Kurs:Analysis III/Kapitel II: Grundlagen der Funktionalanalysis/§5 Das Riemannsche und Lebesguesche Integral auf Quadern

Satz 1 (Fubini)

Sei $f(x,y):Q\times R\to [0,+\infty ]$ eine messbare Funktion. Dann gibt es eine Nullmenge $E\subset Q$, so dass für alle $x\in Q\setminus E$ die Funktion $f(x,y),y\in R$ messbar ist. Setzen wir nun

$\varphi (x):=\left\{{\begin{matrix}\int \limits _{R}f(x,y)\,dy,&x\in Q\setminus E\\0,&x\in E\end{matrix}},\right.$

so ist $\varphi$ eine nichtnegative messbare Funktion und es gilt

$\iint \limits _{Q\times R}f(x,y)\,dxdy=\int \limits _{Q}\varphi (x)\,dx.$

Beweis

Für $n=1,2,\ldots$ betrachten wir

$f_{n}(x,y):=\left\{{\begin{pmatrix}f(x,y),&{\text{falls }}f(x,y)\in [0,n]\\n,&{\text{sonst}}\end{pmatrix}}\right.$

mit $f_{n}\in L(Q\times R)$. Zu jedem $n\in \mathbb {N}$ gibt es nach §4, Satz 9 eine Nullmenge $N_{n}\subset Q\times R$ und eine Funktionenfolge $f_{n,m}(x,y)\in C_{0}^{0}(Q\times R)$ mit $|f_{n,m}|\leq n$ auf $Q\times R$, so dass folgendes gilt:

$\lim _{m\to \infty }f_{n,m}(x,y)=f_{n}(x,y)$ für alle $(x,y)\in (Q\times R)\setminus N_{n}$.

Für jedes feste $n\in \mathbb {N}$ gibt es eine Nullmenge $E_{n}\subset Q$, so dass für alle $x\in Q\setminus E_{n}$ die Menge $\{y\in R:(x,y)\in N_{n}\}\subset R$ eine Nullmenge ist. Der Lebesguesche Konvergenzsatz liefert nun

$\iint \limits _{Q\times R}f_{n}(x,y)\,dxdy=\lim _{m\to \infty }\iint \limits _{Q\times R}f_{n,m}(x,y)\,dxdy$

$=\lim _{m\to \infty }\int \limits _{Q}\left(\int \limits _{R}f_{n,m}(x,y)\,dy\right)\,dx=\lim _{m\to \infty }\int \limits _{Q\setminus E_{n}}\left(\int \limits _{R}f_{n,m}(x,y)\,dy\right)\,dx$

$=\int \limits _{Q\setminus E_{n}}\left(\int \limits _{R}\underbrace {f_{n}(x,y)} _{\in L(R)}\,dy\right)\,dx.$

Nun ist auch

$E:=\bigcup _{n=1}^{\infty }E_{n}\subset Q$

eine Nullmenge und es gilt

$\iint \limits _{Q\times R}f_{n}(x,y)\,dxdy=\int \limits _{Q\setminus E}\left(\int \limits _{R}f_{n}(x,y)\,dy\right)\,dx.$

Der Satz 6 aus §4 liefert nun

$\iint \limits _{Q\times R}f(x,y)\,dxdy=\lim _{n\to \infty }\left(\iint \limits _{Q\times R}f_{n}(x,y)\,dxdy\right)$

$=\lim _{n\to \infty }\int \limits _{Q\setminus E}\left(\int \limits _{R}f_{n}(x,y)\,dy\right)\,dx=\int \limits _{Q\setminus E}\left(\int \limits _{R}f(x,y)\,dy\right)\,dx$

$=\int \limits _{Q}\varphi (x)\,dx.$