Kurs:Analysis II/Kapitel V: Das Riemannsche Integral im R^n/Uneigentliche Integrale im R^n (§5)

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Definition 1[Bearbeiten]

Es seien eine offene Menge und eine Folge von kompakten Mengen mit für alle . Dann vereinbaren wir
(1) bzw. ,
wenn es zu jeder kompakten Menge eine Zahl gibt mit der Eigenschaft
für alle .
In dieser Situation schöpfen die Kompakta die offene Menge aus. Falls zusätzlich alle Mengen mit Jordanbereiche sind, sprechen wir von einer Ausschöpfung der offenen Menge durch die Jordanbereiche .

Definition 2[Bearbeiten]

Für zwei nichtleere Mengen ist der Abstand oder auch die Distanz der Mengen und durch
erklärt. Insbesondere definieren wir den Abstand eines Punktes von der Menge durch
.

Hilfssatz 1 (Distanzlemma)[Bearbeiten]

Es seien zwei nichtleere Mengen. Sei abgeschlossen und kompakt sowie erfüllt, dann folgt .

Beweis[Bearbeiten]

Angenommen, es würde eintreten. Dann existieren Punktfolgen und mit der Eigenschaft . Da beschränkt ist, gibt es nach Satz 3 von Kap. I, §4 eine konvergente Teilfolge mit . Da eine abgeschlossene Menge bildet, folgt . Wegen erhalten wir , denn ist abgeschlossen. Also gibt es einen Punkt – im Widerspruch zu . Somit muss richtig sein.

q.e.d.

Hilfssatz 2 (Ausschöpfungslemma)[Bearbeiten]

Zu jeder offenen Menge gibt es eine Folge von Jordan-Bereichen
mit .

Beweis[Bearbeiten]

Für festes betrachten wir den Würfel

.

Wir konstruieren eine gleichmäßige Zerlegung von in die Teilquader der Seitenlänge gemäß

vom Feinheitsmaß . Man zeigt leicht, dass die Folge von Jordan-Bereichen

(2)

die offene Menge ausschöpft. Offenbar sind Jordan-Bereiche und es bleibt (1) zu zeigen: Sei eine beliebige kompakte Menge. Dann existiert nach dem Distanzlemma ein , so dass der Abstand zwischen und die Bedingung realisiert. Wählen wir nun so groß, dass die Diagonale des Quaders eine Länge besitzt, dann finden wir zu jedem einen Teilquader mit . Also folgt für alle .

q.e.d.

Definition 3[Bearbeiten]

Es seien eine offene Menge und eine stetige Funktion. Wenn die Folge der Integrale für jede die Menge ausschöpfende Folge von Jordan-Bereichen konvergiert, dannn setzen wir
(3)
als das uneigentliche Riemannsche Integral von über .

Satz 1 (Existenz des uneigentlichen Integrals)[Bearbeiten]

Es seien eine offene Menge und eine stetige Funktion. Weiter gebe es eine Konstante , so dass die Ungleichung
(4) für jeden Jordan-Bereich
richtig ist. Dann existiert das uneigentliche Integral (3).

Beweis[Bearbeiten]

Wegen Hilfssatz 2 gibt es eine Folge von Jordan-Bereichen, welche die offene Menge ausschöpft. Ersetzen wir ggf. durch für , so können wir ohne Einschränkung

annehmen. Die Folge der Integrale ist monoton nicht fallend und durch die Konstante nach oben beschränkt. Somit konvergiert diese und bildet eine Cauchy-Folge. Zu jedem gibt es eine natürliche Zahl mit der Eigenschaft

(5) für alle .

Es sei nun eine beliebige Folge von Jordan-Bereichen, welche die offene Menge ausschöpft. Da die Menge kompakt ist, gibt es eine Zahl mit der Eigenschaft für alle . Also finden wir zu jedem Indexpaar ein , so dass die Inklusionsbedingung

(6)

erfüllt ist. Somit folgt die Abschätzung

(7)

Daher bildet eine Cauchy-Folge und ist konvergent. Schließlich existiert der Grenzwert .

q.e.d.

Satz 2[Bearbeiten]

Es sei eine Folge stetiger Funktionen auf dem Jordan-Bereich , die gleichmäßig gegen die Funktion konvergiere. Dann gilt
(10) .

Definition 4[Bearbeiten]

Eine Folge stetiger Funktionen konvergiert kompakt gleichmäßig, wenn für jede kompakte Teilmenge die eingeschränkten Funktionen auf gleichmäßig konvergieren.

Satz 3 (Konvergenzsatz für uneigentliche Riemann-Integrale)[Bearbeiten]

Auf einer offenen Menge sei eine Folge stetiger Funktionen
für
gegeben, die auf jeder kompakten Menge gleichmäßig gegen eine stetige Funktion konvergiert. Weiter habe diese Funktionenfolge eine integrierbare, stetige Majorante
(12)
erfüllt ist. Dann existiert das uneigentliche Integral und es gilt die Identität
(13) .

Beweis[Bearbeiten]

Aus (12) folgt für alle und Satz 1 impliziert die Existenz des uneigentlichen Integrals für sowie . Zu jedem existiert eine kompakte Teilmenge mit der Eigenschaft

für alle

sowie

Da die Funktionen für gleichmäßig gegen konvergieren, gibt es nach Satz 2 eine natürliche Zahl mit der folgenden Eigenschaft:

für alle .

Insgesamt erhalten wir für alle die Abschätzung

(14)

bei beliebigem . Damit ist die obige Identität (13) gezeigt.

q.e.d.

Satz 4 (Oszillierende Integrale)[Bearbeiten]

Es sei der Exponent gewählt. Wenn die stetige Funktion eine beschränkte Stammfunktion besitzt, so existiert das uneigentliche Integral
(15) .

Beweis[Bearbeiten]

Für alle erhalten wir die Identität

mittels partieller Integration. Da die Funktion beschränkt ist gemäß

mit einer Konstante ,

so ermitteln wir

.

Weiter entnehmen wir obigem Beispiel 1 die Abschätzung

.

Somit existiert das uneigentliche Integral

.

q.e.d.

Satz 5 (Transformationsformel für mehrfache Integrale)[Bearbeiten]

Zu einer festen Dimension seien offene Mengen und
vermöge
eine bijektive Abbildung mit den Eigenschaften und
für alle .
Wenn für die stetige Funktion das uneigentliche Integral existiert, dann gilt die Transformationsformel
(16) .

Beweis[Bearbeiten]

Der Beweis wird in §6 geführt.

Definition 5[Bearbeiten]

Die stetige Funktion
auf dem offenen Intervall mit definiert eine -Kurve . Dabei haben wir die Raumdimension und den Differenzierbarkeitsgrad fest gewählt. Im Falle sprechen wir von einer stetigen Kurve; für erhalten wir eine differenzierbare Kurve. Letztere nennen wir eine reguläre Kurve, falls die folgende geometrische Regularitätsbedingung erfüllt ist:
(20) für alle .

Betrachten wir eine beliebige Zerlegung in gemäß

(21)

dann beschreibt die Länge des zugehörigen Polygonzuges durch die Punkte .

Definition 6[Bearbeiten]

Unter der Länge der Kurve verstehen wir die Größe
(22) .
Falls ausfällt, sprechen wir von einer rektifizierbaren Kurve.

Satz 6 (Bogenlänge)[Bearbeiten]

Es sei durch eine rektifizierbare -Kurve gegeben. Dann können wir deren Länge durch das folgende uneigentliche Integral der Bogenlänge berechnen:
(23) .

Beweis[Bearbeiten]

1. Wir betrachten eine beliebige Zerlegung im Intervall gemäß (21). Die Länge des zugehörigen Polygonzuges im entnehmen wir der Identität

(24)

unter Anwendung des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung auf jede Komponente für . Wir führen die Riemann-integrierbare Funktion

(25)

ein und erhalten

(26) .

2. Wählen wir nun eine Folge von Zerlegungen in mit den zugehörigen Funktionen , so dass

(27)

erreicht wird. Wegen der gleichmäßigen Stetigkeit der Ableitungsfunktion auf jedem kompakten Intervall von konvergiert dort die Folge gleichmäßig gegen die stetige Funktion

.

Zumal wir eine konvergente Majorante angeben können liefert obiger Satz 3

(28)

und die Identität (23) ist gezeigt.

q.e.d.

Bemerkungen[Bearbeiten]

1. Es sei eine äquivalente Darstellung der Kurve mit der bijektiven Parametertransformation der Klasse mit für alle . Dann liefert die eindimensionale Transformationsformel

.

Folglich ist für reguläre Kurven die Länge invariant unter Parametertransformation.
2. Beschreibt man in einem Zylindermantel

Polyederflächen ein und misst deren elementargeometrischen Flächeninhalt , so wird das Supremum unendlich gemäß

(29) .

Diese erstaunliche Beobachtung verdankt man H. A. Schwarz. Sie macht eine einfache Übertragung von Definition 6 auf die höherdimensionale Situation der Flächenmessung unmöglich.