Kurs:Analysis II/Kapitel VI: Gewöhnliche Differentialgleichungen/Elementar integrierbare Differentialgleichungen erster Ordnung (§3)

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Beispiel 1: Differentialgleichungen mit getrennten Variablen[Bearbeiten]

Wir betrachten die Differentialgleichung

(1) mit und

mit den stetigen Koeffizientenfunktionen . Mit Hilfe des integrierenden Faktors

erhalten wir die exakte Differentialgleichung

(2) .

Die Stammfunktion erhalten wir dann durch Integration nämlich

(3) .

Die implizite Form der Lösung wird durch die Niveaulinien

dargestellt.

Beispiel 2: Ähnlichkeitsdifferentialgleichungen[Bearbeiten]

Wir betrachten Differentialgleichungen des Typs

(4)

mit der stetigen Funktion . Diese bringen wir in die Form

(5) .

Wir verwenden die Substitution

und erhalten die Differentialgleichung

(6)

bzw.

(7) .

Nun ist

ein integrierender Faktor und die Differentialgleichung

(8)

wird exakt. Letztere können wir gemäß Beispiel 1 lösen. Schließlich ist

(9)

ein integrierender Faktor der ursprünglichen Differentialgleichung (5).

Definition 1[Bearbeiten]

Eine Funktion heißt homogen vom Grade , wenn für alle und alle Punkte die Beziehung
erfüllt ist.

Beispiel 3: Homogene Differentialgleichungen[Bearbeiten]

Sei nun die Differentialgleichung

(10)

gegeben. Falls und gilt, ist diese Differentialgleichung äquivalent zu

bzw.

.

Gemäß Beispiel 2 haben wir den integrierenden Faktor

für unsere Differentialgleichung

.

Folglich ist die Differentialgleichung

exakt. Wir erhalten mit

(11)

einen integrierenden Faktor der homogenen Differentialgleichung (10).

Beispiel 4: Differentialgleichungen der Form [Bearbeiten]

Dabei sind reelle Koeffizienten. Wir betrachten die folgenden beiden Möglichkeiten:

1. Fall:[Bearbeiten]
(12) .

Es existiert nun ein Punkt , der das eindeutig lösbare Gleichungssystem

(13)

löst. Aus (13) folgt mit den neuen Variablen das System

(14)

Wir erhalten die Differentialgleichung

(15) ,

welche sich gemäß Beispiel 2 lösen lässt.

2. Fall[Bearbeiten]
(16) .

Insofern erfüllt ist, erhalten wir die sofort integrierbare Differentialgleichung

.

Sei anderenfalls o. B. d. A. richtig und wir erhalten . Dieses liefert die Identitäten

(17)

Mit der Substitution erhalten wir die Differentialgleichung

(18) .

Wir erhalten die Gleichung , die wir gemäß integrieren.

Beispiel 5: Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung[Bearbeiten]

Wir betrachten die Differentialgleichung

(19) mit stetigen Koeffizienten und .

Wir geben zwei Methoden zu ihrer Lösung an.

1. Methode: Integrierender Faktor[Bearbeiten]

Wir schreiben die Differentialgleichung in die Form

(20) mit und .

Mit dem integrierenden Faktor

wollen wir die Differentialgleichung (20) exakt machen. Somit erfüllt die Bedingung

und wir erhalten

sowie .

Die Differentialgleichung

(21)

ist dann exakt. Wir suchen nun eine Stammfunktion , welche folgende Gleichungen erfüllt:

(22) und .

Hier integrieren wir zunächst die zweite Gleichung und erhalten

mit der unbestimmten Funktion . Mit Hilfe der ersten Gleichung in (22) ermitteln wir

und schließlich

.

Wir erhalten mit

(23)

eine Stammfunktion der Differentialgleichung (21). Die Gesamtheit der Lösungen erhalten wir als Niveaulinien wie folgt

(24) ,

mit einer Konstante . Dabei stellt der erste Summand auf der rechten Seite die allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung

dar, während der zweite Summand eine partikuläre Lösung der inhomogenen Differentialgleichung

angibt.

2. Methode: Variation der Konstanten[Bearbeiten]

Wir betrachten zunächst die homogene Differentialgleichung

(25) ,

die wir in

umformen und gemäß

integrieren. Wir erhalten die allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung (25) wie oben in der Gestalt

(26) mit und beliebigem .

Zur Lösung der inhomogenen Gleichung

(27)

machen wir den Ansatz der Variation der Konstanten

mit der Funktion .

Wir ermitteln

(28)

bzw.

und schließlich

.

Mit

(29)

erhalten wir eine partikuläre Lösung der inhomogenen Differentialgleichung (27). Nun stellt

einen linearen Differentialoperator erster Ordnung dar, d. h.

für alle und .

Die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung (27) erhalten wir durch Superposition wie folgt

(30) mit beliebigem .

Satz 1 (Einfachverhältnis)[Bearbeiten]

Sind – mit – drei Lösungen der inhomogenen Differentialgleichung (27), so ist das Einfachverhältnis
in diesem Sinne konstant.

Beweis[Bearbeiten]

Für die drei Lösungen gilt die Darstellung

mit den Konstanten .

Somit folgt

.

Beispiel 6: Die Bernoullische Differentialgleichung[Bearbeiten]

Wir betrachten nun die Bernoullische Differentialgleichung

(31) mit dem Exponenten .

Im Falle stellt dies eine inhomogene lineare Differentialgleichung dar, während wir im Falle eine homogene lineare Differentialgleichung erhalten. Ist nun erfüllt, so können wir die Differentialgleichung (31) mittels einer nichtlinearen Transformation auf eine lineare Differentialgleichung zurückführen. Hierzu multiplizieren wir (31) mit der Funktion und erhalten

(32) .

Wir verwenden nun die Substitution

und erhalten mit

(33)

eine lineare Differentialgleichung für . Deren Lösung können wir gemäß Beispiel 5 ermitteln und führen schließlich eine Resubstitution durch.

Beispiel 7: Die Riccatische Differentialgleichung[Bearbeiten]

Zum Abschluss dieses Paragraphen betrachten wir die folgende Differentialgleichung

(34) mit stetigen .

Diese Riccatische Differentialgleichung reduziert sich für auf eine lineare und für auf eine Bernoullische Differentialgleichung, welche über die Substitution

wiederum auf eine lineare Differentialgleichung führt. Haben wir bereits eine partikuläre Lösung der Riccatischen Differentialgleichung (34) gefunden, so ermitteln wir alle weiteren Lösungen mit dem folgenden Ansatz

.

Wir berechnen

(35)

Somit genügt einer Bernoullischen Differentialgleichung; die Riccatische Differentialgleichung (34) wird also lösbar, sofern wir bereits eine partikuläre kennen.

Satz 2 (Doppelverhältnis)[Bearbeiten]

Sind – mit – vier paarweise verschiedene Lösungen der Riccatischen Differentialgleichung (34), so ist das Doppelverhältnis
in diesem Sinne konstant.

Beweis[Bearbeiten]

Wir erhalten mit den Funktionen

drei paarweise verschiedene Lösungen der zugehörigen linearen Differentialgleichung. Satz 1 liefert die gesuchte Identität

(36) .

q.e.d.