Kurs:Analysis III/Kapitel II: Grundlagen der Funktionalanalysis/§1 Das Daniellsche Integral mit Beispielen

Definition 1

Seien $X$ eine beliebige Menge und $M=M(X)$ ein Raum von Funktionen $f:X\to \mathbb {R}$ mit folgenden Eigenschaften:

– $M$ ist ein linearer Raum, d. h.

(1) für alle $f,g\in M$ und alle $\alpha ,\beta \in \mathbb {R}$ gilt $\alpha f+\beta g\in M$.

– $M$ ist abgeschlossen hinsichtlich der Betragsbildung, d. h.

(2) für alle $f\in M$ gilt $|f|\in M$.

Weiter sei $I:M\to \mathbb {R}$ ein Funktional auf $M$, welches die folgenden Bedingungen erfüllt:

– $I$ ist linear, d. h.

(3) für alle $f,g\in M$ und alle $\alpha ,\beta \in \mathbb {R}$ gilt $I(\alpha f+\beta g)=\alpha I(f)+\beta I(g)$.

– $I$ ist nicht negativ, d. h.

(4) für alle $f\in M$ mit $f\geq 0$ gilt $I(f)\geq 0$.

Dabei bedeutet $f\geq 0$, dass $f(x)\geq 0$ für alle $x\in X$ richtig ist.

– $I$ ist stetig bezüglich monotoner Konvergenz in $M$, d. h.

(5) für jede Folge $\{f_{n}\}_{n=1,2,\ldots }\subset M$ mit $f_{n}\downarrow 0$ gilt $\lim _{n\to \infty }I(f_{n})=I(0)=0$.

Dabei bedeutet $f_{n}\downarrow 0$, dass für alle $x\in X$ die Folge $\{f_{n}(x)\}_{n=1,2,\ldots }\subset \mathbb {R}$ schwach monoton fallend ist und dass $\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=0$ gilt.

Dann heißt $I$ ein auf $M$ erklärtes Daniellsches Integral.

Satz 1 (Dini)

Auf der kompakten Menge $K\subset \mathbb {R} ^{n}$ seien die stetigen Funktionen $f_{1},f_{2},\ldots ,f\in C^{0}(K,\mathbb {R} )$ gegeben. Es gelte $f_{l}\uparrow f$, d. h. für alle $x\in K$ ist die Folge $\{f_{l}(x)\}\subset \mathbb {R}$ schwach monoton steigend und es gilt

$\lim _{l\to \infty }f_{l}(x)=f(x).$

Dann konvergiert die Folge $\{f_{l}\}_{l=1,2,\ldots }$ gleichmäßig auf $K$ gegen $f$.

Beweis

Sei $\{g_{l}\}_{l=1,2,\ldots }\subset C^{0}(K,\mathbb {R} )$ eine Folge mit $g_{l}\downarrow 0$. Zu zeigen ist, dass

$\sup _{x\in K}|g_{l}(x)|\to 0$

richtig ist. Wäre diese Aussage falsch, dann gäbe es Indizes $\{l_{i}\}$ mit $l_{i}<l_{i+1}$ und Punkte $\xi _{i}\in K$, so dass

$g_{l_{i}}(\xi _{i})\geq \varepsilon >0$ für alle $i\in \mathbb {N}$

mit einem festen $\varepsilon >0$ gilt. Nach dem Weierstraßschen Häufungsstellensatz können wir o. B. d. A. annehmen, dass $\xi _{i}\to \xi$ für $i\to \infty$ mit $\xi \in K$ richtig ist. Zu festem $l_{*}$ wählen wir nun ein $i_{*}=i(l_{*})\in \mathbb {N}$, so dass $l_{i}\geq l_{*}$ für alle $i\geq i_{*}$ gilt. Die Monotonieeigenschaft der Funktionenfolge $\{g_{l}\}$ liefert dann

$g_{l_{*}}(\xi _{i})\geq g_{l_{i}}(\xi _{i})\geq \varepsilon$ für alle $i\geq i_{*}$.

Da $g_{l_{*}}$ nach Voraussetzung stetig ist, folgt

$g_{l_{*}}(\xi )=\lim _{i\to \infty }g_{l_{*}}(\xi _{i})\geq \varepsilon$ für alle $l_{*}\in \mathbb {N}$.

Somit ist $\{g_{l}(\xi )\}$ keine Nullfolge, im Widerspruch zur Voraussetzung.

q.e.d.