Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen

§1 Die Cauchy-Riemannsche Differentialgleichung

Definition 1

Auf der offenen Menge $\Omega \subset \mathbb {C}$ sei die Funktion $f=f(z):\Omega \to \mathbb {C}$ erklärt und $z_{0}\in \Omega$ sei ein beliebiger Punkt. Dann heißt $f$ komplex differenzierbar im Punkt $z_{0}$, wenn der Grenzwert

$\lim _{z\to z_{0} \atop z\neq z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}=:f'(z_{0})$

existiert. Wir nennen $f'(z_{0})$ die komplexe Ableitung der Funktion $f$ an der Stelle $z_{0}$. Falls $f'(z)$ für alle $z\in \Omega$ existiert und die Funktion $f':\Omega \to \mathbb {C}$ stetig ist, nennen wir $f$ holomorph in $\Omega$.

§2 Holomorphe Funktionen im $\mathbb {C} ^{n}$

Satz 1 (Cauchy, Riemann)

Seien $\Omega \subset \mathbb {C}$ ein einfach zusammenhängendes Gebiet und $f\in C^{1}(\Omega ,\mathbb {C} )$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

(a) $f$ ist in $\Omega$ holomorph;

(b) Realteil und Imaginärteil von $f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)$ erfüllen das Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungssystem

(1) ${\frac {\partial u(x,y)}{\partial x}}={\frac {\partial v(x,y)}{\partial y}},\quad {\frac {\partial u(x,y)}{\partial y}}=-{\frac {\partial v(x,y)}{\partial x}}$ in $\Omega$;

(c) Für jede geschlossene Kurve $X\in {\mathcal {C}}(\Omega ,P,P)$ mit $P\in \Omega$ gilt

$\int \limits _{X}f(z)\,dz=0;$

(d) es gibt eine holomorphe Funktion $F:\Omega \to \mathbb {C}$ mit

$F'(z)=f(z),\quad z\in \Omega ,$

also eine Stammfunktion $F$ von $f$.

Beweis

1. Die Äquivalenz $(a)\Leftrightarrow (b)$ wurde bereits gezeigt.

2. Wir zeigen $(b)\Leftrightarrow (c)$. Offenbar ist

$\int \limits _{X}f(z)\,dz=0$ für alle $X\in {\mathcal {C}}(\Omega )$

genau dann erfüllt, wenn gilt

$\int \limits _{X}\omega _{1}=0,\quad \int \limits _{X}\omega _{2}=0$ für alle $X\in {\mathcal {C}}(\Omega )$.

Dies ist wiederum äquivalent zu

$d\omega _{1}=0,\quad d\omega _{2}=0$ in $\Omega$

bzw. zu (1).

3. Wir beweisen nun $(c)\Rightarrow (d)$. Es ist dann $(c)$ äquivalent zur Existenz von Funktionen $U,V\in C^{1}(\Omega ,\mathbb {R} )$ mit den Eigenschaften

$dU(x,y)=\omega _{1}(x,y),\quad dV(x,y)=\omega _{2}(x,y)$ in $\Omega$

bzw.

(2) ${\begin{matrix}U_{x}(x,y)=u(x,y),\quad U_{y}(x,y)=-v(x,y),\\V_{x}(x,y)=v(x,y),\quad V_{y}(x,y)=u(x,y).\end{matrix}}$

Die Gleichungen (2) sind nun äquivalent zu

(3) ${\begin{matrix}{\frac {\partial }{\partial x}}{\Bigl (}U(x,y)+iV(x,y){\Bigr )}=u(x,y)+iv(x,y)=f(x,y),\\{\frac {1}{i}}{\frac {\partial }{\partial y}}{\Bigl (}U(x,y)+iV(x,y){\Bigr )}=u(x,y)+iv(x,y)=f(x,y).\end{matrix}}$

Wir erhalten also mit $F=U+iV$ eine holomorphe Funktion in $\Omega$ mit

$F'(z)={\frac {\partial }{\partial x}}F(x,y)=f(z),\quad z\in \Omega .$

4. Schließlich zeigen wir noch $(d)\Rightarrow (c)$. Sei $X\in {\mathcal {C}}(\Omega )$, dann gilt

$\int \limits _{X}f(z)\,dz=\int \limits _{a}^{b}f{\Bigl (}X(t){\Bigr )}X'(t)\,dt=\int \limits _{a}^{b}{\frac {d}{dt}}F{\Bigl (}X(t){\Bigr )}\,dt$

$=F{\Bigl (}X(b){\Bigr )}-F{\Bigl (}X(a){\Bigr )}=0$

wegen $X(a)=X(b)$.

q.e.d.

Satz 2 (Monodromiesatz)

Seien $\Omega \subset \mathbb {C}$ ein Gebiet und $P,Q\in \Omega$ zwei beliebige Punkte. Weiter seien $X,Y\in {\mathcal {C}}(\Omega ,P,Q)$ zwei zueinander homotope Kurven mit festem Anfangspunkt $P\in \Omega$ und Endpunkt $Q\in \Omega$. Ist nun $f:\Omega \to \mathbb {C}$ holomorph, dann gilt

$\int \limits _{X}f(z)\,dz=\int \limits _{Y}f(z)\,dz.$

Satz 3 (Cauchy, Weierstraß)

Seien $\Omega \subset \mathbb {C}$ ein Gebiet, $z_{0}\in \Omega$ sowie $r>0$ so gegeben, dass die offene Kreisscheibe

$K=K_{r}(z_{0}):={\Bigl \{}z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|<r{\Bigr \}}$

die Inklusion $K\subset \subset \Omega$ erfüllt. Weiter sei $f\in C^{1}(\Omega ,\mathbb {C} )$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

(a) $f(z)$ ist in $K$ holomorph;

(b) es gilt die Cauchysche Integralformel

$f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint \limits _{\partial K}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z}}\,d\zeta$

für alle $z\in K$ mit $\zeta =\xi +i\eta$, wobei das Integral über die positiv orientierte Kreislinie zu verstehen ist;

(c) es gilt

$f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}(z-z_{0})^{k},\quad z\in K$

mit den Koeffizienten

$a_{k}:={\frac {1}{k!}}f^{(k)}(z_{0}),\quad k=0,1,2,\ldots .$

Beweis

1. Wir zeigen die Richtung $(a)\Rightarrow (b)$. Die Funktion

$g(\zeta ):={\frac {f(\zeta )}{\zeta -z}},\quad \zeta \in K\setminus \{z\}$

ist in ihrem Definitionsbereich holomorph. Weiter sind für alle hinreichend kleinen $\varepsilon >0$ die Kurven

$X(t):=z+\varepsilon e^{it},\quad 0\leq t\leq 2\pi$

und

$Y(t):=z_{0}+re^{i\varphi },\quad 0\leq \varphi \leq 2\pi$

in ${\overline {K}}\setminus \{z\}$ zueinander homotop. Somit folgt

$\ \oint \limits _{\partial K}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z}}\,d\zeta =\int \limits _{Y}g(\zeta )\,d\zeta =\int \limits _{X}g(\zeta )\,d\zeta =\int \limits _{0}^{2\pi }{\frac {f(z+\varepsilon e^{it})}{\varepsilon e^{it}}}i\varepsilon e^{it}\,dt$

$=i\int \limits _{0}^{2\pi }f(z+\varepsilon e^{it})\,dt.$

Für $\varepsilon \to 0+$ erhalten wir somit

$\ \oint \limits _{\partial K}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z}}\,d\zeta =2\pi if(z)$

und

$f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint \limits _{\partial K}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z}}\,d\zeta$ für alle $z\in K$.

2. Wir zeigen $(b)\Rightarrow (c)$. Für alle $z\in K,\zeta \in \partial K$ gilt

${\frac {1}{\zeta -z}}={\frac {1}{(\zeta -z_{0})-(z-z_{0})}}={\frac {1}{\zeta -z_{0}}}{\frac {1}{1-{\frac {z-z_{0}}{\zeta -z_{0}}}}}.$

Nun ist

$\left|{\frac {z-z_{0}}{\zeta -z_{0}}}\right|<1,$

so dass wir den Bruch in die gleichmäßig konvergente geometrische Reihe

${\frac {1}{\zeta -z_{0}}}\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {z-z_{0}}{\zeta -z_{0}}}\right)^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(\zeta -z_{0})^{k+1}}}(z-z_{0})^{k}$

entwickeln können. Daraus folgt

$f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint \limits _{\partial K}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z}}\,d\zeta ={\frac {1}{2\pi i}}\sum _{k=0}^{\infty }\left(\ \oint \limits _{\partial K}{\frac {f(\zeta )}{(\zeta -z_{0})^{k+1}}}\,d\zeta \right)(z-z_{0})^{k}$

$=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}(z-z_{0})^{k}$

mit den Koeffizienten

$a_{k}:={\frac {1}{2\pi i}}\oint \limits _{\partial K}{\frac {f(\zeta )}{(\zeta -z_{0})^{k+1}}}\,d\zeta ={\frac {1}{k!}}f^{(k)}(z_{0}),\quad k=0,1,2,\ldots .$

3. Die Richtung $(c)\Rightarrow (a)$ wurde bereits gezeigt.

q.e.d.

Satz 4 (Identitätssatz für holomorphe Funktionen)

Auf dem Gebiet $\Omega \subset \mathbb {C}$ seien die beiden holomorphen Funktionen $f,g:\Omega \to \mathbb {C}$ gegeben. Weiter sei $\{z_{k}\}_{k=1,2,\ldots }$ eine konvergente Folge mit

$\lim _{k\to \infty }z_{k}=z_{0}\in \Omega .$

Schließlich sei

$f(z_{k})=g(z_{k}),\quad k=1,2,\ldots$

erfüllt. Dann folgt

$f(z)\equiv g(z)$ in $\Omega$.

Beweis

Wir nehmen an, dass die holomorphe Funktion $h(z):=f(z)-g(z)$ nicht identisch verschwindet. Im Punkt $z_{0}\in \Omega$ entwickeln wir $h=h(z)$ in eine Potenzreihe

$h(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}(z-z_{0})^{k},\quad z\in K_{\varrho }(z_{0}),\quad \varrho :=\operatorname {dist} \,(z_{0},\partial \Omega ).$

Wegen $h(z_{0})=0$ gibt es ein $n\in \mathbb {N}$ mit $a_{n}\neq 0$, so dass

$h(z)=a_{n}(z-z_{0})^{n}{\Bigl \{}1+\alpha (z){\Bigr \}}$ mit $\lim _{z\to z_{0}}\alpha (z)=0$

gilt. Für hinreichend kleines $\varrho >0$ erhalten wir

$|h(z)|\geq |a_{n}||z-z_{0}|^{n}\left(1-{\frac {1}{2}}\right)={\frac {|a_{n}|}{2}}|z-z_{0}|^{n},\quad z\in K_{\varrho }(z_{0}).$

Somit folgt

$h(z)\neq 0$ für alle $z\in K_{\varrho }(z_{0})\setminus \{z_{0}\}$

im Widerspruch zu

$h(z_{k})=f(z_{k})-g(z_{k})=0,\quad k=1,2,3,\ldots .$

q.e.d.

Definition 1

Eine im Gebiet $\Omega \subset \mathbb {C} ^{n},n\in \mathbb {N}$ erklärte Funktion

$w=f(z)=f(z_{1},\ldots ,z_{n}):\Omega \to \mathbb {C} ,\quad (z_{1},\ldots ,z_{n})\in \Omega$

nennen wir holomorph, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

(a) es ist $f\in C^{0}(\Omega ,\mathbb {C} )$;

(b) für jedes feste $(z_{1},\ldots ,z_{n})\in \Omega$ und $k\in \{1,\ldots ,n\}$ ist die Funktion

$\Phi (t):=f(z_{1},\ldots ,z_{k-1},t,z_{k+1},\ldots ,z_{n}),\quad t\in K_{\varepsilon _{k}}(z_{k})$

mit

$K_{\varepsilon _{k}}(z_{k}):={\Bigl \{}t\in \mathbb {C} :|t-z_{k}|<\varepsilon _{k}{\Bigr \}}$

bei hinreichend kleinem $\varepsilon _{k}=\varepsilon _{k}(z)>0$ holomorph.

Satz 5 (Cauchysche Integralformel im $\mathbb {C} ^{n}$)

Im Gebiet $\Omega \subset \mathbb {C} ^{n}$ sei die Funktion $f=f(z_{1},\ldots ,z_{n}):\Omega \to \mathbb {C}$ holomorph. Mit $z^{0}=(z_{1}^{0},\ldots ,z_{n}^{0})\in \Omega$ und $R_{1},\ldots ,R_{n}>0$ sei auch der Polyzylinder

$P:={\Bigl \{}z=(z_{1},\ldots ,z_{n}):|z_{k}-z_{k}^{0}|<R_{k},k=1,\ldots ,n{\Bigr \}}$

kompakt in $\Omega$ enthalten, d. h. es gilt ${\overline {P}}\subset \Omega$. Für alle $z=(z_{1},\ldots ,z_{n})\in P$ gilt dann die Integraldarstellung

$f(z_{1},\ldots ,z_{n})={\frac {1}{(2\pi i)^{n}}}\oint \limits _{|\zeta _{1}-z_{1}^{0}|=R_{1}}\ldots \oint \limits _{|\zeta _{n}-z_{n}^{0}|=R_{n}}{\frac {f(\zeta _{1},\ldots ,\zeta _{n})}{(\zeta _{1}-z_{1})\cdot \ldots \cdot (\zeta _{n}-z_{n})}}\,d\zeta _{1}\ldots d\zeta _{n}$

$={\frac {1}{(2\pi i)^{n}}}\int \limits _{0}^{2\pi }\ldots \int \limits _{0}^{2\pi }{\frac {f(z_{1}^{0}+R_{1}e^{it_{1}},\ldots ,z_{n}^{0}+R_{n}e^{it_{n}})}{(z_{1}^{0}+R_{1}e^{it_{1}}-z_{1})\cdot \ldots \cdot (z_{n}^{0}+R_{n}e^{it_{n}}-z_{n})}}\cdot (iR_{1}e^{it_{1}})\cdot \ldots \cdot (iR_{n}e^{it_{n}})\,dt_{1}\ldots dt_{n}.$

Beweis

Die Funktion $f=f(z)$ ist holomorph bezüglich der Veränderlichen $z_{1},\ldots ,z_{n}$. Wir berechnen also

$f(z_{1},\ldots ,z_{n})={\frac {1}{2\pi i}}\oint \limits _{|\zeta _{1}-z_{1}^{0}|=R_{1}}{\frac {f(\zeta _{1},z_{2},\ldots ,z_{n})}{\zeta _{1}-z_{1}}}d\zeta _{1}$

$={\frac {1}{(2\pi i)^{2}}}\oint \limits _{|\zeta _{1}-z_{1}^{0}|=R_{1}}{\frac {d\zeta _{1}}{\zeta _{1}-z_{1}}}\oint \limits _{|\zeta _{2}-z_{2}^{0}|=R_{2}}{\frac {f(\zeta _{1},\zeta _{2},z_{3},\ldots ,z_{n})}{\zeta _{2}-z_{2}}}\,d\zeta _{2}$

$\vdots$

$={\frac {1}{(2\pi i)^{n}}}\oint \limits _{|\zeta _{1}-z_{1}^{0}|=R_{1}}\ldots \oint \limits _{|\zeta _{n}-z_{n}^{0}|=R_{n}}{\frac {f(\zeta _{1},\ldots ,\zeta _{n})}{(\zeta _{1}-z_{1})\cdot \ldots \cdot (\zeta _{n}-z_{n})}}\,d\zeta _{1}\ldots d\zeta _{n}$

Führen wir Polarkoordinaten ein, so folgt auch die zweite Darstellung.

q.e.d.

Satz 6 (Liouville)

Sei $f(z_{1},\ldots ,z_{n}):\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C}$ holomorph und es gebe eine Konstante $M\in [0,+\infty )$, so dass

$|f(z_{1},\ldots ,z_{n})|\leq M$ für alle $(z_{1},\ldots ,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n}$

gilt. Dann gibt es ein $c\in \mathbb {C}$, so dass

$f(z_{1},\ldots ,z_{n})\equiv c$ auf dem $\mathbb {C} ^{n}$

richtig ist. Also ist jede beschränkte ganze holomorphe Funktion konstant.

Beweis

Man kann $f=f(z)$ auf dem $\mathbb {C} ^{n}$ um $z_{1}=\ldots =z_{n}=0$ in die Potenzreihe

$f(z_{1},\ldots \ldots ,z_{n})=\sum _{k_{1},\ldots ,k_{n}=0}^{\infty }a_{k_{1}\ldots k_{n}}z_{1}^{k_{1}}\cdot \ldots \cdot z_{n}^{k_{n}}$

entwickeln. Wählen wir den Polyzylinder

$P:={\Bigl \{}(z_{1},\ldots ,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n}:|z_{j}|<R,j=1,\ldots ,n{\Bigr \}}\subset \mathbb {C} ^{n},$

so liefern die Cauchyschen Abschätzungsformeln

$|a_{k_{1}\ldots k_{n}}|\leq {\frac {M}{R^{k_{1}+\ldots +k_{n}}}}\to 0$ für $R\to \infty$

für alle $(k_{1},\ldots ,k_{n})\in \mathbb {N} ^{n}$ mit $k_{1}+\ldots +k_{n}>0$. Somit folgt

$f(z_{1},\ldots ,z_{n})=a_{0\ldots 0}=:c\in \mathbb {C}$ für alle $(z_{1},\ldots ,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n}$.

q.e.d.

Satz 7 (Identitätssatz im $\mathbb {C} ^{n}$)

Im Gebiet $\Omega \subset \mathbb {C} ^{n}$ seien die Funktionen $f(z):\Omega \to \mathbb {C}$ und $g(z):\Omega \to \mathbb {C}$ holomorph. Weiter sei $z^{0}=(z_{1}^{0},\ldots ,z_{n}^{0})\in \Omega$ ein fester Punkt, an welchem

$\left({\frac {\partial }{\partial \zeta _{1}}}\right)^{k_{1}}\ldots \left({\frac {\partial }{\partial \zeta _{n}}}\right)^{k_{n}}f(\zeta _{1},\ldots ,\zeta _{n}){\Bigl |}_{\zeta =z^{0}}=\left({\frac {\partial }{\partial \zeta _{1}}}\right)^{k_{1}}\ldots \left({\frac {\partial }{\partial \zeta _{n}}}\right)^{k_{n}}g(\zeta _{1},\ldots ,\zeta _{n}){\Bigr |}_{\zeta =z^{0}}$

für $k_{1},\ldots ,k_{n}=0,1,2,\ldots$ erfüllt ist. Dann folgt

$f(z)\equiv g(z)$ für alle $z\in \Omega$.

Beweis

Wir betrachten die Funktion

$h(z):=f(z)-g(z),\quad z\in \Omega$

und die nicht leere Menge

$\Theta :=\left\{z\in \Omega :\left({\frac {\partial }{\partial \zeta _{1}}}\right)^{k_{1}}\ldots \left({\frac {\partial }{\partial \zeta _{n}}}\right)^{k_{n}}h(\zeta ){\Bigl |}_{\zeta =z}=0,k_{1},\ldots ,k_{n}=0,1,2,\ldots \right\}.$

Diese Menge ist offenbar abgeschlossen und auch offen, denn in jedem Punkt $z\in \Theta$ ist $h=h(z)$ in eine verschwindende Potenzreihe entwickelbar. Verbinden wir nun einen beliebigen Punkt $z^{1}\in \Omega$ mit dem Punkt $z^{0}\in \Theta$ durch einen Weg $\varphi :[0,1]\to \Omega \in C^{0}([0,1],\Omega )$ mit $\varphi (0)=z^{0}$ und $\varphi (1)=z^{1}$, so liefert ein Fortsetzungsargument $\varphi ([0,1])\subset \Theta$, denn die Menge $\Theta$ ist abgeschlossen und offen. Somit folgen $z^{1}=\varphi (1)\in \Theta$ und damit $\Theta =\Omega$. Dieses liefert $h(z)\equiv 0$ in $\Omega$, also $f(z)\equiv g(z)$ in $\Omega$.

q.e.d.

Satz 8 (Holomorphe Parameterintegrale)

Voraussetzungen: Seien $\Theta \subset \mathbb {R} ^{m}$ und $\Omega \subset \mathbb {C} ^{n}$ Gebiete mit $m,n\in \mathbb {N}$. Ferner sei

$f=f(t,z)=f(t_{1},\ldots ,t_{m},z_{1},\ldots ,z_{n}):\Theta \times \Omega \to \mathbb {C} \in C^{0}(\Theta \times \Omega ,\mathbb {C} )$

eine stetige Funktion mit folgenden Eigenschaften:

(a) Für jedes feste $t\in \Theta$ ist

$\Phi (z):=f(t,z),\quad z\in \Omega$

holomorph.

(b) Es gibt eine stetige Funktion $F(t):\Theta \to [0,+\infty )\in C^{0}(\Theta ,\mathbb {R} )$ mit

$\int \limits _{\Theta }F(t)\,dt<+\infty ,$

welche die Funktion $f=f(t,z)$ gleichmäßig majorisiert, d. h. es gilt

$|f(t,z)|\leq F(t)$ für alle $(t,z)\in \Theta \times \Omega .$

Behauptung: Dann ist die Funktion

$\varphi (z):=\int \limits _{\Theta }f(t,z)\,dt,\quad z\in \Omega$

holomorph in $\Omega$.

Beweis

1. Sei $Q$ ein abgeschlossener Quader mit $Q\subset \Theta$, so zeigen wir, dass die Funktion

$\Psi (z):=\int \limits _{Q}f(t,z)\,dt,\quad z\in \Omega$

holomorph ist. Hierzu zerlegen wir den Quader $Q$ mittels

${\mathcal {Z}}_{k}:Q=\bigcup _{l=1}^{N_{k}}Q_{l}$

in Teilquader, deren Feinheitsmaß $\delta ({\mathcal {Z}}_{k})\to 0$ für $k\to \infty$ erfüllt. Ist nun $K\subset \Omega$ eine beliebige kompakte Menge, so gibt es zu jedem $\varepsilon >0$ ein $k_{0}=k_{0}(\varepsilon )\in \mathbb {N}$, so dass für alle $k\geq k_{0}$ die Abschätzung

$\left|\Psi (z)-\sum _{l=1}^{N_{k}}f{\Bigl (}t^{(l)},z{\Bigr )}|Q_{l}|\right|=\left|\int \limits _{Q}f(t,z)\,dt-\sum _{l=1}^{N_{k}}f{\Bigl (}t^{(l)},z{\Bigr )}|Q_{l}|\right|\leq \varepsilon$

für alle $z\in K$ mit $t^{(l)}\in Q_{l}$ gilt. Auf einem Kompaktum ist die stetige Funktion $f=f(t,z)$ nämlich gleichmäßig stetig. Die Folge holomorpher Funktionen

$\Psi _{k}(z):=\sum _{l=1}^{N_{k}}f{\Bigl (}t^{(l)},z{\Bigr )}|Q_{l}|,\quad z\in \Omega ,\quad k=1,2,3,\ldots$

konvergiert auf jedem Kompaktum $K\subset \Omega$ gleichmäßig gegen die holomorphe Funktion

$\Psi (z):=\int \limits _{Q}f(t,z)\,dt,\quad z\in \Omega .$

2. Wir schöpfen nun die offene Menge $\Theta$ durch eine Folge $R_{1}\subset R_{2}\subset \ldots \subset \Theta$ aus, wobei jede Menge $R_{k}$ Vereinigung endlich vieler abgeschlossener Quader in $\Theta$ ist. Nach dem ersten Punkt ist für jedes $k\in \mathbb {N}$ die Funktion

$\varphi _{k}(z):=\int \limits _{R_{k}}f(t,z)\,dt,\quad z\in \Omega$

holomorph. Weiter gilt bei beliebig vorgegebenem $\varepsilon >0$

$\ \int \limits _{\Theta \setminus R_{k}}F(t)\,dt\leq \varepsilon$ für alle $k\geq k(\varepsilon )$.

Somit folgt für alle $z\in \Omega$ die Ungleichung

$|\varphi (z)-\varphi _{k}(z)|=\left|\ \int \limits _{\Theta \setminus R_{k}}f(t,z)\,dt\right|\leq \int \limits _{\Theta \setminus R_{k}}F(t)\,dt\leq \varepsilon$

für $k\geq k(\varepsilon )$. Die Folge holomorpher Funktionen $\varphi _{k}=\varphi _{k}(z),k=1,2,3,\ldots$ konvergiert also gleichmäßig gegen die holomorphe Funktion

$\varphi (z)=\int \limits _{\Theta }f(t,z)\,dt,\quad z\in \Omega ,$

womit alles gezeigt ist.

q.e.d.

§3 Geometrisches Verhalten von holomorphen Funktionen in $\mathbb {C}$

Satz 1 (Gebietstreue)

Seien $G\subset \mathbb {C}$ ein Gebiet und $w=f(z):G\to \mathbb {C} ,z\in G$ eine nicht konstante holomorphe Funktion. Dann ist die Bildmenge

$G^{*}:=f(G)={\Bigl \{}w=f(z):z\in G{\Bigr \}}$

wieder ein Gebiet in $\mathbb {C}$.

Beweis

Man übertrage den Beweis aus Kapitel III, §6, Satz 3 und beachte, dass lokal die Funktion $f=f(z)$ in einem beliebigen Punkt $z_{0}\in G$ die Entwicklung

$f(z)=f(z_{0})+a_{n}(z-z_{0})^{n}+o(|z-z_{0}|^{n})$ mit $a_{n}\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$

besitzt. Somit erfüllt die Funktion

$g(z):=f(z)-f(z_{0}),\quad |z-z_{0}|\leq \varrho$

die Bedingungen

$i(g,z_{0})=n\neq 0$ und $g(z)\neq 0$

für alle $z\in \mathbb {C}$ mit $|z-z_{0}|=\varrho$; dabei ist $\varrho >0$ hinreichend klein gewählt. Die Argumente im o. a. Beweis liefern dann die Behauptung.

q.e.d.

Satz 2 (Maximumsprinzip)

In einem Gebiet $G\subset \mathbb {C}$ sei die nicht konstante holomorphe Funktion $f:G\to \mathbb {C}$ gegeben. Dann gilt für alle $z\in G$ die Ungleichung

$|f(z)|<\sup _{\zeta \in G}|f(\zeta )|=:M.$

Beweis

Falls $M=+\infty$ gilt, so ist nichts zu zeigen. Es sei also $M<+\infty$ erfüllt. Sei nun $z\in G$ beliebig gewählt, dann existiert ein $\delta =\delta (z)>0$, so dass für die Kreisscheibe

$B_{\delta }(f(z)):={\Bigl \{}w\in \mathbb {C} :|w-f(z)|<\delta {\Bigr \}}$

die Inklusion

$B_{\delta }(f(z))\subset G^{*}$

gemäß Satz 1 richtig ist. Somit folgt mit

$M:=\sup _{\zeta \in G}|f(\zeta )|\geq \sup _{w\in B_{\delta }(f(z))}|w|=|f(z)|+\delta >|f(z)|$

die Behauptung.

q.e.d.

Definition 1

Auf der offenen Menge $\Omega \subset \mathbb {C}$ heißt die Funktion $f:\Omega \to \mathbb {C}$ antiholomorph, falls die Funktion

$g(z):={\overline {f(z)}},\quad z\in \Omega$

holomorph in $\Omega$ ist.

Satz 3 (Schwarzsches Spiegelungsprinzip)

In der oberen Halbebene sei die offene Menge $\Omega ^{+}\subset \mathbb {H} ^{+}$ so gegeben, dass

$\Gamma :=\partial \Omega ^{+}\cap \mathbb {R} \subset \mathbb {R}$

eine nicht leere offene Menge darstellt. Weiter erklären wir die offene Menge

$\Omega ^{-}:={\Bigl \{}z\in \mathbb {C} :{\overline {z}}\in \Omega ^{+}{\Bigr \}}\subset \mathbb {H} ^{-}$

und setzen

$\Omega :=\Omega ^{+}{\dot {\cup }}\Gamma {\dot {\cup }}\Omega ^{-}.$

Schließlich sei die Funktion $f:\Omega ^{+}\cup \Gamma \to \mathbb {C} \in C^{1}(\Omega ^{+})\cap C^{0}(\Omega ^{+}\cup \Gamma )$ holomorph in $\Omega ^{+}$ und erfülle $f(\Gamma )\subset \mathbb {R}$. Dann ist die Funktion

$F(z):={\begin{cases}f(z),&z\in \Omega ^{+}\cup \Gamma \\{\overline {f({\overline {z}})}},&z\in \Omega ^{-}\end{cases}}$

holomorph in Menge $\Omega$.

Beweis

1. Offenbar gilt $F\in C^{1}(\Omega ^{+}\cup \Omega ^{-})$. Für alle $z\in \Omega ^{-}$ berechnen wir

$F_{\overline {z}}(z)={\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}\{\tau \circ f\circ \tau \}(z)=(\tau \circ f)_{w}{\Bigl |}_{\tau (z)}\tau _{\overline {z}}+(\tau \circ f)_{\overline {w}}{\Bigl |}_{\tau (z)}{\overline {\tau }}_{\overline {z}}$

$=(\tau \circ f)_{w}{\Big |}_{\tau (z)}=\tau _{\zeta }{\Bigl |}_{f\circ \tau (z)}f_{w}{\Bigr |}_{\tau (z)}+\tau _{\overline {\zeta }}{\Bigl |}_{f\circ \tau (z)}{\overline {f}}_{w}{\Bigr |}_{\tau (z)}=0.$

Also ist $F=F(z)$ holomorph in $\Omega ^{+}\cup \Omega ^{-}$.

2. Weiter ist $F=F(z)$ stetig in $\Omega ^{+}$, also insbesondere auf $\Gamma$. Seien nun $z_{0}\in \Gamma$ beliebig gewählt und $\{z_{k}\}_{k=1,2,\ldots }\subset \Omega ^{-}$ eine Punktfolge mit der Eigenschaft

$\lim _{k\to \infty }z_{k}=z_{0}.$

Dann folgt

$\lim _{k\to \infty }F(z_{k})=\lim _{k\to \infty }{\overline {f({\overline {z}}_{k})}}={\overline {f({\overline {z}}_{0})}}={\overline {f(z_{0})}}=f(z_{0})=F(z_{0}),$

wobei wir beachten, dass $f=f(z)$ in $\Omega ^{+}\cup \Gamma$ stetig ist.

3. Wir haben noch die Holomorphie von $F=F(z)$ auf $\Omega$ zu zeigen. Sei dazu $z_{0}\in \Gamma$ ein beliebiger Punkt, so betrachten wir die Halbkreise

$H_{\varepsilon }^{\pm }:={\Bigl \{}z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|<\varrho ,\pm \operatorname {Im} \,z>\varepsilon {\Bigr \}}\subset \Omega ^{\pm }$

mit hinreichend kleinem, festem $\varrho >0$ und $\varepsilon \to 0+$. Mit Hilfe des Cauchyschen Integralsatzes und der Cauchyschen Integralformel stellen wir folgendes fest: Für jedes $z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {R}$ mit $|z-z_{0}|<\varrho$ gibt es ein hinreichend kleines $\varepsilon =\varepsilon (z)>0$ mit der Eigenschaft

$F(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint \limits _{\partial H_{\varepsilon }^{+}}{\frac {F(\zeta )}{\zeta -z}}\,d\zeta +{\frac {1}{2\pi i}}\oint \limits _{\partial H_{\varepsilon }^{-}}{\frac {F(\zeta )}{\zeta -z}}\,d\zeta .$

Im Grenzübergang $\varepsilon \to 0+$ heben sich die Integrale auf der reellen Achse gegenseitig weg und wir erhalten

$F(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint \limits _{|\zeta -z_{0}|=\varrho }{\frac {F(\zeta )}{\zeta -z}}\,d\zeta ,\quad |z-z_{0}|<\varrho .$

Aus dieser Darstellung erhalten wir schließlich die Holomorphie von $F=F(z)$ um den Punkt $z_{0}\in \Gamma$.

q.e.d.

Definition 2

Eine Menge $O\subset {\overline {\mathbb {C} }}:=\mathbb {C} \cup \{\infty \}$ nennen wir offen, falls für jeden Punkt $z_{0}\in O$ eine Kugel $K_{\varepsilon }(z_{0})$ mit hinreichend kleinem Radius $\varepsilon >0$ existiert, so dass

$K_{\varepsilon }(z_{0})\subset O$

erfüllt ist. Wie üblich ist dabei

$K_{\varepsilon }(z_{0}):={\Bigl \{}z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|<\varepsilon {\Bigr \}}$

für alle $z\in {\overline {\mathbb {C} }}$ und $\varepsilon >0$ gemeint.

Definition 3

Seien $\Omega \subset {\overline {\mathbb {C} }}$ eine offene Menge und $f:\Omega \to {\overline {\mathbb {C} }}$ eine Funktion. Dann heißt $f=f(z)$ stetig im Punkt $z_{0}\in \Omega$, falls es zu jedem $\varepsilon >0$ ein $\delta =\delta (\varepsilon ,z_{0})>0$ gibt, so dass

$f{\Bigl (}K_{\delta }(z_{0}){\Bigr )}\subset K_{\varepsilon }{\Bigl (}f(z_{0}){\Bigr )}$

erfüllt ist. Falls $f=f(z)$ in jedem Punkt $z_{0}\in \Omega$ stetig ist, nennen wir die Funktion stetig in $\Omega$.

§4 Isolierte Singularitäten und der allgemeine Residuensatz

Satz 1 (Allgemeiner Residuensatz)

Voraussetzungen:

I. Sei $G\subset \mathbb {C}$ ein beschränktes Gebiet, dessen Randpunkte ${\dot {G}}$ aus dem Äußeren erreichbar sind, d. h. für alle $z_{0}\in {\dot {G}}$ gibt es eine Folge $\{z_{k}\}_{k=1,2,\ldots }\subset \mathbb {C} \setminus {\overline {G}}$ mit

$\lim _{k\to \infty }z_{k}=z_{0}.$

Weiter gebe es $J\in \mathbb {N}$ reguläre $C^{1}$-Kurven

$X^{(j)}(t):[a_{j},b_{j}]\to \mathbb {C} \in C^{1}([a_{j},b_{j}],\mathbb {C} ),\quad j=1,\ldots ,J$

mit den Eigenschaften

$X^{(j)}{\Bigl (}(a_{j},b_{j}){\Bigr )}\cap X^{(k)}{\Bigl (}(a_{k},b_{k}){\Bigr )}=\emptyset ,\quad j,k\in \{1,\ldots ,J\},\quad j\neq k$

sowie

${\dot {G}}=\bigcup _{j=1}^{J}X^{(j)}{\Bigl (}[a_{j},b_{j}]{\Bigr )}.$

Schließlich liege das Gebiet $G$ zur Linken der Kurven, d. h.

$-i\left|{\frac {d}{dt}}X^{(j)}(t)\right|^{-1}{\frac {d}{dt}}X^{(j)}(t),\quad t\in (a_{j},b_{j}),\quad j=1,\ldots ,J$

stellt den äußeren Normalenvektor an das Gebiet $G$ dar. Das Gesamtintegral über diese Kurven bezeichnen wir mit $\ \int \limits _{\partial G}\ldots .$

II. Seien ferner $N$ singuläre Punkte (bzw. $N=0$, also keine singulären Punkte) $\zeta _{j}\in G,j=1,\ldots ,N$ mit $N\in \mathbb {N} _{0}$ gegeben, so erklären wir die Mengen

$G':=G\setminus \{\zeta _{1},\ldots ,\zeta _{N}\}$ sowie ${\overline {G}}':={\overline {G}}\setminus \{\zeta _{1},\ldots ,\zeta _{N}\}$.

III. Sei $f=f(z):{\overline {G}}'\to \mathbb {C} \in C^{1}(G',\mathbb {C} )\cap C^{0}({\overline {G}}',\mathbb {C} )$ eine Funktion, welche der inhomogenen Cauchy-Riemann-Gleichung

(1) ${\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}f(z)=g(z)$ für alle $z\in G'$

genügt.

IV. Schließlich sei

$\iint \limits _{G'}|g(z)|\,dxdy<+\infty$

für die rechte Seite der Differentialgleichung (1) erfüllt.

Behauptung: Dann existieren die Limites

(2) $\operatorname {Res} \,(f,\zeta _{k}):=\lim _{\varepsilon \to 0+}\left\{{\frac {\varepsilon }{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }f(\zeta _{k}+\varepsilon e^{i\varphi })e^{i\varphi }\,d\varphi \right\}$

für $k=1,\ldots ,N$ und es gilt

(3) $\ \int \limits _{\partial G}f(z)\,dz-2i\iint \limits _{G'}g(z)\,dxdy=2\pi i\sum _{k=1}^{N}\operatorname {Res} \,(f,\zeta _{k}).$

Beweis

Wir wenden den Gaußschen Integralsatz an auf das Gebiet

$G_{\varepsilon }:={\Bigl \{}z\in G:|z-\zeta _{k}|>\varepsilon _{k},k=1,\ldots ,N{\Bigr \}}$

mit $\varepsilon =(\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{N})$ und $\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{N}>0$. Mit $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ sowie

$\partial G_{\varepsilon }:z(t)=x(t)+iy(t),\quad t\in [a_{k},b_{k}],\quad k=1,\ldots ,K=J+N$

erhalten wir

$\ \int \limits _{\partial G_{\varepsilon }}f(z)\,dz=\int \limits _{\partial G_{\varepsilon }}(u+iv)\,(dx+idy)=\int \limits _{\partial G_{\varepsilon }}(u\,dx-v\,dy)+i\int \limits _{\partial G_{\varepsilon }}(v\,dx+u\,dy)$

$=\sum _{k=1}^{K}\int \limits _{a_{k}}^{b_{k}}(ux'-vy')\,dt+i\sum _{k=1}^{K}\int \limits _{a_{k}}^{b_{k}}(vx'-uy')\,dt.$

Für die äußere Normale an das Gebiet $G_{\varepsilon }$ gilt nun

$\xi (z(t))=-i{\Bigl \{}x'(t)^{2}+y'(t)^{2}{\Bigr \}}^{-{\frac {1}{2}}}{\Bigl \{}x'(t)+iy'(t){\Bigr \}}$

$={\Bigl \{}x'(t)^{2}+y'(t)^{2}{\Bigr \}}^{-{\frac {1}{2}}}{\Bigl (}y'(t)-x'(t){\Bigr )}$

mit $t\in (a_{k},b_{k})$ für $k=1,\ldots ,K$. Somit folgt mit dem Gaußschen Integralsatz

$\ \int \limits _{\partial G_{\varepsilon }}f(z)\,dz=\sum _{k=1}^{K}\int \limits _{a_{k}}^{b_{k}}{\Bigl \{}(-v,-u)\cdot \xi {\Bigr \}}{\Bigl |}_{z(t)}\,d\sigma (t)+i\sum _{k=1}^{K}\int \limits _{a_{k}}^{b_{k}}{\Bigl \{}(u,-v)\cdot \xi {\Bigr \}}{\Bigl |}_{z(t)}\,d\sigma (t)$

$\ \iint \limits _{\partial G_{\varepsilon }}(-v_{x}-u_{y}+iu_{x}-iv_{y})\,dxdy$

mit dem Linienelement

$d\sigma (t)={\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}\,dt.$

Beachten wir nun

$2if_{\overline {z}}=i(f_{x}+if_{y})=-f_{y}+if_{x}=-u_{y}-iv_{y}+iu_{x}-v_{x},$

so folgt

(4) $\ \int \limits _{\partial G}f(z)\,dz-2i\iint \limits _{G_{\varepsilon }}f_{\overline {z}}(z)\,dxdy=\sum _{k=1}^{N}\oint \limits _{|z-\zeta _{k}|=\varepsilon _{k}}f(z)\,dz.$

Hierbei wird auf der rechten Seite über die positive orientierten Kreislinien integriert. Da wir nun auf der linken Seite in (4) für jedes $k\in \{1,\ldots ,N\}$ den Grenzübergang $\varepsilon _{k}\to 0+$ durchführen können, so existiert der Grenzwert auf der rechten Seite, d. h. es gilt

$\lim _{\varepsilon _{k}\to 0+}\oint \limits _{|z-\zeta _{k}|=\varepsilon _{k}}f(z)\,dz\in \mathbb {C} .$

Insbesondere berechnen wir

$\lim _{\varepsilon _{k}\to 0+}\oint \limits _{|z-\zeta _{k}|=\varepsilon _{k}}f(z)\,dz=\lim _{\varepsilon _{k}\to 0+}\left\{\varepsilon _{k}\int \limits _{0}^{2\pi }f(\zeta _{k}+\varepsilon e^{i\varphi })e^{i\varphi }\,d\varphi \right\}$

$=2\pi i\lim _{\varepsilon _{k}\to 0+}\left\{{\frac {\varepsilon _{k}}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }f(\zeta _{k}+\varepsilon _{k}e^{i\varphi })e^{i\varphi }\,d\varphi \right\}=2\pi i\operatorname {Res} \,(f,\zeta _{k})$

für $k=1,\ldots ,N$. Beim Grenzübergang $\varepsilon \to 0$ in (4) erhalten wir

$\int \limits _{G}f(z)\,dz-2i\iint \limits _{G'}g(z)\,dxdy=2\pi i\sum _{k=1}^{N}\operatorname {Res} \,(f,\zeta _{k})$

und damit die Behauptung.

q.e.d.

Definition 1

Wir nennen $\operatorname {Res} \,(f,\zeta _{k})$ aus (2) das Residuum von $f$ an der Stelle $\zeta _{k}$.

Definition 2

Wir bezeichnen Gebiete $G\subset \mathbb {C}$, die der Voraussetzung I. von Satz 1 genügen, als Normalgebiete.

Satz 2 (Integraldarstellung)

Seien die Voraussetzungen I. bis IV. von Satz 1 erfüllt. Zusätzlich genüge die Funktion $f=f(z)$ der Bedingung

(5) $\sup _{z\in G'}|f(z)|<+\infty .$

Dann gilt die Integraldarstellung

(6) $f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\partial G}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z}}\,d\zeta -{\frac {1}{\pi }}\int \limits _{G''}{\frac {g(\zeta )}{\zeta -z}}\,d\xi d\eta ,\quad z\in G',$

wobei wir $G'':=G'\setminus \{z\}$ und $\zeta =\xi +i\eta$ benutzen.

Beweis

Für ein festes $z\in G'$ wenden wir Satz 1 auf die Funktion

$h(\zeta ):={\frac {f(\zeta )}{\zeta -z}},\quad \zeta \in G''$

an. Dann berechnen wir

$\ \int \limits _{\partial G}h(\zeta )\,d\zeta -2i\iint \limits _{G''}h_{\overline {\zeta }}(\zeta )\,d\xi d\eta =2\pi i\sum _{k=1}^{N}\operatorname {Res} \,(h,\zeta _{k})+2\pi i\operatorname {Res} \,(h,z)=2\pi if(z).$

Also folgt

$f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\partial G}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z}}\,d\zeta -{\frac {1}{\pi }}\int \limits _{G''}{\frac {g(\zeta )}{\zeta -z}}\,d\xi d\eta ,\quad z\in G',$

was der Behauptung entspricht.

q.e.d.

Satz 3 (Riemannscher Hebbarkeitssatz)

In der punktierten Kreisscheibe

$\Omega :={\Bigl \{}z\in \mathbb {C} :0<|z-z_{0}|\leq r{\Bigr \}}$

mit $z_{0}\in \mathbb {C}$ und $r\in (0,+\infty )$ sei die Funktion $f:\Omega \to \mathbb {C}$ holomorph und beschränkt, d. h. es gilt

$\sup _{z\in \Omega }|f(z)|<+\infty .$

Dann ist $f=f(z)$ holomorph auf die Kreisscheibe

${\hat {\Omega }}:={\Bigl \{}z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|\leq r{\Bigr \}}$

fortsetzbar.

Beweis

Wir wenden Satz 2 auf die Menge $\Omega$ und die Funktion $f=f(z)$ an und entnehmen der Integraldarstellung

(7) $f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint \limits _{|\zeta -z_{0}|=r}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z}}\,d\zeta ,\quad z\in \Omega$

bereits die Behauptung.

q.e.d.

Satz 4 (Laurent)

In der punktierten Kreisscheibe

$\Omega :={\Bigl \{}z\in \mathbb {C} :0<|z-z_{0}|\leq r{\Bigr \}}$ mit $z_{0}\in \mathbb {C}$ und $r\in (0,+\infty )$

sei die Funktion $f=f(z)$ holomorph. Dann gilt die Darstellung

(8) $f(z)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}$ für alle $z\in \Omega$

mit den Koeffizienten

$a_{n}:={\frac {1}{2\pi i}}\oint \limits _{|\zeta -z_{0}|=\varrho }{\frac {f(\zeta )}{(\zeta -z_{0})^{n+1}}}\,d\zeta$ für $n\in \mathbb {Z}$,

wobei $\varrho \in (0,r)$ beliebig gewählt ist. Die Konvergenz dieser Laurentreihe mit dem Hauptteil

$g(z)=\sum _{n=-1}^{-\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n},\quad z\in \Omega$

und dem Nebenteil

$g(z)=\sum _{n=0}^{+\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n},\quad z\in \Omega$

ist gleichmäßig in jedem Kompaktum in $\Omega$. Schließlich gilt

(9) $\operatorname {Res} \,(f,z_{0})=a_{-1}.$

Beweis

Ohne Einschränkung können wir $z_{0}=0$ wählen. Ist nun $z\in \Omega$, so wählen wir $0<\varepsilon <|z|<\delta <r$ und wenden den Satz 2 auf das Gebiet

$G:={\Bigl \{}z\in \mathbb {C} :\varepsilon <|z|<\delta {\Bigr \}}$

an. Dann folgt

$f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint \limits _{|\zeta |=\delta }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z}}\,d\zeta -{\frac {1}{2\pi i}}\oint \limits _{|\zeta |=\varepsilon }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z}}\,d\zeta$ für alle $z\in G$.

Wie üblich erhalten wir durch Entwicklung die Potenzreihe

${\frac {1}{2\pi i}}\oint \limits _{|\zeta |=\delta }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z}}\,d\zeta =\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$ für $|z|<\delta$,

also den Nebenteil der Laurentreihe. Wir entwickeln nun für alle $|\zeta |=\varepsilon$ und $|z|>\varepsilon$ den Ausdruck

$-{\frac {1}{\zeta -z}}={\frac {1}{z}}{\frac {1}{1-{\frac {\zeta }{z}}}}={\frac {1}{z}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\zeta ^{n}}{z^{n}}}=\sum _{n=0}^{\infty }\zeta ^{n}z^{-n-1},$

wobei die Konvergenz der Reihe in jedem Kompaktum gleichmäßig ist. Für alle $|z|>\varepsilon$ ist demnach

$-{\frac {1}{2\pi i}}\oint \limits _{|\zeta |=\varepsilon }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z}}\,d\zeta =\sum _{n=0}^{\infty }\left(-{\frac {1}{2\pi i}}\oint \limits _{|\zeta |=\varepsilon }{\frac {f(\zeta )}{\zeta ^{-n}}}\,d\zeta \right)z^{-n-1}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{-n-1}z^{-n-1}$

$=\sum _{n=-1}^{-\infty }a_{n}z^{n}$

erfüllt, falls $|z|>\varepsilon$ gilt. Dieses liefert den Hauptteil der Laurentreihe. Insgesamt ist die gleichmäßige Konvergenz von

$f(z)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }a_{n}z^{n}$ für $\varepsilon <|z|<\delta$

gezeigt, wobei $0<\varepsilon <\delta <r$ beliebig gewählt werden kann.

q.e.d.

Definition 3

Die holomorphe Funktion $f=f(z)$ sei gemäß Satz 4 in der Umgebung von $z_{0}\in \mathbb {C}$ durch ihre Laurentreihe (8) dargestellt.

1. Falls es für jede Zahl $N\in \mathbb {Z}$ einen Koeffizienten $a_{n}\neq 0$ mit $n\leq N$ gibt, so sagen wir, im Punkt $z_{0}$ besitzt die Funktion $f$ eine wesentliche Singularität.
2. Gibt es nun eine Zahl $N\in \mathbb {Z}$ mit $N<0$, so dass $a_{n}=0$ für alle $n<N$ sowie $a_{N}\neq 0$ erfüllt sind, so sagen wir, $f$ hat im Punkt $z_{0}$ einen Pol der Ordnung $(-N)\in \mathbb {N}$.
3. Ist schließlich $a_{n}=0$ für alle $n\in \mathbb {Z}$ mit $n<0$ richtig, sagen wir, $f$ besitzt im Punkt $z_{0}$ eine hebbare Singularität.

Satz 5 (Casorati, Weierstraß)

Seien die Voraussetzungen und Bezeichnungen von Satz 4 gültig und zusätzlich sei die Funktion $f:{\overline {\Omega }}\to {\overline {\mathbb {C} }}$ stetig. Dann besitzt $f=f(z)$ im Punkt $z_{0}$ keine wesentliche Singularität. Sie hat in diesem Punkt einen Pol genau dann, wenn $f(z_{0})=\infty$ richtig ist und sie besitzt in $z_{0}$ eine hebbare Singularität genau dann, falls $f(z_{0})\in \mathbb {C}$ gilt.

Beweis

Da die Funktion $f:\Omega \to \mathbb {C}$ stetig in den Punkt $z_{0}$ fortsetzbar ist, gibt es eine Konstante $c\in \mathbb {C}$ und ein $\varepsilon >0$, so dass

$f(z)\neq c$ für alle $z\in K_{\varepsilon }(z_{0})$

gilt. Wir gehen nun über zur holomorphen Funktion

$g(z):={\frac {1}{f(z)-c}},\quad z\in K_{\varepsilon }(z_{0})\setminus \{z_{0}\}.$

Wegen

$\sup _{0<|z-z_{0}|<\varepsilon }|g(z)|<+\infty$

kann $g=g(z)$ holomorph in den Punkt $z_{0}$ nach dem Riemannschen Hebbarkeitssatz fortgesetzt werden. Somit gibt es eine holomorphe Funktion $h=h(z),z\in K_{\varepsilon }(z_{0})$ mit $h(z_{0})\neq 0$ sowie ein $n\in \mathbb {N} _{0}$, so dass

${\frac {1}{f(z)-c}}=g(z)=(z-z_{0})^{n}h(z),\quad z\in K_{\varepsilon }(z_{0})\setminus \{z_{0}\}$

richtig ist. Dann erhalten wir

$f(z)=c+(z-z_{0})^{-n}h(z)^{-1}=\sum _{k=-n}^{+\infty }b_{k}(z-z_{0})^{k}=(z-z_{0})^{N}\psi (z)$

für alle $z\in K_{\varepsilon }(z_{0})\setminus \{z_{0}\}$. Hierbei ist $N\in \mathbb {Z}$ und $\psi =\psi (z),z\in K_{\varepsilon }(z_{0})$ ist eine holomorphe Funktion mit $\psi (z_{0})\neq 0$. Nun besitzt $f=f(z)$ in $z_{0}$ einen Pol genau dann, wenn

$\lim _{z\to z_{0} \atop z\neq z_{0}}|f(z)|=\lim _{z\to z_{0} \atop z\neq z_{0}}{\Bigl \{}|z-z_{0}|^{N}|\psi (z)|{\Bigr \}}=|\psi (z_{0})|\lim _{z\to z_{0} \atop z\neq z_{0}}|z-z_{0}|^{N}=+\infty$

gilt, also

$f(z_{0})=\infty .$

Ebenso hat die Funktion im Punkt $z_{0}$ eine hebbare Singularität genau dann, wenn

$\lim _{z\to z_{0} \atop z\neq z_{0}}|f(z)|=\lim _{z\to z_{0} \atop z\neq z_{0}}{\Bigl \{}|z-z_{0}|^{N}|\psi (z)|{\Bigr \}}=|\psi (z_{0})|\lim _{z\to z_{0} \atop z\neq z_{0}}|z-z_{0}|^{N}<+\infty$

bzw.

$f(z_{0})\in \mathbb {C}$

richtig ist. Daraus folgt die Behauptung.

q.e.d.

Definition 4

Wir nennen die ganze Zahl $n\in \mathbb {Z}$ aus der Darstellung

$f(z)=(z-z_{0})\varphi (z),\quad z\in \Omega :={\Bigl \{}z\in \mathbb {C} :0<|z-z_{0}|<r{\Bigr \}}$

mit der holomorphen Funktion $\varphi :\Omega \cup \{z_{0}\}\to \mathbb {C}$ die Ordnung der Nullstelle $z_{0}$.

Satz 6 (Prinzip vom Argument)

Seien die Voraussetzungen I. und II. aus Satz 1 erfüllt. Die Funktion $f=f(z):{\overline {G}}'\to \mathbb {C} \setminus \{0\}$ sei holomorph in ${\overline {G}}'$ und fortsetzbar in die singulären Punkte als stetige Funktion $f:{\overline {G}}\to {\overline {\mathbb {C} }}$. Mit $n_{k}=n_{k}(\zeta _{k})\in \mathbb {Z} ,k=1,\ldots ,N$ bezeichnen wir die Ordnung der Nullstellen von den singulären Punkten $\zeta _{k},k=1,\ldots ,N$. Dann gilt die Indexsummenformel

(10) $\sum _{k=1}^{N}n_{k}={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\partial G}{\frac {1}{f(\zeta )}}{\Bigl \{}f_{\xi }(\zeta )\,d\xi +f_{\eta }(\zeta )\,d\eta {\Bigr \}}.$

Beweis

Wir wenden den Residuensatz an auf die holomorphe Funktion

$F(z):={\frac {f'(z)}{f(z)}},\quad z\in {\overline {G}}'.$

Wir haben die Entwicklungen

(11) $f(z)=(z-\zeta _{k})^{n_{k}}\varphi _{k}(z),\quad z\in G\setminus \{\zeta _{k}\},\quad z\to \zeta _{k}$

mit den holomorphen Funktionen $\varphi _{k}=\varphi _{k}(z)$, die $\varphi _{k}(\zeta _{k})\neq 0$ erfüllen. Es folgt

$F(z)={\frac {n_{k}(z-\zeta _{k})^{n_{k}-1}\varphi _{k}(z)+(z-\zeta _{k})^{n_{k}}\varphi _{k}'(z)}{(z-\zeta _{k})^{n_{k}}\varphi _{k}(z)}}={\frac {n_{k}}{z-\zeta _{k}}}+{\frac {\varphi _{k}'(z)}{\varphi _{k}(z)}}$

für $z\in G\setminus \{\zeta _{k}\},z\to \zeta _{k}$ und somit

(12) $\operatorname {Res} \,(F,\zeta _{k})=n_{k},\quad k=1,\ldots ,N.$

Der Residuensatz liefert nun

$\sum _{k=1}^{N}n_{k}=\sum _{k=1}^{N}\operatorname {Res} \,(F,\zeta _{k})={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\partial G}F(\zeta )\,d\zeta$

$={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\partial G}{\frac {f'(\zeta )}{f(\zeta )}}\,d\zeta ={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\partial G}{\frac {f_{\xi }\,d\xi +if_{\xi }\,d\eta }{f}}={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\partial G}{\frac {f_{\xi }\,d\xi +f_{\eta }\,d\eta }{f}},$

woraus die Behauptung folgt.

q.e.d.

Definition 5

Sei $\Omega \subset \mathbb {C}$ eine beschränkte, offene Menge und die beschränkte, stetige Funktion

$g\in L^{\infty }(\Omega ,\mathbb {C} )\cap C^{0}(\Omega ,\mathbb {C} )$

sei vorgelegt. Dann nennen wir

(13) $T_{\Omega }[g](z):=-{\frac {1}{\pi }}\iint \limits _{\Omega }{\frac {g(\zeta )}{\zeta -z}}\,d\xi d\eta ,\quad z\in \Omega$

den Cauchyschen Integraloperator; dabei ist wie üblich $\zeta =\xi +i\eta$ gesetzt.

Satz 7 (Hadamardsche Abschätzung)

Seien $\Omega \subset \mathbb {C}$ eine beschränkte, offene Menge und $g\in C^{0}(\Omega ,\mathbb {C} )$ eine Funktion mit der Eigenschaft

$\|g\|_{\infty }:=\sup _{\zeta \in \Omega }|g(\zeta )|<+\infty .$

Dann gibt es eine Konstante $\gamma \in (0,+\infty )$, so dass die Funktion

$\psi (z):=T_{\Omega }[g](z),\quad z\in \mathbb {C}$

die Ungleichung

(14) $|\psi (z_{1})-\psi (zi_{2})|\leq 2\gamma \|g\|_{\infty }|z_{1}-z_{2}|\log {\frac {\vartheta (z_{1})}{|z_{1}-z_{2}|}}$

für alle $z_{1},z_{2}\in \mathbb {C}$ mit $|z_{1}-z_{2}|\leq {\frac {1}{2}}\vartheta (z_{1})$ erfüllt. Hierbei haben wir

$\vartheta (z_{1}):=\sup _{z\in \Omega }|z-z_{1}|$

gesetzt.

Beweis

Seien $z_{1},z_{2}\in \mathbb {C}$ mit $z_{1}\neq z_{2}$, so folgt

(15) $\psi (z_{1})-\psi (z_{2})={\frac {1}{\pi }}\iint \limits _{\Omega }\left({\frac {g(\zeta )}{\zeta -z_{2}}}-{\frac {g(\zeta )}{\zeta -z_{1}}}\right)\,d\xi d\eta ={\frac {1}{\pi }}\iint \limits _{\Omega }{\frac {z_{2}-z_{1}}{(\zeta -z_{1})(\zeta -z_{2})}}g(\zeta )\,d\xi d\eta .$

Mit Hilfe der Transformation

$\zeta =z_{1}+z(z_{2}-z_{1}),\quad z\in \mathbb {C}$

mit $0\mapsto z_{1}$ bzw. $1\mapsto z_{2}$, welche die Funktionaldeterminante $|z_{2}-z_{1}|^{2}$ besitzt, schätzen wir nun wie folgt ab:

$|\psi (z_{1})-\psi (zi_{2})|\leq {\frac {1}{\pi }}|z_{2}-z_{1}|\|g\|_{\infty }\iint \limits _{\Omega }{\frac {1}{|\zeta -z_{1}||\zeta -z_{2}|}}\,d\xi d\eta$

$\leq {\frac {1}{\pi }}|z_{2}-z_{1}|\|g\|_{\infty }\iint \limits _{\zeta :|\zeta -z_{1}|\leq \vartheta (z_{1})}{\frac {1}{|\zeta -z_{1}||\zeta -z_{2}|}}\,d\xi d\eta$

$={\frac {1}{\pi }}|z_{2}-z_{1}|\|g\|_{\infty }\iint \limits _{z:|z|\leq {\frac {\vartheta (z_{1})}{|z_{2}-z_{1}|}}}{\frac {1}{|z(z_{2}-z_{1})||(z-1)(z_{2}-z_{1})|}}|z_{2}-z_{1}|^{2}\,dxdy$

$={\frac {1}{\pi }}|z_{2}-z_{1}|\|g\|_{\infty }\iint \limits _{z:|z|\leq {\frac {\vartheta (z_{1})}{|z_{2}-z_{1}|}}}{\frac {1}{|z||z-1|}}\,dxdy.$

Es existiert nun eine Konstante $\gamma \in (0,+\infty )$, so dass

(17) $\iint \limits _{|z|\leq R}{\frac {1}{|z||z-1|}}\,dxdy\leq \gamma \iint \limits _{1\leq |z|\leq R}{\frac {1}{|z|^{2}}}\,dxdy$ für alle $R\in [2,+\infty )$

richtig ist. Für die Punkte $z_{1},z_{2}\in \mathbb {C}$ mit $0<|z_{1}-z_{2}|\leq {\frac {1}{2}}\vartheta (z_{1})$ folgt

$2\leq {\frac {\vartheta (z_{1})}{|z_{1}-z_{2}|}}$

und somit erhalten wir mit

$|\psi (z_{1})-\psi (zi_{2})|\leq {\frac {\gamma }{\pi }}|z_{2}-z_{1}|\|g\|_{\infty }\iint \limits _{1\leq |z|\leq {\frac {\vartheta (z_{1})}{|z_{2}-z_{1}|}}}{\frac {1}{|z|^{2}}}\,dxdy$

${\frac {\gamma }{\pi }}\|g\|_{\infty }|z_{2}-z_{1}|2\pi \iint \limits _{1}^{\frac {\vartheta (z_{1})}{|z_{2}-z_{1}|}}{\frac {1}{r^{2}}}r\,dr=2\gamma \|g\|_{\infty }|z_{1}-z_{2}|\log {\frac {\vartheta (z_{1})}{|z_{1}-z_{2}|}}$

die Behauptung.

q.e.d.

Definition 6

Auf einer Menge $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ betrachten wir eine Funktion $f:\Omega \to \mathbb {R} ^{m}$ mit $m,n\in \mathbb {N}$. Weiter sei $\omega :[0,+\infty )\to [0,+\infty )$ eine stetige Funktion mit $\omega (0)=0$, welche das Stetigkeitsmodul angibt. Dann heißt $f$ Dini-stetig, falls

(18) $|f(x)-f(y)|\leq \omega (|x-y|)$ für alle $x,y\in \Omega$

gilt. Im Spezialfall

$\omega (t)=Lt,\quad t\in [0,+\infty )$

heißt Lipschitz-stetig mit der Lipschitzkonstanten $L\in [0,+\infty )$. Haben wir

$\omega (t)=Ht^{\alpha },\quad t\in [0,+\infty ),$

so nennen wir $f$ Hölder-stetig mit der Hölderkonstanten $H\in [0,+\infty )$ und dem Hölderexponenten $\alpha \in (0,1)$.

Satz 8 (Allgemeiner Hebbarkeitssatz)

Seien die Voraussetzungen I. bis IV. von Satz 1 erfüllt. Weiter genüge die Funktion $f=f(z)$ der Bedingung

$\sup _{z\in G'}|f(z)|<+\infty$

und die rechte Seite $g=g(z)$ der inhomogenen Cauchy-Riemannschen Differentialgleichung (1) erfülle

$\sup _{z\in G'}|g(z)|<+\infty$

Dann ist die Funktion $f=f(z)$ Hölder-stetig in die singulären Punkte $\zeta _{1},\ldots ,\zeta _{N}\in G$ fortsetzbar zu beliebigem Hölderexponenten $\alpha \in (0,1)$.

Beweis

Man verwende Satz 2 und Satz 7.

q.e.d.

§5 Die inhomogene Cauchy-Riemannsche Differentialgleichung

Definition 1

In der offenen Menge $\Omega \subset \mathbb {C}$ sei die stetige Funktion $\Phi :\Omega \to \mathbb {C}$ gegeben. Zu einem festen Punkt $z_{0}\in \Omega$ betrachten wir Normalgebiete $G_{k},k=1,2,\ldots$ vom topologischen Typ der Kreisscheibe mit dem Flächeninhalt $|G_{k}|$ und der Länge ihrer Randkurven $|\partial G_{k}|$, welche die Inklusion

(1) $z_{0}\in G\subset \Omega ,\quad k\in \mathbb {N}$

und die Bedingung

(2) $\lim _{k\to \infty }|\partial G_{k}|=0$

erfüllen. Wenn für alle diese Folgen von Gebieten $\{G_{k}\}_{k=1,2,\ldots }$ der Grenzwert

(3) $\lim _{k\to \infty }{\frac {1}{2i|G_{k}|}}\int \limits _{\partial G_{k}}\Phi (z)\,dz=:{\frac {d}{d{\overline {z}}}}\Phi (z_{0})$

existiert, so nennen wir $\Phi =\Phi (z)$ an der Stelle $z_{0}$ (schwach) im Sinne von Pompeiu differenzierbar.

Definition 2

Für die offene Menge $\Omega \subset \mathbb {C}$ erklären wir die Vakuasche Funktionenklasse

$C_{\overline {z}}(\Omega ):=\left\{\Phi \in C^{0}(\Omega ,\mathbb {C} ):\forall z\in \Omega \exists {\frac {d}{d{\overline {z}}}}\Phi (z)=:g(z)\ mit\ g\in C^{0}(\Omega ,\mathbb {C} )\right\}.$

Satz 1 (Pompeiu, Vekua)

Seien $\Omega \subset \mathbb {C}$ eine offene Menge und $g\in C^{0}(\Omega ,\mathbb {C} )$ eine stetige Funktion. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:

(a) $f=f(z)$ gehört der Vekuaschen Funktionenklasse $C_{\overline {z}}(\Omega )$ an und genügt der Differentialgleichung

(4) ${\frac {d}{d{\overline {z}}}}f(z)=g(z),\quad z\in \Omega$

im Pompeiuschen Sinne;

(b) $f=f(z)$ gehört zur Klasse $C^{0}(\Omega ,\mathbb {C} )$ und für jedes Normalgebiet $G\subset \subset \mathbb {C}$ gilt die Integraldarstellung

(5) $f(z)={\frac {1}{2\pi i}}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z}}\,d\zeta -{\frac {1}{\pi }}{\frac {g(\zeta )}{\zeta -z}}\,d\xi d\eta ,\quad z\in G.$

Beweis

Wir zeigen die Richtung $(a)\Rightarrow (b)$. Sei $f\in C_{\overline {z}}(\Omega )$ mit

${\frac {d}{d{\overline {z}}}}f(z)=g(z),\quad z\in \Omega .$

Dann gibt es eine Folge von Funktionen $f_{k}(z)\in C^{1}(\Omega ,\mathbb {C} ),k=1,2,\ldots$ mit

${\begin{cases}f_{k}(z)\to f(z),&z\in \Theta \\f_{k_{\overline {z}}}\to {\frac {d}{d{\overline {z}}}}f(z),&z\in \Theta \end{cases}}$ gleichmäßig für $k\to \infty$

in jeder kompakten Menge $\Theta \subset \Omega$. Für jedes Normalgebiet $G\subset \subset \Omega$ gilt wegen Satz 2 aus §4 die Identität

$f_{k}(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\partial G}{\frac {f_{k}(\zeta )}{\zeta -z}}\,d\zeta -{\frac {1}{\pi }}\int \limits _{G}{\frac {{\frac {\partial }{\partial \zeta }}f_{k}(\zeta )}{\zeta -z}}\,d\xi d\eta ,\quad z\in G,\quad k\in \mathbb {N} .$

Für $k\to \infty$ erhalten wir also die Integraldarstellung (5).

Wir zeigen die Richtung $(b)\Rightarrow (a)$. Das Kurvenintegral in (5) stellt eine analytische Funktion in $G$ dar, während $T_{G}[g]$ in $G$ stetig und im Pompeiuschen Sinne schwach nach ${\overline {z}}$ differenzierbar ist. Somit folgt

${\frac {d}{d{\overline {z}}}}f(z)=g(z),\quad z\in \Omega .$

q.e.d.

Definition 3

Eine Funktion $g:\Omega \to \mathbb {C}$ nennen wir auf der offenen Menge $\Omega \subset \mathbb {C}$ Hölder-stetig, falls es zu jeder kompakten Menge $\Theta \subset \Omega$ eine Konstante $H=H(\Theta )\in [0,+\infty )$ und einen Exponenten $\alpha =\alpha (\Theta )\in (0,1]$ so gibt, dass

(6) $|g(z_{1})-g(z_{2})|\leq H(\Theta )|z_{1}-z_{2}|^{\alpha (\Theta )}$ für alle $z_{1},z_{2}\in \Theta$

erfüllt ist.

Definition 4

Seien $G\subset \mathbb {C}$ ein Normalgebiet, $z\in G$ ein fester Punkt und $f:{\overline {G}}\setminus \{z\}\to \mathbb {C} \in C^{0}({\overline {G}}\setminus \{z\})$ eine stetige Funktion. Für alle $0\leq \varepsilon <\operatorname {dist} \,\{z,\mathbb {C} \setminus G\}$ betrachten wir die Gebiete

$G_{\varepsilon }(z):={\Bigl \{}\zeta \in G:|\zeta -z|>\varepsilon {\Bigr \}}.$

Wir nennen

(7) $\ \iint \limits _{G_{0}(z)}f(\zeta )\,d\xi d\eta :=\lim _{\varepsilon \to 0+}\iint \limits _{G_{\varepsilon }(z)}f(\zeta )\,d\xi d\eta$

den Cauchyschen Hauptwert des Integrals

$\ \iint \limits _{G_{0}(z)}f(\zeta )\,d\xi d\eta ,$

falls der Grenzwert in (7) existiert.

Definition 5

Wir nennen $\Pi _{G}$ den Vekuaschen Integraloperator.

Satz 2 (Regularitätssatz)

Seien $\Omega \subset \mathbb {C}$ eine offene Menge, in der eine Funktion $g\in C^{k}(\Omega ,\mathbb {C} )$ mit $k\in \mathbb {N} _{0}$ gegeben ist. Weiter gehörten die Funktion $f=f(z)$ zur Vekuaschen Funktionenklasse $C_{\overline {z}}(\Omega )$ und genüge der inhomogenen Cauchy-Riemannschen Differentialgleichung

(8) ${\frac {d}{d{\overline {z}}}}f(z)=g(z),\quad z\in \Omega$

im Pompeiuschen Sinne. Dann gehört $f$ zur Regularitätsklasse $C^{k}(\Omega ,\mathbb {C} )$ und ihre Ableitungen der Ordnung $k$ sind Dini-stetig mit dem in §4, Satz 7 angegebenen Stetigkeitsmodul. Falls zusätzlich alle $k$-ten Ableitungen der rechten Seite $g=g(z)$ Hölder-stetige Funktionen in $\Omega$ sind, folgt $f\in C^{k+1}(\Omega ,\mathbb {C} )$.

Beweis

1. Nach Satz 1 ist die Differentialgleichung (8) äquivalent zur Integralgleichung

$f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\partial G}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z}}\,d\zeta +T_{G}[g](z),\quad z\in G$

in beliebigen Normalgebieten $G\subset \subset \Omega$. Der erste Summand auf der rechten Seite stellt eine holomorphe Funktion in $G$ dar und folglich wird die Regularität von $f=f(z)$ durch die Regularität der Funktion

$\Psi (z):=T_{G}[g](z),\quad z\in G$

bestimmt. Für $k=0$ entnehmen wir Satz 7 aus §4, dass die Funktion $\Psi =\Psi (z)$ und somit $f=f(z)$ in $G$ Dini-stetig mit dem dort angegebenen Stetigkeitsmodul sind. Falls zusätzlich die rechte Seite $g=g(z)$ Hölder-stetig in $\Omega$ ist, gilt

(9) $\Psi \in C^{1}(G);\quad \Psi _{\overline {z}}(z)=g(z),\quad \Psi _{z}(z)=\Pi _{G}[g](z),\quad z\in G.$

2. Für $k=1$ folgt $g\in C^{1}(\Omega )$ und wir erhalten aus (9), dass $\Psi _{\overline {z}}\in C^{1}(\Omega )$ richtig ist. Weiter gilt

(10)