Kurs:Analysis II/Kapitel VI: Gewöhnliche Differentialgleichungen/Der Existenzsatz von Peano (§4)

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Voraussetzung (a):[Bearbeiten]

Seien die Zahl und der Vektor mit vorgegeben. Zu den festen positiven Konstanten betrachten wir das Rechteck

.

Hierauf sind die beschränkten, stetigen Funktionen

mit in

für mit der Schranke gegeben. Wir behandeln im folgenden das Anfangswertproblem: Gibt es eine Größe und einmal stetig differenzierbare Funktionen

(1) für ,

die das folgende Differentialgleichungssystem

(2) für

mit den Anfangsbedingungen

(3) für

lösen? Dieses Anfangswertproblem können wir mit den Setzungen

(4)

wie folgt zusammenfassen:

(5) .

Nun stellen sich die folgenden drei Fragen:

  1. Existenz: Gibt es eine Lösung des Anfangswertproblems (1) – (3)?
  2. Eindeutigkeit: Ist diese Lösung eindeutig bestimmt?
  3. Stabilität: Bleibt die Lösung in der Umgebung der ursprünglichen Lösung, falls man die Anfangswerte und die rechten Seiten etwas stört? Hängt die Lösung sogar differenzierbar von den Anfangswerten ab?

Satz 1 (Gewöhnliche Regularität)[Bearbeiten]

Unter der Voraussetzung (a) sind die folgenden beiden Aussagen äquivalent:
I. Es gibt Funktionen für , die das Anfangswertproblem (1) – (3) lösen.
II. Es gibt Funktionen für , die (1) erfüllen und das Integralgleichungssystem
(6)
lösen.

Beweis[Bearbeiten]

: Die Funktionen für lösen das Anfangswertproblem (1) – (3); somit erhalten wir durch Integration

für .

: Die Funktionen lösen (6) für . Somit folgt sowie und Differentiation liefert

für .

Bemerkung[Bearbeiten]

Wir fassen (6) zusammen zu der Identität

.

Wir werden eine Lösung dieser Integralgleichung konstruieren, indem wir diese durch eine Folge von Polygonzügen approximieren. Hierzu benötigen wir den fundamentalen Auswahlsatz von Arzelà-Ascoli,den wir für Funktionen in mehreren Veränderlichen bereitstellen. Eine Indizierung der Komponenten ist hierbei überflüssig, so dass wir jeweils die Folgen eindeutig mit den Indizes kennzeichnen können.

Satz 2 (Auswahlsatz von Arzelà-Ascoli)[Bearbeiten]

Seien die Zahlen fest und die Menge kompakt. Die Funktionenfamilie
mit der Indexmenge
sei mit den nachfolgenden Eigenschaften gegeben:
I. Die Menge ist gleichmäßig beschränkt, d. h. es gibt eine Konstante , so dass
für alle und alle
II. Die Menge ist gleichgradig stetig, d. h. zu jedem gibt es ein mit der Eigenschaft:
.
Behauptung: Dann enthält eine auf der Menge gleichmäßig konvergente Teilfolge
,
welche gleichmäßig gegen die stetige Funktion
konvergiert.

Beweis[Bearbeiten]

1. Wir zählen die rationalen Gitterpunkte in der kompakten Menge wie folgt ab:

(7) .

Da die Menge

beschränkt ist, gibt es eine Teilfolge

,

so dass

existiert. Da wiederum die Menge

beschränkt ist, gibt es eine weitere Teilfolge

,

so dass

existiert. Offenbar gilt weiter

.

Wir konstruieren so eine Folge von Teilfolgen

,

so dass

für alle

existiert. Durch den Übergang zur Diagonalfolge

erhalten wir eine Folge mit der Eigenschaft

für alle .

2. Wir zeigen nun die gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge

.

Zu vorgegebenem reichen nach dem Heine-Borelschen Überdeckungssatz endlich viele der offenen Mengen

mit

zur Überdeckung der kompakten Menge aus, also etwa die offenen Kugeln

mit .

Da eine endliche Menge ist, gibt es eine Zahl , so dass

für alle und alle

gilt. Nun folgt für alle und alle die Ungleichung

(8) .

Hierbei haben wir zu einen Punkt mit ausgewählt, was wegen der obigen Überdeckungseigenschaft möglich ist. Folglich existiert

und es gilt

für alle .

Somit konvergiert gleichmäßig gegen die stetige Funktion

.

q.e.d.

Satz 3 (Existenzsatz von Peano)[Bearbeiten]

Sei die Voraussetzung (a) erfüllt und die Größe
erklärt. Dann gibt es Funktionen
für ,
die das Anfangswertproblem (1), (2), (3) lösen.

Beweis[Bearbeiten]

Offenbar reicht es aus, eine Lösung auf dem Intervall zu konstruieren.

1. Sei eine beliebige Zerlegung des Intervalls in Teilintervalle mit dem Feinheitsmaß

.

Zu dieser Zerlegung konstruieren wir nun den Euler-Cauchyschen Polygonzug

wie folgt: Auf dem Intervall definieren wir

und wir berechnen

.

Somit folgt

(9) für .

Auf dem Intervall definieren wir

und wir berechnen

.

Wir schätzen nun wie folgt ab

(10)

Wir führen nun das Verfahren fort und enden mit

.

Wir berechnen

und schätzen nun wie folgt ab:

(11)

Schließlich erklären wir noch die stückweise konstante Funktion

(12) .

2. Wir betrachten nun die Funktionenfamilie

(13) .

Wie in Teil 1. zeigt man, dass für jedes die Abschätzung

(14) für alle mit

richtig ist. Somit ist eine gleichmäßig beschränkte, gleichgradig stetige Funktionenklasse. Auf Grund von Satz 2 können wir nun eine Zerlegungsfolge vom Intervall mit dem Feinheitsmaß

(15) für

finden, so dass für die zugehörigen Euler-Cauchyschen Polygonzüge

(16)

folgendes gilt: Die Funktionenfolge konvergiert auf dem Intervall gleichmäßig gegen die stetige Funktion

.

Die zugehörigen Treppenfunktionen bezeichnen wir mit

.

3. Beachten wir nun die Eigenschaften (14) und (15), so konvergiert die Folge von Treppenfunktionen

(17) gleichmäßig auf dem Intervall für .

Auf Grund der gleichmäßigen Stetigkeit der Funktionen für folgt die gleichmäßige Konvergenz von

(18) .

Mit einem Konvergenzsatz für Riemannsche Integrale (siehe Satz 2 aus §5 in Kapitel V) erhalten wir die Identität

(19)

für alle . Der Satz 1 liefert nun die Behauptung.

q.e.d.

Beispiel 1: Mehrdeutigkeit beim Anfangswertproblem[Bearbeiten]

Das Anfangswertproblem

(20)

hat für die Lösungen

(21)

und

(22) .