Kurs:Analysis II/Kapitel VI: Gewöhnliche Differentialgleichungen/Der Existenzsatz von Peano (§4)

Voraussetzung (a):

Seien die Zahl $\xi \in \mathbb {R}$ und der Vektor $\eta =(\eta _{1},\ldots ,\eta _{m})\in \mathbb {R} ^{m}$ mit $m\in \mathbb {N}$ vorgegeben. Zu den festen positiven Konstanten $a,b_{1},\ldots ,b_{m}\in (0,+\infty )$ betrachten wir das Rechteck

$R:=\{(x,y)=(x,y_{1},\ldots ,y_{m})\in \mathbb {R} ^{1+m}:|x-\xi |\leq a,|y_{i}-\eta _{i}|\leq b_{i},i=1,\ldots ,m\}$.

Hierauf sind die beschränkten, stetigen Funktionen

$f_{i}=f_{i}(x,y_{1},\ldots ,y_{m}):R\to \mathbb {R} \in C^{0}(R)$ mit $|f_{i}|\leq M$ in $R$

für $i=1,\ldots ,m$ mit der Schranke $M>0$ gegeben. Wir behandeln im folgenden das Anfangswertproblem: Gibt es eine Größe $h\in (0,a]$ und einmal stetig differenzierbare Funktionen

(1) $y_{i}=y_{i}(x):[\xi -h,\xi +h]\to [\eta _{i}-b_{i},\eta _{i}+b_{i}]$ für $i=1,\ldots ,m$,

die das folgende Differentialgleichungssystem

(2) $y'_{i}(x)=f_{i}(x,y_{1}(x),\ldots ,y_{m}(x)),\quad x\in [\xi -h,\xi +h]$ für $i=1,\ldots ,m$

mit den Anfangsbedingungen

(3) $y_{i}(\xi )=\eta _{i}$ für $i=1,\ldots ,m$

lösen? Dieses Anfangswertproblem können wir mit den Setzungen

(4) $y(x):={\begin{pmatrix}y_{1}(x)\\\vdots \\y_{m}(x)\end{pmatrix}},\eta :={\begin{pmatrix}\eta _{1}\\\vdots \\\eta _{m}\end{pmatrix}};f(x,y):={\begin{pmatrix}f_{1}(x,y_{1},\ldots ,y_{m})\\\vdots \\f_{m}(x,y_{1},\ldots ,y_{m})\end{pmatrix}}$

wie folgt zusammenfassen:

(5) $y'(x)=f(x,y(x)),\quad x\in [\xi -h,\xi +h];\quad y(\xi )=\eta$.

Nun stellen sich die folgenden drei Fragen:

1. Existenz: Gibt es eine Lösung des Anfangswertproblems (1) – (3)?
2. Eindeutigkeit: Ist diese Lösung eindeutig bestimmt?
3. Stabilität: Bleibt die Lösung in der Umgebung der ursprünglichen Lösung, falls man die Anfangswerte $\eta _{i}$ und die rechten Seiten $f_{i}$ etwas stört? Hängt die Lösung sogar differenzierbar von den Anfangswerten ab?

Satz 1 (Gewöhnliche Regularität)

Unter der Voraussetzung (a) sind die folgenden beiden Aussagen äquivalent:

I. Es gibt Funktionen $y_{i}=y_{i}(x)\in C^{1}([\xi -h,\xi +h])$ für $i=1,\ldots ,m$, die das Anfangswertproblem (1) – (3) lösen.

II. Es gibt Funktionen $y_{i}=y_{i}(x)\in C^{0}([\xi -h,\xi +h])$ für $i=1,\ldots ,m$, die (1) erfüllen und das Integralgleichungssystem

(6) $y_{i}(x)=\eta _{i}+\int _{\xi }^{x}f_{i}(t,y_{1}(t),\ldots ,y_{m}(t))\,dt,\quad x\in [\xi -h,\xi +h],\quad i=1,\ldots ,m$

lösen.

Beweis

$1.\Longrightarrow 2.$: Die Funktionen $y_{i}=y_{i}(x)\in C^{1}([\xi -h,\xi +h])$ für $i=1,\ldots ,m$ lösen das Anfangswertproblem (1) – (3); somit erhalten wir durch Integration

$y_{i}(x)=\eta _{i}+\int _{\xi }^{x}f_{i}(t,y_{1}(t),\ldots ,y_{m}(t))\,dt,x\in [\xi -h,\xi +h]$ für $i=1,\ldots ,m$.

$2.\Longrightarrow 1.$: Die Funktionen $y_{i}(x)$ lösen (6) für $i=1,\ldots ,m$. Somit folgt $y_{i}(x)\in C^{1}([\xi -h,\xi +h])$ sowie $y_{i}(\xi )=\eta _{i}$ und Differentiation liefert

$y_{i}(x)=f_{i}(x,y_{1}(x),\ldots ,y_{m}(x)),\quad x\in [\xi -h,\xi +h]\quad$ für $\quad i=1,\ldots ,m$.

Bemerkung

Wir fassen (6) zusammen zu der Identität

$y(x)=\eta +\int _{\xi }^{x}f(t,y(t))\,dt$.

Wir werden eine Lösung dieser Integralgleichung konstruieren, indem wir diese durch eine Folge von Polygonzügen approximieren. Hierzu benötigen wir den fundamentalen Auswahlsatz von Arzelà-Ascoli,den wir für Funktionen in mehreren Veränderlichen bereitstellen. Eine Indizierung der Komponenten ist hierbei überflüssig, so dass wir jeweils die Folgen eindeutig mit den Indizes kennzeichnen können.

Satz 2 (Auswahlsatz von Arzelà-Ascoli)

Seien die Zahlen $m,n\in \mathbb {N}$ fest und die Menge $K\subset \mathbb {R} ^{n}$ kompakt. Die Funktionenfamilie

${\mathcal {F}}:=\{f_{\iota }:K\to \mathbb {R} ^{m}{\Bigl |}\iota \in J\}$ mit der Indexmenge $J$

sei mit den nachfolgenden Eigenschaften gegeben:

I. Die Menge ${\mathcal {F}}$ ist gleichmäßig beschränkt, d. h. es gibt eine Konstante $N>0$, so dass

$|f_{\iota }(x)|\leq N$ für alle $x\in K$ und alle $\iota \in J$

II. Die Menge ${\mathcal {F}}$ ist gleichgradig stetig, d. h. zu jedem $\varepsilon >0$ gibt es ein $\delta =\delta (\varepsilon )>0$ mit der Eigenschaft:

$x,y\in K,\quad |x-y|<\delta ,\quad \iota \in J,\quad \Longrightarrow |f_{\iota }(x)-f_{\iota }(y)|<\varepsilon$.

Behauptung: Dann enthält ${\mathcal {F}}$ eine auf der Menge $K$ gleichmäßig konvergente Teilfolge

$g^{k}(x)\in {\mathcal {F}},\quad k=1,2,\ldots$,

welche gleichmäßig gegen die stetige Funktion

$g(x):K\to \mathbb {R} ^{m}\in C^{0}(K,\mathbb {R} ^{m})$

konvergiert.

Beweis

1. Wir zählen die rationalen Gitterpunkte in der kompakten Menge $K$ wie folgt ab:

(7) $K\cap \mathbb {Q} ^{n}=\{q_{1},q_{2},q_{3},\ldots \}$.

Da die Menge

$\{f_{\iota }(q_{1})\in \mathbb {R} ^{m}:\iota \in J\}$

beschränkt ist, gibt es eine Teilfolge

$f_{11},f_{12},f_{13},\ldots \subset {\mathcal {F}}$,

so dass

$g(q_{1}):=\lim _{k\to \infty }f_{1k}(q_{1})$

existiert. Da wiederum die Menge

$\{f_{\iota }(q_{2})\in \mathbb {R} ^{m}:\iota \in J\}$

beschränkt ist, gibt es eine weitere Teilfolge

$\{f_{2k}\}_{k=1,2,3,\ldots }\subset \{f_{1k}\}_{k=1,2,3,\ldots }$,

so dass

$g(q_{2}):=\lim _{k\to \infty }f_{2k}(q_{2})$

existiert. Offenbar gilt weiter

$g(q_{1}):=\lim _{k\to \infty }f_{2k}(q_{1})$.

Wir konstruieren so eine Folge von Teilfolgen

$\{f_{1k}\}_{k=1,2,3,\ldots }\supset \{f_{2k}\}_{k=1,2,3,\ldots }\supset \ldots$,

so dass

$g(q_{l}):=\lim _{k\to \infty }f_{lk}(q_{l})$ für alle $l\in \mathbb {N}$

existiert. Durch den Übergang zur Diagonalfolge

$g^{k}(x):=f_{kk}(x)\in {\mathcal {F}},\quad k=1,2,3,\ldots$

erhalten wir eine Folge mit der Eigenschaft

$g(q_{l}):=\lim _{k\to \infty }g^{k}(q_{l})$ für alle $l\in \mathbb {N}$.

2. Wir zeigen nun die gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge

$g^{k}(x):K\to \mathbb {R} ^{m}\in C^{0}(K,\mathbb {R} ^{m}),\quad k=1,2,3,\ldots$.

Zu vorgegebenem $\varepsilon >0$ reichen nach dem Heine-Borelschen Überdeckungssatz endlich viele der offenen Mengen

$U_{\delta }(q_{l}):=\{y\in \mathbb {R} ^{m}:|y-q_{l}|<\delta \},\quad l\in \mathbb {N}$ mit $\delta =\delta (\varepsilon )$

zur Überdeckung der kompakten Menge $K$ aus, also etwa die offenen Kugeln

$U_{\delta }(q)$ mit $q\in \{q_{l_{1}},\ldots ,q_{l_{p}}\}=:Q$.

Da $Q$ eine endliche Menge ist, gibt es eine Zahl $k_{*}=k_{*}(\varepsilon )\in \mathbb {N}$, so dass

$|g^{k}(q)-g(q)|<\varepsilon$ für alle $k\geq k_{*}(\varepsilon )$ und alle $q\in Q$

gilt. Nun folgt für alle $x\in K$ und alle $k,l\geq k_{*}(\varepsilon )$ die Ungleichung

(8) $|g^{k}(x)-g^{l}(x)|\leq |g^{k}(x)-g^{k}(q)|+|g^{k}(q)-g^{l}(q)|+|g^{l}(q)-g^{l}(x)|\leq \varepsilon +\varepsilon +\varepsilon =3\varepsilon$.

Hierbei haben wir zu $x\in K$ einen Punkt $q\in Q$ mit $|x-q|<\delta$ ausgewählt, was wegen der obigen Überdeckungseigenschaft möglich ist. Folglich existiert

$g(x):=\lim _{k\to \infty }g^{k}(x),\quad x\in K$

und es gilt

$|g(x)-g^{l}(x)|\leq 3\varepsilon$ für alle $x\in K,\quad l\geq k_{*}(\varepsilon )$.

Somit konvergiert $\{g^{l}\}_{l=1,2,3,\ldots }$ gleichmäßig gegen die stetige Funktion

$g(x),\quad x\in K$.

q.e.d.

Satz 3 (Existenzsatz von Peano)

Sei die Voraussetzung (a) erfüllt und die Größe

$h:=\min \left\{a,{\frac {b_{1}}{M}},\ldots ,{\frac {b_{m}}{M}}\right\}$

erklärt. Dann gibt es Funktionen

$y_{i}=y_{i}(x)\in C^{1}([\xi -h,\xi +h])$ für $i=1,\ldots ,m$,

die das Anfangswertproblem (1), (2), (3) lösen.

Beweis

Offenbar reicht es aus, eine Lösung auf dem Intervall $[\xi ,\xi +h]$ zu konstruieren.

1. Sei ${\mathcal {Z}}:\xi =:x_{0}<x_{1}<\ldots <x_{n}:=\xi +h$ eine beliebige Zerlegung des Intervalls $[\xi ,\xi +h]$ in $n\in \mathbb {N}$ Teilintervalle mit dem Feinheitsmaß

$|{\mathcal {Z}}|:=\max _{k=1,\ldots ,n}|x_{k}-x_{k-1}|$.

Zu dieser Zerlegung ${\mathcal {Z}}$ konstruieren wir nun den Euler-Cauchyschen Polygonzug

$\mathbf {z} (x)=(z_{1}(x),\ldots ,z_{m}(x))=\mathbf {z} ^{\mathcal {Z}}:[\xi ,\xi +h]\to \mathbb {R} ^{m}$

wie folgt: Auf dem Intervall $[\xi ,x_{1}]$ definieren wir

$\mathbf {z} (x):=\eta +(x-\xi )f(\xi ,\eta ),\quad \xi \leq x\leq x_{1}$

und wir berechnen

$\mathbf {z} '(x)=f(\xi ,\eta ),\quad \xi \leq x\leq x_{1}$.

Somit folgt

(9) $|z_{i}(x)-\eta _{i}|\leq |x-\xi ||f_{i}(\xi ,\eta )|\leq h\cdot M\leq b_{i},\quad x\in [\xi ,x_{1}]$ für $i=1,\ldots ,m$.

Auf dem Intervall $(x_{1},x_{2}]$ definieren wir

$\mathbf {z} (x):=\mathbf {z} (x_{1})+(x-x_{1})f(x_{1},\mathbf {z} (x_{1})),\quad x_{1}\leq x\leq x_{2}$

und wir berechnen

$\mathbf {z} '(x)=f(x_{1},\mathbf {z} (x_{1})),\quad x_{1}\leq x\leq x_{2}$.

Wir schätzen nun wie folgt ab

(10) ${\begin{matrix}|z_{i}(x)-\eta _{i}|\leq \int _{\xi }^{x}|z_{i}'(t)|\,dt=\int _{\xi }^{x_{1}}|f_{i}(\xi ,\eta )|\,dt+\int _{x_{1}}^{x}|f_{i}(x_{1},\mathbf {z} (x_{1}))|\,dt\\\leq M\cdot |x-\xi |\leq M\cdot h\leq b_{i},\quad x\in [x_{1},x_{2}]\mathrm {\ f{\ddot {u}}r\ } i=1,\ldots ,m.\end{matrix}}$

Wir führen nun das Verfahren fort und enden mit

$\mathbf {z} (x):=\mathbf {z} (x_{n-1})+(x-x_{n-1})f(x_{n-1},\mathbf {z} (x_{n-1})),\quad x_{n-1}\leq x\leq x_{n}$.

Wir berechnen

$\mathbf {z} '(x)=f(x_{n-1},\mathbf {z} (x_{n-1})),\quad x_{n-1}\leq x\leq x_{n}$

und schätzen nun wie folgt ab:

(11) ${\begin{matrix}|z_{i}(x)-\eta _{i}|\leq \int _{\xi }^{x}|z_{i}'(t)|\,dt=\int _{\xi }^{x_{1}}|f_{i}(\xi ,\eta )|\,dt+\int _{x_{n-1}}^{x}|f_{i}(x_{n-1},\mathbf {z} (x_{)})|\,dt\\\leq M\cdot |x-\xi |\leq M\cdot h\leq b_{i},\quad x\in [x_{n-1},x_{n}]\mathrm {\ f{\ddot {u}}r\ } i=1,\ldots ,m.\end{matrix}}$

Schließlich erklären wir noch die stückweise konstante Funktion

(12) $\zeta (x):=\left\{{\begin{matrix}\mathbf {z} (x_{0}),\quad x_{0}\leq x\leq x_{1}\\\mathbf {z} (x_{1}),\quad x_{1}<x\leq x_{2}\\\vdots \\\mathbf {z} (x_{n-1}),\quad x_{n-1}<x\leq x_{n}\end{matrix}}\right.$.

2. Wir betrachten nun die Funktionenfamilie

(13) ${\mathcal {F}}:=\{\mathbf {z} (x)=\mathbf {z} ^{\mathcal {Z}}(x):[\xi ,\xi +h]\to \mathbb {R} ^{m}|{\mathcal {Z}}{\text{ ist Zerlegung von }}[\xi ,\xi +h]\}$.

Wie in Teil 1. zeigt man, dass für jedes $\mathbf {z} (x)=(z_{1}(x),\ldots ,z_{m}(x))\in {\mathcal {F}}$ die Abschätzung

(14) $|z_{i}(x)-z_{i}(y)|\leq M|x-y|$ für alle $x,y\in [\xi ,\xi +h]$ mit $i=1,\ldots ,m$

richtig ist. Somit ist ${\mathcal {F}}$ eine gleichmäßig beschränkte, gleichgradig stetige Funktionenklasse. Auf Grund von Satz 2 können wir nun eine Zerlegungsfolge ${\stackrel {k}{\mathcal {Z}}}$ vom Intervall $[\xi ,\xi +h]$ mit dem Feinheitsmaß

(15) $|{\stackrel {k}{\mathcal {Z}}}|\to 0$ für $k\to \infty$

finden, so dass für die zugehörigen Euler-Cauchyschen Polygonzüge

(16) $\mathbf {z} ^{k}(x):=\mathbf {z} ^{\stackrel {k}{\mathcal {Z}}},\quad x\in [\xi ,\xi +h],\quad k=1,2,3,\ldots$

folgendes gilt: Die Funktionenfolge $\{\mathbf {z} ^{k}(x)\}_{k=1,2,3,\ldots }$ konvergiert auf dem Intervall $[\xi ,\xi +h]$ gleichmäßig gegen die stetige Funktion

$y(x):=\lim _{k\to \infty }\mathbf {z} ^{k}(x),\quad x\in [\xi ,\xi +h]$.

Die zugehörigen Treppenfunktionen bezeichnen wir mit

$\zeta ^{k}(x):[\xi ,\xi +h]\to \mathbb {R} ^{m},\quad k=1,2,3,\ldots$.

3. Beachten wir nun die Eigenschaften (14) und (15), so konvergiert die Folge von Treppenfunktionen

(17) $\zeta ^{k}(x)\to y(x)$ gleichmäßig auf dem Intervall $[\xi ,\xi +h]$ für $k\to \infty$.

Auf Grund der gleichmäßigen Stetigkeit der Funktionen $f_{i}:R\to \mathbb {R}$ für $i=1,\ldots ,m$ folgt die gleichmäßige Konvergenz von

(18) $\lim _{k\to \infty }f(t,\zeta ^{k}(t))=f(t,y(t)),\quad t\in [\xi ,\xi +h]$.

Mit einem Konvergenzsatz für Riemannsche Integrale (siehe Satz 2 aus §5 in Kapitel V) erhalten wir die Identität

(19) ${\begin{matrix}y(x)-\eta =\lim _{k\to \infty }(\mathbf {z} ^{k}(x)-\eta )=\lim _{k\to \infty }\int _{\xi }^{x}f(t,\zeta ^{k}(t))\,dt\\=\int _{\xi }^{x}\lim _{k\to \infty }f(t,\zeta ^{k}(t))\,dt=\int _{\xi }^{x}f(t,y(t))\,dt\end{matrix}}$

für alle $x\in [\xi ,\xi +h]$. Der Satz 1 liefert nun die Behauptung.

q.e.d.

Beispiel 1: Mehrdeutigkeit beim Anfangswertproblem

Das Anfangswertproblem

(20) $y'(x)=n|y|^{1-{\frac {1}{n}}},\quad y(0)=0$

hat für $n=1,2,3,\ldots$ die Lösungen

(21) $y_{1}(x):=0,\quad x\in \mathbb {R}$

und

(22) $y_{2}(x):=\left\{{\begin{matrix}x^{n},&0\leq x\\0,&x\leq 0\end{matrix}}\right.$.