Kurs:Analysis II/Kapitel V: Das Riemannsche Integral im R^n/Uneigentliche Integrale im R^n (§5)

Definition 1

Es seien $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Menge und $J_{m},\ m=1,2,\ldots$ eine Folge von kompakten Mengen mit $J_{m}\subset \Omega$ für alle $m\in \mathbb {N}$. Dann vereinbaren wir

(1) $\lim _{m\to \infty }J_{m}=\Omega$ bzw. $J_{m}\to \Omega \ (m\to \infty )$,

wenn es zu jeder kompakten Menge $K\subset \Omega$ eine Zahl $N=N(K)\in \mathbb {N}$ gibt mit der Eigenschaft

$K\subset J_{m}$ für alle $m\geq N$.

In dieser Situation schöpfen die Kompakta $J_{1},J_{2},\ldots$ die offene Menge $\Omega$ aus. Falls zusätzlich alle Mengen $J_{m}$ mit $m\in \mathbb {N}$ Jordanbereiche sind, sprechen wir von einer Ausschöpfung der offenen Menge $\Omega$ durch die Jordanbereiche $\{J_{m}\}_{m=1,2,\ldots }$.

Definition 2

Für zwei nichtleere Mengen $A,B\subset \mathbb {R} ^{n}$ ist der Abstand oder auch die Distanz der Mengen $A$ und $B$ durch

$dist(A,B):=\inf\{|x-y|:x\in A\ und\ y\in B\}$

erklärt. Insbesondere definieren wir den Abstand eines Punktes $y\in \mathbb {R} ^{n}$ von der Menge $A$ durch

$dist(y,A):=\inf\{|x-y|:x\in A\}$.

Hilfssatz 1 (Distanzlemma)

Es seien $A,K\subset \mathbb {R} ^{n}$ zwei nichtleere Mengen. Sei $A$ abgeschlossen und $K$ kompakt sowie $A\cap K=\emptyset$ erfüllt, dann folgt $dist(A,K)>0$.

Beweis

Angenommen, es würde $dist(A,K)=0$ eintreten. Dann existieren Punktfolgen $\left\{x^{(m)}\right\}_{m\in \mathbb {N} }\subset A$ und $\left\{y^{(m)}\right\}_{m\in \mathbb {N} }\subset K$ mit der Eigenschaft $\lim _{m\to \infty }\left|x^{(m)}-y^{(m)}\right|=0$. Da $K$ beschränkt ist, gibt es nach Satz 3 von Kap. I, §4 eine konvergente Teilfolge $\left\{y^{(m_{k})}\right\}_{k=1,2,\ldots }\subset \left\{y^{(m)}\right\}$ mit $\lim _{k\to \infty }y^{(m_{k})}=\eta \in \mathbb {R} ^{n}$. Da $K$ eine abgeschlossene Menge bildet, folgt $\eta \in K$. Wegen $\lim _{k\to \infty }\left|x^{(m_{k})}-y^{(m_{k})}\right|=0$ erhalten wir $\lim _{k\to \infty }x^{(m_{k})}=\eta \in A$, denn $A$ ist abgeschlossen. Also gibt es einen Punkt $\eta \in A\cap K$ – im Widerspruch zu $A\cap K=\emptyset$. Somit muss $dist(A,K)>0$ richtig sein.

q.e.d.

Hilfssatz 2 (Ausschöpfungslemma)

Zu jeder offenen Menge $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ gibt es eine Folge von Jordan-Bereichen

$J_{m}\subset \Omega ,\ m=1,2,\ldots$ mit $J_{m}\to \Omega \ (m\to \infty )$.

Beweis

Für festes $m\in \mathbb {N}$ betrachten wir den Würfel

$W_{m}:=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:|x_{i}|\leq m{\text{ für }}1\leq i\leq n\}$.

Wir konstruieren eine gleichmäßige Zerlegung von $W_{m}$ in die Teilquader $Q_{k}^{(m)}$ der Seitenlänge ${\frac {1}{m}}$ gemäß

${\mathcal {Z}}_{m}:W_{m}=\bigcup _{k\in {\mathfrak {N}}_{m}}Q_{k}^{(m)}$

vom Feinheitsmaß $\|{\mathcal {Z}}_{m}\|={\frac {\sqrt {n}}{m}}$. Man zeigt leicht, dass die Folge von Jordan-Bereichen

(2) $J_{m}:=\bigcup _{k\in {\mathfrak {N}}_{m}:Q_{k}^{(m)}\subset \Omega }Q_{k}^{(m)},\quad m=1,2,\ldots$

die offene Menge $\Omega$ ausschöpft. Offenbar sind $J_{m}\subset \Omega$ Jordan-Bereiche und es bleibt (1) zu zeigen: Sei $K\subset \Omega$ eine beliebige kompakte Menge. Dann existiert nach dem Distanzlemma ein $\varepsilon >0$, so dass der Abstand zwischen $K$ und $\mathbb {R} ^{n}\setminus \Omega$ die Bedingung $dist(K,\mathbb {R} ^{n}\setminus \Omega )\geq 2\varepsilon$ realisiert. Wählen wir nun $m\in \mathbb {N}$ so groß, dass die Diagonale des Quaders $Q_{k}^{(m)}$ eine Länge ${\frac {\sqrt {n}}{m}}\leq \varepsilon$ besitzt, dann finden wir zu jedem $x\in K$ einen Teilquader $Q_{k}^{(m)}\subset \Omega$ mit $x\in Q_{k}^{(m)}\subset J_{m}$. Also folgt $K\subset J_{m}$ für alle $m\geq {\frac {\sqrt {n}}{\varepsilon }}$.

q.e.d.

Definition 3

Es seien $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Menge und $f:\Omega \to \mathbb {C}$ eine stetige Funktion. Wenn die Folge der Integrale $\int \limits _{J_{m}}f(x)\,dx,\ m=1,2,\ldots$ für jede die Menge $\Omega$ ausschöpfende Folge $\{J_{m}\}_{m=1,2,\ldots }$ von Jordan-Bereichen konvergiert, dannn setzen wir

(3) $\int \limits _{\Omega }f(x)\,dx:=\lim _{m\to \infty }\int \limits _{J_{m}}f(x)\,dx$

als das uneigentliche Riemannsche Integral von $f$ über $\Omega$.

Satz 1 (Existenz des uneigentlichen Integrals)

Es seien $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Menge und $f:\Omega \to \mathbb {C}$ eine stetige Funktion. Weiter gebe es eine Konstante $c\in [0,+\infty )$, so dass die Ungleichung

(4) $\int \limits _{J}|f(x)|\,dx\leq c$ für jeden Jordan-Bereich $J\subset \Omega$

richtig ist. Dann existiert das uneigentliche Integral (3).

Beweis

Wegen Hilfssatz 2 gibt es eine Folge $\{J_{m}\}_{m\in \mathbb {N} }$ von Jordan-Bereichen, welche die offene Menge $\Omega$ ausschöpft. Ersetzen wir ggf. $J_{m}$ durch $\bigcup _{k=1}^{m}J_{k}$ für $m=1,2,\ldots$, so können wir ohne Einschränkung

$J_{1}\subset J_{2}\subset \ldots \subset \Omega$

annehmen. Die Folge der Integrale $\int \limits _{J_{m}}|f(x)|\,dx,\ m=1,2,\ldots$ ist monoton nicht fallend und durch die Konstante $c\in [0,+\infty )$ nach oben beschränkt. Somit konvergiert diese und bildet eine Cauchy-Folge. Zu jedem $\varepsilon >0$ gibt es eine natürliche Zahl $M=M(\varepsilon )\in \mathbb {N}$ mit der Eigenschaft

(5) $0\leq \int \limits _{J_{m}\setminus J_{M}}|f(x)|\,dx=\int \limits _{J_{m}}|f(x)|\,dx-\int \limits _{J_{M}}|f(x)|\,dx\leq \varepsilon$ für alle $m\geq M$.

Es sei nun $\{J_{l}^{*}\}_{l\in \mathbb {N} }$ eine beliebige Folge von Jordan-Bereichen, welche die offene Menge $\Omega$ ausschöpft. Da die Menge $J_{M}\subset \Omega$ kompakt ist, gibt es eine Zahl $L=L(\varepsilon )\in \mathbb {N}$ mit der Eigenschaft $J_{M}\subset J_{l}^{*}$ für alle $l\geq L$. Also finden wir zu jedem Indexpaar $l,l'\geq L$ ein $K>M$, so dass die Inklusionsbedingung

(6) $J_{M}\subset J_{l}^{*}\cup J_{l'}^{*}\subset J_{K}$

erfüllt ist. Somit folgt die Abschätzung

(7) ${\begin{matrix}\left|\int \limits _{J_{l}^{*}}f(x)\,dx-\int \limits _{J_{l'}^{*}}f(x)\,dx\right|{\stackrel {(6)}{=}}\left|\int \limits _{J_{l}^{*}\setminus J_{M}}f(x)\,dx-\int \limits _{J_{l'}^{*}\setminus J_{M}}f(x)\,dx\right|\\\leq \int \limits _{J_{l}^{*}\setminus J_{M}}|f(x)|\,dx+\int \limits _{J_{l'}^{*}\setminus J_{M}}|f(x)|\,dx{\stackrel {(6)}{\leq }}2\int \limits _{J_{K}\setminus J_{M}}|f(x)|\,dx{\stackrel {(5)}{\leq }}2\varepsilon .\end{matrix}}$

Daher bildet $\int \limits _{J_{l}^{*}}f(x)\,dx,\ l=1,2,\ldots$ eine Cauchy-Folge und ist konvergent. Schließlich existiert der Grenzwert $\lim _{l\to \infty }\int \limits _{J_{l}^{*}}f(x)\,dx=\int \limits _{\Omega }f(x)\,dx$.

q.e.d.

Satz 2

Es sei $f_{k}:J\to \mathbb {C} ,\ k=1,2,\ldots$ eine Folge stetiger Funktionen auf dem Jordan-Bereich $J\subset \mathbb {R} ^{n}$, die gleichmäßig gegen die Funktion $f$ konvergiere. Dann gilt

(10) $\lim _{k\to \infty }\left[\int \limits _{J}f_{k}(x)\,dx\right]=\int \limits _{J}\left[\lim _{k\to \infty }f_{k}(x)\right]\,dx=\int \limits _{J}f(x)\,dx$.

Definition 4

Eine Folge stetiger Funktionen $f_{k}:\Omega \to \mathbb {C} ,\ k=1,2,\ldots$ konvergiert kompakt gleichmäßig, wenn für jede kompakte Teilmenge $K\subset \Omega$ die eingeschränkten Funktionen $f_{k}:K\to \mathbb {C} ,\ k=1,2,\ldots$ auf $K$ gleichmäßig konvergieren.

Satz 3 (Konvergenzsatz für uneigentliche Riemann-Integrale)

Auf einer offenen Menge $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ sei eine Folge stetiger Funktionen

$f_{k}:\Omega \to \mathbb {C}$ für $k=1,2,\ldots$

gegeben, die auf jeder kompakten Menge $K\subset \Omega$ gleichmäßig gegen eine stetige Funktion $f:\Omega \to \mathbb {C}$ konvergiert. Weiter habe diese Funktionenfolge eine integrierbare, stetige Majorante

(12) ${\begin{matrix}F:\Omega \to [0,+\infty )\in C^{0}(\Omega ,\mathbb {R} )\ mit\ der\ Eigenschaft\\\int \limits _{\Omega }F(x)\,dx<+\infty ,\ so\ dass\ |f_{k}(x)|\leq F(x)\ f{\ddot {u}}r\ alle\ x\in \Omega \ und\ k\in \mathbb {N} \end{matrix}}$

erfüllt ist. Dann existiert das uneigentliche Integral $\int \limits _{\Omega }f(x)\,dx$ und es gilt die Identität

(13) $\lim _{k\to \infty }\int \limits _{\Omega }f_{k}(x)\,dx=\int \limits _{\Omega }f(x)\,dx$.

Beweis

Aus (12) folgt $|f(x)|\leq F(x)$ für alle $x\in \Omega$ und Satz 1 impliziert die Existenz des uneigentlichen Integrals $\int \limits _{\Omega }f_{k}(x)\,dx$ für $k=1,2,\ldots$ sowie $\int \limits _{\Omega }f(x)\,dx$. Zu jedem $\varepsilon >0$ existiert eine kompakte Teilmenge $K=K(\varepsilon )\subset \Omega$ mit der Eigenschaft

$\int \limits _{\Omega \setminus K}|f_{k}(x)|\,dx\leq \int \limits _{\Omega \setminus K}F(x)\,dx$ für alle $k\in \mathbb {N}$

sowie

$\int \limits _{\Omega \setminus K}|f(x)|\,dx\leq \int \limits _{\Omega \setminus K}F(x)\,dx.$

Da die Funktionen $f_{k}:K\to \mathbb {C}$ für $k\to \infty$ gleichmäßig gegen $f:K\to \mathbb {C}$ konvergieren, gibt es nach Satz 2 eine natürliche Zahl $N=N(\varepsilon )$ mit der folgenden Eigenschaft:

$\left|\int \limits _{K}f_{k}(x)\,dx-\int \limits _{K}f(x)\,dx\right|<\varepsilon$ für alle $k\geq N$.

Insgesamt erhalten wir für alle $k\geq N(\varepsilon )$ die Abschätzung

(14) ${\begin{matrix}\left|\int \limits _{\Omega }f_{k}(x)\,dx-\int \limits _{\Omega }f(x)\,dx\right|=\left|\int \limits _{\Omega \setminus K}f_{k}(x)\,dx+\int \limits _{K}(f_{k}(x)-f(x))\,dx-\int \limits _{\Omega \setminus K}f(x)\,dx\right|\\\\\leq \int \limits _{\Omega \setminus K}|f_{k}(x)|\,dx+\left|\int \limits _{K}f_{k}(x)\,dx-\int \limits _{K}f(x)\,dx\right|+\int \limits _{\Omega \setminus K}|f(x)|\,dx<3\varepsilon \end{matrix}}$

bei beliebigem $\varepsilon >0$. Damit ist die obige Identität (13) gezeigt.

q.e.d.

Satz 4 (Oszillierende Integrale)

Es sei der Exponent $\beta \in (0,+\infty )$ gewählt. Wenn die stetige Funktion $f:[1,+\infty )\to \mathbb {C}$ eine beschränkte Stammfunktion $F(x):=\int _{1}^{x}f(t)\,dt,\ x\geq 1$ besitzt, so existiert das uneigentliche Integral

(15) $\int _{1}^{+\infty }{\frac {f(t)}{t^{\beta }}}\,dt$.

Beweis

Für alle $x>1$ erhalten wir die Identität

$\int _{1}^{x}{\frac {f(t)}{t^{\beta }}}\,dt=\int _{1}^{x}t^{-\beta }\cdot f(t)\,dt=[t^{-\beta }\cdot F(t)]_{t=1}^{x}+\beta \cdot \int _{1}^{x}{\frac {F(t)}{t^{\beta +1}}}\,dt$

mittels partieller Integration. Da die Funktion $F$ beschränkt ist gemäß

$|F(x)|\leq c,\ x\geq 1$ mit einer Konstante $c>0$,

so ermitteln wir

$\lim _{x\to +\infty }\left[{\frac {F(t)}{t^{\beta }}}\right]_{t=1}^{x}=\lim _{x\to +\infty }\left[{\frac {F(x)}{x^{\beta }}}-F(1)\right]=0$.

Weiter entnehmen wir obigem Beispiel 1 die Abschätzung

$\int _{1}^{+\infty }\left|{\frac {F(t)}{t^{\beta +1}}}\right|\,dt\leq c\int _{1}^{+\infty }{\frac {dt}{t^{\beta +1}}}<+\infty$.

Somit existiert das uneigentliche Integral

$\int _{1}^{+\infty }{\frac {f(t)}{t^{\beta }}}\,dt=\lim _{x\to +\infty }\int _{1}^{x}{\frac {f(t)}{t^{\beta }}}\,dt=\beta \int _{1}^{+\infty }{\frac {F(t)}{t^{\beta +1}}}\,dt\in \mathbb {R}$.

q.e.d.

Satz 5 (Transformationsformel für mehrfache Integrale)

Zu einer festen Dimension $n\in \mathbb {N}$ seien $\Omega ,\Theta \subset \mathbb {R} ^{n}$ offene Mengen und

$y:\Omega \to \Theta$ vermöge $\Omega \ni (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\mapsto (y_{1}(x),y_{2}(x),\ldots ,y_{n}(x))\in \Theta$

eine bijektive Abbildung mit den Eigenschaften $y\in C^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})$ und

$J_{y}(x):=\det \left({\frac {\partial y_{i}(x)}{\partial x_{k}}}\right)_{i,k=1,2,\ldots ,n}\neq 0$ für alle $x\in \Omega$.

Wenn für die stetige Funktion $f:\Theta \to \mathbb {C}$ das uneigentliche Integral $\int \limits _{\Theta }|f(y)|\,dy$ existiert, dann gilt die Transformationsformel

(16) $\int \limits _{\Theta }|f(y)|\,dy=\int \limits _{\Omega }(f(y(x)))\cdot |J_{y}(x)|\,dx$.

Beweis

Der Beweis wird in §6 geführt.

Definition 5

Die stetige Funktion

$f=f(t)=(f_{1}(t),f_{2}(t),\ldots ,f_{m}(t)):I\to \mathbb {R} ^{m}\in C^{k}(I,\mathbb {R} ^{m})$

auf dem offenen Intervall $I:=(a,b)$ mit $-\infty \leq a<b\leq +\infty$ definiert eine $C^{k}$-Kurve ${\mathcal {K}}:=\{x\in \mathbb {R} ^{m}:x=f(t),t\in I\}$. Dabei haben wir die Raumdimension $m\in \mathbb {N}$ und den Differenzierbarkeitsgrad $k\in \mathbb {N} _{0}$ fest gewählt. Im Falle $k=0$ sprechen wir von einer stetigen Kurve; für $k\geq 1$ erhalten wir eine differenzierbare Kurve. Letztere nennen wir eine reguläre Kurve, falls die folgende geometrische Regularitätsbedingung erfüllt ist:

(20) $f'(t)\neq 0$ für alle $t\in I$.

Betrachten wir eine beliebige Zerlegung ${\mathcal {Z}}$ in $I$ gemäß

(21) ${\begin{matrix}{\mathcal {Z}}:a<t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{N-1}<t_{N}<b{\text{ in }}N\in \mathbb {N} {\text{ Teilintervalle }}[t_{k-1},t_{k}]\mathrm {\ f{\ddot {u}}r\ } \\k=1,\ldots ,N{\text{ mit }}\bigcup _{k=1}^{N}[t_{k-1},t_{k}]=[t_{0},t_{N}]\subset \subset (a,b),\end{matrix}}$

dann beschreibt $L(f,{\mathcal {Z}}):=\sum _{k=1}^{N}|f(t_{k})-f(t_{k-1})|$ die Länge des zugehörigen Polygonzuges durch die Punkte $f(t_{0}),f(t_{1}),\ldots ,f(t_{N-1}),f(t_{N})$.

Definition 6

Unter der Länge der Kurve ${\mathcal {K}}$ verstehen wir die Größe

(22) $L({\mathcal {K}}):=\sup\{L(f,{\mathcal {Z}}):{\mathcal {Z}}\ ist\ eine\ Zerlegung\ in\ I\}$.

Falls $L({\mathcal {K}})<+\infty$ ausfällt, sprechen wir von einer rektifizierbaren Kurve.

Satz 6 (Bogenlänge)

Es sei durch $f:I\to \mathbb {R} ^{m}$ eine rektifizierbare $C^{1}$-Kurve ${\mathcal {K}}$ gegeben. Dann können wir deren Länge durch das folgende uneigentliche Integral der Bogenlänge berechnen:

(23) $L({\mathcal {K}})=\int _{a}^{b}|f'(t)|\,dt=\int _{a}^{b}{\sqrt {\sum _{\mu =1}^{m}(f_{\mu }'(t))^{2}}}\,dt$.

Beweis

1. Wir betrachten eine beliebige Zerlegung ${\mathcal {Z}}$ im Intervall $I$ gemäß (21). Die Länge des zugehörigen Polygonzuges im $\mathbb {R} ^{m}$ entnehmen wir der Identität

(24) ${\begin{matrix}L(f,{\mathcal {Z}})=\sum _{k=1}^{N}|f(t_{k})-f(t_{k-1})|=\sum _{k=1}^{N}{\sqrt {\sum _{\mu =1}^{m}{\Bigl (}f_{\mu }(t_{k})-f_{\mu }(t_{k-1}){\Bigr )}^{2}}}\\\\=\sum _{k=1}^{N}(t_{k}-t_{k-1})\cdot {\sqrt {\sum _{\mu =1}^{m}\left(f'_{\mu }(\tau _{k\mu })\right)^{2}}}\\\\{\text{mit gewissen Zwischenwerten }}\tau _{k\mu }\in (t_{k-1},t_{k})\mathrm {\ f{\ddot {u}}r\ } k=1,\ldots ,N\end{matrix}}$

unter Anwendung des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung auf jede Komponente $f_{\mu }$ für $\mu =1,\ldots ,m$. Wir führen die Riemann-integrierbare Funktion

(25) ${\begin{matrix}\Psi (t):={\sqrt {\sum _{\mu =1}^{m}\left(f'_{\mu }(\tau _{k\mu })\right)^{2}}}{\text{ falls }}t\in (t_{k-1},t_{k})\mathrm {\ f{\ddot {u}}r\ } k=1,\ldots ,N\\\\\Psi (t):=0{\text{ falls }}t\in (a,b)\setminus \bigcup _{k=1}^{N}(t_{k-1},t_{k})\end{matrix}}$

ein und erhalten

(26) $L(f,{\mathcal {Z}})=\int _{a}^{b}\Psi (t)\,dt$.

2. Wählen wir nun eine Folge von Zerlegungen ${\mathcal {Z}}^{(l)},l=1,2,\ldots$ in $I$ mit den zugehörigen Funktionen $\Psi ^{(l)},l=1,2,\ldots$, so dass

(27) $L({\mathcal {K}})=\lim _{l\to \infty }L(f,{\mathcal {Z}}^{(l)})=\lim _{l\to \infty }\int _{a}^{b}\Psi ^{(l)}(t)\,dt$

erreicht wird. Wegen der gleichmäßigen Stetigkeit der Ableitungsfunktion $f':I\to \mathbb {R} ^{n}$ auf jedem kompakten Intervall von $I$ konvergiert dort die Folge $\{\Psi ^{(l)}\}_{l=1,2,\ldots }$ gleichmäßig gegen die stetige Funktion

$\Psi (t):={\sqrt {\sum _{\mu =1}^{m}\left(f'_{\mu }(t)\right)^{2}}},\quad t\in I$.

Zumal wir eine konvergente Majorante angeben können liefert obiger Satz 3

(28) $L({\mathcal {K}})=\lim _{l\to \infty }\int _{a}^{b}\Psi ^{(l)}(t)\,dt=\int _{a}^{b}\Psi (t)\,dt$

und die Identität (23) ist gezeigt.

q.e.d.

Bemerkungen

1. Es sei $F(\tau ):=f(t(\tau )),\tau \in (\alpha ,\beta )$ eine äquivalente Darstellung der Kurve ${\mathcal {K}}$ mit der bijektiven Parametertransformation $t=t(\tau ):(\alpha ,\beta )\to (a,b)$ der Klasse $C^{1}((\alpha ,\beta ),\mathbb {R} )$ mit $t'(\tau )>0$ für alle $\tau \in (\alpha ,\beta )$. Dann liefert die eindimensionale Transformationsformel

$\int _{\alpha }^{\beta }|F'(\tau )|\,d\tau =\int _{\alpha }^{\beta }|f'[t(\tau )]|\cdot t'(\tau )\,d\tau =\int _{a}^{b}|f'(t)|\,dt$.

Folglich ist für reguläre Kurven die Länge invariant unter Parametertransformation.
2. Beschreibt man in einem Zylindermantel

${\mathcal {M}}:=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:x^{2}+y^{2}=1,0\leq z\leq 1\}$

Polyederflächen $P$ ein und misst deren elementargeometrischen Flächeninhalt $|P|$, so wird das Supremum unendlich gemäß

(29) $\sup\{|P|:P{\text{ ist in }}{\mathcal {M}}{\text{ einbeschrieben}}\}=+\infty$.

Diese erstaunliche Beobachtung verdankt man H. A. Schwarz. Sie macht eine einfache Übertragung von Definition 6 auf die höherdimensionale Situation der Flächenmessung unmöglich.