- Eine stetige
-Form,
, in einer offenen Menge 

- heißt exakt, wenn es eine
-Form

- der Klasse
gibt mit der Eigenschaft
in
.
- Sei
ein Gebiet mit dem zugehörigen Zylinder
![{\displaystyle {\hat {\Omega }}:=\Omega \times [0,1]\subset \mathbb {R} ^{n+1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b04eec66f05b8c7487009f8fd055370a23d340d)
- Weiter gebe es ein
und eine Abbildung

- der Klasse
, so dass folgendes gilt:
für alle
.
- Dann nennen wir das Gebiet
(auf den Punkt
) zusammenziehbar.
Satz 1 (Das Poincarésche Lemma)[Bearbeiten]
- Seien
ein zusammenziehbares Gebiet und
. Dann ist jede geschlossene
-Form
in
exakt.
1. Da
zusammenziehbar ist, gibt es eine Abbildung

mit

für alle

.
Wir betrachten auf
die transformierte Differentialform


Dabei haben wir

für

benutzt. Die Differentialformen
und
sind unabhängig von
und haben den Grad
bzw.
. Weiter gelten

und

.
2. Wir berechnen



Somit folgt

3. Wir erklären nun die
-Form

Wir berechnen

womit alles gezeigt ist.
q.e.d.