Kurs:Analysis II/Kapitel VI: Gewöhnliche Differentialgleichungen/Differenzierbare Abhängigkeit von den Anfangswerten (§6)

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Voraussetzung (c):[Bearbeiten]

Seien die stetigen Funktionen

mit in

für auf dem Rechteck gegeben. Deren folgende partielle Ableitungen

für

existieren und dort stetig sind.

Bemerkung[Bearbeiten]

Die Menge ist kompakt und konvex und somit liefert der Mittelwertsatz der Differentialrechnung eine Lipschitzbedingung gemäß Voraussetzung (b) mit

als Lipschitzkonstante.

Wir wählen nun die Anfangswerte

(1)

Wir betrachten die zugehörigen Lösungen (2) und (3) der Anfangswertprobleme aus §5 und wir untersuchen die Differenzenquotienten

(2)

Wir verwenden die äquivalenten Integralgleichungssysteme (4) sowie (5) aus §5 und wir erhalten die folgende Integralgleichung für die Differenzenquotienten

(3)

Hierbei erfüllen die Zwischenwerte die Bedingung für . Die Koeffizienten

(4)

besitzen den Grenzwert

(5)

für . Wir haben also das lineare, parameterabhängige System

(6)

mit den Koeffizientenfunktionen (4) unter der asymptotischen Bedingung (5) zu studieren.

Zunächst zeigen wir, dass die Lösungen der Integralgleichung (6) gleichmäßig beschränkt sind. Hierzu formen wir diese um in die Gestalt

(7)

Dann betrachten wir für die Hilfsfunktion

(8)

und entnehmen (7) die folgenden Integralungleichungen:

(9) für alle .

Das Gronwallsche Lemma impliziert die Abschätzung

(10) für alle und .

Somit sind die Lösungen von (6) gleichmäßig beschränkt.

Wir vergleichen jetzt die Lösungen von (6) zu zwei verschiedenen Parametern und erhalten für die Identität

(11)

Nun genügen für die Funktionen

(12)

wegen (11) Integralungleichungen der Form

(13) .

Nach (10) sind nämlich die Funktionen gleichmäßig beschränkt und zusammen mit der asymptotischen Bedingung (5) erhalten wir

(14) .

Wenden wir nun das Gronwallsche Lemma auf die Ungleichung (13) an, so existieren für die Limites

(15) .

Hierbei fassen wir als Funktion ihrer Anfangswerte auf. Wir erklären nun die Matrix

(16) .

Dann erhalten wir beim Grenzübergang in (6) das folgende Integralgleichungssystem

(17) für und ,

worin der Anfangswert als Parameter auftritt. Da nach Satz 2 aus §5 die Lösung bereits stetig von den Anfangswerten abhängt, sind die Koeffizienten in (16) und (17) stetig von diesen Daten abhängig. Wie wir oben für den Differenzenquotienten gezeigt haben, so beweisen wir genauso für die Funktionen als Lösungen der Integralgleichung (17) mit dem Gronwallschen Lemma, dass sie gleichmäßig beschränkt auf ihrem Definitionsintervall sind und stetig von den Anfangswerten abhängen.

Satz 1 (Differenzierbare Abhängigkeit von den Anfangswerten)[Bearbeiten]

Unter der Voraussetzung (c) hängt die Lösung des Differentialgleichungssystems (2) aus §5 einmal stetig differenzierbar von den Anfangswerten ab.

Voraussetzung (d):[Bearbeiten]

Seien die stetigen Funktionen

mit in

für auf dem Rechteck gegeben. Deren folgende zweite partielle Ableitungen

für

existieren und sind dort stetig.

Wir vergleichen jetzt die Lösung des Systems (17) zum Parameter mit derjenigen zum verschobenen Parametervektor

(18) und

für ein beliebiges . Dann definieren wir – parallel zu (2) – für die Differenzenquotienten

(19) mit .

Aus (17) erhalten wir für die Integralgleichungen

(20)

mit dem Parameter . Wegen der Voraussetzung (d) und der Setzung (16) können wir die in (20) auftretenden Differenzenquotienten über die Kettenregel mit gewissen Zwischenwerten wie folgt angeben:

(21)

Somit sind diese Differenzenquotienten beschränkt auf ihrem Definitionsintervall und wir berechnen für alle ihre Grenzwerte

(22) .

Wir definieren nun für die beschränkten Funktionen

(23)

und die Integralgleichungen (20) verwandeln sich in

(24)

Wie oben sehen wir mit dem Gronwallschen Lemma leicht ein, dass die Lösungen der Integralgleichungen (24) gleichmäßig beschränkt sind und für die folgenden Grenzwerte existieren:

(25) .

Wir können jetzt in den Integralgleichungen (24) mit Hilfe von (22) sowie (23) den Grenzübergang vollziehen. Mit erhalten wir die Integralgleichungen des Tensors der zweiten Ableitungen

(26)

Wir haben in (26) ein inhomogenes, lineares System mit 0 Anfangsbedingungen vor uns, worin die rechte Seite stetig vom Parameter abhängt. Wir ziehen die Integralgleichungen für einen festen Anfangswert ab von derjenigen für einen benachbarten Anfangswert und erhalten

(27)

Für betrachten wir die Hilfsfunktion

(28) .

Dann leiten wir aus (27) eine Differentialungleichung der Form

(29)

her; dabei ist eine Konstante und die Größe besitzt die asymptotische Eigenschaft für . Mit dem Gronwallschen Lemma zeigen wir nun, dass gleichmäßig auf dem Intervall für erfüllt ist. Somit ist der Tensor der zweiten Ableitungen stetig von den Anfangswerten abhängig.

Satz 2 (-Abhängigkeit von den Anfangswerten)[Bearbeiten]

Unter der Voraussetzung (d) hängt die Lösung des Differentialgleichungssystems (2) aus §5 zweimal stetig differenzierbar von den Anfangswerten ab.

Satz 3 (Existenz des integrierenden Faktors)[Bearbeiten]

Auf der Umgebung des Punktes schreiben wir die Funktionen und der Klasse mit der Eigenschaft
vor. Dann gibt es eine Umgebung von und Funktionen
sowie
,
so dass folgendes gilt:
(30) und in .
Wir erhalten also mit einen Eulerschen Multiplikator der regulären, ebenen Differentialgleichung
in .

Beweis[Bearbeiten]

Wir können ohne Einschränkung in annehmen. Dann transformieren wir

in die explizite Differentialgleichung

(31) .

Nun gehören zur Klasse und erfüllt insbesondere eine Lipschitzbedingung. Für ein hinreichen klein gewähltes lösen wir für alle Parameter das parameterabhängige Anfangswertproblem

(32) mit .

Auf dem Rechteck

betrachten wir die Transformation

(33) .

Wegen der Eigenschaft gehört sie zur Klasse und erfüllt die Bedingung

(34) .

Nach dem Fundamentalsatz über die inverse Abbildung existiert die Umkehrabbildung auf einer gewissen Umgebung von , nämlich

.

Wir setzen

(35) mit .

Nach Konstruktion ist klar, dass die Niveaulinien die Differentialgleichung lösen. Da senkrecht auf den Niveaulinien steht, folgt die Identität

(36) in

mit einer Funktion

q.e.d.