Kurs:Analysis II/Kapitel V: Das Riemannsche Integral im R^n/Integration mittels Standardsubstitutionen (§1)

Definition 1

Eine rationale Funktion $R$ in den reellen Variablen $x_{1},...,x_{n}$ entsteht durch die algebraischen Operationen Addition, Multiplikation und Division aus den Variablen $x_{1},...,x_{n}$. Somit folgt

$R(x_{1},...,x_{n})={\frac {P(x_{1},...,x_{n})}{Q(x_{1},...,x_{n})}}$

Dabei sind die Polynome in mehreren Veränderlichen vom Grad $M\in \mathbb {N} _{0}$ durch

$P(x_{1},...,x_{n})=\sum _{\|\mu \|=0}^{M}a_{\mu }\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{\mu _{i}}\right)$

mit den Koeffizienten $a_{\mu }\in \mathbb {R}$ und den Multiindices

$\mu =(\mu _{1},...,\mu _{n})\in \mathbb {N} _{0}\times ...\times \mathbb {N} _{0}$

vom Betrag $\|\mu \|:=\sum _{i=1}^{n}\mu _{i}$ beziehungsweise vom Grad $N\in \mathbb {N} _{0}$ durch

$Q(x_{1},...,x_{n})=\sum _{\|\nu \|=0}^{N}b_{\nu }\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{\nu _{i}}\right)$

mit den Koeffizienten $b_{\nu }\in \mathbb {R}$ und den Multiindices

$\nu =(\nu _{1},...,\nu _{n})\in \mathbb {N} _{0}\times ...\times \mathbb {N} _{0}$

vom Betrag $\|\nu \|:=\sum _{i=1}^{n}\nu _{i}$ erklärt.

(I) Integrale vom Typ $\int R(e^{x})\,dx$

Durch die Substitution $t=t(x)=e^{x}$ mit $dx={\frac {dt}{t}}$ entstehen Integrale der Form

$\int R(e^{x})\,dx=\int {\frac {R(t)}{t}}\,dt=\int {\tilde {R}}(t)\,dt$

mit der gebrochen rationalen Funktion ${\tilde {R}}$.
Zum Beispiel können wir auf das Integral

$\int {\frac {e^{x}+e^{2x}}{e^{5x}+e^{7x}}}\,dx=\int {\frac {1+t}{t^{5}+t^{7}}}\,dt=\int {\frac {t+1}{t^{5}\cdot (t-i)\cdot (t+1))}}\,dt$

die Methoden aus §9 in Kapitel III anwenden.

(II) Integrale vom Typ $\int R(\cosh x,\sinh x)\,dx$

Wegen Definition 1 aus §3 in Kapitel III sind diese Integrale bereits in (I) behandelt worden. Als Beispiel betrachten wir

$\int {\frac {1}{\cosh x}}\,dx=2\int {\frac {1}{e^{x}+e^{-x}}}\,dx{\stackrel {\text{(I)}}{=}}2\int {\frac {1}{1+t^{2}}}\,dt=2\arctan e^{x}+c$ mit $c\in \mathbb {R}$.

(III) Integrale vom Typ $\int R(\cos x,\sin x)\,dx$ (Halbwinkelmethode)

Durch die Substitution

(1) $z=z(x)=\tan \left({\frac {x}{2}}\right)$ für $|x|<\pi \quad \left(x=2\arctan x{\text{ und }}dx={\frac {2dz}{1+z^{2}}}\right)$

der sogenannten Halbwinkelmethode erhalten wir wegen der Identitäten

(2) ${\begin{matrix}\cos x={\frac {\cos \left(2\cdot {\frac {x}{2}}\right)}{1}}={\frac {\cos ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right)-\sin ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right)}{\cos ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right)+\sin ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right)}}={\frac {1-\tan ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right)}{1+\tan ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right)}}={\frac {1-z^{2}}{1+z^{2}}},\\\\\sin x={\frac {\sin \left(2\cdot {\frac {x}{2}}\right)}{1}}={\frac {2\cos \left({\frac {x}{2}}\right)\cdot \sin \left({\frac {x}{2}}\right)}{\cos ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right)+\sin ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right)}}={\frac {2\tan \left({\frac {x}{2}}\right)}{1+\tan ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right)}}={\frac {2z}{1+z^{2}}}\end{matrix}}$

Integrale der Form

$\int R(\cos x,\sin x)\,dx=2\int {\frac {1}{1+z^{2}}}\cdot R\left({\frac {1-z^{2}}{1+z^{2}}},{\frac {2z}{1+z^{2}}}\right)\,dz=\int {\tilde {R}}(z)\,dz$

mit der gebrochen rationalen Funktion ${\tilde {R}}$.
So betrachten wir als Beispiel

$\int {\frac {dx}{\sin x}}=\int {\frac {1+z^{2}}{2z}}\cdot {\frac {2dz}{1+z^{2}}}=\int {\frac {dz}{z}}=\ln \left|\tan \left({\frac {x}{2}}\right)\right|+c$ mit $c\in \mathbb {R}$.

(IV) Integrale vom Typ $\int R\left(x,{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}\right)\,dx$ mit den Parametern $a,b,c\in \mathbb {R}$

Fall 1 ($a=b=0$):

Dann stellt $\int R(x,{\sqrt {c}})\,dx$ bereits das Integral einer rationalen Funktion dar.

Fall 2 ($a=0$ und $b,c\neq 0$):

Die Substitution

(3) $w^{2}=bx+c\quad \left(x=x(w)={\frac {w^{2}-c}{b}}{\text{ und }}dx={\frac {2}{b}}\cdot w\,dw\right)$

führt uns auf den Ausdruck

$\int R\left(x,{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}\right)\,dx=\int R\left({\frac {w^{2}-c}{b}},w\right)\cdot {\frac {2w}{b}}\,dw=\int {\tilde {R}}(w)\,dw$,

also ein Integral mit gebrochen rationalen Integranden ${\tilde {R}}$.

Fall 3 ($a,b,c\neq 0$):

Diese Integrale lassen sich auf Integrale über rationale Funktionen von trigonometrischen Funktionen oder Hyperbelfunktionen zurückführen: Zunächst liefert die quadratische Ergänzung im Radikanden

(4) ${\begin{matrix}ax^{2}+bx+c=a\left(x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}\right)=a\left[\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}+{\frac {c}{a}}\right]\\\\=a\left[\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {4ac-b^{2}}{4a^{2}}}\right]\end{matrix}}$.

Fall 3a ($b^{2}=4ac$):

Dann folgt die Identität

${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=\pm {\sqrt {|a|}}\cdot \left(x^{2}+{\frac {b}{2a}}\right)$.

Hier lässt sich die Wurzel im Integranden ziehen und es bleibt das Integral einer rationalen Funktion zu ermitteln.

Fall 3b ($b^{2}\neq 4ac$):

Wir setzen dann

$D:={\frac {1}{2|a|}}{\sqrt {|4ac-b^{2}|}}$

und wählen die Vorzeichenfaktoren $E,F\in \{-1,+1\}$ so, dass

(5) ${\begin{matrix}ax^{2}+bx+c=|a|\cdot \left[E\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+F\cdot D^{2}\right]\\\\=|a|\cdot D^{2}\cdot \left[E\left({\frac {x}{D}}+{\frac {b}{2aD}}\right)^{2}+F\right]\end{matrix}}$

erfüllt ist. Durch die Substitution

(6) $t=t(x)={\frac {x}{D}}+{\frac {b}{2aD}}\quad \left(x=D\cdot t-{\frac {b}{2a}}{\text{ und }}dx=D\cdot dt\right)$

entstehen Integrale der folgenden Form

$\int R\left(x,{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}\right)\,dx=\int R\left(Dt-{\frac {b}{2a}},D\cdot {\sqrt {|a|}}\cdot {\sqrt {E\cdot t^{2}+F}}\right)D\,dt$.

Somit sind die folgenden Grundintegrale vom Typ

(7) ${\begin{matrix}\int R_{1}\left(x,{\sqrt {1+x^{2}}}\right)\,dx,\quad \int R_{2}\left(x,{\sqrt {1-x^{2}}}\right)\,dx,\int R_{3}\left(x,{\sqrt {x^{2}-1}}\right)\,dx\end{matrix}}$

zu berechnen. Die Substitutionen

(8) $x=\sinh t$ in $\int R_{1}\left(x,{\sqrt {1+x^{2}}}\right)\,dx$

bzw.

(9) $x=\cosh t$ in $\int R_{3}\left(x,{\sqrt {x^{2}-1}}\right)\,dx$

führen uns auf Integrale vom Typ (I). Für die Integrale

$\int R_{2}\left(x,{\sqrt {1-x^{2}}}\right)\,dx$

liefern sowohl die Substitution $x=\cos t$ als auch $x=\sin t$ Integrale vom Typ (III).

(V) Integrale vom Typ $\int R(x^{r_{1}},x^{r_{2}},...,x^{r_{n}})\,dx$ mit $r_{k}\in \mathbb {Q}$

Wir gehen von den Exponenten

$r_{k}={\frac {p_{k}}{q}}$ mit $p_{k}\in \mathbb {Z}$ und $q\in \mathbb {N}$ für $k=1,2,...,n$

aus. Das Integral lässt sich durch die Substitution

(10) $t=t(x)=x^{\frac {1}{q}}\quad \left(x=t^{q}{\text{ und }}dx=q\cdot t^{q-1}\,dt\right)$

rationalisieren, d. h. es gilt

(11) ${\begin{matrix}\int R(x^{\frac {p_{1}}{q}},x^{\frac {p_{2}}{q}},...,x^{\frac {p_{n}}{q}})\,dx=q\int R(t^{p_{1}},t^{p_{2}},...,t^{p_{n}})\cdot t^{q-1}\,dt=\int {\tilde {R}}(t)\,dt\end{matrix}}$

mit der gebrochen rationalen Funktion ${\tilde {R}}$.

Bemerkungen zu (IV)

Wir wollen nun geeignete Substitutionen angeben, um die obigen Grundintegrale aus Teil (IV) direkt in gebrochen rationale Integranden umzurechnen: Für $R_{3}$ können wir das Integral durch die Substitution $x={\frac {1}{x}}$ auf den zweiten Typ zurückführen, denn es gilt

(12) ${\begin{matrix}\int R_{3}\left(x,{\sqrt {x^{2}-1}}\right)\,dx=-\int {\frac {1}{z^{2}}}R_{3}\left({\frac {1}{z}},{\frac {1}{z}}{\sqrt {1-z^{2}}}\right)\,dz=\int R_{2}\left(z,{\sqrt {1-z^{2}}}\right)\,dz\end{matrix}}$.

Zur Rationalisierung von $R_{2}$ substituieren wir

(13) $x=x(w)={\frac {1-w^{2}}{1+w^{2}}}$

und erhalten

(14) $\int R_{2}\left(x,{\sqrt {1-x^{2}}}\right)\,dx=-\int R_{2}\left({\frac {1-w^{2}}{1+w^{2}}},{\frac {2w}{1+w^{2}}}\right)\cdot {\frac {4w}{(1+w^{2})^{2}}}\,dw=\int {\tilde {R}}(w)\,dw$

mit der gebrochen rationalen Funktion ${\tilde {R}}$.
Setzen wir $y={\sqrt {x^{2}+1}}$ im Falle des Integranden $R_{1}$, so folgt

$y^{2}-x^{2}=(y-x)(y+x)=1$.

Mit $x+y=v$ erhalten wir $x-y={\frac {1}{v}}$ sowie $2x=v-{\frac {1}{v}}$. Die Substitution

(15) $x=x(v)={\frac {1}{2}}\left(v-{\frac {1}{v}}\right)$

liefert schließlich

(16) $\int R_{1}\left(x,{\sqrt {1+x^{2}}}\right)\,dx={\frac {1}{2}}\int R_{1}\left({\frac {v-{\frac {1}{v}}}{2}},{\frac {v+{\frac {1}{v}}}{2}}\right)\cdot \left(1+{\frac {1}{v^{2}}}\right)\,dv=\int {\tilde {R}}(v)\,dv$

mit der gebrochen rationalen Funktion ${\tilde {R}}$.