Kurs:Analysis III/Kapitel II: Grundlagen der Funktionalanalysis/§1 Das Daniellsche Integral mit Beispielen

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Definition 1[Bearbeiten]

Seien eine beliebige Menge und ein Raum von Funktionen mit folgenden Eigenschaften:
ist ein linearer Raum, d. h.
(1) für alle und alle gilt .
ist abgeschlossen hinsichtlich der Betragsbildung, d. h.
(2) für alle gilt .
Weiter sei ein Funktional auf , welches die folgenden Bedingungen erfüllt:
ist linear, d. h.
(3) für alle und alle gilt .
ist nicht negativ, d. h.
(4) für alle mit gilt .
Dabei bedeutet , dass für alle richtig ist.
ist stetig bezüglich monotoner Konvergenz in , d. h.
(5) für jede Folge mit gilt .
Dabei bedeutet , dass für alle die Folge schwach monoton fallend ist und dass gilt.
Dann heißt ein auf erklärtes Daniellsches Integral.

Satz 1 (Dini)[Bearbeiten]

Auf der kompakten Menge seien die stetigen Funktionen gegeben. Es gelte , d. h. für alle ist die Folge schwach monoton steigend und es gilt
Dann konvergiert die Folge gleichmäßig auf gegen .

Beweis[Bearbeiten]

Sei eine Folge mit . Zu zeigen ist, dass

richtig ist. Wäre diese Aussage falsch, dann gäbe es Indizes mit und Punkte , so dass

für alle

mit einem festen gilt. Nach dem Weierstraßschen Häufungsstellensatz können wir o. B. d. A. annehmen, dass für mit richtig ist. Zu festem wählen wir nun ein , so dass für alle gilt. Die Monotonieeigenschaft der Funktionenfolge liefert dann

für alle .

Da nach Voraussetzung stetig ist, folgt

für alle .

Somit ist keine Nullfolge, im Widerspruch zur Voraussetzung.

q.e.d.