- Seien
ein Gebiet und
zwei Punkte. Dann definieren wir die Klasse
der stückweise stetig differenzierbaren Wege in
von
nach
gemäß
![{\displaystyle {\mathcal {C}}(\Omega ,P,Q):={\Bigl \{}X(t):[a,b]\to \Omega \in C^{0}([a,b]):-\infty <a<b<+\infty ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81a374671e5fceea174809c4bb32f9373188f1f7)

![{\displaystyle X{\bigl |}_{[t_{i},t_{i+1}]}\in C^{1}([t_{i},t_{i+1}],\Omega )\ f{\ddot {u}}r\ i=0,\ldots ,N-1\ gilt{\Bigr \}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fadf0c4d6e98c9068196b373940d6e58934d63d)
- Mit

- erhalten wir die Menge der geschlossenen Wege in
. Falls
gilt, so sprechen wir von einer Punktkurve.
- Seien

- eine stetige Pfaffsche Form in dem Gebiet
und
ein stückweise stetig differenzierbarer Weg zwischen den Punkten
. Mit
![{\displaystyle X^{(j)}:=X|_{[t_{j},t_{j+1}]}\in C^{1}([t_{j},t_{j+1}]),\quad j=0,\ldots ,N-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad41d0100ada0519579a7d75780e33b989bf5720)
- setzen wir

- für das Wegintegral von
über
.
- Sei

- eine stetige Pfaffsche Form im Gebiet
. Wir nennen dann
eine Stammfunktion von
, falls
in 
- bzw.
für
und 
- gilt. Falls
eine Stammfunktionen besitzt, sprechen wir von einer exakten Pfaffschen Form.
Satz 1 (Erster Hauptsatz über Kurvenintegrale)[Bearbeiten]
- Seien
ein Gebiet und
eine stetige Pfaffsche Form in
. Genau dann besitzt
eine Stammfunktion
in
, wenn für jede geschlossene Kurve
mit einem
die Identität

- richtig ist. In diesem Fall erhalten wir eine Stammfunktion wie folgt: Für ein festes
und ein beliebiges
gilt

- wobei
eine Konstante ist.
1.
besitzt eine Stammfunktion
, das heißt

Seien nun
mit
sowie
![{\displaystyle X^{(j)}:=X{\bigl |}_{[t_{j},t_{j+1}]}\in C^{1}([t_{j},t_{j+1}]),\quad j=0,\ldots ,N-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9dc904560be2aaa831677496eb3875f0da58b8f)
gegeben. Dann folgt



2. Nun sei

für alle

mit

erfüllt. Zu festem
und beliebigem
wählen wir einen Weg

und erklären

Wir haben die Unabhängigkeit dieser Definition von der Auswahl der Kurve
zu zeigen. Sei also

eine weitere Kurve, so müssen wir

nachweisen. Zu
und
betrachten wir die Kurve
![{\displaystyle Z(t):=\left\{{\begin{matrix}X(t),t\in [a,b]\\Y(b+d-t),t\in [b,b+d-c]\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bd61ce97e803d812840f6eb994570cba5d79a08)
.
Offensichtlich gilt
und es folgt

also

3. Schließlich haben wir noch

zu zeigen. Hierzu gehen wir bei festem
von
zu

auf dem Weg
![{\displaystyle Y(t):=[0,\varepsilon ]\to \mathbb {R} ,\quad Y(t)=Q+te_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/537b23dc98b0dbbde622c292984b088e1eb7e6de)
Nun ist



und wir erhalten schließlich

weshalb die Behauptung folgt.
q.e.d.
- Eine
-Form
in einem Gebiet
heißt geschlossen, falls
in
gilt.
- Sei
ein Gebiet. Zwei geschlossene Kurven
![{\displaystyle X(t):[a,b]\to \Omega ,\quad Y(t):[a,b]\to \Omega ,\quad X,Y\in {\mathcal {C}}(\Omega )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9dd7498b49c97ede969eeee20418ad5eca261513)
- heißen homotop in
, falls es eine Abbildung
![{\displaystyle Z(t,s):[a,b]\times [0,1]\to \Omega \in C^{0}([a,b]\times [0,1],\mathbb {R} ^{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6df8bc6640efce8e99d4ac6d0848be9e9efde48)
- mit den Eigenschaften
für alle ![{\displaystyle s\in [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aff1a54fbbee4a2677039524a5139e952fa86eb9)
- sowie
für alle ![{\displaystyle t\in [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7f3050ace6dc0dd95250c418528da28eb477ffe)
- gibt.
Satz 2 (Zweiter Hauptsatz über Kurvenintegrale)[Bearbeiten]
- Sei
ein Gebiet, in dem die beiden geschlossenen Kurven
zueinander homotop sind. Schließlich sei

- eine geschlossene Pfaffsche Form der Klasse
. Dann gilt

1. Seien
zwei zueinander homotope, geschlossene Kurven. Dann gibt es eine stetige Funktion
![{\displaystyle Z(t,s):[a,b]\times [0,1]\to \Omega \in C^{0}([a,b]\times [0,1],\mathbb {R} ^{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6df8bc6640efce8e99d4ac6d0848be9e9efde48)
mit den Eigenschaften

für alle
![{\displaystyle s\in [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aff1a54fbbee4a2677039524a5139e952fa86eb9)
sowie

für alle
![{\displaystyle t\in [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7f3050ace6dc0dd95250c418528da28eb477ffe)
.
Wir setzen
auf das Rechteck
fort zu
![{\displaystyle \Phi (t,s):=\left\{{\begin{matrix}X(t),(t,s)\in [a,b]\times [-2,0]\\Z(t,s),(t,s)\in [a,b]\times [0,1]\\Y(t),(t,s)\in [a,b]\times [1,3]\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ef85884c43f484e052c7ae2139971eb8c83ffb6)
.
Mittels

für
![{\displaystyle t\in \mathbb {R} ,\quad s\in [-2,3]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/718c2cfb5aec1ae1eb8bdd7a698ed8174e655e19)
und

setzen wir die Funktion auf den Streifen
fort zu einer stetigen, in der ersten Variablen periodischen Funktion mit der Periode
.
2. In dem Quader
betrachten wir die Funktion

für alle

.
Nun ist
erfüllt und es gilt

für

gleichmäßig in
![{\displaystyle [a,b]\times [-1,2]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1acad291413d058a9dd44ebfac81bfc8efa51fc)
.
Somit folgt
. Weiter ist

für alle
![{\displaystyle (u,v)\in \mathbb {R} \times [-1,2],\quad k\in \mathbb {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2069cbc1b68288a5eff8569605f7d903aa756797)
erfüllt und für
haben wir



und ebenso

3. Mit dem Stokesschen Integralsatz für den Quader
erhalten wir für alle

Für
ergibt sich mit

die Behauptung.
q.e.d.
- Seien das Gebiet
sowie die Punkte
gegeben. Zwei Kurven
![{\displaystyle X(t),Y(t):[a,b]\to \Omega \in {\mathcal {C}}(\Omega ,P,Q)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/141be3e8113f7934ea5df245dc11581c6f6396d0)
- heißen homotop in
mit festem Anfangspunkt
und Endpunkt
, falls es eine stetige Abbildung
![{\displaystyle Z(t,s):[a,b]\times [0,1]\to \Omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/344774bb24e208366c60c269e4e07955b1251162)
- mit den folgenden Eigenschaften gibt:
für alle ![{\displaystyle s\in [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aff1a54fbbee4a2677039524a5139e952fa86eb9)
- sowie
für alle
.
- Ein Gebiet
heißt einfach zusammenhängend, falls jede geschlossene Kurve
homotop zu einer Punktkurve in
ist, jede geschlossene Kurve sich also auf einen Punkt zusammenziehen lässt.
Satz 3 (Kurvenintegrale in einfach zusammenhängenden Gebieten)[Bearbeiten]
- Seien
ein einfach zusammenhängendes Gebiet und

- eine Pfaffsche Form der Klasse
. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
- 1.
ist eine exakte Pfaffsche Form, besitzt also eine Stammfunktion
.
- 2. Für alle
mit einem
gilt

- 3.
ist eine geschlossene Pfaffsche Form, d. h. es gilt
in 
- bzw. die Matrix

- ist symmetrisch für alle
.
Nach dem ersten Hauptsatz über Kurvenintegrale gilt die Äquivalenz „
“. Die Aussage „
“ ergeben die Überlegungen vor der Definition 4. Wir haben nur noch die Richtung „
“ zu zeigen. Sei dazu

eine geschlossene Kurve, so ist diese Kurve
nach Voraussetzung an das Gebiet
homotop zu einer Punktkurve

Anwendung von Satz 2 liefert uns schließlich

woraus der Satz folgt.
q.e.d.