Satz 1 (Weierstraßscher Approximationssatz)[Bearbeiten]
- Seien
eine offene Menge und
mit
. Dann gibt es eine Folge von Polynomen mit komplexen Koeffizienten vom Grad

- derart, dass die Relationen
für 
- gleichmäßig auf jeder kompakten Menge
erfüllt sind.
Wir betrachten eine Folge
beschränkter, offener Mengen, die
ausschöpft. Dabei gelte
für alle
. Mit Hilfe der Zerlegung der Eins konstruieren wir eine Folge von Funktionen
mit
und
auf
für
. Wir betrachten dann die Funktionenfolge

mit den folgenden Eigenschaften:

und

.
Da
beschränkt ist, gibt es nun zu jedem
ein Polynom
mit

.
Für eine beliebige kompakte Menge
gibt es ein
, so dass
für alle
richtig ist. Somit folgt

.
Im Grenzfall
erhalten wir schließlich

für alle
und alle kompakten Teilmengen
.
q.e.d.
Satz 2 (Tietzescher Ergänzungssatz)[Bearbeiten]
- Sei
eine kompakte Menge und
eine auf
stetige Funktion. Dann gibt es eine Erweiterung von
auf den ganzen
, d. h. es gibt eine Funktion
mit
für alle
.
1. Für
erklären wir die Funktion

welche die Distanz eines Punktes
zur Menge
misst. Da
kompakt ist, gibt es zu jedem
ein
mit

.
Sind nun
, so folgt für
mit
die Ungleichung



.
Durch Vertauschen von
und
erhält man eine analoge Ungleichung, so dass

für alle

folgt. Insbesondere ist also
eine stetige Funktion.
2. Für
betrachten wir die Funktion

.
Für festes
ist die Funktion
im
nach obigen Betrachtungen stetig. Weiter haben wir
sowie

für

und

für

.
3. Sei nun
eine in
dichte Punktfolge. Da
beschränkt ist, konvergieren die Reihen

und

gleichmäßig für alle
und stellen dort stetige Funktionen in
dar. Ferner wird

für

,
denn zu jedem
gibt es mindestens ein
mit
. Somit ist die Funktion

stetig. Hierbei haben wir

für

gesetzt. Auf
gilt weiterhin

.
4. Wir erklären nun die Funktion

.
Wir haben nur noch die Stetigkeit von
auf
zu zeigen. Für
und
gilt die Abschätzung





Da
gleichmäßig stetig ist, folgt j

für

und

.
q.e.d.
Satz 3 (Zerlegung der Eins)[Bearbeiten]
- Es sei
eine kompakte Menge und zu jedem Punkt
bezeichne
eine offene Menge mit
. Wir können dann endlich – genauer
– viele Punkte
auswählen, so dass die Überdeckungseigenschaft

- gilt. Weiter finden wir Funktionen
für
,
- so dass die Funktion
die folgenden Eigenschaften hat:
- (a) Wir haben
;
- (b) Für alle
gilt
;
- (c) Für alle
ist
richtig.
1.) Da
kompakt ist, gibt es ein
mit
. Zu jedem
wählen wir nun eine offene Kugel
vom Radius
derart, dass

für

und

für

erfüllt ist. Das Mengensystem
liefert dann eine offene Überdeckung der kompakten Menge
. Nach dem Heine-Borelschen Überdeckungssatz genügen dafür endlich viele offene Mengen, sagen wir

.
Hierbei haben wir
für
sowie
für
gewählt und
gesetzt – mit gewissen natürlichen Zahlen
sowie
.
Mit den assoziierten Glättungsfunktionen aus (5) betrachten wir nun die nicht negativen Funktionen

der Regularitätsklasse
für
bzw.
für
. Ferner erklären wir die Funktion
, wobei
in (4) definiert wurde. Offenbar erhalten wir dann die Positivität
für alle
.
2.) Wir erklären nun die Funktionen
vermöge
(9)
![{\displaystyle \chi _{\nu }(x):=\left[\sum _{\nu =1}^{N+M+1}\varphi _{\nu }(x)\right]^{-1}\varphi _{\nu }(x),\quad x\in \mathbb {R} ^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40041162b39f6ed95f18a975507d0df431dd5534)
für

.
Dabei gehören die Funktionen
und
für
jeweils der gleichen Regularitätsklasse an. Zusätzlich gilt
![{\displaystyle \sum _{\nu =1}^{N+M+1}\chi _{\nu }(x):=\left[\sum _{\nu =1}^{N+M+1}\varphi _{\nu }(x)\right]^{-1}\cdot \sum _{\nu =1}^{N+M+1}\varphi _{\nu }(x)\equiv 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e49d1425c79eea5c2b393168c7fff2998667147)
für alle

.
Die Eigenschaften (a), (b) und (c) der Funktion
liest man direkt von der obigen Konstruktion ab.
- Die Funktionen
aus Satz 3 nennen wir eine der offenen Überdeckung
von
untergeordnete Zerlegung der Eins.