- Es seien
eine offene Menge und
eine Folge von kompakten Mengen mit
für alle
. Dann vereinbaren wir
(1)
bzw.
,
- wenn es zu jeder kompakten Menge
eine Zahl
gibt mit der Eigenschaft
für alle
.
- In dieser Situation schöpfen die Kompakta
die offene Menge
aus. Falls zusätzlich alle Mengen
mit
Jordanbereiche sind, sprechen wir von einer Ausschöpfung der offenen Menge
durch die Jordanbereiche
.
- Für zwei nichtleere Mengen
ist der Abstand oder auch die Distanz der Mengen
und
durch
![{\displaystyle dist(A,B):=\inf\{|x-y|:x\in A\ und\ y\in B\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d83811dff71e87391395dbe8d0af40276636fb9)
- erklärt. Insbesondere definieren wir den Abstand eines Punktes
von der Menge
durch
![{\displaystyle dist(y,A):=\inf\{|x-y|:x\in A\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee39c6314aea0be349554e6f6f59e50da93888dc)
.
- Es seien
zwei nichtleere Mengen. Sei
abgeschlossen und
kompakt sowie
erfüllt, dann folgt
.
Angenommen, es würde
eintreten. Dann existieren Punktfolgen
und
mit der Eigenschaft
. Da
beschränkt ist, gibt es nach Satz 3 von Kap. I, §4 eine konvergente Teilfolge
mit
. Da
eine abgeschlossene Menge bildet, folgt
. Wegen
erhalten wir
, denn
ist abgeschlossen. Also gibt es einen Punkt
– im Widerspruch zu
. Somit muss
richtig sein.
q.e.d.
- Zu jeder offenen Menge
gibt es eine Folge von Jordan-Bereichen
mit
.
Für festes
betrachten wir den Würfel
![{\displaystyle W_{m}:=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:|x_{i}|\leq m{\text{ für }}1\leq i\leq n\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cb309dd690cdcfe56329fe6f979b96b47476f3b)
.
Wir konstruieren eine gleichmäßige Zerlegung von
in die Teilquader
der Seitenlänge
gemäß
![{\displaystyle {\mathcal {Z}}_{m}:W_{m}=\bigcup _{k\in {\mathfrak {N}}_{m}}Q_{k}^{(m)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/197da4266c5660bfd3c4fde9941195a518291b58)
vom Feinheitsmaß
. Man zeigt leicht, dass die Folge von Jordan-Bereichen
(2)
![{\displaystyle J_{m}:=\bigcup _{k\in {\mathfrak {N}}_{m}:Q_{k}^{(m)}\subset \Omega }Q_{k}^{(m)},\quad m=1,2,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ace09fe336297e7a6a283924eb456bcfd6b7a4c1)
die offene Menge
ausschöpft. Offenbar sind
Jordan-Bereiche und es bleibt (1) zu zeigen: Sei
eine beliebige kompakte Menge. Dann existiert nach dem Distanzlemma ein
, so dass der Abstand zwischen
und
die Bedingung
realisiert. Wählen wir nun
so groß, dass die Diagonale des Quaders
eine Länge
besitzt, dann finden wir zu jedem
einen Teilquader
mit
. Also folgt
für alle
.
q.e.d.
- Es seien
eine offene Menge und
eine stetige Funktion. Wenn die Folge der Integrale
für jede die Menge
ausschöpfende Folge
von Jordan-Bereichen konvergiert, dannn setzen wir
(3)
![{\displaystyle \int \limits _{\Omega }f(x)\,dx:=\lim _{m\to \infty }\int \limits _{J_{m}}f(x)\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cb5e7a9f1b89358117d668ce5320a9d23f2aaa4)
- als das uneigentliche Riemannsche Integral von
über
.
Satz 1 (Existenz des uneigentlichen Integrals)
[Bearbeiten]
- Es seien
eine offene Menge und
eine stetige Funktion. Weiter gebe es eine Konstante
, so dass die Ungleichung
(4)
für jeden Jordan-Bereich ![{\displaystyle J\subset \Omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32408bc6537260c1e60f942cf79dea63d04b7d56)
- richtig ist. Dann existiert das uneigentliche Integral (3).
Wegen Hilfssatz 2 gibt es eine Folge
von Jordan-Bereichen, welche die offene Menge
ausschöpft. Ersetzen wir ggf.
durch
für
, so können wir ohne Einschränkung
![{\displaystyle J_{1}\subset J_{2}\subset \ldots \subset \Omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d90602819be5db5fb6b3d8e7bb4932a6b5f9f291)
annehmen. Die Folge der Integrale
ist monoton nicht fallend und durch die Konstante
nach oben beschränkt. Somit konvergiert diese und bildet eine Cauchy-Folge. Zu jedem
gibt es eine natürliche Zahl
mit der Eigenschaft
(5)
![{\displaystyle 0\leq \int \limits _{J_{m}\setminus J_{M}}|f(x)|\,dx=\int \limits _{J_{m}}|f(x)|\,dx-\int \limits _{J_{M}}|f(x)|\,dx\leq \varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf1a23e608d511848ab04fa2adb52507a94968af)
für alle
![{\displaystyle m\geq M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf7279b1c0ec22610b56ffbca3e53f7959cfeb53)
.
Es sei nun
eine beliebige Folge von Jordan-Bereichen, welche die offene Menge
ausschöpft. Da die Menge
kompakt ist, gibt es eine Zahl
mit der Eigenschaft
für alle
. Also finden wir zu jedem Indexpaar
ein
, so dass die Inklusionsbedingung
(6)
![{\displaystyle J_{M}\subset J_{l}^{*}\cup J_{l'}^{*}\subset J_{K}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a850c45d333084ce1ad36c8ec23b6679c23a3ab5)
erfüllt ist. Somit folgt die Abschätzung
(7)
![{\displaystyle {\begin{matrix}\left|\int \limits _{J_{l}^{*}}f(x)\,dx-\int \limits _{J_{l'}^{*}}f(x)\,dx\right|{\stackrel {(6)}{=}}\left|\int \limits _{J_{l}^{*}\setminus J_{M}}f(x)\,dx-\int \limits _{J_{l'}^{*}\setminus J_{M}}f(x)\,dx\right|\\\leq \int \limits _{J_{l}^{*}\setminus J_{M}}|f(x)|\,dx+\int \limits _{J_{l'}^{*}\setminus J_{M}}|f(x)|\,dx{\stackrel {(6)}{\leq }}2\int \limits _{J_{K}\setminus J_{M}}|f(x)|\,dx{\stackrel {(5)}{\leq }}2\varepsilon .\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d61ae7fe31a9aa04410a2919cab0d45233c7b20)
Daher bildet
eine Cauchy-Folge und ist konvergent. Schließlich existiert der Grenzwert
.
q.e.d.
- Es sei
eine Folge stetiger Funktionen auf dem Jordan-Bereich
, die gleichmäßig gegen die Funktion
konvergiere. Dann gilt
(10)
![{\displaystyle \lim _{k\to \infty }\left[\int \limits _{J}f_{k}(x)\,dx\right]=\int \limits _{J}\left[\lim _{k\to \infty }f_{k}(x)\right]\,dx=\int \limits _{J}f(x)\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b24372f72c0e63e1ff2126f8bf32bdaf57746f7a)
.
- Eine Folge stetiger Funktionen
konvergiert kompakt gleichmäßig, wenn für jede kompakte Teilmenge
die eingeschränkten Funktionen
auf
gleichmäßig konvergieren.
Satz 3 (Konvergenzsatz für uneigentliche Riemann-Integrale)
[Bearbeiten]
- Auf einer offenen Menge
sei eine Folge stetiger Funktionen
für ![{\displaystyle k=1,2,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10ccdc028eb6ee103fe84404f90f6aac38f2ea69)
- gegeben, die auf jeder kompakten Menge
gleichmäßig gegen eine stetige Funktion
konvergiert. Weiter habe diese Funktionenfolge eine integrierbare, stetige Majorante
(12)
![{\displaystyle {\begin{matrix}F:\Omega \to [0,+\infty )\in C^{0}(\Omega ,\mathbb {R} )\ mit\ der\ Eigenschaft\\\int \limits _{\Omega }F(x)\,dx<+\infty ,\ so\ dass\ |f_{k}(x)|\leq F(x)\ f{\ddot {u}}r\ alle\ x\in \Omega \ und\ k\in \mathbb {N} \end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06d6b5321b9dc80afe41a7f795dcc2fd9113180a)
- erfüllt ist. Dann existiert das uneigentliche Integral
und es gilt die Identität
(13)
![{\displaystyle \lim _{k\to \infty }\int \limits _{\Omega }f_{k}(x)\,dx=\int \limits _{\Omega }f(x)\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e52873e94eb17209e97bbe8b3d733915ac817fe)
.
Aus (12) folgt
für alle
und Satz 1 impliziert die Existenz des uneigentlichen Integrals
für
sowie
. Zu jedem
existiert eine kompakte Teilmenge
mit der Eigenschaft
![{\displaystyle \int \limits _{\Omega \setminus K}|f_{k}(x)|\,dx\leq \int \limits _{\Omega \setminus K}F(x)\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed97c5f6891f952c1e9d0419e57cb40f6e458d2f)
für alle
![{\displaystyle k\in \mathbb {N} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a5bc4b7383031ba693b7433198ead7170954c1d)
sowie
![{\displaystyle \int \limits _{\Omega \setminus K}|f(x)|\,dx\leq \int \limits _{\Omega \setminus K}F(x)\,dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/961fd7ccfea99f0abc7c1af1eb665851cdae225f)
Da die Funktionen
für
gleichmäßig gegen
konvergieren, gibt es nach Satz 2 eine natürliche Zahl
mit der folgenden Eigenschaft:
![{\displaystyle \left|\int \limits _{K}f_{k}(x)\,dx-\int \limits _{K}f(x)\,dx\right|<\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4063bbcf97160be8831ac804b084b6368ac3a6cb)
für alle
![{\displaystyle k\geq N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7e1b1b334a5e23e638dc3439d1145e9aa4a2db0)
.
Insgesamt erhalten wir für alle
die Abschätzung
(14)
![{\displaystyle {\begin{matrix}\left|\int \limits _{\Omega }f_{k}(x)\,dx-\int \limits _{\Omega }f(x)\,dx\right|=\left|\int \limits _{\Omega \setminus K}f_{k}(x)\,dx+\int \limits _{K}(f_{k}(x)-f(x))\,dx-\int \limits _{\Omega \setminus K}f(x)\,dx\right|\\\\\leq \int \limits _{\Omega \setminus K}|f_{k}(x)|\,dx+\left|\int \limits _{K}f_{k}(x)\,dx-\int \limits _{K}f(x)\,dx\right|+\int \limits _{\Omega \setminus K}|f(x)|\,dx<3\varepsilon \end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a964bdae7fefbccba1f5e84e0091db41ff048d61)
bei beliebigem
. Damit ist die obige Identität (13) gezeigt.
q.e.d.
- Es sei der Exponent
gewählt. Wenn die stetige Funktion
eine beschränkte Stammfunktion
besitzt, so existiert das uneigentliche Integral
(15)
![{\displaystyle \int _{1}^{+\infty }{\frac {f(t)}{t^{\beta }}}\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de716707dd4221c93e45ad5c11429d2016e20c25)
.
Für alle
erhalten wir die Identität
![{\displaystyle \int _{1}^{x}{\frac {f(t)}{t^{\beta }}}\,dt=\int _{1}^{x}t^{-\beta }\cdot f(t)\,dt=[t^{-\beta }\cdot F(t)]_{t=1}^{x}+\beta \cdot \int _{1}^{x}{\frac {F(t)}{t^{\beta +1}}}\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ee7e5b08cbb5adb20ecf6f929576755d3117a38)
mittels partieller Integration. Da die Funktion
beschränkt ist gemäß
![{\displaystyle |F(x)|\leq c,\ x\geq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/527d1940af1e60ff7bd21fe9d6b4c9600936e8d0)
mit einer Konstante
![{\displaystyle c>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ba126f626d61752f62eaacaf11761a54de4dc84)
,
so ermitteln wir
![{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\left[{\frac {F(t)}{t^{\beta }}}\right]_{t=1}^{x}=\lim _{x\to +\infty }\left[{\frac {F(x)}{x^{\beta }}}-F(1)\right]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f275127033c8558691d79084d2fad80c8c84f8d4)
.
Weiter entnehmen wir obigem Beispiel 1 die Abschätzung
![{\displaystyle \int _{1}^{+\infty }\left|{\frac {F(t)}{t^{\beta +1}}}\right|\,dt\leq c\int _{1}^{+\infty }{\frac {dt}{t^{\beta +1}}}<+\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5ecac59114581df232f3ce0f1f95ed53bb98b42)
.
Somit existiert das uneigentliche Integral
![{\displaystyle \int _{1}^{+\infty }{\frac {f(t)}{t^{\beta }}}\,dt=\lim _{x\to +\infty }\int _{1}^{x}{\frac {f(t)}{t^{\beta }}}\,dt=\beta \int _{1}^{+\infty }{\frac {F(t)}{t^{\beta +1}}}\,dt\in \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d4ab74cb3841ee76692bdfbd4a41704eb365a65)
.
q.e.d.
- Zu einer festen Dimension
seien
offene Mengen und
vermöge ![{\displaystyle \Omega \ni (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\mapsto (y_{1}(x),y_{2}(x),\ldots ,y_{n}(x))\in \Theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37129b211c7913ac1529b40c5dcd147bd582c3df)
- eine bijektive Abbildung mit den Eigenschaften
und
für alle
.
- Wenn für die stetige Funktion
das uneigentliche Integral
existiert, dann gilt die Transformationsformel
(16)
![{\displaystyle \int \limits _{\Theta }|f(y)|\,dy=\int \limits _{\Omega }(f(y(x)))\cdot |J_{y}(x)|\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55c82ad7e28f120e60bcce1f3c3edf4ac3cb1070)
.
Der Beweis wird in §6 geführt.
- Die stetige Funktion
![{\displaystyle f=f(t)=(f_{1}(t),f_{2}(t),\ldots ,f_{m}(t)):I\to \mathbb {R} ^{m}\in C^{k}(I,\mathbb {R} ^{m})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05b4ce5cb93acc04d016e77b0d360acd54a791b2)
- auf dem offenen Intervall
mit
definiert eine
-Kurve
. Dabei haben wir die Raumdimension
und den Differenzierbarkeitsgrad
fest gewählt. Im Falle
sprechen wir von einer stetigen Kurve; für
erhalten wir eine differenzierbare Kurve. Letztere nennen wir eine reguläre Kurve, falls die folgende geometrische Regularitätsbedingung erfüllt ist:
(20)
für alle
.
Betrachten wir eine beliebige Zerlegung
in
gemäß
(21)
![{\displaystyle {\begin{matrix}{\mathcal {Z}}:a<t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{N-1}<t_{N}<b{\text{ in }}N\in \mathbb {N} {\text{ Teilintervalle }}[t_{k-1},t_{k}]\mathrm {\ f{\ddot {u}}r\ } \\k=1,\ldots ,N{\text{ mit }}\bigcup _{k=1}^{N}[t_{k-1},t_{k}]=[t_{0},t_{N}]\subset \subset (a,b),\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e218e5eabac518c382c4c8f906a80813f3673cc)
dann beschreibt
die Länge des zugehörigen Polygonzuges durch die Punkte
.
- Unter der Länge der Kurve
verstehen wir die Größe
(22)
![{\displaystyle L({\mathcal {K}}):=\sup\{L(f,{\mathcal {Z}}):{\mathcal {Z}}\ ist\ eine\ Zerlegung\ in\ I\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1e2a1d88e449e4918fdaaf69206fe4724d3d10e)
.
- Falls
ausfällt, sprechen wir von einer rektifizierbaren Kurve.
- Es sei durch
eine rektifizierbare
-Kurve
gegeben. Dann können wir deren Länge durch das folgende uneigentliche Integral der Bogenlänge berechnen:
(23)
![{\displaystyle L({\mathcal {K}})=\int _{a}^{b}|f'(t)|\,dt=\int _{a}^{b}{\sqrt {\sum _{\mu =1}^{m}(f_{\mu }'(t))^{2}}}\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/078c317bd64b194c708eadf4fb0d3747d92c1fbd)
.
1. Wir betrachten eine beliebige Zerlegung
im Intervall
gemäß (21). Die Länge des zugehörigen Polygonzuges im
entnehmen wir der Identität
(24)
![{\displaystyle {\begin{matrix}L(f,{\mathcal {Z}})=\sum _{k=1}^{N}|f(t_{k})-f(t_{k-1})|=\sum _{k=1}^{N}{\sqrt {\sum _{\mu =1}^{m}{\Bigl (}f_{\mu }(t_{k})-f_{\mu }(t_{k-1}){\Bigr )}^{2}}}\\\\=\sum _{k=1}^{N}(t_{k}-t_{k-1})\cdot {\sqrt {\sum _{\mu =1}^{m}\left(f'_{\mu }(\tau _{k\mu })\right)^{2}}}\\\\{\text{mit gewissen Zwischenwerten }}\tau _{k\mu }\in (t_{k-1},t_{k})\mathrm {\ f{\ddot {u}}r\ } k=1,\ldots ,N\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5aca3255034ddc7ed7be30f2999db861a14577ad)
unter Anwendung des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung auf jede Komponente
für
. Wir führen die Riemann-integrierbare Funktion
(25)
![{\displaystyle {\begin{matrix}\Psi (t):={\sqrt {\sum _{\mu =1}^{m}\left(f'_{\mu }(\tau _{k\mu })\right)^{2}}}{\text{ falls }}t\in (t_{k-1},t_{k})\mathrm {\ f{\ddot {u}}r\ } k=1,\ldots ,N\\\\\Psi (t):=0{\text{ falls }}t\in (a,b)\setminus \bigcup _{k=1}^{N}(t_{k-1},t_{k})\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6d63681f9278aa667471dde7a2a896d5bd12fc5)
ein und erhalten
(26)
![{\displaystyle L(f,{\mathcal {Z}})=\int _{a}^{b}\Psi (t)\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f193ad97dd804ec5433506785ce3667ac494528)
.
2. Wählen wir nun eine Folge von Zerlegungen
in
mit den zugehörigen Funktionen
, so dass
(27)
![{\displaystyle L({\mathcal {K}})=\lim _{l\to \infty }L(f,{\mathcal {Z}}^{(l)})=\lim _{l\to \infty }\int _{a}^{b}\Psi ^{(l)}(t)\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d72395a33e89cad60ce6110d954a1e165306625)
erreicht wird. Wegen der gleichmäßigen Stetigkeit der Ableitungsfunktion
auf jedem kompakten Intervall von
konvergiert dort die Folge
gleichmäßig gegen die stetige Funktion
![{\displaystyle \Psi (t):={\sqrt {\sum _{\mu =1}^{m}\left(f'_{\mu }(t)\right)^{2}}},\quad t\in I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/760c6c6f5bc7d242a4e104ffb9d891c8af60b197)
.
Zumal wir eine konvergente Majorante angeben können liefert obiger Satz 3
(28)
![{\displaystyle L({\mathcal {K}})=\lim _{l\to \infty }\int _{a}^{b}\Psi ^{(l)}(t)\,dt=\int _{a}^{b}\Psi (t)\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8eea8df283c10ac013b34587980cccc7e288eff)
und die Identität (23) ist gezeigt.
q.e.d.
1. Es sei
eine äquivalente Darstellung der Kurve
mit der bijektiven Parametertransformation
der Klasse
mit
für alle
. Dann liefert die eindimensionale Transformationsformel
![{\displaystyle \int _{\alpha }^{\beta }|F'(\tau )|\,d\tau =\int _{\alpha }^{\beta }|f'[t(\tau )]|\cdot t'(\tau )\,d\tau =\int _{a}^{b}|f'(t)|\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/348be2aa3e4437cf6cee57af9cc136c1bb4a8b56)
.
Folglich ist für reguläre Kurven die Länge invariant unter Parametertransformation.
2. Beschreibt man in einem Zylindermantel
![{\displaystyle {\mathcal {M}}:=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:x^{2}+y^{2}=1,0\leq z\leq 1\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbdde8d1c9d9bb16f0ec3bf1af0d33cee5c557f7)
Polyederflächen
ein und misst deren elementargeometrischen Flächeninhalt
, so wird das Supremum unendlich gemäß
(29)
![{\displaystyle \sup\{|P|:P{\text{ ist in }}{\mathcal {M}}{\text{ einbeschrieben}}\}=+\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36cbbe32c87a323f58df1fc8555f4f26717a89e9)
.
Diese erstaunliche Beobachtung verdankt man H. A. Schwarz. Sie macht eine einfache Übertragung von Definition 6 auf die höherdimensionale Situation der Flächenmessung unmöglich.