Kurs:Analysis III/Kapitel I: Differentiation und Integration auf Mannigfaltigkeiten/§7 Das Poincarésche Lemma

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Definition 1[Bearbeiten]

Eine stetige -Form, , in einer offenen Menge
heißt exakt, wenn es eine -Form
der Klasse gibt mit der Eigenschaft
in .

Definition 2[Bearbeiten]

Sei ein Gebiet mit dem zugehörigen Zylinder
Weiter gebe es ein und eine Abbildung
der Klasse , so dass folgendes gilt:
für alle .
Dann nennen wir das Gebiet (auf den Punkt ) zusammenziehbar.

Satz 1 (Das Poincarésche Lemma)[Bearbeiten]

Seien ein zusammenziehbares Gebiet und . Dann ist jede geschlossene -Form in exakt.

Beweis[Bearbeiten]

1. Da zusammenziehbar ist, gibt es eine Abbildung

mit

für alle .

Wir betrachten auf die transformierte Differentialform

Dabei haben wir

für

benutzt. Die Differentialformen und sind unabhängig von und haben den Grad bzw. . Weiter gelten

und .

2. Wir berechnen

Somit folgt

3. Wir erklären nun die -Form

Wir berechnen

womit alles gezeigt ist.

q.e.d.