1}\in (-r,0),x_{i}\in (-r,+r)\mathrm {\ f{\ddot {u}}r\ } i=2,\ldots ,n{\Bigr \}}$

mit der oberen begrenzenden Seite

(9) $S:={\Bigl \{}x=(0,x_{2},\ldots ,x_{n})||x_{i}|<r\mathrm {\ f{\ddot {u}}r\ } i=2,\ldots ,n{\Bigr \}}$

für ein gegebenes $r>0$. Der äußere Normalenvektor an $S$ ist

$e_{1}=(1,0,\ldots ,0)\in \mathbb {R} ^{n}.$

Wir fassen $H$ und $S$ als Flächen im $\mathbb {R} ^{n}$ auf:

(10) $H:X(t_{1},\ldots ,t_{n})=(t_{1},\ldots ,t_{n}),\quad (t_{1},\ldots ,t_{n})\in H$

bzw.

(11) $S:Y({\tilde {t}}_{1},\ldots ,{\tilde {t}}_{n-1})=(0,{\tilde {t}}_{1},\ldots ,{\tilde {t}}_{n-1}),\quad |{\tilde {t}}_{i}|<r$ für $i=1,\ldots ,n-1$.

Wir setzen nun von der Differentialform $\omega \in C_{0}^{1}(H\cup S)$ voraus, was sich auf die Qualität ihrer Koeffizienten bezieht. Dann erhalten wir

(12) ${\begin{matrix}\int \limits _{H}d\omega =\int \limits _{X}d\omega =\int \limits _{-r}^{0}\int \limits _{-r}^{+r}\ldots \int \limits _{-r}^{+r}\left({\frac {\partial a_{1}}{\partial x_{1}}}+\ldots +{\frac {\partial a_{n}}{\partial x_{n}}}\right)\,dx_{1}\ldots dx_{n}\\\int \limits _{-r}^{+r}\ldots \int \limits _{-r}^{+r}a_{1}(0,x_{2},\ldots ,x_{n})\,dx_{2}\ldots dx_{n}=\int \limits _{S}\omega .\end{matrix}}$

Definition 10

In einer offenen Menge ${\mathcal {O}}\subset \mathbb {R} ^{n}$ sei

$\omega =\sum _{1\leq i_{1}<\ldots <i_{m}\leq n}a_{i_{1}\ldots i_{m}}(x)dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{m}}$

eine stetige $m$-Form. Sei weiter $T\subset \mathbb {R} ^{l}$ mit $l\in \mathbb {N}$ eine offene Menge und die Abbildung

(13) $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})=\Phi (y)=(\varphi _{1}(y_{1},\ldots ,y_{l}),\ldots ,\varphi _{n}(y_{1},\ldots ,y_{l})):T\to {\mathcal {O}}$

der Klasse $C^{1}(T,\mathbb {R} ^{n})$ sei gegeben. Mit

$d\varphi _{i}=\sum _{j=1}^{l}{\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial y_{j}}}(y)dy_{j},\quad i=1,\ldots ,n$

und

$\omega _{\Phi }=\sum _{1\leq i_{1}<\ldots <i_{m}\leq n}a_{i_{1}\ldots i_{m}}{\Bigl (}\Phi (y){\Bigr )}d\varphi _{i_{1}}\wedge \ldots \wedge d\varphi _{i_{m}}$

erhalten wir die unter der Abbildung $\Phi$ transformierte $m$-Form $\omega _{\Phi }$.

Bemerkungen

1. Sind $\omega _{1},\omega _{2}$ zwei $m$-Formen und $\alpha _{1},\alpha _{2}\in \mathbb {R}$, so folgt

$(\alpha _{1}\omega _{1}+\alpha _{2}\omega _{2})_{\Phi }=\alpha _{1}(\omega _{1})_{\Phi }+\alpha _{2}(\omega _{2})_{\Phi }.$

2. Sind $\lambda$ eine $l$-Form und $\omega$ eine $m$-Form, so gilt

$(\omega \wedge \lambda )_{\Phi }=\omega _{\Phi }\wedge \lambda _{\Phi }.$

Satz 1 (Zurückziehen der Differentialform)

Sei $\omega$ eine stetige $m$-Form in der offenen Menge ${\mathcal {O}}\subset \mathbb {R} ^{n}$. Weiter sei auf der offenen Menge $T\subset \mathbb {R} ^{m}$ eine Fläche $X$ durch die Parameterdarstellung

$x=\Phi (y):T\to {\mathcal {O}}\in C^{1}(T)$

mit $\Phi (T)\subset \subset {\mathcal {O}}$ gegeben. Schließlich erklären wir die Fläche

$Y(t)=(t_{1},\ldots ,t_{m}),\quad t\in T$

und beachten

$X(t)=\Phi \circ Y(t),\quad t\in T$.

Dann gilt die folgende Identität:

$\int \limits _{X}\omega =\int \limits _{Y}\omega _{\Phi }.$

Beweis

Wir berechnen

$d\varphi _{i_{1}}\wedge \ldots \wedge d\varphi _{i_{m}}=\left(\sum _{j_{1}=1}^{m}{\frac {\partial \varphi _{i_{1}}}{\partial y_{j_{1}}}}dy_{j_{1}}\right)\wedge \ldots \wedge \left(\sum _{j_{m}=1}^{m}{\frac {\partial \varphi _{i_{m}}}{\partial y_{j_{m}}}}dy_{j_{m}}\right)$

$={\frac {\partial (\varphi _{i_{1}},\ldots ,\varphi _{i_{m}})}{\partial (y_{1},\ldots ,y_{m})}}dy_{1}\wedge \ldots \wedge dy_{m}$

sowie

$\omega _{\Phi }=\sum _{1\leq i_{1}<\ldots <i_{m}\leq n}a_{i_{1}\ldots i_{m}}(\Phi (y)){\frac {\partial (\varphi _{i_{1}},\ldots ,\varphi _{i_{m}})}{\partial (y_{1},\ldots ,y_{m})}}dy_{1}\wedge \ldots \wedge dy_{m}.$

Es folgt somit

$\int \limits _{Y}\omega _{\Phi }=\int \limits _{T}\sum _{1\leq i_{1}<\ldots <i_{m}\leq n}a_{i_{1}\ldots i_{m}}(X(t)){\frac {\partial (x_{i_{1}},\ldots ,x_{i_{m}})}{\partial (t_{1},\ldots ,t_{m})}}dt_{1}\ldots dt_{m}=\int \limits _{X}\omega$

und der Satz ist bewiesen.

q.e.d.

Satz 2

Sei $\omega$ eine $m$-Form in der offenen Menge ${\mathcal {O}}\subset \mathbb {R} ^{n}$ der Regularitätsklasse $C^{1}({\mathcal {O}})$. Auf der offenen Menge $T\subset \mathbb {R} ^{l}$ mit $l\in \mathbb {N}$ sei die Abbildung

$x=\Phi (y):T\to {\mathcal {O}}\in C^{2}(T)$

gegeben. Dann gilt

$d(\omega _{\Phi })=(d\omega )_{\Phi }.$

Beweis

Zunächst gilt für eine beliebige Funktion $\Psi (y)\in C^{2}({\mathcal {O}})$ die Identität

$d^{2}\Psi =d(d\Psi )=d\left(\sum _{i=1}^{n}\Psi _{y_{i}}\,dy_{i}\right)=\sum _{i,j=1}^{n}\Psi _{y_{i}y_{j}}\,dy_{j}\wedge dy_{i}=0.$

Wir beachten nun

$\omega _{\Phi }=\sum _{1\leq i_{1}<\ldots <i_{m}\leq n}a_{i_{1}\ldots i_{m}}{\Bigl (}\Phi (y){\Bigr )}\,d\varphi _{i_{i}}\wedge \ldots \wedge d\varphi _{i_{m}}$

und erhalten

$d\omega _{\Phi }=\sum _{1\leq i_{1}<\ldots <i_{m}\leq n}da_{i_{1}\ldots i_{m}}{\Bigl (}\Phi (y){\Bigr )}\wedge d\varphi _{i_{i}}\wedge \ldots \wedge d\varphi _{i_{m}}$

$=\sum _{1\leq i_{1}<\ldots <i_{m}\leq n}\sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{l}{\frac {\partial a_{i_{1}\ldots i_{m}}}{\partial y_{j}}}{\Bigl (}\Phi (y){\Bigr )}{\frac {\partial \varphi _{j}}{\partial y_{k}}}dy_{k}\wedge d\varphi _{i_{i}}\wedge \ldots \wedge d\varphi _{i_{m}}$

$=\sum _{1\leq i_{1}<\ldots <i_{m}\leq n}\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial a_{i_{1}\ldots i_{m}}}{\partial y_{j}}}{\Bigl (}\Phi (y){\Bigr )}\varphi _{j}\wedge d\varphi _{i_{i}}\wedge \ldots \wedge d\varphi _{i_{m}},$

also

$d\omega _{\Phi }=(d\omega )_{\Phi }.$

q.e.d.

Satz 3 (Kettenregel für Differentialformen)

Sei $\omega$ eine stetige $m$-Form in einer offenen Menge ${\mathcal {O}}\subset \mathbb {R} ^{n}$. Auf den offenen Mengen $T'\subset \mathbb {R} ^{l'}$ und $T''\subset \mathbb {R} ^{l''}$ mit $l',l''\in \mathbb {N}$ seien die $C^{1}$-Funktionen $\Phi ,\Psi$ gemäß

$\Psi :T''\to T',\quad \Phi :T'\to {\mathcal {O}}$ mit $z{\stackrel {\Psi }{\mapsto }}y{\stackrel {\Phi }{\mapsto }}x$

gegeben. Dann gilt

$(\omega _{\Phi })_{\Psi }=\omega _{\Phi \circ \Psi }.$

Beweis

Wir berechnen

$\omega _{\Phi \circ \Psi }=\sum _{i_{1},\ldots ,i_{m}}a_{i_{1}\ldots i_{m}}{\Bigl (}\Phi \circ \Psi (z){\Bigr )}d(\varphi _{i_{1}}\circ \Psi )\wedge \ldots \wedge d(\varphi _{i_{m}}\circ \Psi )$

$=\sum _{i_{1},\ldots ,i_{m};j_{1},\ldots ,j_{m};k_{1},\ldots ,k_{m}}a_{i_{1}\ldots i_{m}}{\Bigl (}\Phi \circ \Psi (z){\Bigr )}\left({\frac {\partial \varphi _{i_{1}}}{\partial y_{j_{1}}}}{\frac {\partial \psi _{j_{1}}}{\partial z_{k_{1}}}}dz_{k_{1}}\right)\wedge \ldots \ldots \wedge \left({\frac {\partial \varphi _{i_{m}}}{\partial y_{j_{m}}}}{\frac {\partial \psi _{j_{m}}}{\partial z_{k_{m}}}}dz_{k_{m}}\right)$

$=\sum _{i_{1},\ldots ,i_{m} \atop j_{1},\ldots ,j_{m}}a_{i_{1}\ldots i_{m}}{\Bigl (}\Phi \circ \Psi (z){\Bigr )}\left({\frac {\partial \varphi _{i_{1}}}{\partial y_{j_{1}}}}d\psi _{j_{1}}\right)\wedge \ldots \wedge \left({\frac {\partial \varphi _{i_{m}}}{\partial y_{j_{m}}}}d\psi _{j_{m}}\right)$

$=\left(\sum _{i_{1},\ldots ,i_{m}}a_{i_{1}\ldots i_{m}}{\Bigl (}\Phi (y){\Bigr )}d\varphi _{i_{1}}\wedge \ldots \wedge d\varphi _{i_{m}}\right)_{y=\Psi (z)},$

also

$\omega _{\Phi \circ \Psi }=(\omega _{\Phi })_{\Psi },$

wobei über $i_{1},\ldots ,i_{m}\in \{1,\ldots ,n\},j_{1},\ldots ,j_{m}\in \{1,\ldots ,l'\}$ und $k_{1},\ldots ,k_{m}\in \{1,\ldots ,l''\}$ summiert wird.

q.e.d.