Kurs:Analysis III/Kapitel I: Differentiation und Integration auf Mannigfaltigkeiten/§1 Der Weierstraßsche Approximationssatz

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Satz 1 (Weierstraßscher Approximationssatz)[Bearbeiten]

Seien eine offene Menge und mit . Dann gibt es eine Folge von Polynomen mit komplexen Koeffizienten vom Grad
derart, dass die Relationen
für
gleichmäßig auf jeder kompakten Menge erfüllt sind.

Beweis[Bearbeiten]

Wir betrachten eine Folge beschränkter, offener Mengen, die ausschöpft. Dabei gelte für alle . Mit Hilfe der Zerlegung der Eins konstruieren wir eine Folge von Funktionen mit und auf für . Wir betrachten dann die Funktionenfolge

mit den folgenden Eigenschaften:

und .

Da beschränkt ist, gibt es nun zu jedem ein Polynom mit

.

Für eine beliebige kompakte Menge gibt es ein , so dass für alle richtig ist. Somit folgt

.

Im Grenzfall erhalten wir schließlich

für alle und alle kompakten Teilmengen .

q.e.d.

Satz 2 (Tietzescher Ergänzungssatz)[Bearbeiten]

Sei eine kompakte Menge und eine auf stetige Funktion. Dann gibt es eine Erweiterung von auf den ganzen , d. h. es gibt eine Funktion mit
für alle .

Beweis[Bearbeiten]

1. Für erklären wir die Funktion

welche die Distanz eines Punktes zur Menge misst. Da kompakt ist, gibt es zu jedem ein mit

.

Sind nun , so folgt für mit die Ungleichung

.

Durch Vertauschen von und erhält man eine analoge Ungleichung, so dass

für alle

folgt. Insbesondere ist also eine stetige Funktion.

2. Für betrachten wir die Funktion

.

Für festes ist die Funktion im nach obigen Betrachtungen stetig. Weiter haben wir sowie

für und für .

3. Sei nun eine in dichte Punktfolge. Da beschränkt ist, konvergieren die Reihen

und

gleichmäßig für alle und stellen dort stetige Funktionen in dar. Ferner wird

für ,

denn zu jedem gibt es mindestens ein mit . Somit ist die Funktion

stetig. Hierbei haben wir

für

gesetzt. Auf gilt weiterhin

.

4. Wir erklären nun die Funktion

.

Wir haben nur noch die Stetigkeit von auf zu zeigen. Für und gilt die Abschätzung

Da gleichmäßig stetig ist, folgt j

für und .

q.e.d.

Satz 3 (Zerlegung der Eins)[Bearbeiten]

Es sei eine kompakte Menge und zu jedem Punkt bezeichne eine offene Menge mit . Wir können dann endlich – genauer – viele Punkte auswählen, so dass die Überdeckungseigenschaft
gilt. Weiter finden wir Funktionen
für ,
so dass die Funktion die folgenden Eigenschaften hat:
(a) Wir haben ;
(b) Für alle gilt ;
(c) Für alle ist richtig.

Beweis[Bearbeiten]

1.) Da kompakt ist, gibt es ein mit . Zu jedem wählen wir nun eine offene Kugel vom Radius derart, dass

für und für

erfüllt ist. Das Mengensystem liefert dann eine offene Überdeckung der kompakten Menge . Nach dem Heine-Borelschen Überdeckungssatz genügen dafür endlich viele offene Mengen, sagen wir

.

Hierbei haben wir für sowie für gewählt und gesetzt – mit gewissen natürlichen Zahlen sowie . Mit den assoziierten Glättungsfunktionen aus (5) betrachten wir nun die nicht negativen Funktionen

der Regularitätsklasse für bzw. für . Ferner erklären wir die Funktion , wobei in (4) definiert wurde. Offenbar erhalten wir dann die Positivität für alle .

2.) Wir erklären nun die Funktionen vermöge

(9) für .

Dabei gehören die Funktionen und für jeweils der gleichen Regularitätsklasse an. Zusätzlich gilt

für alle .

Die Eigenschaften (a), (b) und (c) der Funktion liest man direkt von der obigen Konstruktion ab.

Definition 1[Bearbeiten]

Die Funktionen aus Satz 3 nennen wir eine der offenen Überdeckung von untergeordnete Zerlegung der Eins.