Kurs:Analysis III/Kapitel II: Grundlagen der Funktionalanalysis/§4 Messbare Funktionen

Definition 1

Eine Funktion $f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}$ heißt messbar, wenn für alle $a\in \mathbb {R}$ die oberhalb des Niveaus $a$ gelegene Punktmenge

${\mathcal {O}}(f,a):={\Bigl \{}x\in X:f(x)>a{\Bigr \}}$

messbar ist.

Satz 1 (f. ü.-Konvergenz)

Sei $\{f_{k}\}_{k=1,2,\ldots }$ eine Folge messbarer Funktionen mit der Eigenschaft $f_{k}(x)\to f(x)$ f. ü. in $X$. Dann ist $f$ messbar.

Beweis

Seien $a,b\in \mathbb {R}$ mit $a<b$. Dann gehören die Funktionen $(f_{k})_{a,b}$ zu $L(X)$ für alle $k\in \mathbb {N}$ und es gelten

$|(f_{k})_{a,b}(x)|\leq \max(|a|,|b|)$ und $(f_{k})_{a,b}\to f_{a,b}$ f. ü. in $X$.

Der allgemeine Lebesguesche Konvergenzsatz liefert $f_{a,b}\in L(X)$. Damit ist $f$ messbar.

q.e.d.

Satz 2 (Kombination von messbaren Funktionen)

Es gelten die folgenden Aussagen:

a) Lineare Kombination: Seien $f$ und $g$ messbar sowie $\alpha ,\beta \in \mathbb {R}$, so sind auch $\alpha f+\beta g$, $\max(f,g)$, $\min(f,g)$ und $|f|$ messbar.

b) Nichtlineare Kombination: Seien mit $f_{1},\ldots ,f_{\kappa },\kappa \in \mathbb {N}$ endlichwertige, messbare Funktionen und $\phi =\phi (y_{1},\ldots ,y_{\kappa })\in C^{0}(\mathbb {R} ^{\kappa },\mathbb {R} )$ gegeben. Dann ist die Funktion $g(x):=\phi {\Bigl (}f_{1}(x),\ldots ,f_{\kappa }(x){\Bigr )},x\in X$ messbar.

Beweis

a) Es gilt $f_{-p,p},g_{-p,p}\in L(X)$ für alle $p\in \mathbb {R}$. Beachten wir weiter $f=\lim _{p\to \infty }f_{-p,p}$, so liefert Satz 1 und die Linearität des Raumes $L(X)$, dass

$\alpha f+\beta g=\lim _{p\to +\infty }(\alpha f_{-p,p}+\beta g_{-p,p})$

für alle $\alpha ,\beta \in \mathbb {R}$ messbar ist. Genauso sind

$\max(f,g)=\lim _{p\to +\infty }\max(f_{-p,p},g_{-p,p})$

und

$\min(f,g)=\lim _{p\to +\infty }\min(f_{-p,p},g_{-p,p})$

messbar und wegen $|f|=\max(f,-f)$ auch $|f|$.

b) Für alle $p>0$ und $k=1,\ldots ,\kappa$ sind $(f_{k})_{-p,p}\in L(X)$ beschränkte Funktionen. Nach §3, Satz 1 und §4, Satz 1 gehört dann die Funktion $\phi {\Bigl (}(f_{1})_{-p,p}(x),\ldots ,(f_{\kappa })_{-p,p}(x){\Bigr )}$ zu $L(X)$. Weiter gilt

$g(x)=\lim _{p\to +\infty }\phi {\Bigl (}(f_{1})_{-p,p}(x),\ldots ,(f_{\kappa })_{-p,p}(x){\Bigr )}$

für alle $x\in X$ und Satz 1 liefert die Messbarkeit von $g$.

q.e.d.

Definition 2

Für eine nicht negative, messbare Funktion $f$ setzen wir

$I(f):=\lim _{N\to +\infty }I(f_{0,N})\in [0,+\infty ].$

Definition 3

Eine Funktion $g:X\to {\overline {\mathbb {R} }}$ heißt einfach, wenn es endlich viele paarweise disjunkte Mengen $A_{1},\ldots ,A_{n^{*}}\in {\mathcal {S}}(X)$ und $\eta _{1},\ldots ,\eta _{n^{*}}\in \mathbb {R}$ mit $n^{*}\in \mathbb {N}$ gibt, so dass in $X$ die folgende Darstellung gilt:

$g=\sum _{k=1}^{n^{*}}\eta _{k}\chi _{A_{k}}.$

Satz 3 (Lebesguescher Auswahlsatz)

Sei $\{f_{k}\}_{k=1,2,\ldots }$ eine Folge aus $L(X)$ mit

$\lim _{k,l\to \infty }I(|f_{k}-f_{l}|)=0.$

Dann gibt es eine Nullmenge $N\subset X$ und eine monoton wachsende Teilfolge $\{k_{m}\}_{m=1,2,\ldots }$, so dass die Funktionenfolge $\{f_{k_{m}}(x)\}_{m=1,2,\ldots }$ für alle $x\in X\setminus N$ konvergiert und für den Grenzwert gilt

$\lim _{m\to \infty }f_{k_{m}}(x)=:f(x)\in L(X).$

Aus einer Cauchy-Folge bez. dem Integral $I$ können wir also eine f. ü. konvergente Teilfolge auswählen.

Beweis

Auf der Nullmenge

$N_{1}:=\bigcup _{k=1}^{\infty }{\Bigl \{}x\in X:|f_{k}(x)|=+\infty {\Bigr \}}$

ändern wir die Funktionen $f_{k}$ zu

${\tilde {f}}_{k}(x):=\left\{{\begin{matrix}f_{k}(x),x\in X\setminus N_{1}\\0,x\in N_{1}\end{matrix}}\right.$

ab. So können wir o. E. die Funktionen $\{f_{k}\}_{k=1,2,\ldots }$ als endlichwertig annehmen. Wegen

$\lim _{p,l\to \infty }I(|f_{p}-f_{l}|)=0$

gibt es eine Teilfolge $k_{1}<k_{2}<\ldots$ mit der Eigenschaft

$I(|f_{p}-f_{l}|)\leq {\frac {1}{2^{m}}}$ für alle $p,l\geq k_{m},\quad m=1,2,\ldots$.

Insbesondere folgen nun

$I(|f_{k_{m+1}}-f_{k_{m}}|)\leq {\frac {1}{2^{m}}},\quad m=1,2,\ldots$

und

$\sum _{m=1}^{\infty }I(|f_{k_{m+1}}-f_{k_{m}}|)\leq 1.$

Nach dem Satz von Levi gehört die Funktion

$g(x):=\sum _{m=1}^{\infty }|f_{k_{m+1}}(x)-f_{k_{m}}(x)|,\quad x\in X$

zu $L(X)$ und $N_{2}:=\{x\in X\setminus N_{1}:|g(x)|=+\infty \}$ ist eine Nullmenge. Also konvergiert die Reihe

$\sum _{m=1}^{\infty }|f_{k_{m+1}}(x)-f_{k_{m}}(x)|$ für alle $x\in X\setminus N$ mit $N:=N_{1}\cup N_{2}$

und folglich auch die Reihe

$\sum _{m=1}^{\infty }{\Bigl (}f_{k_{m+1}}(x)-f_{k_{m}}(x){\Bigr )}.$

Der Grenzwert

$\lim _{m\to \infty }{\Bigl (}f_{k_{m}}(x)-f_{k_{1}}(x){\Bigr )}=:f(x)-f_{k_{1}}(x)$

existiert also für alle $x\in X\setminus N$ und somit ist die Folge $\{f_{k_{m}}\}_{m=1,2,\ldots }$ auf $X\setminus N$ konvergent gegen $f$. Wegen $g\in L(X)$ und

$|f_{k_{m}}(x)-f_{k_{1}}(x)|\leq |g(x)|$

ist der Lebesguesche Konvergenzsatz anwendbar. Es folgen $f\in L(X)$ und

$I(f)=\lim _{m\to \infty }I(f_{k_{m}}).$

q.e.d.

Satz 4 (f. ü.-Approximation)

Sei $f$ eine messbare Funktion mit $|f(x)|\leq c,x\in X,c\in (0,+\infty )$. Dann gibt es eine Folge $\{f_{k}\}_{k=1,2,\ldots }\subset M(X)$ mit $|f_{k}(x)|\leq c,x\in X,k\in \mathbb {N}$, so dass $f_{k}(x)\to f(x)$ f. ü. in $X$ gilt.

Beweis

Da $f$ messbar ist und durch die konstante Funktion $c\in L(X)$ majorisiert wird, ist $f\in L(X)$. Nun gibt es eine Folge $\{g_{k}\}_{k=1,2,\ldots }\subset M(X)$ mit $I(|f-g_{k}|)\to 0$ für $k\to \infty$. Wir setzen

$h_{k}(x):=(g_{k})_{-c,c}(x)$

und beachten $h_{k}\in M(X),|h_{k}(x)|\leq c$ für alle $x\in X$ und alle $k\in \mathbb {N}$. Wegen

$|h_{k}-f|=|(g_{k})_{-c,c}-f_{-c,c}|=|(g_{k}-f)_{-c,c}|\leq |g_{k}-f|$

folgt

$\lim _{k\to \infty }I(|h_{k}-f|)\leq \lim _{k\to \infty }I(|g_{k}-f|)=0.$

Wegen

$I(|h_{k}-h_{l}|)\leq I(|h_{k}-f|)+I(|f-h_{l}|)\to 0$ für $k,l\to \infty$

liefert der Lebesguesche Auswahlsatz eine Nullmenge $N_{1}\subset X$ und eine monoton wachsende Teilfolge $\{k_{m}\}_{m=1,2,\ldots }$, so dass

$h(x):=\lim _{m\to \infty }h_{k_{m}}(x)$

für alle $x\in X\setminus N_{1}$ existiert. Wir setzen $h$ auf die Nullmenge fort durch $h(x):=0$ für alle $x\in N_{1}$. Nun gilt

$\lim _{m\to \infty }|h_{k_{m}}(x)-f(x)|=|h(x)-f(x)|$ in $X\setminus N_{1}$.

Der Satz von Fatou liefert

$I(|h-f|)\leq \lim _{m\to \infty }I(|h_{k_{m}}-f|)=0.$

Somit gibt es eine Nullmenge $N_{2}\subset X$, so dass

$f(x)=h(x)$ für alle $x\in X\setminus N_{2}$

gilt. Setzen wir $N:=N_{1}\cup N_{2}$ und $f_{m}(x):=h_{k_{m}}(x)$, so ist offensichtlich $f_{m}(x)\in M(X),|f_{m}(x)|\leq c$ für alle $x\in X$ und alle $m\in \mathbb {N}$ und es gilt

$\lim _{m\to \infty }f_{m}(x)=\lim _{m\to \infty }h_{k_{m}}(x){\stackrel {x\notin N_{1}}{=}}h(x){\stackrel {x\notin N_{2}}{=}}f(x)$ für alle $x\in X\setminus N$.

Somit folgt $f_{m}(x)\to f(x)$ für alle $x\in X\setminus N$.

q.e.d.

Satz 5 (Egorov)

Seien die messbare Menge $B\subset X$ und die messbaren f. ü. endlichwertigen Funktionen $f:B\to {\overline {\mathbb {R} }}$ und $f_{k}:B\to {\overline {\mathbb {R} }},k\in \mathbb {N}$ mit der Eigenschaft $f_{k}(x)\to f(x)$ f. ü. in $B$ gegeben. Dann gibt es zu jedem $\delta >0$ eine abgeschlossene Menge $A\subset B$ mit $\mu (B\setminus A)<\delta$, so dass $f_{k}(x)\to f(x)$ gleichmäßig auf $A$ gilt.

Beweis

Wir betrachten die Nullmenge

$N:={\Bigl \{}x\in B:f_{k}(x)\to f(x)\mathrm {\ ist\ nicht\ erf{\ddot {u}}llt} {\Bigr \}}$

$=\left\{x\in B:\mathrm {zu\ } m\in \mathbb {N} \mathrm {\ und\ f{\ddot {u}}r\ alle\ } l\in \mathbb {N} \mathrm {\ existiert\ ein\ } k\geq l\mathrm {\ mit\ } |f_{k}(x)-f(x)|>{\frac {1}{m}}\right\}$

$=\bigcup _{m=1}^{\infty }\bigcap _{l=1}^{\infty }\bigcup _{k\geq l}\left\{x\in B:|f_{k}(x)-f(x)|>{\frac {1}{m}}\right\}=\bigcup _{m=1}^{\infty }B_{m},$

wobei

$B_{m}:=\bigcap _{l=1}^{\infty }\bigcup _{k\geq l}\left\{x\in B:|f_{k}(x)-f(x)|>{\frac {1}{m}}\right\}$

gesetzt wurde. Es gilt $B_{m}\subset N$ und somit $\mu (B_{m})=0$ für alle $m\in \mathbb {N}$. Mit

$B_{m,l}:=\bigcup _{k\geq l}\left\{x\in B:|f_{k}(x)-f(x)|>{\frac {1}{m}}\right\}$

folgt $B_{m,l}\supset B_{m,l+1}$ für alle $m,l\in \mathbb {N}$. Aus

$B_{m}=\bigcap _{l=1}^{\infty }B_{m,l}$

erhalten wir dann

$0=\mu (B_{m})=\lim _{l\to \infty }\mu (B_{m,l}).$

Somit gibt es zu jedem $m\in \mathbb {N}$ ein $l_{m}\in \mathbb {N}$ mit $l_{m}<l_{m+1}$, so dass

$\mu \left(\bigcup _{k\geq l_{m}}\left\{x\in B:|f_{k}(x)-f(x)|>{\frac {1}{m}}\right\}\right)=\mu (B_{m,l_{m}})<{\frac {\delta }{2^{m+1}}}$

gilt. Wir setzen

${\hat {B}}_{m}:=B_{m,l_{m}}$ und ${\hat {B}}:=\bigcup _{m=1}^{\infty }{\hat {B}}_{m}$.

Offenbar ist ${\hat {B}}$ messbar und es ist

$\mu ({\hat {B}})\leq \sum _{m=1}^{\infty }\mu ({\hat {B}}_{m})\leq {\frac {\delta }{2}}$

erfüllt. Erklären wir noch ${\hat {A}}:=B\setminus {\hat {B}}$, so finden wir

${\hat {A}}=B\cap \left(\bigcup _{m=1}^{\infty }{\hat {B}}_{m}\right)^{c}=B\cap \left(\bigcap _{m=1}^{\infty }{\hat {B}}_{m}^{c}\right)$

$=\bigcap _{m=1}^{\infty }\left\{x\in B:|f_{k}(x)-f(x)|\leq {\frac {1}{m}}\mathrm {\ f{\ddot {u}}r\ alle\ } k\geq l_{m}\right\}.$

Für alle $x\in {\hat {A}}$ gibt es also zu vorgegebenem $m\in \mathbb {N}$ ein $l_{m}\in \mathbb {N}$, so dass

$|f_{k}(x)-f(x)|\leq {\frac {1}{m}}$

für alle $k\geq l_{m}$ gilt. Folglich konvergiert $\left\{f_{k}{\bigl |}_{\hat {A}}\right\}_{k=1,2,\ldots }$ gleichmäßig gegen $f{\bigl |}_{\hat {A}}$. Gemäß §3, Satz 5 wählen wir nun eine abgeschlossene Menge $A\subset {\hat {A}}$ mit

$\mu ({\hat {A}}\setminus A)<{\frac {\delta }{2}}.$

Dann konvergiert wegen $A\subset {\hat {A}}$ auch $\left\{f_{k}{\bigl |}_{A}\right\}_{k=1,2,\ldots }$ gleichmäßig gegen $f{\bigl |}_{A}$. Beachten wir noch $B\setminus {\hat {A}}={\hat {B}}$, so folgt

$\mu (B\setminus A)=\mu (B\setminus {\hat {A}})+\mu ({\hat {A}}\setminus A)<{\frac {\delta }{2}}+{\frac {\delta }{2}}=\delta .$

q.e.d.

Satz 6 (Lusin)

Sei $f:B\to \mathbb {R}$ eine messbare Funktion auf der messbaren Menge $B\subset X$. Dann gibt es zu jedem $\delta >0$ eine abgeschlossene Menge $A\subset X$ mit $\mu (B\setminus A)<\delta$, so dass $f{\bigl |}_{A}A\to \mathbb {R}$ stetig ist.

Beweis

Für $j=1,2,\ldots$ betrachten wir die abgeschnittenen Funktionen

$f_{j}(x):=\left\{{\begin{matrix}-j,&f(x)\in [-\infty ,-j]\\f(x),&f(x)\in [-j,+j]\\+j,&f(x)\in [+j,+\infty ]\end{matrix}}.\right.$

Die Funktionen $f_{j}:B\to \mathbb {R}$ sind messbar und es gilt

$|f_{j}(x)|\leq j$ für alle $x\in B$.

Nach Satz 9 und wegen $M(X)\subset C^{0}(X)$ existiert für jedes $j\in \mathbb {N}$ eine Folge stetiger Funktionen $f_{j,k}:B\to \mathbb {R}$ mit

$\lim _{k\to \infty }f_{j,k}(x)=f_{j}(x)$ f. ü. in $B$.

Nach dem Egorovschen Satz gibt es nun zu $j=1,2,\ldots$ eine abgeschlossene Menge $A_{j}\subset B$ mit

$\mu (B\setminus A_{j})<{\frac {\delta }{2^{j+1}}},$

so dass die Funktionenfolgen $\left\{f_{j,k}{\bigl |}_{A_{j}}\right\}_{k=1,2,\ldots }$ gleichmäßig gegen $f_{j}{\bigl |}_{A_{j}}$ konvergieren. Nach dem Weierstraßschen Konvergenzsatz ist dann $f_{j}{\bigl |}_{A_{j}}$ für alle $j\in \mathbb {N}$ stetig. Die Menge

${\hat {A}}:=\bigcap _{j=1}^{\infty }A_{j}\subset B$

ist abgeschlossen und es gilt

$\mu (B\setminus {\hat {A}})\leq \sum _{j=1}^{\infty }\mu (B\setminus A_{j})<\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {\delta }{2^{j+1}}}={\frac {\delta }{2}}.$

Nun sind für alle $j\in \mathbb {N}$ die Funktionen $f_{j}:{\hat {A}}\to \mathbb {R}$ stetig und wir wissen

$f(x)=\lim _{j\to \infty }f_{j}(x)$ in ${\hat {A}}$.

Nach dem Egorovschen Satz gibt es eine abgeschlossene Menge $A\subset {\hat {A}}$ mit

$\mu ({\hat {A}}\setminus A)<{\frac {\delta }{2}},$

so dass $f_{j}$ gleichmäßig auf $A$ gegen $f$ konvergiert. Damit ist $f{\bigr |}_{A}$ stetig und es gilt

$\mu (B\setminus A)=\mu (B\setminus {\hat {A}})+\mu ({\hat {A}}\setminus A)<{\frac {\delta }{2}}+{\frac {\delta }{2}}=\delta .$

q.e.d.