Kurs:Analysis III/Kapitel I: Differentiation und Integration auf Mannigfaltigkeiten/§6 Kurvenintegrale

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Definition 1[Bearbeiten]

Seien ein Gebiet und zwei Punkte. Dann definieren wir die Klasse der stückweise stetig differenzierbaren Wege in von nach gemäß
Mit
erhalten wir die Menge der geschlossenen Wege in . Falls gilt, so sprechen wir von einer Punktkurve.

Definition 2[Bearbeiten]

Seien
eine stetige Pfaffsche Form in dem Gebiet und ein stückweise stetig differenzierbarer Weg zwischen den Punkten . Mit
setzen wir
für das Wegintegral von über .

Definition 3[Bearbeiten]

Sei
eine stetige Pfaffsche Form im Gebiet . Wir nennen dann eine Stammfunktion von , falls
in
bzw.
für und
gilt. Falls eine Stammfunktionen besitzt, sprechen wir von einer exakten Pfaffschen Form.

Satz 1 (Erster Hauptsatz über Kurvenintegrale)[Bearbeiten]

Seien ein Gebiet und eine stetige Pfaffsche Form in . Genau dann besitzt eine Stammfunktion in , wenn für jede geschlossene Kurve mit einem die Identität
richtig ist. In diesem Fall erhalten wir eine Stammfunktion wie folgt: Für ein festes und ein beliebiges gilt
wobei eine Konstante ist.

Beweis[Bearbeiten]

1. besitzt eine Stammfunktion , das heißt

Seien nun mit sowie

gegeben. Dann folgt

2. Nun sei

für alle mit

erfüllt. Zu festem und beliebigem wählen wir einen Weg

und erklären

Wir haben die Unabhängigkeit dieser Definition von der Auswahl der Kurve zu zeigen. Sei also

eine weitere Kurve, so müssen wir

nachweisen. Zu und betrachten wir die Kurve

.

Offensichtlich gilt und es folgt

also

3. Schließlich haben wir noch

zu zeigen. Hierzu gehen wir bei festem von zu

auf dem Weg

Nun ist

und wir erhalten schließlich

weshalb die Behauptung folgt.

q.e.d.

Definition 4[Bearbeiten]

Eine -Form in einem Gebiet heißt geschlossen, falls in gilt.

Definition 5[Bearbeiten]

Sei ein Gebiet. Zwei geschlossene Kurven
heißen homotop in , falls es eine Abbildung
mit den Eigenschaften
für alle
sowie
für alle
gibt.

Satz 2 (Zweiter Hauptsatz über Kurvenintegrale)[Bearbeiten]

Sei ein Gebiet, in dem die beiden geschlossenen Kurven zueinander homotop sind. Schließlich sei
eine geschlossene Pfaffsche Form der Klasse . Dann gilt

Beweis[Bearbeiten]

1. Seien zwei zueinander homotope, geschlossene Kurven. Dann gibt es eine stetige Funktion

mit den Eigenschaften

für alle

sowie

für alle .

Wir setzen auf das Rechteck fort zu

.

Mittels

für und

setzen wir die Funktion auf den Streifen fort zu einer stetigen, in der ersten Variablen periodischen Funktion mit der Periode .

2. In dem Quader betrachten wir die Funktion

für alle .

Nun ist erfüllt und es gilt

für gleichmäßig in .

Somit folgt . Weiter ist

für alle

erfüllt und für haben wir

und ebenso

3. Mit dem Stokesschen Integralsatz für den Quader erhalten wir für alle

Für ergibt sich mit

die Behauptung.

q.e.d.

Definition 6[Bearbeiten]

Seien das Gebiet sowie die Punkte gegeben. Zwei Kurven
heißen homotop in mit festem Anfangspunkt und Endpunkt , falls es eine stetige Abbildung
mit den folgenden Eigenschaften gibt:
für alle
sowie
für alle .

Definition 7[Bearbeiten]

Ein Gebiet heißt einfach zusammenhängend, falls jede geschlossene Kurve homotop zu einer Punktkurve in ist, jede geschlossene Kurve sich also auf einen Punkt zusammenziehen lässt.

Satz 3 (Kurvenintegrale in einfach zusammenhängenden Gebieten)[Bearbeiten]

Seien ein einfach zusammenhängendes Gebiet und
eine Pfaffsche Form der Klasse . Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
1. ist eine exakte Pfaffsche Form, besitzt also eine Stammfunktion .
2. Für alle mit einem gilt
3. ist eine geschlossene Pfaffsche Form, d. h. es gilt
in
bzw. die Matrix
ist symmetrisch für alle .

Beweis[Bearbeiten]

Nach dem ersten Hauptsatz über Kurvenintegrale gilt die Äquivalenz „“. Die Aussage „“ ergeben die Überlegungen vor der Definition 4. Wir haben nur noch die Richtung „“ zu zeigen. Sei dazu

eine geschlossene Kurve, so ist diese Kurve nach Voraussetzung an das Gebiet homotop zu einer Punktkurve

Anwendung von Satz 2 liefert uns schließlich

woraus der Satz folgt.

q.e.d.