Kurs:Analysis III/Kapitel III: Der Brouwersche Abbildungsgrad mit geometrischen Anwendungen

§1 Die Umlaufszahl

Definition 1

Zu $k\in \mathbb {N} _{0}$ erklären wir durch

$\Gamma _{k}:={\Bigl \{}\varphi =\varphi (t):\mathbb {R} \to \mathbb {C} \in C^{k}(\mathbb {R} ,\mathbb {C} ):\varphi (t+2\pi )=\varphi (t)\ f{\ddot {u}}r\ alle\ t\in \mathbb {R} {\Bigr \}}$

die Menge der $k$-mal stetig differenzierbaren $(k\geq 1)$ bzw. stetigen $(k=0)$ periodischen komplexwertigen Funktionen.

Definition 2

Sei $\varphi \in \Gamma _{1}$ mit $\varphi \neq 0$ für alle $t\in \mathbb {R}$ gegeben. Dann setzen wir

$W(\varphi )=W(\varphi ,0):={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{0}^{2\pi }{\frac {\varphi '(t)}{\varphi (t)}}\,dt$

als Windungszahl (Umlaufszahl) der geschlossenen Kurve $\varphi (t),0\leq t\leq 2\pi$ in Bezug auf den Punkt $z=0$.

Definition 3

Sei $\varphi \in \Gamma _{0}$ mit $\varphi (t)\neq 0$ für alle $t\in \mathbb {R}$. Ferner sei eine Folge von Funktionen $\{\varphi _{k}\}_{k=1,2,\ldots }\subset \Gamma _{1}$ mit $\varphi (t)\neq 0$ für alle $t\in \mathbb {R}$ und $k\in \mathbb {N}$ gegeben, die gleichmäßig in $[0,2\pi ]$ gegen $\varphi$ konvergiert, d. h. es gilt

$\lim _{k\to \infty }\varphi _{k}(t)=\varphi (t)$ für alle $t\in [0,2\pi ]$.

Dann setzen wir

$W(\varphi ):=\lim _{k\to \infty }W(\varphi _{k}).$

Satz 1 (Homotopielemma)

Sei die Schar von stetigen Kurven $\Phi _{\tau }(t)=\varphi (t,\tau )\in \Gamma _{0}$ für $\tau ^{-}\leq \tau \leq \tau ^{+}$ gegeben. Ferner gelten $\varphi (t,\tau )\in C^{0}([0,2\pi ]\times [\tau ^{-},\tau ^{+}],\mathbb {R} ^{2})$ und

$\varphi (t,\tau )\neq 0$ für alle $(t,\tau )\in [0,2\pi ]\times [\tau ^{-},\tau ^{+}]$.

Dann ist $W(\varphi _{\tau })$ in $[\tau ^{-},\tau ^{+}]$ konstant.

Beweis

Wegen $\varphi (t,\tau )\neq 0$ und der Kompaktheit der Menge $[0,2\pi ]\times [\tau ^{-},\tau ^{+}]$ gibt es ein $\varepsilon >0$, so dass $|\varphi (t,\tau )|>\varepsilon$ für alle $(t,\tau )\in [0,2\pi ]\times [\tau ^{-},\tau ^{+}]$ gilt. Da $\varphi$ auf $[0,2\pi ]\times [\tau ^{-},\tau ^{+}]$ gleichmäßig stetig ist, gibt es ein $\delta (\varepsilon )>0$ mit der Eigenschaft

$|\varphi (t,\tau ^{*})-\varphi (t,\tau ^{**})|>\varepsilon$ für alle $t\in [0,2\pi ]$, falls $|\tau ^{*}-\tau ^{**}|<\delta (\varepsilon )$.

Seien nun $\{\varphi _{k}^{*}\}_{k=1,2,\ldots }\subset \Gamma _{1}$ und $\{\varphi _{k}^{**}\}_{k=1,2,\ldots }\subset \Gamma _{1}$ zwei approximierende Folgen mit

$\lim _{k\to \infty }\varphi _{k}^{*}(t)=\varphi (t,\tau ^{*})$ bzw. $\lim _{k\to \infty }\varphi _{k}^{**}(t)=\varphi (t,\tau ^{**})$ für alle $t\in [0,2\pi ]$.

Dann gibt es ein $k_{0}\in \mathbb {N}$, so dass für alle $k\geq k_{0}$ folgendes gilt:

$|\varphi _{k}^{*}(t)|>\varepsilon ,\quad |\varphi _{k}^{**}(t)|>\varepsilon ,\quad |\varphi _{k}^{*}(t)-\varphi _{k}^{**}(t)|<\varepsilon$ für alle $t\in [0,2\pi ]$.

Es gilt nun $W(\varphi _{k}^{*})=W(\varphi _{k}^{**})$ für alle $k\geq k_{0}$ und es folgt

$W(\Phi _{\tau ^{*}})=W(\Phi _{\tau ^{**}})$ für alle $\tau ^{*},\tau ^{**}\in [\tau ^{-},\tau ^{+}]$ mit $|\tau ^{*}-\tau ^{**}|<\delta (\varepsilon )$.

Da $\delta (\varepsilon )$ nicht von $\tau ^{*},\tau ^{**}$ abhängt und $[\tau ^{-},\tau ^{+}]$ kompakt ist, liefert ein Fortsetzungsargument $W(\varphi _{\tau })=\operatorname {const}$ für $\tau \in [\tau ^{-},\tau ^{+}]$.

Satz 2 (Rouché)

Zu festem $R>0$ seien $f_{0},f_{1}:B_{R}\to \mathbb {C}$ zwei stetige Funktionen mit der Eigenschaft

$|f_{1}(z)-f_{0}(z)|<|f_{0}(z)|$ für alle $z\in \partial B_{R}$.

Für die Kurve $\varphi _{0}(t):=f_{0}(Re^{it})$ gelten

$\varphi _{0}(t)\neq 0$ für $0\leq t\leq 2\pi$ sowie $W(\varphi _{0})\neq 0$.

Dann existiert ein $z_{*}\in {\stackrel {\circ }{B}}$ mit $f_{1}(z_{*})=0$.

Beweis

Wir setzen $\varphi _{1}(t):=f_{1}(Re^{it}),0\leq t\leq 2\pi$ und betrachten die Homotopie

$\Phi _{\tau }(t)=\varphi (t,\tau ):=(1-\tau )\varphi _{0}(t)+\tau \varphi _{1}(t),\quad 0\leq t\leq 2\pi .$

Wegen

$|\varphi (t,\tau )|=|\varphi _{0}(t)+\tau (\varphi _{1}(t)-\varphi _{0}(t))|\geq |\varphi _{0}(t)|-|\varphi _{1}(t)-\varphi _{0}(t)|>0$

für alle $(t,\tau )\in [0,2\pi ]\times [0,1]$ liefert das Homotopielemma $W(\varphi _{0})=W(\varphi _{1})\neq 0$ und nun existiert ein $z_{*}\in {\stackrel {\circ }{B}}$ mit $f_{1}(z_{*})=0$.

q.e.d.

Satz 3 (Fundamentalsatz der Algebra)

Jedes komplexe Polynom

$f(z)=z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\ldots +a_{0}$

vom Grade $n\in \mathbb {N}$ besitzt mindestens eine komplexe Nullstelle.

Beweis

Wir setzen $f_{0}(z):=z^{n},z\in \mathbb {C}$ und betrachten zu festem $R>0$ die Funktion

$\varphi _{0}(t):=f(Re^{it})=R^{n}e^{int},\quad 0\leq t\leq 2\pi .$

Wir berechnen

$W(\varphi _{0})={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{0}^{2\pi }{\frac {\varphi '_{0}(t)}{\varphi _{0}(t)}}\,dt={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{0}^{2\pi }{\frac {inR^{n}e^{int}}{R^{n}e^{int}}}\,dt=n\in \mathbb {N} .$

Wir wählen nun $R>0$ so groß, dass für alle $z\in \mathbb {C}$ mit $|z|=R$ die Ungleichung

$|f_{0}(z)|=R^{n}>|f(z)-f_{0}(z)|=|a_{n-1}z^{n-1}+\ldots +a_{0}|$

richtig ist. Dann gibt es nach dem Satz von Rouché ein $z_{*}\in \mathbb {C}$ mit $|z_{*}|<R$, so dass $f(z_{*})=0$ erfüllt ist.

Satz 4 (Brouwerscher Fixpunktsatz)

Sei $f(z):B_{R}\to B_{R}$ eine stetige Abbildung. Dann hat $f$ mindestens einen Fixpunkt, d. h. es gibt ein $z_{*}\in B_{R}$ mit $f(z_{*})=z_{*}$.

Beweis

Wir betrachten die Schar von Abbildungen

$g(z,\tau ):=z-\tau f(z),\quad z\in B_{R},\quad \tau \in [0,1).$

Für alle $z\in \partial B_{R}$ gilt

$|g(z,\tau )|\geq |z|-\tau |f(z)|\geq R(1-\tau )>0.$

Nun wenden wir den Satz von Rouché auf die Funktion $f_{0}(z):=z$ mit der Randfunktion $\varphi _{0}(t)=Re^{it}$ und auf $f_{1}(z):=g(z,\tau )$ für ein festes $\tau \in [0,1)$ an. Wir finden dann für jedes $\tau \in [0,1)$ ein $z_{\tau }\in {\stackrel {\circ }{B}}_{R}$ mit der Eigenschaft

$0=g_{\tau }(z_{\tau })=z_{\tau }-\tau f(z_{\tau }).$

Wählen wir speziell $\tau _{n}=1-{\frac {1}{n}},n=1,2,\ldots$, so folgt

$\left(1-{\frac {1}{n}}\right)f(z_{n})=z_{n},\quad n=1,2,\ldots ,$

wobei wir noch $z_{n}:=z_{\tau _{n}}$ gesetzt haben. Nach Auswahl einer in $B_{R}$ konvergenten Teilfolge erhalten wir wegen der Stetigkeit von $f$

$z_{*}:=\lim _{k\to \infty }z_{n_{k}}=\lim _{k\to \infty }\tau _{n_{k}}f(z_{n_{k}})=\lim _{k\to \infty }f(z_{n_{k}})=f(z_{*}).$

Definition 4

Sei $z\in \mathbb {C}$ ein beliebiger Punkt und die Funktion $\varphi (t)\in \Gamma _{0}$ genüge der Bedingung $\varphi (t)\neq z$ für alle $t\in \mathbb {R}$. Dann nennen wir

$W(\varphi ,z):=W(\varphi (t)-z)$

die Umlaufszahl der Kurve $\varphi$ um den Punkt $z$.

Definition 5

Sei die stetige Funktion $f=f(z):\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|\leq \varepsilon _{0}\}\to \mathbb {C}$ mit $z_{0}\in \mathbb {C}$ und $\varepsilon _{0}>0$ gegeben, welche in $z_{0}$ eine isolierte Nullstelle besitzt, d. h. es gelten

$f(z_{0})=0$ und $f(z)\neq 0$ für alle $0<|z-z_{0}|\leq \varepsilon _{0}$

Dann erklären wir den Index von $f$ in Bezug auf $z=z_{0}$ wie folgt:

$i(f,z_{0}):=W(\varphi )$ mit $\varphi (t)=f(z_{0}+\varepsilon e^{it}),\quad 0\leq t\leq 2\pi ,\quad 0<\varepsilon \leq \varepsilon _{0}$.

Satz 5 (Indexsummenformel)

Die Funktion $f\in C^{2}(B_{R},\mathbb {C} )$ habe die Randfunktion $\varphi (t):=f(Re^{it})\neq 0$ mit $t\in [0,2\pi ]$. Ferner besitze $f$ in ${\stackrel {\circ }{B}}_{R}$ die paarweise verschiedenen Nullstellen $z_{k}$ mit zugehörigem Index $i(f,z_{k}),k=1,\ldots ,p$ und $p\in \mathbb {N} _{0}$. Dann gilt die Identität

$W(\varphi )=\sum _{k=1}^{p}i(f,z_{k}).$

Beweis

1. Wir setzen

$F(x,y):=\log f(x,y),\quad (x,y)\in B_{R}$

und berechnen

$W(\varphi )={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{0}^{2\pi }{\frac {\varphi '(t)}{\varphi (t)}}\,dt={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{0}^{2\pi }{\frac {{\frac {d}{dt}}f(Re^{it})}{f(Re^{it})}}\,dt$

$={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{0}^{2\pi }{\frac {f_{x}(Re^{it})(-R\sin t)+f_{y}(Re^{it})(R\cos t)}{f(Re^{it})}}\,dt$

$={\frac {1}{2\pi i}}\oint \limits _{\partial B_{R}}\{F_{x}\,dx+F_{y}\,dy\}={\frac {1}{2\pi i}}\oint \limits _{\partial B_{R}}dF$

mit der 1-Form $dF=F_{x}(x,y)\,dx+F_{y}(x,y)\,dy$. Dabei wird $\partial B_{R}$ in mathematisch positivem Sinn durchlaufen.

2. Zu hinreichend kleinem $\varepsilon >0$ betrachten wir das Gebiet

$\Omega (\varepsilon ):=\left\{z\in {\stackrel {\circ }{B}}_{R}:|z-z_{k}|>\varepsilon \ \mathrm {f{\ddot {u}}r\ } k=1,\ldots ,p\right\}.$

Setzen wir

$\varphi _{k}(t):=f(z_{k}+\varepsilon e^{it}),\quad t\in [0,2\pi ],\quad k=1,\ldots ,p,$

so folgt wie in Teil 1 des Beweises

$W(\varphi _{k})={\frac {1}{2\pi i}}\oint \limits _{|z-z_{k}|=\varepsilon }dF,\quad k=1,\ldots ,p,$

wobei die Kurven $|z-z_{k}|=\varepsilon$ in mathematisch positivem Sinn durchlaufen werden. Der Stokessche Integralsatz liefert nun

$W(\varphi )-\sum _{k=1}^{p}i(f,z_{k})=W(\varphi )-\sum _{k=1}^{p}W(\varphi _{k})$

$={\frac {1}{2\pi i}}\oint \limits _{\partial B_{R}}dF-{\frac {1}{2\pi i}}\sum _{k=1}^{p}\oint \limits _{|z-z_{k}|=\varepsilon }dF={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\partial \Omega (\varepsilon )}dF={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\Omega (\varepsilon )}ddF=0.$

q.e.d.

§2 Der Abbildungsgrad im $\mathbb {R} ^{n}$

Definition 1

Seien $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ eine beschränkte, offene Menge im $\mathbb {R} ^{n}$ und

$f=(f_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ldots ,f_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n}))\in A^{k}(\Omega ):=C^{k}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})\cap C^{0}({\overline {\Omega }},\mathbb {R} ^{n})$

für $k\in \mathbb {N}$ eine Funktion mit $f(x)\neq 0$ für alle $x\in \partial \Omega$. Mit einem $0<\varepsilon <\inf\{|f(x)|:x\in \partial \Omega \}$ betrachten wir eine Funktion $\omega \in C^{0}([0,+\infty ),\mathbb {R} )$ mit den Eigenschaften

(a) $\omega (r)=0$ für alle $r\in [0,\delta ]\cup [\varepsilon ,+\infty )$ und für ein $\delta \in (0,\varepsilon )$,

(b) es gelte

$\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}\omega (|y|)\,dy=1.$

Dann erklären wir den Brouwerschen Abbildungsgrad von $f$ bezüglich $y=0$ gemäß

$d(f,\Omega )=d(f,\Omega ,0):=\int \limits _{\Omega }\omega (|f(x)|)J_{f}(x)\,dx.$

Dabei ist

$J_{f}(x)={\frac {\partial (f_{1},\ldots ,f_{n})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{n})}},\quad x\in \Omega$

die Funktionaldeterminante der Abbildung $f$.

Definition 2

Sei $f(x)\in A^{0}(\Omega ):=C^{0}({\overline {\Omega }},\mathbb {R} ^{n})$ mit $f(x)\neq 0$ für alle $x\in \partial \Omega$ gegeben. Ferner sei $\{f_{k}\}_{k=1,2,\ldots }\subset A^{1}(\Omega )$ eine Funktionenfolge mit

$f_{k}(x)\neq 0$ für alle $x\in \partial \Omega$ und alle $k\in \mathbb {N}$

und es gelte

$f_{k}(x)\to f(x)$ für $k\to \infty$

gleichmäßig in ${\overline {\Omega }}$. Dann setzen wir

$d(f,\Omega ):=\lim _{k\to \infty }d(f_{k},\Omega )$

und nennen dieses den Brouwerschen Abbildungsgrad für stetige Funktionen.

Satz 1 (Homotopielemma)

Sei $f_{\tau }(x)\in A^{0}(\Omega )$ für $\tau \in [a,b]$ eine Schar stetiger Abbildungen mit den Eigenschaften

(a) $f_{\tau }(x)=f(x,\tau ):{\overline {\Omega }}\times [a,b]\to \mathbb {R} \in C^{0}({\overline {\Omega }}\times [a,b],\mathbb {R} )$,

(b) $f_{\tau }(x)\neq 0$ für alle $x\in \partial \Omega$ und alle $\tau \in [a,b]$.

Dann ist $d(f_{\tau },\Omega )=\operatorname {const}$ in $[a,b]$.

Beweis

Zunächst gibt es ein $\varepsilon >0$, so dass $|f_{\tau }(x)|>5\varepsilon$ für alle $x\in \partial \Omega$ und alle $\tau \in [a,b]$ richtig ist. Weiter existiert ein $\delta =\delta (\varepsilon )>0$, so dass für alle $\tau ^{*},\tau ^{**}\in [a,b]$ mit $|\tau ^{*}-\tau ^{**}|<\delta (\varepsilon )$ die Ungleichung

$|f(x,\tau ^{*})-f(x,\tau ^{**})|<\varepsilon$ für alle $x\in {\overline {\Omega }}$

gilt. Wir wählen nun mit

$\{f_{k}^{*}\}_{k=1,2,\ldots },\{f_{k}^{**}\}_{k=1,2,\ldots }\subset A^{1}(\Omega )$

zulässige Approximationsfolgen für $f_{\tau ^{*}}(x)$ bzw. $f_{\tau ^{**}}(x)$. Dann gibt es ein $k_{0}\in \mathbb {N}$, so dass die Ungleichungen

$|f_{k}^{*}(x)|>5\varepsilon ,\quad |f_{k}^{**}(x)|>5\varepsilon$ für alle $x\in \partial \Omega$ und alle $k\geq k_{0}$

sowie

$|f_{k}^{*}(x)-f_{k}^{**}(x)|<\varepsilon$ für alle $x\in {\overline {\Omega }}$ und alle $k\geq k_{0}$

erfüllt sind. Es gilt nun

$d(f_{k}^{*},\Omega )=d(f_{k}^{**},\Omega )$ für alle $k\geq k_{0}$

und es folgt

$d(f_{\tau ^{*}},\Omega )=d(f_{\tau ^{**}},\Omega )$ für alle $\tau ^{*},\tau ^{**}\in [a,b]$ mit $|\tau ^{*}-\tau ^{**}|<\delta (\varepsilon )$.

Dieses ergibt $d(f_{\tau },\Omega )=\operatorname {const}$ für $a\leq \tau \leq b$.

q.e.d.

Definition 3

Sei $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ eine beschränkte, offene Menge und $f(x):\partial \Omega \to \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}$ sei stetig. Weiter sei ${\hat {f}}(x):\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}\in C^{0}(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{n})$ mit ${\hat {f}}(x)=f(x)$ für alle $x\in \partial \Omega$ eine stetige Fortsetzung von $f$ auf den $\mathbb {R} ^{n}$. Dann setzen wir

$v(f,\partial \Omega ):=d({\hat {f}},\Omega )$

für die Ordnung von $f$ in Bezug auf den Punkt $z=0$.

§3 Geometrische Existenzsätze

Satz 1 (Brouwerscher Fixpunktsatz)

Jede stetige Abbildung $f(x):B\to B$ der Einheitskugel $B:=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:|x|\leq 1\}$ in sich besitzt einen Fixpunkt $\xi \in B$, für welchen also $\xi =f(\xi )$ gilt.

Beweis

Wir betrachten für alle $\tau \in [0,1)$ die Abbildung

$f_{\tau }(x)=x-\tau f(x),\quad x\in B,$

welche die Randbedingung

$|f_{\tau }(x)|\geq |x|-\tau |f(x)|\geq 1-\tau >0$ für alle $x\in \partial B$ und alle $\tau \in [0,1)$

erfüllt. Nun gibt es zu jedem $\tau \in [0,1)$ ein $x_{\tau }\in {\stackrel {\circ }{B}}$ mit $f_{\tau }(x)=0$ bzw. $\tau f(x_{\tau })=x_{\tau }$. Wir wählen nun eine Folge $\tau _{n}\uparrow 1$ für $n\to \infty$, so dass $\{x_{\tau _{n}}\}_{n=1,2,\ldots }$ in $B$ konvergiert. Dann folgt

$\xi :=\lim _{n\to \infty }x_{\tau _{n}}=\lim _{n\to \infty }\tau _{n}f(x_{\tau _{n}})=\lim _{n\to \infty }f(x_{\tau _{n}})=f(\xi ).$

q.e.d.

Satz 2 (Igelsatz von Poincaré und Brouwer)

Sei $n\in \mathbb {N}$ gerade. Mit

$S^{n}:={\Bigl \{}x\in \mathbb {R} ^{n+1}:|x|=1{\Bigr \}}$

bezeichnen wir die $n$-dimensionale Sphäre im $\mathbb {R} ^{n+1}$. Dann gibt es kein tangentiales, nullstellenfreies und stetiges Vektorfeld auf der Sphäre $S^{n}$.

Beweis

Wäre $\varphi :S^{n}\to \mathbb {R} ^{n+1}$ ein solches Vektorfeld, so wären $|\varphi (x)|>0$ und $(\varphi (x),x)=0$ für alle $x\in S^{n}$ erfüllt. Wir betrachten nun zu $\varepsilon =\pm 1$ die Abbildung $f(x):=\varepsilon x,x\in S^{n}$ und die Homotopie

$f_{\tau }(x)=(1-\tau )f(x)+\tau \varphi (x),\quad x\in S^{n}.$

Es gilt

$|f_{\tau }(x)|^{2}=(1-\tau )^{2}|f(x)|^{2}+\tau ^{2}|\varphi (x)|^{2}>0$

für alle $x\in S^{n}$ und alle $\tau \in [0,1]$. Es folgt

$v(\varphi ,S^{n})=v(f_{1},S^{n})=v(f_{0},S^{n})=v(f,S^{n})=\varepsilon ^{n+1}.$

Für gerades $n$ würde also

$-1=v(\varphi ,S^{n})=+1$

folgen. Das ist aber ein Widerspruch!

q.e.d.

§4 Der Index einer Abbildung

Definition 1

Sei $f(x)\in A^{0}(\Omega )$. Für ein $z\in \Omega$ und ein hinreichend kleines $\varepsilon >0$ gelte $f(z)=0$ und $f(x)\neq 0$ für alle $0<|x-z|\leq \varepsilon$. Dann nennen wir

$i(f,z):=d(f,B_{\varepsilon }(z))$

den Index von $f$ im Punkt $x=z$. Dabei ist $B_{\varepsilon }(z):=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:|x-z|<\varepsilon \}$.

Satz 1 (Sardsches Lemma)

Seien $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Menge und $f:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}\in C^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})$ eine stetig differenzierbare Abbildung. Ferner sei $F\subset \Omega$ kompakt und

$F^{*}:={\Bigl \{}y=f(x):x\in F,J_{f}(x)=0{\Bigr \}}$

die Menge ihrer kritischen Werte. Dann ist $F^{*}$ eine $n$-dimensionale Lebesgue-Nullmenge.

Beweis

Wir können ohne Einschränkung annehmen, dass $F$ ein Würfel ist:

$F=W={\Bigl \{}x\in \mathbb {R} ^{n}:a_{i}\leq x_{i}\leq a_{i}+h,i=1,\ldots ,n{\Bigr \}}.$

Wir nehmen nun eine gleichmäßige Zerlegung des Würfels $W$ in $N^{n}$ Würfel der Kantenlänge ${\frac {h}{N}}$ mit $N\in \mathbb {N}$, indem wir auf den Achsen die Zerlegung $a_{i}+j{\frac {h}{N}}$ mit $i=1,\ldots ,n,j=0,1,\ldots ,N$ zugrunde legen. Damit erhalten wir die Würfel $W_{\alpha },\alpha =1,\ldots ,N^{n}$ mit den Eigenschaften

$W=\bigcup _{\alpha =1}^{N^{n}}W_{\alpha },\quad {\stackrel {\circ }{W}}_{\alpha }\cap {\stackrel {\circ }{W}}_{\beta }=\emptyset \ (\alpha \neq \beta ).$

Der Durchmesser eines Würfels $W_{\alpha }$ berechnet sich gemäß

$\operatorname {diam} \,(W_{\alpha })={\sqrt {n}}{\frac {h}{N}}.$

Wir setzen nun

$M:=\sup _{x\in W}\|\partial f(x)\|{\text{ und }}\varepsilon _{N}:=\sup _{x',x''\in W \atop |x'-x''|\leq {\sqrt {n}}{\frac {h}{N}}}\|\partial f(x')-\partial f(x'')\|$

Sei $\mathbf {N} \subset \{1,\ldots ,N^{n}\}$ die Indexmenge, die zu den Würfeln $W_{\alpha }$ gehört, welche mindestens einen Punkt $\xi \in W_{\alpha }$ mit $J_{f}(\xi )=0$ enthalten. Dann folgt

$W^{*}\subset \bigcup _{\alpha \in \mathbf {N} }W_{\alpha }^{*}{\text{ mit }}W_{\alpha }^{*}:={\Bigl \{}y=f(x):x\in W_{\alpha }{\Bigr \}}$.

Es gibt nun für jedes $\alpha \in \mathbf {N}$ eine Funktion $\varphi _{\alpha }=\varphi _{\alpha }(y)\in C_{0}^{0}(\mathbb {R} ^{n},[0,1])$ mit $\varphi _{\alpha }(y)\geq \chi _{W_{\alpha }^{*}}(y),y\in \mathbb {R} ^{n}$ sowie

$\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}\varphi _{\alpha }(y)\,dy\leq K(M,n)\left({\frac {h}{N}}\right)^{n}\varepsilon _{N}.$

Dabei bezeichnet $\chi _{A}$ die charakteristische Funktion einer Menge $A$. Es folgt

$\chi _{W^{*}}(y)\leq \sum _{\alpha \in \mathbf {N} }\chi _{W_{\alpha }^{*}}(y)\leq \sum _{\alpha \in \mathbf {N} }\varphi _{\alpha }(y),\quad y\in \mathbb {R} ^{n}$

und für die Funktion $\sum _{\alpha \in \mathbf {N} }\varphi _{\alpha }\left(y\right)\in C_{0}^{0}(\mathbb {R} ^{n},[0,+\infty ))$ gilt

$\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}\left(\sum _{\alpha \in \mathbf {N} }\varphi _{\alpha }(y)\right)\,dy\leq \sum _{\alpha \in \mathbf {N} }\left(K(M,n)\left({\frac {h}{N}}\right)^{n}\varepsilon _{N}\right)\leq |W|K(M,n)\varepsilon _{N}$

für alle $N\in \mathbb {N}$. Für $N\to \infty$ folgt schließlich $\varepsilon _{N}\downarrow 0$ und somit ist $W^{*}$ eine $n$-dimensionale Lebesguesche Nullmenge.

Satz 2 (Generische Endlichkeit)

Sei $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ eine beschränkte, offene Menge und $f\in A^{1}(\Omega )$ mit $\inf _{x\in \partial \Omega }|f(x)|>\varepsilon >0$. Dann gibt es ein $z\in \mathbb {R} ^{n}$ mit $|z|\leq \varepsilon$, so dass folgendes gilt:

(1) Die Gleichung $f(x)=z,x\in {\overline {\Omega }}$ hat höchstens endlich viele Lösungen $x^{(1)},\ldots ,x^{(N)}\in \Omega$.

(2) Für $\nu =1,\ldots ,N$ ist $J_{f}(x^{(\nu )})\neq 0$ richtig.

Beweis

Sei

$F:={\Bigl \{}x\in {\overline {\Omega }}:|f(x)|\leq \varepsilon {\Bigr \}},$

so ist $F\subset \mathbb {R} ^{n}$ kompakt und es gilt $F\subset \Omega$. Die Menge

$F^{*}:={\Bigl \{}y=f(x):x\in F,J_{f}(x)=0{\Bigr \}}$

der kritischen Werte von $f$ ist nach dem Sardschen Lemma eine Lebesguesche Nullmenge. Somit existiert ein $z\in \mathbb {R} ^{n}$ mit $|z|\leq \varepsilon$ und $z\notin F^{*}$. Wir zeigen nun, dass mit diesem $z$ die Eigenschaft (1) gilt: Angenommen, die Gleichung $f(x)=z$ hätte unendlich viele Lösungen $x^{1},x^{2},\ldots \in {\overline {\Omega }}$ und ohne Einschränkung gelte $x^{\nu }\to \xi$ für $\nu \to \infty$. Wegen $f(x^{\nu })=f(\xi )=z$ für alle $\nu \in \mathbb {N}$ würden sich die $z$-Stellen von $f$ im Punkt $\xi$ häufen. Da aber $\xi \in \Omega$ und $J_{f}(\xi )\neq 0$ sind, ist $f$ dort lokal injektiv und wir erhalten einen Widerspruch. Folglich gibt es nur endlich viele Lösungen der Gleichung $f(x)=z,x\in {\overline {\Omega }}$, die offenbar alle die Eigenschaft (2) haben.

q.e.d.

§5 Der Produktsatz

Definition 1

Sei ${\mathcal {O}}\subset \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Menge und $x\in {\mathcal {O}}$. Dann nennen wir die Menge

$G_{x}:=\left\{y\in {\mathcal {O}}:{\begin{matrix}es\ existiert\ ein\ \varphi (t):[0,1]\to {\mathcal {O}}\in C^{0}([0,1])\\mit\ \varphi (0)=x\ und\ \varphi (1)=y\end{matrix}}\right\}$

die Zusammenhangskomponente von $x$ in ${\mathcal {O}}$.

Definition 2

Zu einer Funktion $\varphi \in C_{0}^{0}(\mathbb {R} ^{n})$ nennen wir

$\operatorname {supp} \,\varphi ={\overline {{\Bigl \{}x\in \mathbb {R} ^{n}:\varphi (x)\neq 0{\Bigr \}}}}$

den Träger von $\varphi$.

Definition 3

Sei $f\in A^{0}(\Omega )$ und $z\in \mathbb {R} ^{n}\setminus f(\partial \Omega )$. Dann setzen wir

$d(f,\Omega ,z):=d(f(x)-z,\Omega ,0)$

für den Abbildungsgrad von $f$ bezüglich des Punktes $z$.

Definition 4

Sei $G\subset \mathbb {R} ^{n}\setminus f(\partial \Omega )$ ein Gebiet, so setzen wir

$d(f,\Omega ,G):=d(f,\Omega ,z)$ für ein $z\in G$.

Satz 1 (Produktsatz)

Seien $f,g\in C^{0}(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{n})$ und sei $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ offen und beschränkt. Wir setzen $E:=f(\partial \Omega )$. Mit $\{D_{i}\}_{i=1,\ldots ,N_{0}},N_{0}\in \{0,1,\ldots ,+\infty \}$ bezeichnen wir die beschränkten Zusammenhangskomponenten von $\mathbb {R} ^{n}\setminus E$. Schließlich wählen wir ein $z\in \mathbb {R} ^{n}\setminus g(E)$. Dann gilt die Identität

$d(g\circ f,\Omega ,z)=\sum _{i=1}^{N_{0}}d(f,\Omega ,D_{i})d(g,D_{i},z),$

wobei die Reihe nur endlich viele nicht verschwindende Terme hat.

Beweis

1. Wir setzen

$h(x):=g\circ f(x).$

Nach dem Weierstraßschen Approximationssatz aus Kapitel I, §1 können wir Folgen $\{f_{l}(x)\}_{l=1,2,\ldots }\subset C^{1}(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{n})$ und $\{g_{k}(y)\}_{k=1,2,\ldots }\subset C^{1}(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{n})$ wählen, die gleichmäßig auf jedem Kompaktum gegen $f(x)$ bzw. $g(x)$ konvergieren. Wir erklären noch die Funktionen

$h_{k}(x):=g_{k}\circ f(x),\quad h_{kl}(x):=g_{k}\circ f_{l}(x),\quad k,l\in \mathbb {N} .$

Damit folgen

$h_{k}(x)\to h(x)$ für $k\to \infty$

sowie

$h_{kl}(x)\to h_{k}(x)$ für $l\to \infty$

auf jedem Kompaktum.

2. Es gibt ein $\varepsilon >0$, so dass

$|h(x)-z|>\varepsilon ,\quad |h_{k}(x)-z|>\varepsilon$ für alle $x\in \partial \Omega$ und alle $k\geq k_{0}(\varepsilon )$

richtig ist. Wir wählen nun eine zulässige Testfunktion $\omega \in C_{0}^{0}((0,\varepsilon ),\mathbb {R} )$ mit der Eigenschaft $\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}\omega (|u|)\,du=1$. Dann gilt für alle $k\geq k_{0}(\varepsilon )$ und $l\geq l_{0}(k)$ die Identität

$d(h_{k},\Omega ,z)=d(h_{kl},\Omega ,z)=\int \limits _{\Omega }\omega (|h_{kl}(x)-z|)J_{h_{kl}}(x)\,dx$

$=\int \limits _{\Omega }\omega (|g_{k}(f_{l}(x))-z|)J_{g_{k}}(f_{l}(x))J_{f_{l}}(x)\,dx.$

Setzen wir

$\varphi _{k}(y):=\omega (|g_{k}(y)-z|)J_{g_{k}}(y)\in C_{0}^{0}(\mathbb {R} ^{n}\setminus E)$ für $k\geq k_{0}$,

dann gilt

$d(h_{k},\Omega ,z)=\int \limits _{\Omega }\varphi _{k}(f_{l}(x))J_{f_{l}}(x)\,dx=\sum _{i=1}^{N_{0}}d(f,\Omega ,D_{i})\int \limits _{D_{i}}\varphi _{k}(y)\,dy$

für $k\geq k_{0}$. Hierbei sind nur endlich viele Terme der Summe ungleich 0. Beachten wir noch

$\int \limits _{D_{i}}\varphi _{k}(y)\,dy=\int \limits _{D_{i}}\omega (|g_{k}(y)-z|)J_{g_{k}}(y)\,dy=d(g_{k},D_{i},z),\quad k\geq k_{0},$

so folgt

$d(h_{k},\Omega ,z)=\sum _{i=1}^{N_{0}}d(f,\Omega ,D_{i})d(g_{k},D_{i},z)$

Nun gibt es ein $k_{1}\geq k_{0}$, so dass

$d(h_{k},\Omega ,z)=d(h,\Omega ,z)$ für alle $k\geq k_{1}$

gilt. Weiter gibt es ein $k_{2}\geq k_{1}$, so dass

$d(g_{k},D_{i},z)=d(g,D_{i},z)$ für alle $k\geq k_{1}$ und alle $i=1,\ldots ,N_{0}$

richtig ist. Insgesamt erhalten wir

$d(h,\Omega ,z)=\sum _{i=1}^{N_{0}}d(f,\Omega ,D_{i})d(g,D_{i},z).$

q.e.d.

§6 Die Sätze von Jordan-Brouwer

Satz 1 (Jordan-Brouwer)

Gegeben seien zwei homöomorphe kompakte Mengen $F$ und $F^{*}$ im $\mathbb {R} ^{n}$. Dann gilt $N(F)=N(F^{*})$.

Beweis

Da $F$ und $F^{*}$ homöomorph sind, gibt es eine topologische Abbildung ${\hat {f}}:F\to F^{*}$ mit der Umkehrabbildung ${\hat {f}}^{-1}:F^{*}\to F$. Mit dem Tietzeschen Ergänzungssatz konstruieren wir Abbildungen $f,g\in C^{0}(\mathbb {R} ^{n})$ mit $f(x)={\hat {f}}(x)$ für alle $x\in F$ und $g(y)={\hat {f}}^{-1}(y)$ für alle $y\in F^{*}$. Wir nehmen nun

$N:=N(F)\neq N(F^{*})=:N^{*}$

an und können ohne Einschränkung von $N^{*}<N$ ausgehen. Somit ist $N^{*}$ endlich. Wir bezeichnen mit $\{D_{i}\}_{i=1,\ldots ,N}$ und $\{D_{i}^{*}\}_{i=1,\ldots ,N^{*}}$ die beschränkten Zusammenhangskomponenten von $\mathbb {R} ^{n}\setminus F$ bzw. $\mathbb {R} ^{n}\setminus F^{*}$. Ist $z\in D_{k}$ und $k\in \{1,\ldots ,N^{*}+1\}$, so liefert der Produktsatz

$\delta _{ik}=d(g\circ f,D_{i},D_{k})=d(g\circ f,D_{i},z)=\sum _{j=1}^{N^{*}}\underbrace {d(f,D_{i},D_{j}^{*})} _{:=a_{ij}}\underbrace {d(g,D_{j}^{*},z)} _{:=b_{jk}}$

$=\sum _{j=1}^{N^{*}}a_{ij}b_{jk}$ für $i,k=1,\ldots ,N^{*}+1$.

Nun gibt es ein $\xi =(\xi _{1},\ldots ,\xi _{N^{*}+1})\in \mathbb {R} ^{N^{*}+1}\setminus \{0\}$ mit

$\sum _{k=1}^{N^{*}+1}b_{jk}\xi _{k}=0$ für $j=1,\ldots ,N^{*}$.

Somit erhalten wir in

$\xi _{i}=\sum _{j=1}^{N^{*}}\sum _{k=1}^{N^{*}+1}a_{ij}b_{jk}=\sum _{j=1}^{N^{*}}a_{ij}\left(\sum _{k=1}^{N^{*}+1}b_{jk}\xi _{k}\right)=0,\quad i=1,\ldots ,N^{*}+1$

einen Widerspruch. Die Annahme war also falsch, es gilt die Gleichheit.

q.e.d.

Satz 2 (Jordan-Brouwer)

Sei $S^{*}\subset \mathbb {R} ^{n}$ homöomorph zur Einheitssphäre $S=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:|x|=1\}$ mit der topologischen Abbildung ${\hat {f}}:S\to S^{*}$. Dann zerlegt die topologische Sphäre $S^{*}$ den $\mathbb {R} ^{n}$ in ein beschränktes Gebiet $G_{1}$, das wir Innengebiet nennen und ein unbeschränktes Gebiet $G_{2}$, das wir Außengebiet nennen. Für ${\hat {f}}$ gilt

$v({\hat {f}},S,z)=\left\{{\begin{matrix}\pm 1,&f{\ddot {u}}r\ z\in G_{1}\\0,&f{\ddot {u}}r\ z\in G_{2}\end{matrix}}\right.$

Beweis

Wie im Beweis von Satz 1 setzen wir die Abbildungen ${\hat {f}}:S\to S^{*}$ und ${\hat {f}}^{-1}:S^{*}\to S$ zu stetigen Abbildungen $f$ bzw. $g$ auf den $\mathbb {R} ^{n}$ fort. Da die Sphäre $S$ den $\mathbb {R} ^{n}$ in ein Innengebiet und ein Außengebiet zerlegt, folgt

$N(S^{*})=N(S)=1$

nach Satz 1. Für die Abbildung $g\circ f$ gilt $g\circ f(x)=x$ für alle $x\in S$. Der Produktsatz liefert

$1=d(g\circ f,B,0)=d(f,B,G_{1})d(g,G_{1},0),\quad B:=B_{1}(0).$

Aus der Ganzzahligkeit des Abbildungsgrades folgt für $z\in G_{1}$

$v({\hat {f}},S,z)=d(f,B,G_{1})=\pm 1.$

q.e.d.

Satz 3 (Gebietsinvarianz)

Sei $G\subset \mathbb {R} ^{n}$ ein Gebiet und $f:G\to \mathbb {R} ^{n}$ eine stetige, injektive Abbildung. Dann ist $G^{*}:=f(G)$ wieder ein Gebiet.

Beweis

Da $G$ zusammenhängend und $f$ stetig ist, folgt zunächst, dass $G^{*}=f(G)$ zusammenhängend ist. Wir zeigen die Offenheit von $G^{*}$: Sei $z\in G$ beliebig und $\varrho >0$ so klein gewählt, dass ${\overline {B_{\varrho }(z)}}\subset G$ erfüllt ist. Für die stetige, injektive Abbildung

$g(x):=f(x)-f(z),\quad x\in {\overline {B_{\varrho }(z)}}$

gilt $i(g,z)=\pm 1$. Somit folgt

$d(f,B_{\varrho }(z),f(z))=d(g,B_{\varrho }(z),0)=\pm 1.$

Mit einem hinreichend kleinen $\varepsilon >0$ gilt $|f(x)-f(z)|>\varepsilon$ für alle $x\in \partial B_{\varrho }(z)$. Wir erhalten nun aus dem Homotopiesatz

$d(f,B_{\varrho }(z),\zeta )=d(f,B_{\varrho }(z),f(z))=\pm 1$ für $|\zeta -f(z)|<{\frac {\varepsilon }{2}}$.

Für alle $\zeta \in \mathbb {R} ^{n}$ mit $|\zeta -f(z)|<{\frac {\varepsilon }{2}}$ existiert also ein $x\in B_{\varrho }(z)$ mit $f(x)=\zeta$. Das bedeutet $B_{\frac {\varepsilon }{2}}(f(z))\subset f(G)$. Somit ist $f$ eine offene Abbildung und die Menge $G^{*}=f(G)$ ist ein Gebiet.

q.e.d.

Satz 4 (Jordan-Brouwer)

Jede topologische Sphäre $S^{*}\subset \mathbb {R} ^{n}$ zerlegt den $\mathbb {R} ^{n}$ in ein Innengebiet $G_{1}$ und ein Außengebiet $G_{2}$, d. h.

$\mathbb {R} ^{n}=G_{1}{\dot {\cup }}S^{*}{\dot {\cup }}G_{2}$

und es gilt $\partial G_{1}=S^{*}=\partial G_{2}$.

Beweis

Wir haben nur $\partial G_{i}=S^{*}$ für $i=1,2$ zu zeigen. Sei $f:S\to S^{*}$ die topologische Abbildung und sei ${\tilde {x}}\in S^{*}$ ein beliebiger Punkt. Wir setzen dann $\xi :=f^{-1}({\tilde {x}})\in S$ und betrachten die Mengen

$E:=\{x\in S:|x-\xi |\leq \varepsilon \},\quad F:=\{x\in S:|x-\xi |\geq \varepsilon \}$

mit $S=E\cup F$. Gehen wir zu den Bildmengen $E^{*}:=f(E)$ und $F^{*}:=f(F)$ über, so folgt $S^{*}=E^{*}\cup F^{*}$. Da $\mathbb {R} ^{n}\setminus F$ zusammenhängend ist, bleibt nach Satz 1 auch $\mathbb {R} ^{n}\setminus F^{*}$ zusammenhängend. Somit gibt es zu festen Punkten $a_{1}\in G_{1}$ und $a_{2}\in G_{2}$ einen stetigen Weg $\pi$, der $a_{1}$ und $a_{2}$ verbindet und $F^{*}$ nicht trifft. Da jedoch $S^{*}$ die Gebiete $G_{1}$ und $G_{2}$ trennt, folgt $\pi \cap S^{*}\neq \emptyset$ und somit $\pi \cap E^{*}\neq \emptyset$. Ist nun $a_{1}'\in \pi$ der erste Punkt von $a_{1}$, der $E^{*}$ trifft und $a_{2}'\in \pi$ der erste Punkt von $a_{2}$, der $E^{*}$ trifft, so wählen wir Punkte $a_{i}''\in G_{i}$ für $i=1,2$ auf $\pi$ mit $|a_{i}''-a_{i}'|\leq \varepsilon$. Lassen wir nun $\varepsilon \downarrow 0$ sächsischen erhalten wir Punktfolgen $\{a''_{i,j}\}_{j=1,2,\ldots }\subset G_{i},i=1,2$ mit

$\lim _{j\to \infty }a_{i,j}''={\tilde {x}}$ für $i=1,2$.

Somit folgt $\partial G_{1}=S^{*}=\partial G_{2}$.

q.e.d.