- In einer offenen Umgebung
eines Punktes
seien die Funktionen
und
der Klasse
mit der Eigenschaft
(1)
für alle Punkte 
- gegeben. Unter der Lösung einer regulären Differentialgleichung
(2)
für alle Punkte 
- verstehen wir eine reguläre Kurve

- auf dem Intervall
der Klasse
, welche die Gleichung
(3)
für alle Parameter 
- erfüllt; dabei ist
richtig.
1. Das Lösen der Differentialgleichung (2) bedeutet also, reguläre Kurven

so zu finden, dass ihr Tangentialvektor

orthogonal zum vorgegebenem Vektorfeld
im Punkt
steht.
2. Nach eventueller Drehung der
-Ebene können wir die Lösungskurve lokal in der Form
![{\displaystyle X(x)=(x,y(x)),\quad x\in [x^{-},x^{+}]:=I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14e0bad36738799f1b3bd3df217e698f972ecea9)
darstellen. Wir erhalten dann die Differentialgleichung

für alle

.
Falls
erfüllt ist, erscheint letztere äquivalent zur folgenden expliziten Differentialgleichung erster Ordnung
(4)

.
3. Auch wenn die Lösungskurve nicht als Graph über der
-Ebene darstellbar ist, behält die Differentialgleichung (2) ihre Bedeutung.
- Ist in einem Punkt
die Gleichung

- erfüllt, so nennen wir
einen singulären Punkt der Differentialgleichung (2).
- Die reguläre Differentialgleichung (2)
in 
- heißt exakt, wenn das Vektorfeld

- auf der offenen Menge
eine Stammfunktion
der Klasse
mit der Eigenschaft
in 
- besitzt. Dann gilt also
(5)
und
für alle
.
- Sei die reguläre, exakte Differentialgleichung (2) in der offenen Menge
mit der Stammfunktion
gegeben. Dann ist die reguläre Kurve

- auf dem Intervall
der Klasse
eine Lösung der Differentialgleichung genau dann, wenn
für alle 
- gilt.
1. Sei
auf dem Intervall
eine Lösung der Differentialgleichung (2). Dann folgt

Also folgt

für alle

.
2. Sei

für alle

erfüllt. Dann erhalten wir durch Differentiation

.
Somit löst
die Differentialgleichung (2).
q.e.d.
Satz 2 (Integrabilitätsbedingung)[Bearbeiten]
- Seien der Punkt
und das Rechteck

- mit den halben Kantenlängen
gegeben. Weiter sei die reguläre Differentialgleichung
für alle 
- auf diesem Rechteck erklärt. Dann ist diese Differentialgleichung genau dann exakt, wenn die Integrabilitätsbedingung
(6)
in 
- erfüllt ist.
1. Sei die Funktion (2) exakt in
. Gemäß Definition 3 existiert dann eine Stammfunktion
der Klasse
mit der Eigenschaft

und

für alle

Wir erhalten die Identität

für alle

und somit

für alle

.
2. Sei
in
erfüllt. Wir erklären nun die Funktion

für alle

.
Wir differenzieren dann nach der oberen Grenze und erhalten


in

.
Weiter gilt

in

.
Damit folgt
und

in

.
3. Wir berechnen nun noch

![{\displaystyle =\lim _{\varepsilon \to 0}\left\{{\frac {1}{\varepsilon }}\int _{y_{0}}^{y}[Q(x+\varepsilon ,t)-Q(x,t)]\,dt\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70c578032fcbabae8591a1e7e7d5815dd8c6b155)
.
Unter Beachtung des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung folgt mit einem Zwischenwert
für jedes
die Identität


.
Da
gleichmäßig auf dem Intervall
für
gegen die Funktion
konvergiert, kann nach Satz 2 aus Kapitel V, §6 die Integration mit dem Limes vertauscht werden.
q.e.d.
1. Wir haben die Stammfunktion
durch Integration über einen bestimmten rechteckigen Weg erhalten. Wir erhalten auch eine Stammfunktion durch die folgende Integration:

.
Wenn wir die Theorie der Kurvenintegrale zur Hilfe nehmen, kann man die Stammfunktion auch durch Integration über einen beliebigen Weg in
vom Punkt
zum Punkt
berechnen. Dann kann man Satz 2 auch auf beliebige einfach zusammenhängende Gebiete verallgemeinern. Wir können die nichtlinearen Gleichungen aber nur lokal lösen und somit reichen Rechtecke hier aus!
2. Die Stammfunktion
ist bis auf eine Konstante bestimmt.
3. Man berechnet die Stammfunktion durch unbestimmte Integration wie folgt: Wir integrieren die erste Gleichung in (5) und erhalten

.
Dann bestimmen wir mit der zweiten Gleichung die Funktion
aus der Identität

.
Entsprechend können wir zunächst die zweite Gleichung in (5) integrieren und dann die erste heranziehen.
Wir betrachten nun auf dem Rechteck
beliebige reguläre Differentialgleichungen der Gestalt
(7)

für alle

.
Auch wenn diese Differentialgleichung nicht exakt ist, erwarten wir anschaulich, dass sie in einem hinreichend kleinen Rechteck um den Punkt
eine Lösung besitzt. Wir multiplizieren (7) mit einer nullstellenfreien Funktion

der Klasse

und erhalten die Differentialgleichung
(8)

für alle

.
Offensichtlich haben die Probleme (7) und (8) die gleichen Lösungskurven. Falls (7) keine exakte Differentialgleichung darstellt, wollen wir nun den Multiplikator so wählen, dass die Differentialgleichung (8) exakt wird.
- Die Funktion
mit
für alle 
- heißt Eulerscher Multiplikator oder integrierender Faktor der Differentialgleichung (7), falls die Differentialgleichung (8) exakt ist. Auf dem Rechteck
gilt dann die Beziehung
(9)
![{\displaystyle 0=[M(x,y)P(x,y)]_{y}-[M(x,y)Q(x,y)]_{x}=M_{y}P-M_{x}Q+M(P_{y}-Q_{x})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/384ba190d0c370a66509c95c57478b111f325f4b)
- bzw.
(10)
![{\displaystyle 0={\frac {M_{x}}{M}}Q-{\frac {M_{y}}{M}}P+(Q_{x}-P_{y})=[\log M(x,y)]_{x}Q-[\log M(x,y)]_{y}P+(Q_{x}-P_{y})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a3647fa3cf2f51bd2bed6f8a5d1fcc655736a48)
.
Beispiel 1: Multiplikator der Form
[Bearbeiten]
In diesem Spezialfall wird aus (9) die homogene, lineare, gewöhnliche Differentialgleichung

,
die folgendermaßen gelöst werden kann: Wir integrieren die Identität
![{\displaystyle [\log M(x)]_{x}={\frac {M_{x}}{M}}={\frac {P_{y}-Q_{x}}{Q}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed8615a20b82c228cc80e857e35393661464f893)
und erhalten

bzw.

.
Entsprechend finden wir einen Multiplikator der Form
, falls dieser existiert.