Kurs:Analysis III/Kapitel II: Grundlagen der Funktionalanalysis/§3 Messbare Mengen

Definition 1

Eine Teilmenge $A\subset X$ nennen wir endlich messbar (oder auch integrierbar), falls ihre charakteristische Funktion $\chi _{A}\in L(X)$ erfüllt. Wir nennen

$\mu (A):=I(\chi _{A})$

das Maß der Menge $A$ bezüglich des Integrals $I$. Die Menge aller messbaren Mengen in $X$ bezeichnen wir mit ${\mathcal {S}}(X)$.

Hilfssatz 1 (σ-Additivität des Maßes)

Sei $\{A_{i}\}_{i=1,2,...}\subset {\mathcal {S}}(X)$ eine Folge paarweise disjunkter Mengen. Dann gehört auch die Menge

$A:=\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}$

zu ${\mathcal {S}}(X)$ und es gilt

$\mu (A)=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (A_{i}).$

Satz 1 (Stetige Kombination beschränkter L-Funktionen)

Seien $f_{k}(x)\in L(X),k=1,\ldots ,\kappa$ endlich viele beschränkte Funktionen, d. h. es gibt eine Konstante $c\in (0,+\infty )$, so dass die Abschätzung

$|f_{k}(x)|\leq c$ für alle $x\in X$ und alle $k\in \{1,\ldots ,\kappa \}$

gilt. Weiter sei $\Phi =\Phi (y_{1},\ldots ,y_{\kappa }):\mathbb {R} ^{\kappa }\to \mathbb {R} \in C^{0}(\mathbb {R} ^{\kappa },\mathbb {R} )$ gegeben. Dann gehört die Funktion

$g(x):=\Phi {\Bigl (}f_{1}(x),\ldots ,f_{\kappa }(x){\Bigr )},\quad x\in X$

zur Klasse $L(X)$ und ist beschränkt.

Beweis

1. Sei $f:X\to \mathbb {R} \in L(X)$ eine beschränkte Funktion. Wir zeigen zunächst, dass dann auch $f^{2}\in L(X)$ gilt. Wegen $f^{2}(x)=\{f(x)-\lambda \}^{2}+2\lambda f(x)-\lambda ^{2}$ folgt

$f^{2}(x)\geq 2\lambda f(x)-\lambda ^{2}$ für alle $\lambda \in \mathbb {R}$

und die Gleichheit gilt nur für $\lambda =f(x)$. Wir können dafür

$f^{2}(x)=\sup _{\lambda \in \mathbb {R} }{\Bigl (}2\lambda f(x)-\lambda ^{2}{\Bigr )}$

schreiben. Da die Funktion $\lambda \mapsto (2\lambda f(x)-\lambda ^{2})$ für jedes feste $x\in X$ stetig bezüglich $\lambda$ ist, genügt es, das Supremum über die rationalen Zahlen zu bilden. Weiter gilt $\mathbb {Q} =\{\lambda _{l}\}_{l=1,2,\ldots }$ und es folgt

$f^{2}(x)=\sup _{l\in \mathbb {N} }{\Bigl (}2\lambda _{l}f(x)-\lambda _{l}^{2}{\Bigr )}=\lim _{m\to \infty }\left(\max _{1\leq l\leq m}{\Bigl (}2\lambda _{l}f(x)-\lambda _{l}^{2}{\Bigr )}\right).$

Mit

$\varphi _{m}(x):=\max _{1\leq l\leq m}{\Bigl (}2\lambda _{l}f(x)-\lambda _{l}^{2}{\Bigr )}$

erhalten wir

$f^{2}(x)=\lim _{m\to \infty }\varphi _{m}(x)=\lim _{m\to \infty }\varphi _{m}^{+}(x),$

wobei die letzte Gleichheit aus der Positivität von $f^{2}(x)$ folgt. Da $f\in L(X)$, sind wegen der Linearität und der Abgeschlossenheit bezüglich der Maximumsbildung von $L(X)$ auch die $\varphi _{m}$ und somit auch die $\varphi _{m}^{+}$ aus $L(X)$. Weiter gilt für alle $x\in X$ und alle $m\in \mathbb {N}$ die Abschätzung

$0\leq \varphi _{m}^{+}(x)\leq f^{2}(x)\leq c$

mit einer Konstante $c\in (0,+\infty )$. Da wegen $f_{0}(x)\equiv 1\in L(X)$ auch $f_{c}(x)\equiv c\in L(X)$ gilt, haben die Funktionen $\varphi _{m}^{+}$ eine integrable Majorante und der Lebesguesche Konvergenzsatz liefert

$f^{2}(x)=\lim _{m\to \infty }\varphi _{m}^{+}(x)\in L(X).$

2. Sind $f,g\in L(X)$ beschränkte Funktionen, so ist auch $f\cdot g$ eine beschränkte Funktion. Wegen Teil 1 sowie

$fg={\frac {1}{4}}(f+g)^{2}-{\frac {1}{4}}(f-g)^{2}$

gilt dann auch $fg\in L(X)$.

3. Auf dem Quader

$Q:={\Bigl \{}y=(y_{1},\ldots ,y_{\kappa })\in \mathbb {R} ^{\kappa }:|y_{k}|\leq c,k=1,\ldots ,\kappa {\Bigr \}}$

können wir die stetige Funktion $\Phi$ gleichmäßig durch Polynome

$\Phi _{l}=\Phi _{l}(y_{1},\ldots ,y_{\kappa }),\quad l=1,2,\ldots$

approximieren. Wegen Teil 2 sich die Funktionen

$g_{l}(x):=\Phi _{l}{\Bigl (}f_{1}(x),\ldots ,f_{\kappa }(x){\Bigr )},\quad x\in X$

beschränkt und aus der Klasse $L(X)$. Es gilt

$|g_{l}(x)|\leq C$ für alle $x\in X$ und alle $l\in \mathbb {N}$

mit einer festen Konstante $C\in (0,+\infty )$. Da die Funktion $\varphi (x)\equiv C\in L(X)$ ist, liefert der Lebesguesche Konvergenzsatz

$g(x):=\Phi {\Bigl (}f_{1}(x),\ldots ,f_{\kappa }(x){\Bigr )}=\lim _{l\to \infty }g_{l}(x)\in L(X).$

q.e.d.

Hilfssatz 2 (σ-Subadditivität)

Sei $\{A_{i}\}_{i=1,2,...}\subset {\mathcal {S}}(X)$ eine Folge von Mengen. Dann gehört auch die Menge

$A:=\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}$

zu ${\mathcal {S}}(X)$ und es gilt

$\mu (A)\leq \sum _{i=1}^{\infty }\mu (A_{i})\in [0,+\infty ].$

Definition 2

Ein System ${\mathcal {A}}$ von Teilmengen einer Menge $X$ heißt $\sigma$-Algebra, wenn:

1. $X\in {\mathcal {A}}$.
2. Mit $B\in {\mathcal {A}}$ ist auch $B^{c}=(X\setminus B)\in {\mathcal {A}}$.
3. Für jede Folge von Mengen $\{B_{i}\}_{i=1,2,\ldots }$ aus ${\mathcal {A}}$ liegt auch $\bigcup _{i=1}^{\infty }B_{i}$ in ${\mathcal {A}}$.

Definition 3

Eine Funktion $\mu :{\mathcal {A}}\to [0,+\infty ]$ auf einer $\sigma$-Algebra ${\mathcal {A}}$ heißt Maß, wenn

1. $\mu (\emptyset )=0$
2. $\mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }B_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (B_{i})$ für paarweise disjunkte Mengen $\{B_{i}\}_{i=1,2,\ldots }\subset {\mathcal {A}}$

gilt. Wir nennen das Maß endlich, falls $\mu (X)<+\infty$ gilt.

Definition 4

Eine Menge $A\subset X$ heißt Nullmenge, falls $A\in {\mathcal {S}}(X)$ und $\mu (A)=0$ gelten.

Definition 5

Eine Eigenschaft gilt fast überall in $X$ (in Zeichen: f. ü.), wenn es eine Nullmenge $N\subset X$ gibt, so dass diese Eigenschaft für alle $x\in X\setminus N$ richtig ist.

Satz 2 (f. ü.-Endlichkeit von L-Funktionen)

Sei die Funktion $f\in L(X)$ gegeben. Dann ist die Menge

$N:={\Bigl \{}x\in X:|f(x)|=+\infty {\Bigr \}}$

eine Nullmenge.

Beweis

Sei $f\in L(X)$. Dann ist auch $|f|\in L(X)$ und es gibt eine Funktion $h\in V(X)$ mit $0\leq |f(x)|\leq h(x)$ in $X$ und mit $I(h)<+\infty$. Weiter ist $h(x)=+\infty$ in $N$ und damit ist $N$ eine Nullmenge.

q.e.d.

Satz 3 (Allgemeiner Konvergenzsatz von B. Levi)

Sei $\{f_{k}\}_{k=1,2,\ldots }\subset L(X)$ eine Folge mit $f_{k}\uparrow f$ f. ü. in $X$. Weiter gelte $I(f_{k})\leq c$ für alle $k\in \mathbb {N}$ und eine Konstante $c\in \mathbb {R}$. Dann folgen $f\in L(X)$ und

$\lim _{k\to \infty }I(f_{k})=I(f).$

Beweis

Wir betrachten die Nullmengen

$N_{k}:={\Bigl \{}x\in X:|f_{k}(x)|=+\infty {\Bigr \}}$ für $k\in \mathbb {N}$

sowie

$N_{0}:={\Bigl \{}x\in X:f_{k}(x)\uparrow f(x)\mathrm {\ ist\ nicht\ erf{\ddot {u}}llt} {\Bigr \}}.$

Sei die Nullmenge

$N:=\bigcup _{k=0}^{\infty }N_{k}$

erklärt, so ändern wir $f,f_{k}$ auf $N$ zu 0 ab und erhalten Funktionen ${\tilde {f}}_{k}\in L(X)$ mit

$I({\tilde {f}}_{k})=I(f_{k})\leq c$ für alle $k\in \mathbb {N}$

und ${\tilde {f}}$ mit ${\tilde {f}}_{k}\uparrow {\tilde {f}}$. Nach Satz 2 aus §2 ist dann ${\tilde {f}}\in L(X)$ und es gilt

$\lim _{k\to \infty }I({\tilde {f}}_{k})=I({\tilde {f}}).$

Es folgt nun $f\in L(X)$ und

$I(f)=I({\tilde {f}})=\lim _{k\to \infty }I({\tilde {f}}_{k})=\lim _{k\to \infty }I(f_{k}).$

Satz 4 (Allgemeiner Konvergenzsatz von Fatou)

Sei $\{f_{k}\}_{k=1,2,\ldots }\subset L(X)$ eine Funktionenfolge mit $f_{k}(x)\geq 0$ f. ü. in $X$ für alle $k\in \mathbb {N}$ und es gelte

$\liminf _{k\to \infty }I(f_{k})<+\infty .$

Dann gehört auch die Funktion

$g(x):=\liminf _{k\to \infty }f_{k}(x)$

zu $L(X)$ und es gilt

$I(g)\leq \liminf _{k\to \infty }I(f_{k}).$

Satz 5 (Allgemeiner Konvergenzsatz von Lebesgue)

Sei $\{f_{k}\}_{k=1,2,\ldots }\subset L(X)$ eine Folge mit $f_{k}\to f$ f. ü. auf $X$ und $|f_{k}(x)|\leq F(x)$ f. ü. in $X$ für alle $k\in \mathbb {N}$, wobei $F\in L(X)$ gilt. Dann folgt $f\in L(X)$ und es gilt

$\lim _{k\to \infty }I(f_{k})=I(f).$