Kurs:Analysis II/Kapitel V: Das Riemannsche Integral im R^n/Integration mittels Standardsubstitutionen (§1)

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Definition 1[Bearbeiten]

Eine rationale Funktion in den reellen Variablen entsteht durch die algebraischen Operationen Addition, Multiplikation und Division aus den Variablen . Somit folgt
Dabei sind die Polynome in mehreren Veränderlichen vom Grad durch
mit den Koeffizienten und den Multiindices
vom Betrag beziehungsweise vom Grad durch
mit den Koeffizienten und den Multiindices
vom Betrag erklärt.

(I) Integrale vom Typ [Bearbeiten]

Durch die Substitution mit entstehen Integrale der Form

mit der gebrochen rationalen Funktion .
Zum Beispiel können wir auf das Integral

die Methoden aus §9 in Kapitel III anwenden.

(II) Integrale vom Typ [Bearbeiten]

Wegen Definition 1 aus §3 in Kapitel III sind diese Integrale bereits in (I) behandelt worden. Als Beispiel betrachten wir

mit .

(III) Integrale vom Typ (Halbwinkelmethode)[Bearbeiten]

Durch die Substitution

(1) für

der sogenannten Halbwinkelmethode erhalten wir wegen der Identitäten

(2)

Integrale der Form

mit der gebrochen rationalen Funktion .
So betrachten wir als Beispiel

mit .

(IV) Integrale vom Typ mit den Parametern [Bearbeiten]

Fall 1 ():

Dann stellt bereits das Integral einer rationalen Funktion dar.

Fall 2 ( und ):

Die Substitution
(3)
führt uns auf den Ausdruck
,
also ein Integral mit gebrochen rationalen Integranden .

Fall 3 ():

Diese Integrale lassen sich auf Integrale über rationale Funktionen von trigonometrischen Funktionen oder Hyperbelfunktionen zurückführen: Zunächst liefert die quadratische Ergänzung im Radikanden
(4) .

Fall 3a ():

Dann folgt die Identität
.
Hier lässt sich die Wurzel im Integranden ziehen und es bleibt das Integral einer rationalen Funktion zu ermitteln.

Fall 3b ():

Wir setzen dann
und wählen die Vorzeichenfaktoren so, dass
(5)
erfüllt ist. Durch die Substitution
(6)
entstehen Integrale der folgenden Form
.
Somit sind die folgenden Grundintegrale vom Typ
(7)
zu berechnen. Die Substitutionen
(8) in
bzw.
(9) in
führen uns auf Integrale vom Typ (I). Für die Integrale
liefern sowohl die Substitution als auch Integrale vom Typ (III).

(V) Integrale vom Typ mit [Bearbeiten]

Wir gehen von den Exponenten

mit und für

aus. Das Integral lässt sich durch die Substitution

(10)

rationalisieren, d. h. es gilt

(11)

mit der gebrochen rationalen Funktion .

Bemerkungen zu (IV)[Bearbeiten]

Wir wollen nun geeignete Substitutionen angeben, um die obigen Grundintegrale aus Teil (IV) direkt in gebrochen rationale Integranden umzurechnen: Für können wir das Integral durch die Substitution auf den zweiten Typ zurückführen, denn es gilt

(12) .

Zur Rationalisierung von substituieren wir

(13)

und erhalten

(14)

mit der gebrochen rationalen Funktion .
Setzen wir im Falle des Integranden , so folgt

.

Mit erhalten wir sowie . Die Substitution

(15)

liefert schließlich

(16)

mit der gebrochen rationalen Funktion .