Kurs:Analysis II/Kapitel VI: Gewöhnliche Differentialgleichungen/Eindeutigkeit und sukzessive Approximation (§5)

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Voraussetzung (b):[Bearbeiten]

Seien die Zahl und der Vektor mit vorgegeben. Zu den festen positiven Konstanten betrachten wir wiederum das Rechteck

.

Hierauf sind die beschränkten, stetigen Funktionen

mit in

für mit der Schranke gegeben. Weiter gebe es eine Lipschitz-Konstante , so dass die Ungleichung

(1)

erfüllt ist. Wir fordern also, dass die Funktionen in den Variablen einer Lipschitz-Bedingung genügen.

Auf dem Existenzintervall mit hinreichend kleinem betrachten wir die Lösungen der Anfangswertprobleme

(2)

sowie

(3)

zu den Anfangswerten bzw. . Um diese beiden Lösungen und mit einander zu vergleichen, betrachten wir die äquivalenten Integralgleichungssysteme

(4)

bzw.

(5) .

Wir ziehen nun diese beiden Gleichungen voneinander ab und erhalten

(6)

Die Lipschitz-Bedingung liefert

(7)

Wir führen nun die Hilfsfunktion

(8)

sowie die Hilfsgröße

(9)

ein. Wir entnehmen dann (7) die Abschätzung

(10)

Summation von liefert schließlich die Ungleichung

(11) für alle .

Satz 1 (Gronwallsches Lemma)[Bearbeiten]

Die stetige Funktion genüge der Integralungleichung
für alle
mit Konstanten und . Dann gilt für alle die Abschätzung
.

Beweis[Bearbeiten]

Wir setzen und zeigen durch vollständige Induktion

.

Aus der Integralungleichung erhalten wir nämlich

für alle ,

so dass der Fall gesichert ist. Gilt nun obige Abschätzung für ein , so finden wir

.

Da nun

richtig ist, folgt durch Grenzübergang in obiger Abschätzung

.

q.e.d.

Satz 2 (Eindeutigkeit und Stabilität)[Bearbeiten]

Unter der Voraussetzung (b) lösen die Funktionen und für die Anfangswertprobleme (2) bzw. (3). Dann gilt für die assoziierten Funktionen aus (8) und (9) die Ungleichung
für alle .
Somit stimmen die Lösungen bei gleichen Anfangswerten überein und sie hängen überdies stetig von diesen Anfangswerten ab.

Unter der Voraussetzung (b) erklären wir die Größe

und erhalten nach dem Peanoschen Existenzsatz genau eine Lösung des Anfangswertproblems (2). Unter Verwendung der Lipschitzbedingung werden wir diese mit dem Verfahren der sukzessiven Approximation von Picard und Lindelöf auf ganz anderem Wege konstruieren. Wir setzen

(12) für

und konstruieren die Funktionenfolge

(13)

wie folgt:

(14) und für .

Hilfssatz 1[Bearbeiten]

Es gilt für alle und .

Beweis[Bearbeiten]


für alle und .

Somit folgt die Behauptung.

q.e.d.

Wir betrachten nun die Funktionenfolge

für .

Hilfssatz 2[Bearbeiten]

Es gilt
für alle und .

Beweis[Bearbeiten]

Wir sehen für ein und erhalten für alle .
Wir ermitteln

für . Wir erhalten dann

für alle .

q.e.d.

Die Funktionenreihe

hat somit die konvergente Majorante

Satz 3 (Sukzessive Approximation nach Picard und Lindelöf)[Bearbeiten]

Unter der Voraussetzung (b) konvergiert die in (14) definierte Funktionenfolge
für
gleichmäßig auf dem Intervall gegen eine Lösung
des Anfangswertproblems (2).

Beweis[Bearbeiten]

Es gilt

.

Wir vollziehen den Grenzübergang in der Integralgleichung (14) und erhalten

.

q.e.d.