Kurs:Analysis II/Kapitel VI: Gewöhnliche Differentialgleichungen/Exakte Differentialgleichungen (§2)

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Definition 1[Bearbeiten]

In einer offenen Umgebung eines Punktes seien die Funktionen und der Klasse mit der Eigenschaft
(1) für alle Punkte
gegeben. Unter der Lösung einer regulären Differentialgleichung
(2) für alle Punkte
verstehen wir eine reguläre Kurve
auf dem Intervall der Klasse , welche die Gleichung
(3) für alle Parameter
erfüllt; dabei ist richtig.

Bemerkungen[Bearbeiten]

1. Das Lösen der Differentialgleichung (2) bedeutet also, reguläre Kurven

so zu finden, dass ihr Tangentialvektor

orthogonal zum vorgegebenem Vektorfeld im Punkt steht.
2. Nach eventueller Drehung der -Ebene können wir die Lösungskurve lokal in der Form

darstellen. Wir erhalten dann die Differentialgleichung

für alle .

Falls erfüllt ist, erscheint letztere äquivalent zur folgenden expliziten Differentialgleichung erster Ordnung

(4) .

3. Auch wenn die Lösungskurve nicht als Graph über der -Ebene darstellbar ist, behält die Differentialgleichung (2) ihre Bedeutung.

Definition 2[Bearbeiten]

Ist in einem Punkt die Gleichung
erfüllt, so nennen wir einen singulären Punkt der Differentialgleichung (2).

Definition 3[Bearbeiten]

Die reguläre Differentialgleichung (2)
in
heißt exakt, wenn das Vektorfeld
auf der offenen Menge eine Stammfunktion der Klasse mit der Eigenschaft
in
besitzt. Dann gilt also
(5) und für alle .

Satz 1[Bearbeiten]

Sei die reguläre, exakte Differentialgleichung (2) in der offenen Menge mit der Stammfunktion gegeben. Dann ist die reguläre Kurve
auf dem Intervall der Klasse eine Lösung der Differentialgleichung genau dann, wenn
für alle
gilt.

Beweis[Bearbeiten]

1. Sei auf dem Intervall eine Lösung der Differentialgleichung (2). Dann folgt

Also folgt

für alle .

2. Sei

für alle

erfüllt. Dann erhalten wir durch Differentiation

.

Somit löst die Differentialgleichung (2).

q.e.d.

Satz 2 (Integrabilitätsbedingung)[Bearbeiten]

Seien der Punkt und das Rechteck
mit den halben Kantenlängen gegeben. Weiter sei die reguläre Differentialgleichung
für alle
auf diesem Rechteck erklärt. Dann ist diese Differentialgleichung genau dann exakt, wenn die Integrabilitätsbedingung
(6) in
erfüllt ist.

Beweis[Bearbeiten]

1. Sei die Funktion (2) exakt in . Gemäß Definition 3 existiert dann eine Stammfunktion der Klasse mit der Eigenschaft

und für alle

Wir erhalten die Identität

für alle

und somit

für alle .

2. Sei in erfüllt. Wir erklären nun die Funktion

für alle .

Wir differenzieren dann nach der oberen Grenze und erhalten

in .

Weiter gilt

in .

Damit folgt und

in .

3. Wir berechnen nun noch

.

Unter Beachtung des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung folgt mit einem Zwischenwert für jedes die Identität

.

Da gleichmäßig auf dem Intervall für gegen die Funktion konvergiert, kann nach Satz 2 aus Kapitel V, §6 die Integration mit dem Limes vertauscht werden.

q.e.d.

Bemerkungen[Bearbeiten]

1. Wir haben die Stammfunktion durch Integration über einen bestimmten rechteckigen Weg erhalten. Wir erhalten auch eine Stammfunktion durch die folgende Integration:

.

Wenn wir die Theorie der Kurvenintegrale zur Hilfe nehmen, kann man die Stammfunktion auch durch Integration über einen beliebigen Weg in vom Punkt zum Punkt berechnen. Dann kann man Satz 2 auch auf beliebige einfach zusammenhängende Gebiete verallgemeinern. Wir können die nichtlinearen Gleichungen aber nur lokal lösen und somit reichen Rechtecke hier aus!
2. Die Stammfunktion ist bis auf eine Konstante bestimmt.
3. Man berechnet die Stammfunktion durch unbestimmte Integration wie folgt: Wir integrieren die erste Gleichung in (5) und erhalten

.

Dann bestimmen wir mit der zweiten Gleichung die Funktion aus der Identität

.

Entsprechend können wir zunächst die zweite Gleichung in (5) integrieren und dann die erste heranziehen.

Wir betrachten nun auf dem Rechteck beliebige reguläre Differentialgleichungen der Gestalt

(7) für alle .

Auch wenn diese Differentialgleichung nicht exakt ist, erwarten wir anschaulich, dass sie in einem hinreichend kleinen Rechteck um den Punkt eine Lösung besitzt. Wir multiplizieren (7) mit einer nullstellenfreien Funktion

der Klasse

und erhalten die Differentialgleichung

(8) für alle .

Offensichtlich haben die Probleme (7) und (8) die gleichen Lösungskurven. Falls (7) keine exakte Differentialgleichung darstellt, wollen wir nun den Multiplikator so wählen, dass die Differentialgleichung (8) exakt wird.

Definition 4[Bearbeiten]

Die Funktion
mit für alle
heißt Eulerscher Multiplikator oder integrierender Faktor der Differentialgleichung (7), falls die Differentialgleichung (8) exakt ist. Auf dem Rechteck gilt dann die Beziehung
(9)
bzw.
(10) .

Beispiel 1: Multiplikator der Form [Bearbeiten]

In diesem Spezialfall wird aus (9) die homogene, lineare, gewöhnliche Differentialgleichung

,

die folgendermaßen gelöst werden kann: Wir integrieren die Identität

und erhalten

bzw.

.

Entsprechend finden wir einen Multiplikator der Form , falls dieser existiert.