Kurs:Analysis III/Kapitel II: Grundlagen der Funktionalanalysis/§1 Das Daniellsche Integral mit Beispielen
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Definition 1[Bearbeiten]
- Seien eine beliebige Menge und ein Raum von Funktionen mit folgenden Eigenschaften:
- – ist ein linearer Raum, d. h.
(1) für alle und alle gilt .
- – ist abgeschlossen hinsichtlich der Betragsbildung, d. h.
(2) für alle gilt .
- Weiter sei ein Funktional auf , welches die folgenden Bedingungen erfüllt:
- – ist linear, d. h.
(3) für alle und alle gilt .
- – ist nicht negativ, d. h.
(4) für alle mit gilt .
- Dabei bedeutet , dass für alle richtig ist.
- – ist stetig bezüglich monotoner Konvergenz in , d. h.
(5) für jede Folge mit gilt .
- Dabei bedeutet , dass für alle die Folge schwach monoton fallend ist und dass gilt.
- Dann heißt ein auf erklärtes Daniellsches Integral.
Satz 1 (Dini)[Bearbeiten]
- Auf der kompakten Menge seien die stetigen Funktionen gegeben. Es gelte , d. h. für alle ist die Folge schwach monoton steigend und es gilt
- Dann konvergiert die Folge gleichmäßig auf gegen .
Beweis[Bearbeiten]
Sei eine Folge mit . Zu zeigen ist, dass
richtig ist. Wäre diese Aussage falsch, dann gäbe es Indizes mit und Punkte , so dass
für alle
mit einem festen gilt. Nach dem Weierstraßschen Häufungsstellensatz können wir o. B. d. A. annehmen, dass für mit richtig ist. Zu festem wählen wir nun ein , so dass für alle gilt. Die Monotonieeigenschaft der Funktionenfolge liefert dann
für alle .
Da nach Voraussetzung stetig ist, folgt
für alle .
Somit ist keine Nullfolge, im Widerspruch zur Voraussetzung.
q.e.d.