Kurs:Analysis III/Kapitel I: Differentiation und Integration auf Mannigfaltigkeiten/§1 Der Weierstraßsche Approximationssatz

Satz 1 (Weierstraßscher Approximationssatz)

Seien $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Menge und $f(x)\in C^{k}(\Omega ,\mathbb {C} )$ mit $k\in \mathbb {N} _{0}$. Dann gibt es eine Folge von Polynomen mit komplexen Koeffizienten vom Grad $N(m)\in \mathbb {N} _{0}$

$f_{m}(x)=\sum _{j_{1},\ldots ,j_{n}=0}^{N(m)}c_{j_{1}\ldots j_{n}}^{(m)}x_{1}^{j_{1}}\cdot \ldots \cdot x_{n}^{j_{n}},\quad x\in \mathbb {R} ^{n},\quad m=1,2,\ldots$

derart, dass die Relationen

$D^{\alpha }f_{m}(x)\to D^{\alpha }f(x)$ für $m\to \infty ,\quad |\alpha |\leq k$

gleichmäßig auf jeder kompakten Menge $C\subset \Omega$ erfüllt sind.

Beweis

Wir betrachten eine Folge $\Omega _{1}\subset \Omega _{2}\subset \ldots \subset \Omega$ beschränkter, offener Mengen, die $\Omega$ ausschöpft. Dabei gelte ${\overline {\Omega }}_{j}\subset \Omega _{j+1}$ für alle $j$. Mit Hilfe der Zerlegung der Eins konstruieren wir eine Folge von Funktionen $\phi _{j}(x)\in C_{0}^{\infty }$ mit $0\leq \phi _{j}(x)\leq 1,x\in \Omega$ und $\phi _{j}(x)=1$ auf ${\overline {\Omega }}_{j}$ für $j=1,2,\ldots$. Wir betrachten dann die Funktionenfolge

$f_{j}(x):=\left\{{\begin{matrix}f(x)\phi _{j}(x),&x\in \Omega \\0,&x\in \mathbb {R} \setminus \Omega \end{matrix}}\right.$

mit den folgenden Eigenschaften:

$f_{j}(x)\in C_{0}^{k}(\mathbb {R} ^{n})$ und $D^{\alpha }f_{j}(x)=D^{\alpha }f(x),\quad x\in \Omega _{j},\quad |\alpha |\leq k$.

Da $\Omega _{j}$ beschränkt ist, gibt es nun zu jedem $f_{j}(x)$ ein Polynom $p_{j}(x)$ mit

$\sup _{x\in \Omega _{j}}|D^{\alpha }p_{j}(x)-D^{\alpha }f_{j}(x)|=\sup _{x\in \Omega _{j}}|D^{\alpha }p_{j}(x)-D^{\alpha }f(x)|\leq {\frac {1}{j}},\quad |\alpha |\leq k$.

Für eine beliebige kompakte Menge $C\subset \Omega$ gibt es ein $j_{0}=j_{0}(C)\in \mathbb {N}$, so dass $C\subset \Omega _{j}$für alle $j\geq j_{0}(C)$ richtig ist. Somit folgt

$\sup _{x\in C}|D^{\alpha }p_{j}(x)-D^{\alpha }f(x)|\leq {\frac {1}{j}},\quad |\alpha |\leq k,\quad j\geq j_{0}(C)$.

Im Grenzfall $j\to \infty$ erhalten wir schließlich

$\sup _{x\in C}|D^{\alpha }p_{j}(x)-D^{\alpha }f(x)|\to 0$

für alle $|\alpha |\leq k$ und alle kompakten Teilmengen $C\subset \Omega$.

q.e.d.

Satz 2 (Tietzescher Ergänzungssatz)

Sei $C\subset \mathbb {R} ^{n}$ eine kompakte Menge und $f(x)\in C^{0}(C,\mathbb {C} )$ eine auf $C$ stetige Funktion. Dann gibt es eine Erweiterung von $f$ auf den ganzen $\mathbb {R} ^{n}$, d. h. es gibt eine Funktion $g(x)\in C^{0}(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} )$ mit

$f(x)=g(x)$ für alle $x\in C$.

Beweis

1. Für $x\in \mathbb {R} ^{n}$ erklären wir die Funktion

$d(x):=\min _{y\in C}|y-x|,$

welche die Distanz eines Punktes $x$ zur Menge $C$ misst. Da $C$ kompakt ist, gibt es zu jedem $x\in \mathbb {R} ^{n}$ ein ${\overline {y}}\in C$ mit

$|{\overline {y}}-x|=d(x)$.

Sind nun $x_{1},x_{2}\in \mathbb {R} ^{n}$, so folgt für ${\overline {y}}_{2}\in C$ mit $|{\overline {y}}_{2}-x_{2}|=d(x_{2})$ die Ungleichung

$d(x_{1})-d(x_{2})=\inf _{y\in C}{\Bigl (}|x_{1}-y_{1}|-|x_{2}-{\overline {y}}_{2}|{\Bigr )}$

$\leq |x_{1}-{\overline {y}}_{2}|-|x_{2}-{\overline {y}}_{2}|$

$\leq |x_{1}-x_{2}|$.

Durch Vertauschen von $x_{1}$ und $x_{2}$ erhält man eine analoge Ungleichung, so dass

$|d(x_{1})-d(x_{2})|\leq |x_{1}-x_{2}|$ für alle $x_{1},x_{2}\in \mathbb {R} ^{n}$

folgt. Insbesondere ist also $d:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ eine stetige Funktion.

2. Für $x\notin C,a\in \mathbb {R} ^{n}$ betrachten wir die Funktion

$\varrho (x,a):=\max \left\{2-{\frac {|x-a|}{d(x)}},0\right\}$.

Für festes $a$ ist die Funktion $\varrho (x,a)$ im $\mathbb {R} ^{n}\setminus C$ nach obigen Betrachtungen stetig. Weiter haben wir $0\leq \varrho (x,a)\leq 2$ sowie

$\varrho (x,a)=0$ für $|x-a|\geq 2d(x)$ und $\varrho (x,a)\geq {\frac {1}{2}}$ für $|x-a|\leq {\frac {3}{2}}d(x)$.

3. Sei nun $\left\{a^{(k)}\right\}\subset C$ eine in $C$ dichte Punktfolge. Da $f(x):C\to \mathbb {C}$ beschränkt ist, konvergieren die Reihen

$\sum _{k=1}^{\infty }2^{-k}\varrho \left(x,a^{(k)}\right)f\left(a^{(k)}\right)$ und $\sum _{k=1}^{\infty }2^{-k}\varrho \left(x,a^{(k)}\right)$

gleichmäßig für alle $x\in \mathbb {R} ^{n}\setminus C$ und stellen dort stetige Funktionen in $x$ dar. Ferner wird

$\sum _{k=1}^{\infty }2^{-k}\varrho \left(x,a^{(k)}\right)>0$ für $x\in \mathbb {R} ^{n}\setminus C$,

denn zu jedem $x\in \mathbb {R} ^{n}\setminus C$ gibt es mindestens ein $k$ mit $\varrho \left(x,a^{(k)}\right)>0$. Somit ist die Funktion

$h(x):={\frac {\sum _{k=1}^{\infty }2^{-k}\varrho \left(x,a^{(k)}\right)f\left(a^{(k)}\right)}{\sum _{k=1}^{\infty }2^{-k}\varrho \left(x,a^{(k)}\right)}}=\sum _{k=1}^{\infty }\varrho _{k}(x)f\left(a^{(k)}\right),\quad x\in \mathbb {R} ^{n}\setminus C$

stetig. Hierbei haben wir

$\varrho _{k}(x):={\frac {2^{-k}\varrho \left(x,a^{(k)}\right)}{\sum _{k=1}^{\infty }2^{-k}\varrho \left(x,a^{(k)}\right)}}$ für $x\in \mathbb {R} ^{n}\setminus C$

gesetzt. Auf $\mathbb {R} ^{n}\setminus C$ gilt weiterhin

$\sum _{k=1}^{\infty }\varrho _{k}(x)\equiv 1$.

4. Wir erklären nun die Funktion

$g(x):=\left\{{\begin{matrix}f(x),&x\in C\\h(x),&x\in \mathbb {R} ^{n}\setminus C\end{matrix}}\right.$.

Wir haben nur noch die Stetigkeit von $g$ auf $\partial C$ zu zeigen. Für $z\in C$ und $x\notin C$ gilt die Abschätzung

$|h(x)-f(z)|=\left|\sum _{k=1}^{\infty }\varrho _{k}(x)\left\{f\left(a^{(k)}\right)-f(z)\right\}\right|$

$\leq \sum _{k:|a^{(k)}-x|\leq 2d(x)}\varrho _{k}(x)\left|f\left(a^{(k)}\right)-f(z)\right|$

$\leq \sup _{a\in C:|a-x|\leq 2d(x)}|f(a)-f(z)|$

$\leq \sup _{a\in C:|a-z|\leq 2d(x)+|x-z|}|f(a)-f(z)|$

$\leq \sup _{a\in C:|a-z|\leq 3|x-z|}|f(a)-f(z)|.$

Da $f:C\to \mathbb {C}$ gleichmäßig stetig ist, folgt j

$\lim _{x\to z \atop x\notin C}h(x)=f(z)$ für $z\in \partial C$ und $x\notin C$.

q.e.d.

Satz 3 (Zerlegung der Eins)

Es sei $K\subset \mathbb {R} ^{n}$ eine kompakte Menge und zu jedem Punkt $x\in K$ bezeichne ${\mathcal {O}}_{x}\subset \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Menge mit $x\in {\mathcal {O}}_{x}$. Wir können dann endlich – genauer $N\in \mathbb {N}$ – viele Punkte $x^{(1)},\ldots ,x^{(N)}\in K$ auswählen, so dass die Überdeckungseigenschaft

$K\subset \bigcup _{\nu =1}^{N}{\mathcal {O}}_{x^{(\nu )}}$

gilt. Weiter finden wir Funktionen

$\chi _{\nu }=\chi _{\nu }(x):{\mathcal {O}}_{x^{(\nu )}}\to [0,+\infty )\in C_{0}^{\infty }({\mathcal {O}}_{x^{(\nu )}})$ für $\nu =1,\ldots ,N$,

so dass die Funktion $\chi (x):=\sum _{\nu =1}^{N}\chi _{\nu }(x),x\in \mathbb {R} ^{n}$ die folgenden Eigenschaften hat:

(a) Wir haben $\chi \in C_{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$;

(b) Für alle $x\in K$ gilt $\chi (x)=1$;

(c) Für alle $x\in \mathbb {R} ^{n}$ ist $0\leq \chi (x)\leq 1$ richtig.

Beweis

1.) Da $K\subset \mathbb {R} ^{n}$ kompakt ist, gibt es ein $R>0$ mit $K\subset B:=B_{R}(0)$. Zu jedem $x\in B$ wählen wir nun eine offene Kugel ${\stackrel {\circ }{B}}_{\varepsilon (x)}(x)$ vom Radius $\varepsilon (x)>0$ derart, dass

$B_{\varepsilon (x)}(x)\subset {\mathcal {O}}_{x}$ für $x\in K$ und $B_{\varepsilon (x)}(x)\subset \mathbb {R} ^{n}\setminus K$ für $x\in B\setminus K$

erfüllt ist. Das Mengensystem $\left\{{\stackrel {\circ }{B}}_{\varepsilon (x)}(x)\right\}_{x\in B}$ liefert dann eine offene Überdeckung der kompakten Menge $B$. Nach dem Heine-Borelschen Überdeckungssatz genügen dafür endlich viele offene Mengen, sagen wir

${\stackrel {\circ }{B}}_{\varepsilon _{1}}(x^{(1)}),{\stackrel {\circ }{B}}_{\varepsilon _{N}}(x^{(N)}),{\stackrel {\circ }{B}}_{\varepsilon _{N+1}}(x^{(N+1)}),{\stackrel {\circ }{B}}_{\varepsilon _{N+M}}(x^{(N+M)})$.

Hierbei haben wir $x^{(\nu )}\in K$ für $\nu =1,2,\ldots ,N$ sowie $x^{(\nu )}\in B\setminus K$ für $\nu =N+1,\ldots ,N+M$ gewählt und $\varepsilon _{\nu }:=\varepsilon (x^{(\nu )})$ gesetzt – mit gewissen natürlichen Zahlen $N$ sowie $M$. Mit den assoziierten Glättungsfunktionen aus (5) betrachten wir nun die nicht negativen Funktionen

$\varphi _{\nu }(x):=\varphi _{x^{(\nu )},\varepsilon _{\nu }}(x),\quad x\in \mathbb {R} ^{n}$

der Regularitätsklasse $\varphi _{\nu }\in C_{0}^{\infty }({\mathcal {O}}_{x^{(\nu )}})$ für $\nu =1,\ldots ,N$ bzw. $\varphi _{\nu }\in C_{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}\setminus K)$ für $\nu =N+1,\ldots ,N+M$. Ferner erklären wir die Funktion $\varphi _{N+M+1}(x):=\omega _{R}(x)$, wobei $\omega _{R}$ in (4) definiert wurde. Offenbar erhalten wir dann die Positivität $\sum _{\nu =1}^{N+M+1}\varphi _{\nu }(x)>0$ für alle $x\in \mathbb {R} ^{n}$.

2.) Wir erklären nun die Funktionen $\chi _{\nu }$ vermöge

(9) $\chi _{\nu }(x):=\left[\sum _{\nu =1}^{N+M+1}\varphi _{\nu }(x)\right]^{-1}\varphi _{\nu }(x),\quad x\in \mathbb {R} ^{n}$ für $\nu =1,\ldots ,N+M+1$.

Dabei gehören die Funktionen $\chi _{\nu }$ und $\varphi _{\nu }$ für $\nu =1,\ldots ,N+M+1$ jeweils der gleichen Regularitätsklasse an. Zusätzlich gilt

$\sum _{\nu =1}^{N+M+1}\chi _{\nu }(x):=\left[\sum _{\nu =1}^{N+M+1}\varphi _{\nu }(x)\right]^{-1}\cdot \sum _{\nu =1}^{N+M+1}\varphi _{\nu }(x)\equiv 1$ für alle $x\in \mathbb {R} ^{n}$.

Die Eigenschaften (a), (b) und (c) der Funktion $<math>\chi (x)=\sum _{\mu =1}^{m}\chi _{\mu }(x)$ liest man direkt von der obigen Konstruktion ab.

Definition 1

Die Funktionen $\chi _{1},\chi _{2},\ldots ,\chi _{m}$ aus Satz 3 nennen wir eine der offenen Überdeckung $\{{\mathcal {O}}_{x}\}_{x\in K}$ von $K$ untergeordnete Zerlegung der Eins.