Kurs:Analysis II/Kapitel V: Das Riemannsche Integral im R^n/Integration mittels Testfunktionen (§6)

Definition 1

Es seien die Dimensionen $n,m\in \mathbb {N}$ gewählt und die offene Menge $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ gegeben. Dann wird für eine Funktion $f:\Omega \to \mathbb {R} ^{m}\in C^{0}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})$ ihr Träger oder auch englisch support durch

$supp(f):={\overline {\{x\in \Omega :f(x)\neq 0\}}}$

erklärt. Hierbei bezeichnet ${\overline {\Theta }}$ den topologischen Abschluss der Menge $\Theta$ im $\mathbb {R} ^{n}$.

Definition 2

Zum Differenzierbarkeitsgrad $k\in \{0,1,2,\ldots ,\infty \}$ erklären wir die Menge der Testfunktionen durch

${\begin{matrix}C_{0}^{k}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})=C_{c}^{k}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m}):=\left\{f\in C_{c}^{k}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m}):supp(f)\ ist\ kompakte\ Menge\ im\ \mathbb {R} ^{n}\ und\ erf{\ddot {u}}llt\ supp(f)\subset \Omega \right\}\end{matrix}}$.

Wie üblich vereinbaren wir für reellwertige Funktionen die Klassen

$C_{0}^{k}(\Omega )=C_{c}^{k}(\Omega ):=C_{0}^{k}(\Omega ,\mathbb {R} )=C_{c}^{k}(\Omega ,\mathbb {R} )$

und

$C_{0}^{k}(\Omega ,\mathbb {C} )=C_{c}^{k}(\Omega ,\mathbb {C} ):=C_{0}^{k}(\Omega ,\mathbb {R} ^{2})=C_{c}^{k}(\Omega ,\mathbb {R} ^{2})$.

Bemerkungen

1. Auf einer offenen Menge $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ kann jede Funktion $f\in C_{0}^{k}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})$ zu einer Funktion

(2) $F(x)=\left\{{\begin{matrix}f(x),&{\text{falls }}x\in \Omega \\\\0,&{\text{falls }}x\in \mathbb {R} ^{n}\setminus \Omega \end{matrix}}\right.$

der Regularitätsklasse $F\in C_{0}^{k}(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{m})$ fortgesetzt werden. 2. Sei $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Menge mit $\Omega \neq \mathbb {R} ^{n}$. Eine Funktion $f\in C_{0}^{0}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})$ erfüllt nach Hilfssatz 1 aus §5 die Aussage

$dist(supp(f),\mathbb {R} ^{n}\setminus \Omega )>0$.

Es ist nämlich $A:=\mathbb {R} ^{n}\setminus \Omega$ eine abgeschlossene und $K:=supp(f)$ eine kompakte Menge sowie die Bedingung $(\mathbb {R} ^{n}\setminus \Omega )\cap supp(f)=\emptyset$ erfüllt.

Wir wollen jetzt gewisse Glättungsfunktionen konstruieren, welche uns gute Dienste leisten werden. In Hilfssatz 3 von §1 in Kapitel III haben wir gezeigt, dass die Funktion

(3) $\psi (t):=\left\{{\begin{matrix}\exp \left(-{\frac {1}{t}}\right),&{\text{falls }}t>0\\\\0,&{\text{falls }}t\leq 0\end{matrix}}\right.$

zur Regularitätsklasse $C^{\infty }(\mathbb {R} )$ gehört. Zu beliebigem $R>0$ betrachten wir die Funktion

(4) $\omega _{R}(x):=\psi (|x|^{2}-R^{2}),\quad x\in \mathbb {R} ^{n}$

der Regularitätsklasse $C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$. Wir beobachten $\omega _{R}(x)>0$ falls $|x|>R$ und $\omega _{R}(x)=0$ falls $|x|\leq R$ gilt, also folgt

$supp(\omega _{R})=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:|x|\geq R\}$.

Weiter konstruieren wir die Funktion

(5) $\varrho =\varrho (t):\mathbb {R} \to \mathbb {R} \in C^{\infty }(\mathbb {R} )$ vermöge $t\mapsto \varrho (t):=\psi (1-t)\psi (1+t)$.

Diese Funktion ist gemäß $\varrho (-t)=\varrho (t)$ für alle $t\in \mathbb {R}$ symmetrisch, erfüllt $\varrho (t)>0$ für alle $t\in (-1,1)$ sowie $\varrho (t)=0$ sonst und wir erhalten

$supp(\varrho )=[-1,1]$.

Schließlich erklären wir zum Mittelpunkt $\xi \in \mathbb {R} ^{n}$ und Radius $\varepsilon >0$ die kompakte Kugel

(6) ${\begin{matrix}B_{\varepsilon }(\xi ):=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:|x-\xi |\leq \varepsilon \}\\\\{\text{mit der }}assoziierten\ Gl{\ddot {a}}ttungsfunktion\\\\\varphi _{\xi ,\varepsilon }(x):=\varrho \left({\frac {|x-\xi |^{2}}{\varepsilon ^{2}}}\right),\quad x\in \mathbb {R} ^{n}.\end{matrix}}$

Wir bemerken $\varphi _{\xi ,\varepsilon }\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} )$ und ermitteln $\varphi _{\xi ,\varepsilon }(x)>0$ für alle $x\in {\stackrel {\circ }{B}}_{\varepsilon }(\xi )$ sowie $\varphi _{\xi ,\varepsilon }(x)=0$ für alle $x\in \mathbb {R} ^{n}\setminus B_{\varepsilon }(\xi )$. Damit folgt

$supp(\varphi _{\xi ,\varepsilon })=B_{\varepsilon }(\xi )$.

Satz 1 (Zerlegung der Eins)

Es sei $K\subset \mathbb {R} ^{n}$ eine kompakte Menge und zu jedem Punkt $x\in K$ bezeichne ${\mathcal {O}}_{x}\subset \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Menge mit $x\in {\mathcal {O}}_{x}$. Wir können dann endlich – genauer $N\in \mathbb {N}$ – viele Punkte $x^{(1)},\ldots ,x^{(N)}\in K$ auswählen, so dass die Überdeckungseigenschaft $K\subset \bigcup _{\nu =1}^{N}{\mathcal {O}}_{x^{(\nu )}}$ gilt. Weiter finden wir Funktionen

$\chi _{\nu }=\chi _{\nu }(x):{\mathcal {O}}_{x^{(\nu )}}\to [0,+\infty )\in C_{0}^{\infty }({\mathcal {O}}_{x^{(\nu )}})$ für $\nu =1,\ldots ,N$,

so dass die Funktion $\chi (x):=\sum _{\nu =1}^{N}\chi _{\nu }(x),x\in \mathbb {R} ^{n}$ die folgenden Eigenschaften hat:

(a) Wir haben $\chi \in C_{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$;

(b) Für alle $x\in K$ gilt $\chi (x)=1$;

(c) Für alle $x\in \mathbb {R} ^{n}$ ist $0\leq \chi (x)\leq 1$ richtig.

Beweis

1.) Da $K\subset \mathbb {R} ^{n}$ kompakt ist, gibt es ein $R>0$ mit $K\subset B:=B_{R}(0)$. Zu jedem $x\in B$ wählen wir nun eine offene Kugel ${\stackrel {\circ }{B}}_{\varepsilon (x)}(x)$ vom Radius $\varepsilon (x)>0$ derart, dass

(7) $B_{\varepsilon (x)}(x)\subset {\mathcal {O}}_{x}$ für $x\in K$ und $B_{\varepsilon (x)}(x)\subset \mathbb {R} ^{n}\setminus K$ für $x\in B\setminus K$

erfüllt ist. Das Mengensystem $\left\{{\stackrel {\circ }{B}}_{\varepsilon (x)}(x)\right\}_{x\in B}$ liefert dann eine offene Überdeckung der kompakten Menge $B$. Nach dem Heine-Borelschen Überdeckungssatz genügen dafür endlich viele offene Mengen, sagen wir

${\stackrel {\circ }{B}}_{\varepsilon _{1}}(x^{(1)}),{\stackrel {\circ }{B}}_{\varepsilon _{N}}(x^{(N)}),{\stackrel {\circ }{B}}_{\varepsilon _{N+1}}(x^{(N+1)}),{\stackrel {\circ }{B}}_{\varepsilon _{N+M}}(x^{(N+M)})$.

Hierbei haben wir $x^{(\nu )}\in K$ für $\nu =1,2,\ldots ,N$ sowie $x^{(\nu )}\in B\setminus K$ für $\nu =N+1,\ldots ,N+M$ gewählt und $\varepsilon _{\nu }:=\varepsilon (x^{(\nu )})$ gesetzt – mit gewissen natürlichen Zahlen $N$ sowie $M$. Mit den assoziierten Glättungsfunktionen aus (5) betrachten wir nun die nicht negativen Funktionen

(8) $\varphi _{\nu }(x):=\varphi _{x^{(\nu )},\varepsilon _{\nu }}(x),\quad x\in \mathbb {R} ^{n}$

der Regularitätsklasse $\varphi _{\nu }\in C_{0}^{\infty }({\mathcal {O}}_{x^{(\nu )}})$ für $\nu =1,\ldots ,N$ bzw. $\varphi _{\nu }\in C_{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}\setminus K)$ für $\nu =N+1,\ldots ,N+M$. Ferner erklären wir die Funktion $\varphi _{N+M+1}(x):=\omega _{R}(x)$, wobei $\omega _{R}$ in (4) definiert wurde. Offenbar erhalten wir dann die Positivität $\sum _{\nu =1}^{N+M+1}\varphi _{\nu }(x)>0$ für alle $x\in \mathbb {R} ^{n}$.

2.) Wir erklären nun die Funktionen $\chi _{\nu }$ vermöge

(9) $\chi _{\nu }(x):=\left[\sum _{\nu =1}^{N+M+1}\varphi _{\nu }(x)\right]^{-1}\varphi _{\nu }(x),\quad x\in \mathbb {R} ^{n}$ für $\nu =1,\ldots ,N+M+1$.

Dabei gehören die Funktionen $\chi _{\nu }$ und $\varphi _{\nu }$ für $\nu =1,\ldots ,N+M+1$ jeweils der gleichen Regularitätsklasse an. Zusätzlich gilt

$\sum _{\nu =1}^{N+M+1}\chi _{\nu }(x):=\left[\sum _{\nu =1}^{N+M+1}\varphi _{\nu }(x)\right]^{-1}\cdot \sum _{\nu =1}^{N+M+1}\varphi _{\nu }(x)\equiv 1$ für alle $x\in \mathbb {R} ^{n}$.

Die Eigenschaften (a), (b) und (c) der Funktion $<math>\chi (x)=\sum _{\mu =1}^{m}\chi _{\mu }(x)$ liest man direkt von der obigen Konstruktion ab.

Definition 3

Die Funktionen $\chi _{1},\ldots ,\chi _{N}$ aus Satz 1 nennen wir eine der offenen Überdeckung $\{{\mathcal {O}}_{x}\}_{x\in K}$ von $K$ untergeordnete Zerlegung der Eins.

Hilfssatz 1 (Ausschöpfung durch Testfunktionen)

Für jede offene Menge $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ gibt es eine Folge von Testfunktionen

$\omega _{k}:\Omega \to [0,1]\in C_{0}^{\infty }(\Omega ),\quad k=1,2,\ldots$,

die kompakt gleichmäßig in $\Omega$ gegen die Funktion $\omega (x):=1,x\in \Omega$ konvergiert. Genauer schöpfen die kompakten Mengen

$\Omega _{k}:=\{x\in \Omega :\omega _{k}(x)=1\},\quad k=1,2,\ldots$

die offene Menge $\Omega$ gemäß $\Omega _{k}\to \Omega \ (k\to \infty )$ aus.

Beweis

Nach Hilfssatz 2 aus §5 gibt es eine Folge von Jordanbereichen $J_{k}\subset \Omega$ für $k=1,2,\ldots$ mit $J_{k}\to \Omega \ (k\to \infty )$. Für jedes $k\in \mathbb {N}$ gilt $dist(J_{k},\mathbb {R} ^{n}\setminus \Omega )>0$ gemäßHilfssatz 1 in §5 und wir können folglich geeignete Radien $\varepsilon =\varepsilon (x),x\in J_{k}$ so finden, dass $\left\{{\stackrel {\circ }{B}}_{\varepsilon (x)}\right\}_{x\in J_{k}}$ ein offenes Überdeckungssystem von $J_{k}$ bildet. Wir finden mit Satz 1 eine untergeordnete Zerlegung der Eins $\chi _{1}^{(k)},\ldots ,\chi _{N_{k}}^{(k)}$ und erklären die Funktionen

$\omega _{k}:=\sum _{l=1}^{N_{k}}\chi _{l}^{(k)}(x),\quad x\in \Omega$ für $k=1,2,\ldots$.

Diese Funktionenfolge besitzt offenbar die gewünschten Eigenschaften.

q.e.d.

Wir sind nun vorbereitet, den Beweis der Transformationsformel mehrfacher Integrale aus Satz 5 von §5 zu führen und vereinbaren hierzu die

Voraussetzung (T):

Zur fest gewählten Dimension $n\in \mathbb {N}$ seien $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Punktmenge und $y:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}$ vermöge

$x=(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto y(x)=(y_{1}(x),\ldots ,y_{n}(x))$

eine injektive Abbildung mit den Eigenschaften $y\in C^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})$ und der Jacobischen

$J_{y}(x):=\det \left({\frac {\partial y_{i}(x)}{\partial x_{k}}}\right)_{i,k=1,\ldots ,n}\neq 0$ für alle $x\in \Omega$.

Nach dem Fundamentalsatz über die inverse Abbildung (Satz 1 aus §4 in Kapitel IV) ist die Bildmenge

$\Theta :=y(\Omega )=\{y\in \mathbb {R} ^{n}:y=y(x),x\in \Omega \}\subset \mathbb {R} ^{n}$

offen. Die Abbildung $y=y(x):\Omega \to \Theta$ ist bijektiv und besitzt die Umkehrabbildung $x=x(y):\Theta \to \Omega \in C^{1}(\Theta ,\mathbb {R} ^{n})$.

Wir werden unter der Voraussetzung (T) die folgende Frage beantworten: Man bestimme sinnvolle Klassen von Funktionen $f:\Theta \to \mathbb {C}$, in welcher die Transformationsformel ${\mathfrak {T}}(f)=0$ mit dem Transformationsfunktional

(10) ${\mathfrak {T}}(f):=\int \limits _{\Theta }f(y)\,dy-\int \limits _{\Omega }f(y(x))\cdot |J_{y}(x)|\,dx=0$

gilt.

Wir belassen dem Leser den Beweis der nachfolgenden Aussage als Übungsaufgabe.

Hilfssatz 2

Unter der Voraussetzung (T) werde die offene Menge $\Theta$ durch die Kompakta $\Theta _{k},k=1,2,\ldots$ ausgeschöpft. Dann schöpfen deren kompakte Urbildmengen

$\Omega _{k}:=\{x\in \Omega :y(x)\in \Theta _{k}\},\quad k=1,2,\ldots$

die kompakte Menge $\Omega$ aus.

Hilfssatz 3

Unter der Voraussetzung (T) sind folgende Aussagen äquivalent:

$(i)$ Für alle Testfunktionen $f\in C_{0}^{0}(\Theta )$ gilt ${\mathfrak {T}}(f)=0$.

$(ii)$ Für jeden Punkt $\eta \in \Theta$ gibt es eine Zahl $\varepsilon =\varepsilon (\eta )>0$, so dass die Kugel $B_{\varepsilon }(\eta ):=\{y\in \mathbb {R} ^{n}:|y-\eta |\leq \varepsilon \}$ die Inklusionsbedingung $B_{\varepsilon }(\eta )\subset \Theta$ erfüllt und für alle lokalen Testfunktionen $f\in C_{0}^{0}\left({\stackrel {\circ }{B}}_{\varepsilon }(\eta )\right)$ die Identität ${\mathfrak {T}}(f)=0$ gilt.

Beweis

Da $(i)\Rightarrow (ii)$ selbstverständlich ist, zeigen wir nur $(ii)\Rightarrow (i)$: Für eine beliebige Funktion $f\in C_{0}^{0}(\Theta )$ ist die Menge $K:=supp(f)\subset \Theta$ kompakt und wir betrachten deren offene Überdeckung $\left\{{\stackrel {\circ }{B}}_{\varepsilon (\eta )}(\eta ):\eta \in K\right\}$. Mit Hilfe von Satz 1 konstruieren wir eine dem Mengensystem $\left\{{\stackrel {\circ }{B}}_{\varepsilon (\eta )}(\eta ):\eta \in K\right\}$ untergeordnete Zerlegung der Eins von $supp(f)$ mit den Funktionen

(11) $\chi _{\nu }\in C_{0}^{\infty }\left({\stackrel {\circ }{B}}_{\varepsilon _{\nu }}(\eta ^{(\nu )})\right)$ mit $\eta ^{(\nu )}\in K$ und $\varepsilon _{\nu }:=\varepsilon (\eta ^{(\nu )})$ für $\nu =1,\ldots ,N$.

Dann erklären wir die Funktionen $f_{\nu }$ vermöge

(12) $f_{\nu }(y):=f(y)\cdot \chi _{\nu }(y):{\stackrel {\circ }{B}}_{\varepsilon _{\nu }}\left(\eta ^{(\nu )}\right)\to \mathbb {R} \in C_{0}^{0}\left({\stackrel {\circ }{B}}_{\varepsilon _{\nu }}\left(\eta ^{(\nu )}\right)\right)$

und die Voraussetzung $(ii)$ liefert die Identität ${\mathfrak {T}}(f_{\nu })=0$ für $\nu =1,\ldots ,N$. Wir erhalten dann

(13) ${\begin{matrix}{\mathfrak {T}}(f)=\int \limits _{\Theta }f(y)\,dy-\int \limits _{\Omega }f(y(x))\cdot |J_{y}(x)|\,dx\\\\=\int \limits _{\Theta }\left\{\sum \limits _{\nu =1}^{N}f(y)\cdot \chi _{\nu }(y)\right\}\,dy-\int \limits _{\Omega }\left\{\sum \limits _{\nu =1}^{N}f(y(x))\cdot \chi _{\nu }(y(x))\right\}\cdot |J_{y}(x)|\,dx\\\\=\int \limits _{\Theta }\left\{\sum \limits _{\nu =1}^{N}f_{\nu }(y)\right\}\,dy-\int \limits _{\Omega }\left\{\sum \limits _{\nu =1}^{N}f_{\nu }(y(x))\right\}\cdot |J_{y}(x)|\,dx\\\\=\sum \limits _{\nu =1}^{N}\left\{\int \limits _{\Theta }f_{\nu }(y)\,dy-\int \limits _{\Omega }f_{\nu }(y(x))\cdot |J_{y}(x)|\,dx\right\}=\sum \limits _{\nu =1}^{N}{\mathfrak {T}}(f_{\nu })=0.\end{matrix}}$

q.e.d.

Hilfssatz 4

Unter der Voraussetzung (T) gilt die Identität

${\mathfrak {T}}(f)=0$ für alle $f\in C_{0}^{0}(\Theta )$.

Beweis

1.) Wir zeigen diese Aussage durch vollständige Induktion über die Raumdimension $n$ und sichern zunächst den Induktionsanfang $n=1$. Gemäß Hilfssatz 3 haben wir nur die lokale Aussage zu beweisen. Zum beliebigen Punkt $\eta \in \Theta \subset \mathbb {R} ^{1}$ wählen wir $\varepsilon =\varepsilon (\eta )>0$ mit der Eigenschaft

$B_{\varepsilon }(\eta )=[\eta -\varepsilon ,\eta +\varepsilon ]\subset \Theta$.

Dann definieren wir die Urbildpunkte $x_{1},x_{2}$ gemäß $y(x_{1}):=\eta -\varepsilon$ sowie $y(x_{2}):=\eta +\varepsilon$ und ihr zugehöriges Intervall durch

$I:=\{x\in \mathbb {R} :x=\lambda x_{1}+(1-\lambda )x_{2},0\leq \lambda \leq 1\}$.

Nun liefert Satz 7 aus §5 in Kapitel II die Identität

(14) ${\begin{matrix}\int \limits _{\Theta }f(y)\,dy=\int \limits _{\eta -\varepsilon }^{\eta +\varepsilon }f(y)\,dy\\\\=\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(y(x))\cdot y'(x)\,dx=\operatorname {sgn} y'(x)\cdot \int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(y(x))\cdot |J_{y}(x)|\,dx\\\\=\int \limits _{I}f(y(x))\cdot |J_{y}(x)|\,dx=\int \limits _{\Omega }f(y(x))\cdot |J_{y}(x)|\,dx\end{matrix}}$

für alle Funktionen $f\in C_{0}^{0}\left({\stackrel {\circ }{B}}_{\varepsilon }(\eta )\right)$. Dabei handelt es sich beim 2. – 4. Integral obiger Identität (14) um orientierte eindimensionale Integrale. Schließlich beachten wir, dass die Signumfunktion von $y'(x),x\in I$ konstant ist.

2.) Im Induktionsschritt $n\to n+1$ verwenden wir eine Feldeinbettung und interpretieren das $(n+1)$-dimensionale Integral als iteriertes Integral gemäß Satz 12 aus §3. Letzteres ist insbesondere für Testfunktionen möglich.
Es sei der Punkt $(\eta ,\zeta )=(\eta _{1},\ldots ,\eta _{n},\zeta )\in \subset \mathbb {R} ^{n+1}$ gewählt. Die $(n+1)$-dimensionale Abbildung

$Y:\Omega \to \Theta$ vermöge $(x,t)=(x_{1},\ldots ,x_{n},t)\mapsto Y(x,t)=Y(x_{1},\ldots ,x_{n},t)$

erfülle die Voraussetzung (T) und es gelte

$Y(\xi ,\tau )=Y(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n},\tau )=(\eta ,\zeta )$.

Durch eine Drehung um den Punkt $(\eta ,\zeta )$ können wir erreichen, dass die folgende Bedingung erreicht wird:

(15) ${\frac {\partial Y(\xi ,\tau )}{\partial t}}=Y_{t}(\xi ,\tau )=\lambda \cdot e_{n+1}$ mit einem $\lambda >0$.

Dabei ist der Einheitsvektor $e_{n+1}:=(0,\ldots ,0,1)\in \mathbb {R} ^{n+1}$ wie üblich erklärt. Ohne es zu erwähnen, werden wir in den nachfolgenden Überlegungen den Parameter $\varepsilon >0$ mehrmals verkleinern. Zunächst definieren wir einen Quader

$Q:=(\xi _{1}-\varepsilon ,\xi _{1}+\varepsilon )\times \ldots \times (\xi _{n}-\varepsilon ,\xi _{n}+\varepsilon )\subset \mathbb {R} ^{n}$

und ein offenes Intervall $I:=(\tau -\varepsilon ,\tau +\varepsilon )$. Weiter betrachten wir die Flächenschar

(16) ${\begin{matrix}{\mathcal {F}}_{t}:=\{Y(x,t)\in \mathbb {R} ^{n+1}:x\in Q\}\\\\=\{Y(x_{1},\ldots ,x_{n},t):x_{i}\in (\xi _{i}-\varepsilon ,\xi _{i}+\varepsilon )\ \mathrm {f{\ddot {u}}r\ } i=1,\ldots ,n\}\end{matrix}}$

in Abhängigkeit vom Parameter $t\in I$. Wir zerlegen nun die Abbildung $Y$ gemäß

(17) $Y(x,t)=(f(x,t),z(x,t))=(f_{1}(x,t),\ldots ,f_{n}(x,t),z(x,t)),\quad (x,t)\in Q\times I$.

Mit den Identitäten (15) bis (17) erhalten wir durch Entwicklung nach der letzten Spalte die folgenden Determinanten

(18) ${\begin{matrix}0\neq J_{Y}(\xi ,\tau )={\begin{vmatrix}{\frac {\partial f_{1}(\xi ,\tau )}{\partial x_{1}}}&\ldots &{\frac {\partial f_{1}(\xi ,\tau )}{\partial x_{n}}}&{\frac {\partial f_{1}(\xi ,\tau )}{\partial t}}\\\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\\\{\frac {\partial f_{n}(\xi ,\tau )}{\partial x_{1}}}&\ldots &{\frac {\partial f_{n}(\xi ,\tau )}{\partial x_{n}}}&{\frac {\partial f_{n}(\xi ,\tau )}{\partial t}}\\\\{\frac {\partial z(\xi ,\tau )}{\partial x_{1}}}&\ldots &{\frac {\partial z(\xi ,\tau )}{\partial x_{n}}}&{\frac {\partial z(\xi ,\tau )}{\partial t}}\end{vmatrix}}\\\\=\det \left(Y_{x_{1}}(\xi ,\tau )^{*},\ldots ,Y_{x_{n}}(\xi ,\tau )^{*},\lambda \cdot e_{n+1}^{*}\right)\\\\=\lambda \cdot \left({\frac {\partial f_{i}(\xi ,\tau )}{\partial x_{k}}}\right)_{i,k=1,\ldots ,n}=:\lambda \cdot J_{f}(\xi ,\tau ).\end{matrix}}$

3.) Jetzt betrachten wir die Abbildung

(19) $F:Q\times I\to Z\in C^{1}(Q\times I,\mathbb {R} ^{n+1})$ vermöge $(x,t)\mapsto F(x,t):=(f(x,t),t)$

mit der Jacobischen $J_{F}(\xi ,\tau )\neq 0$. Nach dem Fundamentalsatz über die inverse Abbildung (siehe Satz 1 aus §4 in Kapitel IV) gibt es eine zu $F$ inverse Abbildung

(20) $G:Z\to Q\times I\in C^{1}(Z,\mathbb {R} ^{n+1})$ vermöge $(y,t)\mapsto G(y,t):=(g(y,t),t)$

mit der Variablen $y=(y_{1},\ldots ,y_{n})$. Die Abbildung (19) stellt also einen $C^{1}$-Diffeomorphismus von $Q\times I$ auf $Z$ dar, wobei wir $\varepsilon >0$ hinreichend klein zu wählen haben. Erklären wir die Projektionsbereiche

$\Omega ^{(t)}:=\{y\in \mathbb {R} ^{n}:(y,t)\in Z\}$ für $t\in I$,

so liefern (19) und (20) die Identität

$f(g(y,t),t)=y$ für alle $y\in \Omega ^{(t)}$ und $t\in I$.

Schließlich erklären wir für jedes $t\in I$ die Funktion

$\chi (y,t):=z(g(y,t),t),y\in \Omega ^{(t)}$

und beachten

${\begin{matrix}Y(G(y,t))=(f(G(y,t)),z(G(y,t)))\\\\=(f(g(y,t),t),z(g(y,t),t))=(y,\chi (y,t))\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r\ alle} \quad (y,t)\in Z\end{matrix}}$

sowie die Identität

$J_{G}(y,t)=\det \left({\frac {\partial g_{i}(y,t)}{\partial x_{k}}}\right)_{i,k=1,\ldots ,n}=J_{g}(y,t),(y,t)\in Z$.

4.) Da nach Induktionsvoraussetzung und Hilfssatz 3 die Transformationsformel für ein festes $n\in \mathbb {N}$ bereits global gilt, ermitteln wir für beliebige Funktionen $f\in C_{0}^{0}\left({\stackrel {\circ }{B}}_{\varepsilon }(\eta ,\zeta )\right)$, mit hinreichend kleinem Radius $\varepsilon =\varepsilon (\eta ,\zeta )>0$, die folgende Identität:

(22) ${\begin{matrix}\int \limits _{\Omega }f(Y(x,t))\cdot |J_{Y}(x,t)|\,dx\,dt=\int \limits _{\tau -\varepsilon }^{\tau +\varepsilon }\left\{\int \limits _{Q}f(Y(x,t))\cdot |J_{Y}(x,t)|\,dx\right\}\,dt\\\\=\int \limits _{\tau -\varepsilon }^{\tau +\varepsilon }\left\{\int \limits _{\Omega ^{(t)}}f(Y(g(y,t),t))\cdot |J_{Y}(g(y,t),t)|\cdot |J_{g}(y,t)|\,dy\right\}\,dt\\\\=\int \limits _{\tau -\varepsilon }^{\tau +\varepsilon }\left\{\int \limits _{\Omega ^{(t)}}f(y,\chi (y,t))\cdot |J_{Y}(G(y,t))|\cdot |J_{G}(y,t)|\,dy\right\}\,dt\\\\=\int \limits _{\tau -\varepsilon }^{\tau +\varepsilon }\left\{\int \limits _{\Omega ^{(t)}}f(y,\chi (y,t))\cdot |J_{Y\circ G}(y,t)|\,dy\right\}\,dt\\\\=\int \limits _{\tau -\varepsilon }^{\tau +\varepsilon }\left\{\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}f(y,\chi (y,t))\cdot \chi _{t}(y,t)\,dy\right\}\,dt\\\\=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}\left\{\int \limits _{\tau -\varepsilon }^{\tau +\varepsilon }f(y,\chi (y,t))\cdot \chi _{t}(y,t)\,dt\right\}\,dy=\int \limits _{\Theta }f(y,t)\,dy\,dt.\end{matrix}}$

Über Hilfssatz 3 erhalten wir die Gültigkeit von ${\mathfrak {T}}(f)=0$ für alle $f\in C_{0}^{0}(\Theta )$ im Fall $n+1$.

q.e.d.

Satz 2

Sei die Voraussetzung (T) erfüllt und die stetige Funktion $f:\Theta \to \mathbb {C}$ besitze das konvergente uneigentliche Integral $\int \limits _{\Theta }|f(y)|\,dy<+\infty$. Dann gilt die Transformationsformel

(23) $\int \limits _{\Theta }f(y)\,dy=\int \limits _{\Omega }f(y(x))\cdot |J_{y}(x)|\,dx.$

Beweis

1.) Sei die Funktion

$f=f_{1}(y)+if_{2}(y):\Theta \to \mathbb {C}$ mit $f_{j}\in C^{0}(\Theta )$ für $j=1,2$

gegeben. Dann ermitteln wir für $j=1,2$ die Abschätzung

(24) $\int \limits _{\Theta }f_{j}^{\pm }(y)\,dy\leq \int \limits _{\Theta }|f_{j}(y)|\,dy\leq \int \limits _{\Theta }|f(y)|\,dy<+\infty$

mit dem Positivteil

$f_{j}^{+}(y):={\frac {1}{2}}(|f_{j}(y)|+f_{j}(y)),\quad y\in \Theta$

und dem Negativteil

$f_{j}^{-}(y):={\frac {1}{2}}(|f_{j}(y)|-f_{j}(y)),\quad y\in \Theta$.

Diese nicht negativen, stetigen Funktionen erfüllen die Darstellung

$f_{j}(y)=f_{j}^{+}(y)-f_{j}^{-}(y),\quad y\in \Theta$ für $j=1,2$.

Wenn wir also die Identität (23) einzeln für die Funktionen $f_{j}^{\pm }$ mit $j=1,2$ gezeigt haben, so ist diese Identität auch für $f$ bewiesen. Deshalb können wir ohne Einschränkung

(25) $f:\Theta \to [0,+\infty )\in C^{0}(\Theta )$ mit $\int \limits _{\Theta }f(y)\,dy<+\infty$

für unsere weiteren Überlegungen annehmen.

2.) Mit Hilfssatz 1 konstruieren wir eine, die offene Menge $\Theta$ ausschöpfende, Funktionenfolge

(26) $\theta _{k}=\theta _{k}(y):\Theta \to [0,1]\in C_{0}^{\infty }(\Theta )$ für $k=1,2,\ldots$.

Dann bildet die Folge

(27) $\omega _{k}(x):=\theta _{k}(y(x)),\quad x\in \Omega$ für $k=1,2,\ldots$

eine ausschöpfende Funktionenfolge der offenen Urbildmenge $\Omega$. Aufgrund der Hilfssätze 1 und 2 erhalten wir folgende Ausschöpfungen durch Kompakta:

(28) ${\begin{matrix}\Theta _{k}:=\{y\in \Theta :\theta _{k}(y)=1\}\to \Theta \ (k\to \infty ),\\\\\Omega _{k}:=\{y\in \Omega :\omega _{k}(y)=1\}\to \Omega \ (k\to \infty ).\end{matrix}}$

Die Anwendung von Hilfssatz 4 auf die Funktion

(29) $f_{k}(y):=f(y)\cdot \theta _{k}(y)\in C_{0}^{0}(\Theta )$

liefert für $k=1,2,\ldots$ die Identitäten

(30) ${\begin{matrix}\int \limits _{\Theta }f_{k}(y)\,dy=\int \limits _{\Omega }f_{k}(y(x))\cdot |J_{y}(x)|\,dx\\\\=\int \limits _{\Omega }f(y(x))\cdot \theta _{k}(y(x))\cdot |J_{y}(x)|\,dx=\int \limits _{\Omega }f(y(x))\cdot \omega _{k}(x)\cdot |J_{y}(x)|\,dx.\end{matrix}}$

3.) Nach Satz 3 aus §5 gilt

(31) $\lim _{k\to \infty }\int \limits _{\Theta }f_{k}(y)\,dy=\int \limits _{\Theta }f(y)\,dy$.

Wenn $K\subset \Omega$ ein beliebiger Jordanbereich ist, dann gibt es eine natürliche Zahl $k_{0}=k_{0}(K)$ mit der Eigenschaft

$\omega _{k}(x)=1$ für alle $x\in K$ und alle $k\geq k_{0}$.

Damit folgt die Abschätzung

(32) ${\begin{matrix}\int \limits _{K}f(y(x))\cdot |J_{y}(x)|\,dx\leq \int \limits _{\Omega }\omega _{k}(x)\cdot f(y(x))\cdot |J_{y}(x)|\,dx\\\\=\int \limits _{\Theta }f_{k}(y)\,dy\leq \int \limits _{\Theta }f(y)\,dy.\end{matrix}}$

Alle Jordan-Bereiche $K\subset \Omega$ erfüllen (32) und Satz 1 aus §5 ergibt die Existenz des uneigentlichen Integrals

$\int \limits _{\Omega }f(y(x))\cdot |J_{y}(x)|\,dx$.

Mit Satz 3 aus §5 ermitteln wir die Identität

(33) $\lim _{k\to \infty }\int \limits _{\Omega }\omega _{k}(x)\cdot f(y(x))\cdot |J_{y}(x)|\,dx=\int \limits _{\Omega }f(y(x))\cdot |J_{y}(x)|\,dx$.

Insgesamt erhalten wir durch Grenzübergang in (30) – mit Hilfe der Aussagen (31) und (33) – für alle stetigen Funktionen $f$ aus (25) die Behauptung

(34) ${\begin{matrix}\int \limits _{\Theta }f(y)\,dy=\lim _{k\to \infty }\int \limits _{\Theta }f_{k}(y)\,dy\\\\\lim _{k\to \infty }\int \limits _{\Omega }\omega _{k}(x)\cdot f(y(x))\cdot |J_{y}(x)|\,dx=\int \limits _{\Omega }f(y(x))\cdot |J_{y}(x)|\,dx.\end{matrix}}$

q.e.d.