§1 Die Cauchy-Riemannsche Differentialgleichung
[Bearbeiten]
- Auf der offenen Menge
sei die Funktion
erklärt und
sei ein beliebiger Punkt. Dann heißt
komplex differenzierbar im Punkt
, wenn der Grenzwert

- existiert. Wir nennen
die komplexe Ableitung der Funktion
an der Stelle
. Falls
für alle
existiert und die Funktion
stetig ist, nennen wir
holomorph in
.
§2 Holomorphe Funktionen im 
[Bearbeiten]
- Seien
ein einfach zusammenhängendes Gebiet und
. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
- (a)
ist in
holomorph;
- (b) Realteil und Imaginärteil von
erfüllen das Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungssystem
(1)
in
;
- (c) Für jede geschlossene Kurve
mit
gilt

- (d) es gibt eine holomorphe Funktion
mit

- also eine Stammfunktion
von
.
1. Die Äquivalenz
wurde bereits gezeigt.
2. Wir zeigen
. Offenbar ist

für alle

genau dann erfüllt, wenn gilt

für alle

.
Dies ist wiederum äquivalent zu

in

bzw. zu (1).
3. Wir beweisen nun
. Es ist dann
äquivalent zur Existenz von Funktionen
mit den Eigenschaften

in

bzw.
(2)

Die Gleichungen (2) sind nun äquivalent zu
(3)

Wir erhalten also mit
eine holomorphe Funktion in
mit

4. Schließlich zeigen wir noch
. Sei
, dann gilt


wegen
.
q.e.d.
- Seien
ein Gebiet und
zwei beliebige Punkte. Weiter seien
zwei zueinander homotope Kurven mit festem Anfangspunkt
und Endpunkt
. Ist nun
holomorph, dann gilt

- Seien
ein Gebiet,
sowie
so gegeben, dass die offene Kreisscheibe

- die Inklusion
erfüllt. Weiter sei
. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
- (a)
ist in
holomorph;
- (b) es gilt die Cauchysche Integralformel

- für alle
mit
, wobei das Integral über die positiv orientierte Kreislinie zu verstehen ist;
- (c) es gilt

- mit den Koeffizienten

1. Wir zeigen die Richtung
. Die Funktion

ist in ihrem Definitionsbereich holomorph. Weiter sind für alle hinreichend kleinen
die Kurven

und

in
zueinander homotop. Somit folgt


Für
erhalten wir somit

und

für alle

.
2. Wir zeigen
. Für alle
gilt

Nun ist

so dass wir den Bruch in die gleichmäßig konvergente geometrische Reihe

entwickeln können. Daraus folgt


mit den Koeffizienten

3. Die Richtung
wurde bereits gezeigt.
q.e.d.
Satz 4 (Identitätssatz für holomorphe Funktionen)
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- Auf dem Gebiet
seien die beiden holomorphen Funktionen
gegeben. Weiter sei
eine konvergente Folge mit

- Schließlich sei

- erfüllt. Dann folgt
in
.
Wir nehmen an, dass die holomorphe Funktion
nicht identisch verschwindet. Im Punkt
entwickeln wir
in eine Potenzreihe

Wegen
gibt es ein
mit
, so dass

mit

gilt. Für hinreichend kleines
erhalten wir

Somit folgt

für alle

im Widerspruch zu

q.e.d.
- Eine im Gebiet
erklärte Funktion

- nennen wir holomorph, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
- (a) es ist
;
- (b) für jedes feste
und
ist die Funktion

- mit

- bei hinreichend kleinem
holomorph.
Satz 5 (Cauchysche Integralformel im
)
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- Im Gebiet
sei die Funktion
holomorph. Mit
und
sei auch der Polyzylinder

- kompakt in
enthalten, d. h. es gilt
. Für alle
gilt dann die Integraldarstellung


Die Funktion
ist holomorph bezüglich der Veränderlichen
. Wir berechnen also




Führen wir Polarkoordinaten ein, so folgt auch die zweite Darstellung.
q.e.d.
- Sei
holomorph und es gebe eine Konstante
, so dass
für alle 
- gilt. Dann gibt es ein
, so dass
auf dem 
- richtig ist. Also ist jede beschränkte ganze holomorphe Funktion konstant.
Man kann
auf dem
um
in die Potenzreihe

entwickeln. Wählen wir den Polyzylinder

so liefern die Cauchyschen Abschätzungsformeln

für

für alle
mit
. Somit folgt

für alle

.
q.e.d.
Satz 7 (Identitätssatz im
)
[Bearbeiten]
- Im Gebiet
seien die Funktionen
und
holomorph. Weiter sei
ein fester Punkt, an welchem

- für
erfüllt ist. Dann folgt
für alle
.
Wir betrachten die Funktion

und die nicht leere Menge

Diese Menge ist offenbar abgeschlossen und auch offen, denn in jedem Punkt
ist
in eine verschwindende Potenzreihe entwickelbar. Verbinden wir nun einen beliebigen Punkt
mit dem Punkt
durch einen Weg
mit
und
, so liefert ein Fortsetzungsargument
, denn die Menge
ist abgeschlossen und offen. Somit folgen
und damit
. Dieses liefert
in
, also
in
.
q.e.d.
Satz 8 (Holomorphe Parameterintegrale)
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- Voraussetzungen: Seien
und
Gebiete mit
. Ferner sei

- eine stetige Funktion mit folgenden Eigenschaften:
- (a) Für jedes feste
ist

- holomorph.
- (b) Es gibt eine stetige Funktion
mit

- welche die Funktion
gleichmäßig majorisiert, d. h. es gilt
für alle 
- Behauptung: Dann ist die Funktion

- holomorph in
.
1. Sei
ein abgeschlossener Quader mit
, so zeigen wir, dass die Funktion

holomorph ist. Hierzu zerlegen wir den Quader
mittels

in Teilquader, deren Feinheitsmaß
für
erfüllt. Ist nun
eine beliebige kompakte Menge, so gibt es zu jedem
ein
, so dass für alle
die Abschätzung

für alle
mit
gilt. Auf einem Kompaktum ist die stetige Funktion
nämlich gleichmäßig stetig. Die Folge holomorpher Funktionen

konvergiert auf jedem Kompaktum
gleichmäßig gegen die holomorphe Funktion

2. Wir schöpfen nun die offene Menge
durch eine Folge
aus, wobei jede Menge
Vereinigung endlich vieler abgeschlossener Quader in
ist. Nach dem ersten Punkt ist für jedes
die Funktion

holomorph. Weiter gilt bei beliebig vorgegebenem

für alle

.
Somit folgt für alle
die Ungleichung

für
. Die Folge holomorpher Funktionen
konvergiert also gleichmäßig gegen die holomorphe Funktion

womit alles gezeigt ist.
q.e.d.
§3 Geometrisches Verhalten von holomorphen Funktionen in 
[Bearbeiten]
- Seien
ein Gebiet und
eine nicht konstante holomorphe Funktion. Dann ist die Bildmenge

- wieder ein Gebiet in
.
Man übertrage den Beweis aus Kapitel III, §6, Satz 3 und beachte, dass lokal die Funktion
in einem beliebigen Punkt
die Entwicklung

mit

besitzt. Somit erfüllt die Funktion

die Bedingungen

und

für alle
mit
; dabei ist
hinreichend klein gewählt. Die Argumente im o. a. Beweis liefern dann die Behauptung.
q.e.d.
- In einem Gebiet
sei die nicht konstante holomorphe Funktion
gegeben. Dann gilt für alle
die Ungleichung

Falls
gilt, so ist nichts zu zeigen. Es sei also
erfüllt. Sei nun
beliebig gewählt, dann existiert ein
, so dass für die Kreisscheibe

die Inklusion

gemäß Satz 1 richtig ist. Somit folgt mit

die Behauptung.
q.e.d.
- Auf der offenen Menge
heißt die Funktion
antiholomorph, falls die Funktion

- holomorph in
ist.
Satz 3 (Schwarzsches Spiegelungsprinzip)
[Bearbeiten]
- In der oberen Halbebene sei die offene Menge
so gegeben, dass

- eine nicht leere offene Menge darstellt. Weiter erklären wir die offene Menge

- und setzen

- Schließlich sei die Funktion
holomorph in
und erfülle
. Dann ist die Funktion

- holomorph in Menge
.
1. Offenbar gilt
. Für alle
berechnen wir


Also ist
holomorph in
.
2. Weiter ist
stetig in
, also insbesondere auf
. Seien nun
beliebig gewählt und
eine Punktfolge mit der Eigenschaft

Dann folgt

wobei wir beachten, dass
in
stetig ist.
3. Wir haben noch die Holomorphie von
auf
zu zeigen. Sei dazu
ein beliebiger Punkt, so betrachten wir die Halbkreise

mit hinreichend kleinem, festem
und
. Mit Hilfe des Cauchyschen Integralsatzes und der Cauchyschen Integralformel stellen wir folgendes fest: Für jedes
mit
gibt es ein hinreichend kleines
mit der Eigenschaft

Im Grenzübergang
heben sich die Integrale auf der reellen Achse gegenseitig weg und wir erhalten

Aus dieser Darstellung erhalten wir schließlich die Holomorphie von
um den Punkt
.
q.e.d.
- Eine Menge
nennen wir offen, falls für jeden Punkt
eine Kugel
mit hinreichend kleinem Radius
existiert, so dass

- erfüllt ist. Wie üblich ist dabei

- für alle
und
gemeint.
- Seien
eine offene Menge und
eine Funktion. Dann heißt
stetig im Punkt
, falls es zu jedem
ein
gibt, so dass

- erfüllt ist. Falls
in jedem Punkt
stetig ist, nennen wir die Funktion stetig in
.
§4 Isolierte Singularitäten und der allgemeine Residuensatz
[Bearbeiten]
- Voraussetzungen:
- I. Sei
ein beschränktes Gebiet, dessen Randpunkte
aus dem Äußeren erreichbar sind, d. h. für alle
gibt es eine Folge
mit

- Weiter gebe es
reguläre
-Kurven
![{\displaystyle X^{(j)}(t):[a_{j},b_{j}]\to \mathbb {C} \in C^{1}([a_{j},b_{j}],\mathbb {C} ),\quad j=1,\ldots ,J}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da40c5f1c7eb519de0e81b891f8ab927d246f011)
- mit den Eigenschaften

- sowie
![{\displaystyle {\dot {G}}=\bigcup _{j=1}^{J}X^{(j)}{\Bigl (}[a_{j},b_{j}]{\Bigr )}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/037b5ec8a4084087e82f41e25190c5cfef43fbf8)
- Schließlich liege das Gebiet
zur Linken der Kurven, d. h.

- stellt den äußeren Normalenvektor an das Gebiet
dar. Das Gesamtintegral über diese Kurven bezeichnen wir mit 
- II. Seien ferner
singuläre Punkte (bzw.
, also keine singulären Punkte)
mit
gegeben, so erklären wir die Mengen
sowie
.
- III. Sei
eine Funktion, welche der inhomogenen Cauchy-Riemann-Gleichung
(1)
für alle 
- genügt.
- IV. Schließlich sei

- für die rechte Seite der Differentialgleichung (1) erfüllt.
- Behauptung: Dann existieren die Limites
(2)

- für
und es gilt
(3)

Wir wenden den Gaußschen Integralsatz an auf das Gebiet

mit
und
. Mit
sowie
![{\displaystyle \partial G_{\varepsilon }:z(t)=x(t)+iy(t),\quad t\in [a_{k},b_{k}],\quad k=1,\ldots ,K=J+N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/494ff993e6d263aaaaa67d2170260b0007b92296)
erhalten wir


Für die äußere Normale an das Gebiet
gilt nun


mit
für
. Somit folgt mit dem Gaußschen Integralsatz


mit dem Linienelement

Beachten wir nun

so folgt
(4)

Hierbei wird auf der rechten Seite über die positive orientierten Kreislinien integriert. Da wir nun auf der linken Seite in (4) für jedes
den Grenzübergang
durchführen können, so existiert der Grenzwert auf der rechten Seite, d. h. es gilt

Insbesondere berechnen wir


für
. Beim Grenzübergang
in (4) erhalten wir

und damit die Behauptung.
q.e.d.
- Wir nennen
aus (2) das Residuum von
an der Stelle
.
- Wir bezeichnen Gebiete
, die der Voraussetzung I. von Satz 1 genügen, als Normalgebiete.
- Seien die Voraussetzungen I. bis IV. von Satz 1 erfüllt. Zusätzlich genüge die Funktion
der Bedingung
(5)

- Dann gilt die Integraldarstellung
(6)

- wobei wir
und
benutzen.
Für ein festes
wenden wir Satz 1 auf die Funktion

an. Dann berechnen wir

Also folgt

was der Behauptung entspricht.
q.e.d.
- In der punktierten Kreisscheibe

- mit
und
sei die Funktion
holomorph und beschränkt, d. h. es gilt

- Dann ist
holomorph auf die Kreisscheibe

- fortsetzbar.
Wir wenden Satz 2 auf die Menge
und die Funktion
an und entnehmen der Integraldarstellung
(7)

bereits die Behauptung.
q.e.d.
- In der punktierten Kreisscheibe
mit
und 
- sei die Funktion
holomorph. Dann gilt die Darstellung
(8)
für alle 
- mit den Koeffizienten
für
,
- wobei
beliebig gewählt ist. Die Konvergenz dieser Laurentreihe mit dem Hauptteil

- und dem Nebenteil

- ist gleichmäßig in jedem Kompaktum in
. Schließlich gilt
(9)

Ohne Einschränkung können wir
wählen. Ist nun
, so wählen wir
und wenden den Satz 2 auf das Gebiet

an. Dann folgt

für alle

.
Wie üblich erhalten wir durch Entwicklung die Potenzreihe

für

,
also den Nebenteil der Laurentreihe. Wir entwickeln nun für alle
und
den Ausdruck

wobei die Konvergenz der Reihe in jedem Kompaktum gleichmäßig ist. Für alle
ist demnach


erfüllt, falls
gilt. Dieses liefert den Hauptteil der Laurentreihe. Insgesamt ist die gleichmäßige Konvergenz von

für

gezeigt, wobei
beliebig gewählt werden kann.
q.e.d.
- Die holomorphe Funktion
sei gemäß Satz 4 in der Umgebung von
durch ihre Laurentreihe (8) dargestellt.
- Falls es für jede Zahl
einen Koeffizienten
mit
gibt, so sagen wir, im Punkt
besitzt die Funktion
eine wesentliche Singularität.
- Gibt es nun eine Zahl
mit
, so dass
für alle
sowie
erfüllt sind, so sagen wir,
hat im Punkt
einen Pol der Ordnung
.
- Ist schließlich
für alle
mit
richtig, sagen wir,
besitzt im Punkt
eine hebbare Singularität.
- Seien die Voraussetzungen und Bezeichnungen von Satz 4 gültig und zusätzlich sei die Funktion
stetig. Dann besitzt
im Punkt
keine wesentliche Singularität. Sie hat in diesem Punkt einen Pol genau dann, wenn
richtig ist und sie besitzt in
eine hebbare Singularität genau dann, falls
gilt.
Da die Funktion
stetig in den Punkt
fortsetzbar ist, gibt es eine Konstante
und ein
, so dass

für alle

gilt. Wir gehen nun über zur holomorphen Funktion

Wegen

kann
holomorph in den Punkt
nach dem Riemannschen Hebbarkeitssatz fortgesetzt werden. Somit gibt es eine holomorphe Funktion
mit
sowie ein
, so dass

richtig ist. Dann erhalten wir

für alle
. Hierbei ist
und
ist eine holomorphe Funktion mit
. Nun besitzt
in
einen Pol genau dann, wenn

gilt, also

Ebenso hat die Funktion im Punkt
eine hebbare Singularität genau dann, wenn

bzw.

richtig ist. Daraus folgt die Behauptung.
q.e.d.
- Wir nennen die ganze Zahl
aus der Darstellung

- mit der holomorphen Funktion
die Ordnung der Nullstelle
.
- Seien die Voraussetzungen I. und II. aus Satz 1 erfüllt. Die Funktion
sei holomorph in
und fortsetzbar in die singulären Punkte als stetige Funktion
. Mit
bezeichnen wir die Ordnung der Nullstellen von den singulären Punkten
. Dann gilt die Indexsummenformel
(10)

Wir wenden den Residuensatz an auf die holomorphe Funktion

Wir haben die Entwicklungen
(11)

mit den holomorphen Funktionen
, die
erfüllen. Es folgt

für
und somit
(12)

Der Residuensatz liefert nun


woraus die Behauptung folgt.
q.e.d.
- Sei
eine beschränkte, offene Menge und die beschränkte, stetige Funktion

- sei vorgelegt. Dann nennen wir
(13)
:=-{\frac {1}{\pi }}\iint \limits _{\Omega }{\frac {g(\zeta )}{\zeta -z}}\,d\xi d\eta ,\quad z\in \Omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e776dd231d1eafcf95903666b07365afcef51a6)
- den Cauchyschen Integraloperator; dabei ist wie üblich
gesetzt.
- Seien
eine beschränkte, offene Menge und
eine Funktion mit der Eigenschaft

- Dann gibt es eine Konstante
, so dass die Funktion
,\quad z\in \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1691a0046d415690dc52cb08f06e97b0db572cd)
- die Ungleichung
(14)

- für alle
mit
erfüllt. Hierbei haben wir

- gesetzt.
Seien
mit
, so folgt
(15)

Mit Hilfe der Transformation

mit
bzw.
, welche die Funktionaldeterminante
besitzt, schätzen wir nun wie folgt ab:




Es existiert nun eine Konstante
, so dass
(17)

für alle

richtig ist. Für die Punkte
mit
folgt

und somit erhalten wir mit


die Behauptung.
q.e.d.
- Auf einer Menge
betrachten wir eine Funktion
mit
. Weiter sei
eine stetige Funktion mit
, welche das Stetigkeitsmodul angibt. Dann heißt
Dini-stetig, falls
(18)
für alle 
- gilt. Im Spezialfall

- heißt Lipschitz-stetig mit der Lipschitzkonstanten
. Haben wir

- so nennen wir
Hölder-stetig mit der Hölderkonstanten
und dem Hölderexponenten
.
- Seien die Voraussetzungen I. bis IV. von Satz 1 erfüllt. Weiter genüge die Funktion
der Bedingung

- und die rechte Seite
der inhomogenen Cauchy-Riemannschen Differentialgleichung (1) erfülle

- Dann ist die Funktion
Hölder-stetig in die singulären Punkte
fortsetzbar zu beliebigem Hölderexponenten
.
Man verwende Satz 2 und Satz 7.
q.e.d.
§5 Die inhomogene Cauchy-Riemannsche Differentialgleichung
[Bearbeiten]
- In der offenen Menge
sei die stetige Funktion
gegeben. Zu einem festen Punkt
betrachten wir Normalgebiete
vom topologischen Typ der Kreisscheibe mit dem Flächeninhalt
und der Länge ihrer Randkurven
, welche die Inklusion
(1)

- und die Bedingung
(2)

- erfüllen. Wenn für alle diese Folgen von Gebieten
der Grenzwert
(3)

- existiert, so nennen wir
an der Stelle
(schwach) im Sinne von Pompeiu differenzierbar.
- Für die offene Menge
erklären wir die Vakuasche Funktionenklasse

- Seien
eine offene Menge und
eine stetige Funktion. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:
- (a)
gehört der Vekuaschen Funktionenklasse
an und genügt der Differentialgleichung
(4)

- im Pompeiuschen Sinne;
- (b)
gehört zur Klasse
und für jedes Normalgebiet
gilt die Integraldarstellung
(5)

Wir zeigen die Richtung
. Sei
mit

Dann gibt es eine Folge von Funktionen
mit

gleichmäßig für

in jeder kompakten Menge
. Für jedes Normalgebiet
gilt wegen Satz 2 aus §4 die Identität

Für
erhalten wir also die Integraldarstellung (5).
Wir zeigen die Richtung
. Das Kurvenintegral in (5) stellt eine analytische Funktion in
dar, während
in
stetig und im Pompeiuschen Sinne schwach nach
differenzierbar ist. Somit folgt

q.e.d.
- Eine Funktion
nennen wir auf der offenen Menge
Hölder-stetig, falls es zu jeder kompakten Menge
eine Konstante
und einen Exponenten
so gibt, dass
(6)
für alle 
- erfüllt ist.
- Seien
ein Normalgebiet,
ein fester Punkt und
eine stetige Funktion. Für alle
betrachten wir die Gebiete

- Wir nennen
(7)

- den Cauchyschen Hauptwert des Integrals

- falls der Grenzwert in (7) existiert.
- Wir nennen
den Vekuaschen Integraloperator.
- Seien
eine offene Menge, in der eine Funktion
mit
gegeben ist. Weiter gehörten die Funktion
zur Vekuaschen Funktionenklasse
und genüge der inhomogenen Cauchy-Riemannschen Differentialgleichung
(8)

- im Pompeiuschen Sinne. Dann gehört
zur Regularitätsklasse
und ihre Ableitungen der Ordnung
sind Dini-stetig mit dem in §4, Satz 7 angegebenen Stetigkeitsmodul. Falls zusätzlich alle
-ten Ableitungen der rechten Seite
Hölder-stetige Funktionen in
sind, folgt
.
1. Nach Satz 1 ist die Differentialgleichung (8) äquivalent zur Integralgleichung
,\quad z\in G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef735a3db7070f1a6df48bd613867f7b97658ab6)
in beliebigen Normalgebieten
. Der erste Summand auf der rechten Seite stellt eine holomorphe Funktion in
dar und folglich wird die Regularität von
durch die Regularität der Funktion
,\quad z\in G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f04756b5d3cffb85cf70c8fff6532423988a49a9)
bestimmt. Für
entnehmen wir Satz 7 aus §4, dass die Funktion
und somit
in
Dini-stetig mit dem dort angegebenen Stetigkeitsmodul sind. Falls zusätzlich die rechte Seite
Hölder-stetig in
ist, gilt
(9)
,\quad z\in G.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/654adc58fc475cc8c0034aa3ae204424f43492ec)
2. Für
folgt
und wir erhalten aus (9), dass
richtig ist. Weiter gilt
(10)
=T_{G}\left[{\frac {\partial }{\partial \zeta }}g\right](z)-{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\partial G}{\frac {g(\zeta )}{\zeta -z}}\,d{\overline {\zeta }},\quad z\in G\subset \subset \Omega .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b0400120d075ee9b6f825fece78d89d2b6a82dd)
Hier ist der zweite Summand auf der rechten Seite wieder holomorph in
, während
,\quad z\in G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0790b09b9aff9f67b19a5317d267215172fab54d)
Dini-stetig ist. Falls nun zusätzlich
und
bzw.
und
Hölder-stetig in
sind, so erhalten wir aus (10), dass
sowie
(11)
-{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\partial G}{\frac {g(\zeta )}{\zeta -z}}\,d{\overline {\zeta }}\right\}=\Pi _{G}\left[{\frac {\partial }{\partial \zeta }}g\right](z)-{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\partial G}{\frac {g(\zeta )}{(\zeta -z)^{2}}}\,d{\overline {\zeta }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/147136eb0ca69c4d55d548b9a8a32edfc5a4e9d7)
für alle
richtig sind. Weiter gelten
(12)

in

,
als auch
(13)

in

.
Somit folgt
und die Ableitungen berechnen sich nach den oben angegebenen Formeln.
3. Für
setzt man den Prozess entsprechend fort. Hierbei verwendet man wesentlich die Formel
=T_{G}\left[{\frac {\partial ^{k}}{\partial \zeta ^{k}}}g\right](z)-{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\partial G}{\frac {{\frac {d^{k-1}}{d\zeta ^{k-1}}}g(\zeta )}{\zeta -z}}\,d{\overline {\zeta }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c94d8e1e4ed1661f3a82ad4052b9bd6c34629f0)
für alle
.
q.e.d.
- Eine Funktion
der Klasse
heißt pseudoholomorph in
, falls es ein komplexes Potenzial
so gibt, dass die Differentialgleichung
(1)

- im Pompeiuschen Sinne erfüllt ist.
Satz 1 (Ähnlichkeitsprinzip von Bers und Vekua)
[Bearbeiten]
- Auf der offenen Menge
sei eine pseudoholomorphe Funktion
mit zugehörigem Potenzial
und zugehöriger offener Menge
gegeben. Weiter sei
(2)

- die gemäß Satz 7 aus §4 Dini-stetige Funktion. Dann ist die Funktion

- in
holomorph und es gilt die Vekuasche Darstellungsformel
(3)

Sei
eine Funktionenfolge mit

Wir betrachten dann die Funktionen
(4)
![{\displaystyle \Psi _{n}(z):=T_{\mathbb {C} }[a\chi _{n}]=-{\frac {1}{\pi }}\iint \limits _{\mathbb {C} }{\frac {a(\zeta )\chi _{n}(\zeta )}{\zeta -z}}\,d\xi d\eta ,\quad z\in \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2b6c0c77b61d15e0628bbe876b14002a312db3f)
für
der Klasse
, welche
(5)

erfüllen. Wir studieren nun die Folge
(6)

der Klasse
und berechnen unter Beachtung von (1)


für
und
. Mit Hilfe von Satz 1 aus §5 erhalten wir für jedes Normalgebiet
die Identität
(7)

für alle
und
. Mit dem Lebesgueschen Konvergenzsatz stellt man leicht


für alle
fest. Durch Grenzübergang in (7) erhalten wir
(8)

für jedes Normalgebiet
. Somit ist
in
holomorph.
q.e.d.
- Auf der offenen Menge
sei die pseudoholomorphe Funktion
gegeben. Weiter seien
und
eine Punktfolge mit
für alle 
- Dann folgt
in
.
Man verknüpfe den Identitätssatz für holomorphee Funktionen mit dem obigen Satz 1.
q.e.d.
- Sei pseudoholomorphe Funktion
eine pseudoholomorphe Funktion mit der Eigenschaft
(9)

- Dann folgt
in
.
Seien
das zu
gehörige komplexe Potenzial und
die zugehörige beschränkte, offene Menge. Nach Satz 1 gilt

mit einer holomorphen Funktion
. Weiter ist

beschränkt, denn es gibt ein festes
, so dass die Abschätzung

richtig ist. Somit ist die holomorphe Funktion

beschränkt und nach dem Satz von Liouville konstant. Wegen (9) folgt

und somit erhalten wir

in

.
Schließlich gilt also

in

,
womit die Behauptung gezeigt ist.
q.e.d.
- Seien
zwei Gebiete, so nennen wir die Abbildung
konform, falls die folgenden Eigenschaften erfüllt sind:
- (a)
ist bijektiv,
- (b)
ist holomorph,
- (c) es gilt
für alle
.
- Zwei Gebiete
heißen konform äquivalent, falls es eine konforme Abbildung
gibt.
- Sei
ein Gebiet, so nennen wir

- die Automorphismengruppe des Gebietes
.
- Seien
mit

- und

- gegeben. Dann nennen wir

- eine Möbiustransformation bzw. eine gebrochen lineare Transformation.
- Sei
eine stetige Abbildung vom Gebiet
in sich. Wir nennen
einen Fixpunkt der Abbildung
, falls

- richtig ist. Falls
gilt und 0 ein Fixpunkt der Abbildung ist, so nennen wir diese nullpunkttreu.
- Sei
eine holomorphe, nullpunkttreue Funktion. Dann folgt
für alle
.
- Existiert ein
mit
, so besitzt
die Darstellung

- mit einem gewissen
.
Die Funktion

ist holomorph nach
fortsetzbar und es gilt

Nach §3, Satz 2 folgt nun

und somit haben wir

für alle

.
Existiert ein
mit
, so folgt
. Somit ist nach dem oben angegebenen Satz die Abbildung
konstant, also gelten

bzw.

mit einem
.
q.e.d.
Satz 2 (Automorphismen des Einheitskreises)
[Bearbeiten]
- Ein Automorphismus
des Einheitskreises hat notwendig die Gestalt
(1)

- mit
und
. Umgekehrt ist jede Abbildung der Gestalt (1) mit
und
ein Automorphismus von
. Insbesondere haben die nullpunkttreuen Automorphismen von
die Gestalt
(2)

- mit einem
.
1. Es sind alle Möbiustransformationen der Form (1) Automorphismen des Einheitskreises.
2. Ist
ein nullpunkttreuer Automorphismus von
, so folgt aus Satz 2 die Abschätzung

für alle

.
Nun ist aber auch die Umkehrabbildung
ein nullpunkttreuer Automorphismus von
und es folgt

für alle

.
Insgesamt erhalten wir

bzw.

Somit gibt es nach Satz 2 ein
mit

3. Ist nun
ein beliebiger Automorphismus von
, so setzen wir
. Wir betrachten dann die Möbiustransformation

und erhalten den folgenden nullpunkttreuen Automorphismus von
:

Aus dem zweiten Punkt folgt

mit einem
bzw. für
erhalten wir

womit die Aussage gezeigt ist.
q.e.d.
- Sei
mit
ein einfach zusammenhängendes Gebiet. Dann gibt es eine konforme Abbildung
.
1. Sei
mit
ein einfach zusammenhängendes Gebiet, so existiert zunächst ein
. Durch die konforme Abbildung

können wir zum konform äquivalenten Gebiet
(3)

übergehen. Mit der konformen Abbildung

gelangen wir zu einem konform äquivalenten Gebiet mit
(4)

2. Wir gehen jetzt von einem einfach zusammenhängenden Gebiet mit den Eigenschaften (3), (4) aus und wählen einen festen Punkt
. Wir betrachten die Funktionenmenge

Mit dem Extremalprinzip von Paul Koebe suchen wir nun diejenige Abbildung
, welche der Bedingung
(5)

genügt. Zunächst ist die Klasse
nicht leer. Wegen (4) gibt es nämlich ein
und ein
, so dass für alle
mit
die Aussage
erfüllt ist. Die Funktion

ist wegen

beschränkt. Durch Anwendung der konformen Abbildung

mit hinreichend kleinem
erhalten wir schließlich eine zulässige Abbildung

3. Sei
eine beliebige Funktion, so gilt für deren Dirichletintegral

Ist nun
ein beliebiger Punkt und
so klein gewählt, dass die Kreisscheibe

die Inklusion
erfüllt, so gibt es nach dem Oszillationslemma von Courant und Lebesgue ein
mit der Eigenschaft
(6)

Beachten wir noch die Injektivität der Abbildung
, so erhalten wir für die Durchmesser der entsprechenden Gebiete
(7)

Für jede kompakte Menge
ist somit die Funktionenklasse

gleichgradig stetig und gleichmäßig beschränkt. Wir können also aus jeder Folge
eine in jedem Kompaktum
gleichmäßig konvergente Teilfolge auswählen.
4. Wir erhalten folgendermaßen die Kompaktheit der Funktionenklasse
: Aus jeder Folge
mit

kann man eine Teilfolge
auswählen, die in jedem Kompaktum
gleichmäßig gegen eine Funktion
mit der Extremaleigenschaft (5).
Schließlich haben wir noch

zu zeigen.
5. Wäre
mit
erfüllt, so existiert ein
. Die Abbildung

gehört zu
und erfüllt die Eigenschaften

Auf dem einfach zusammenhängenden Gebiet

betrachten wir die konforme Wurzelfunktion

mit
. Wir erhalten das einfach zusammenhängende Gebiet

mit
. Schließlich verwenden wir den Automorphismus

mit der Eigenschaft

und erklären

Die Komposition

ist konform und es gilt

Wir beachten
, denn es ist

Nun berechnen wir


wobei wir
beachten. Aus
folgen

, also

bzw.

Dieses ergibt aber mit

einen Widerspruch. Damit ist alles gezeigt.
q.e.d.
- Ein beschränktes Gebiet
nennen wir Jordangebiet, falls dessen Rand
eine Jordankurve bildet mit der topologischen, positiv orientierten Darstellung
und der Parametrisierung

- Für
nennen wir
im Punkt
mit 
-mal stetig differenzierbar und regulär, falls es ein
derart gibt, so dass

- sowie
für alle 
- richtig sind. Falls zusätzlich die Potenzreihenentwicklung
(1)

für

- gültig ist, nennen wir
einen regulären, analytischen Randpunkt. Wir sprechen von einer
-Jordankurve (bzw. einer analytischen Jordankurve)
, falls jeder Randpunkt
regulär und
-mal stetig differenzierbar (bzw. analytisch) ist.
- Sei
ein Jordangebiet. Dann ist die konforme Abbildung
stetig auf den Abschluss
als topologische Abbildung
fortsetzbar.
1. Zu festem
betrachten wir für
diejenige Zusammenhangskomponente
der offenen Menge
mit
. Zu
bezeichne
![{\displaystyle \beta [t_{2},t_{3}]:={\Bigl \{}\beta (t):t_{2}\leq t\leq t_{3}{\Bigr \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79a58db5748429d4d94277622e43fe54c704fa78)
den Jordanbogen auf
vom Punkt
zum Punkt
. Der Rand von
besteht aus einem Kreissegment
und einem Jordanbogen
![{\displaystyle \Gamma _{\delta }(z_{1}):=\beta [t_{2},t_{3}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/378817ca18ed97c1e5ef945f6d98952399e60e7e)
mit

.
Danach gilt

Nach dem Courant-Lebesgueschen Lemma gibt es zu vorgegebenem
ein
mit der Eigenschaft
(2)

Nun ist
ein Jordanscher Kurvenbogen endlicher Länge, welcher seine Endpunkte – stetig fortgesetzt – auf
hat. Da die Abbildung
injektiv ist, folgt
(3)

Somit ist
gleichmäßig stetig auf
und folglich auf
stetig fortsetzbar.
2. Ebenso beweist man die stetige Fortsetzbarkeit der Umkehrfunktion

auf den Abschluss
. Hierzu benötigt man den Stetigkeitsmodul der Jordankurve
im folgenden Sinne: Zu jedem
gibt es ein
, so dass für je zwei aufeinanderfolgende Punkte
mit
und
die Abschätzung
(4)
![{\displaystyle \operatorname {diam} \,\beta [t_{1},t_{2}]:=\sup _{t_{1}\leq \tau _{1}<\tau _{2}\leq t_{2}}|\beta (\tau _{1})-\beta (\tau _{2})|\leq \varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0426039f9109756aa4258bc0c345bfe01da49ae1)
gültig ist.
3. Da nun
auf
und
auf ganz
stetig fortsetzbar sind, ist die Abbildung
topologisch.
q.e.d.
- Sei
eine konforme Abbildung auf das Jordangebiet
, welche topologisch gemäß
erweitert werden kann. Im Punkt
mit
sei der Rand
regulär und analytisch. Dann gibt es eine konvergente Potenzreihe
für alle
mit 
- mit den Koeffizienten
und
bei hinreichend kleinem
, so dass die Darstellung
- erfüllt ist. Also kann
im Punkt
analytisch über den Rand
erweitert werden.
1. Da
ein regulärer und analytischer Randpunkt von
ist, gilt
(6)

mit
. Nun können wir die konvergente Potenzreihe mit
ins Komplexe erweitern und erhalten die Funktion
(7)

für alle

mit

.
Wegen
existiert in einer Umgebung von
die holomorphe Umkehrabbildung
.
2. Wir verwenden nun die Möbiustransformation

konform mit

.
Auf die holomorphe Abbildung
(8)

mit

können wir das Schwarzsche Spiegelungsprinzip anwenden und erhalten die holomorphe Funktion
(9)

auf der vollen Kreisscheibe um den Nullpunkt. Nun ist auch die Funktion
(10)

für alle

holomorph und wir haben sie in eine konvergente Potenzreihe um den Punkt
entwickelt. Aus (8) und (10) erhalten wir schließlich
(11)

für alle

mit

.
Da
topologisch ist, muss in der Entwicklung (11) der Koeffizient
erfüllen.
q.e.d.
- Auf der Kreisscheibe

- sei die holomorphe Funktion
(12)

- derart gegeben, dass
mit einem 
- erfüllt ist. Weiter sei
ein Randpunkt mit
. Dann gilt
(13)

Betrachte die Funktion

mit
(14)

für alle

.
Setzen wir nun
und
, so verwenden wir die Möbiustransformation

mit geeignetem
. Wir erhalten dann
(15)

und berechnen


Wir betrachten nun die nullpunkttreue, holomorphe Abbildung

der Klasse
. Das Schwarzsche Lemma liefert
(16)

Also folgt für alle
die Ungleichung

und somit haben wir
(17)

Die Kombination von (14) und (17) liefert

bzw.

womit die Aussage gezeigt ist.
q.e.d.
- Das
-Jordangebiet
werde konform durch
abgebildet mit der Umkehrabbildung
. Dann folgt
(18)

- und somit ist
Lipschitz-stetig auf
.
Nach dem Weierstraßschen Approximationssatz können wir das Gebiet
durch Jordangebiete
, so approximieren, dass deren berandende analytische Jordankurven
einschließlich ihrer Ableitungen bis zur zweiten Ordnung für
gegen die
-Jordankurve
konvergieren. Wir betrachten nun die konformen Abbildungen

mit den Umkehrabbildungen

gemäß Satz 2 für alle
, welche im Innern gleichmäßig mit ihren Ableitungen gegen die Funktion
bzw. deren Umkehrfunktion
für
konvergieren. Nun gibt es ein festes
unabhängig von
, so dass jedes Gebiet
in jedem Randpunkt
einen Stützkreis

mit

zulässt. Weiter gibt es wegen
für
ein
unabhängig von
, so dass die Abschätzung
(19)

für alle

richtig ist, wobei
derart gewählt wird, dass

erfüllt sind. Nach Satz 3 folgt dann

und mit
erhalten wir für die Umkehrabbildung
(20)

für alle

und

.
Das Maximumprinzip für holomorphe Funktionen liefert
(21)

und für
erhalten wir schließlich mit
(22)

die Behauptung.
q.e.d.
Satz 5 (
-Regularität)
[Bearbeiten]
- Sei
eine konforme Abbildung auf das
-Jordangebiet
mit der berandenden
-Jordankurve
. Dann folgt
und
für alle
.
- Weiter gibt es eine Lipschitzkonstante
, so dass
für alle 
- erfüllt ist.
Wie im Beweis von Satz 4 approximieren wir
gleichmäßig in
durch konforme Abbildungen
mit

Setzen wir
(22)

so ist offenbar
(23)

richtig. Wir haben nun noch
(24)

nachzuweisen. Hierzu assoziieren wir mit der Abbildung
die Gaußsche Metrik
(25)

Für die geodätische Krümmung
der Randkurve
entnehmen wir einer Vorlesung über Differentialgeometrie die Formel
(26)

Die Abbildung
aus (22) erfüllt dann wegen (26) und Satz 4 die Abschätzung
(27)

für alle

mit einer Konstante
. Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen liefern
(28)

für alle

.
Wir erhalten somit die Abschätzung (24).
Die Funktionenfolge
ist also gleichgradig stetig und gleichmäßig beschränkt. Nach dem Satz von Arzelà-Ascoli können wir übergehen zu einer auf
gleichmäßig konvergenten Teilfolge
und erhalten die stetige Funktion

Nun haben wir

Also ist

stetig auf
fortsetzbar und wir erhalten die Stetigkeit von
. Da die Funktionen
gemeinsam einer Lipschitzbedingung in
genügen, bleibt dieses auch für die Grenzfunktion
bzw. für
richtig.
q.e.d.