Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen

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§1 Die Cauchy-Riemannsche Differentialgleichung[Bearbeiten]

Definition 1[Bearbeiten]

Auf der offenen Menge sei die Funktion erklärt und sei ein beliebiger Punkt. Dann heißt komplex differenzierbar im Punkt , wenn der Grenzwert
existiert. Wir nennen die komplexe Ableitung der Funktion an der Stelle . Falls für alle existiert und die Funktion stetig ist, nennen wir holomorph in .

§2 Holomorphe Funktionen im [Bearbeiten]

Satz 1 (Cauchy, Riemann)[Bearbeiten]

Seien ein einfach zusammenhängendes Gebiet und . Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
(a) ist in holomorph;
(b) Realteil und Imaginärteil von erfüllen das Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungssystem
(1) in ;
(c) Für jede geschlossene Kurve mit gilt
(d) es gibt eine holomorphe Funktion mit
also eine Stammfunktion von .

Beweis[Bearbeiten]

1. Die Äquivalenz wurde bereits gezeigt.

2. Wir zeigen . Offenbar ist

für alle

genau dann erfüllt, wenn gilt

für alle .

Dies ist wiederum äquivalent zu

in

bzw. zu (1).

3. Wir beweisen nun . Es ist dann äquivalent zur Existenz von Funktionen mit den Eigenschaften

in

bzw.

(2)

Die Gleichungen (2) sind nun äquivalent zu

(3)

Wir erhalten also mit eine holomorphe Funktion in mit

4. Schließlich zeigen wir noch . Sei , dann gilt

wegen .

q.e.d.

Satz 2 (Monodromiesatz)[Bearbeiten]

Seien ein Gebiet und zwei beliebige Punkte. Weiter seien zwei zueinander homotope Kurven mit festem Anfangspunkt und Endpunkt . Ist nun holomorph, dann gilt

Satz 3 (Cauchy, Weierstraß)[Bearbeiten]

Seien ein Gebiet, sowie so gegeben, dass die offene Kreisscheibe
die Inklusion erfüllt. Weiter sei . Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
(a) ist in holomorph;
(b) es gilt die Cauchysche Integralformel
für alle mit , wobei das Integral über die positiv orientierte Kreislinie zu verstehen ist;
(c) es gilt
mit den Koeffizienten

Beweis[Bearbeiten]

1. Wir zeigen die Richtung . Die Funktion

ist in ihrem Definitionsbereich holomorph. Weiter sind für alle hinreichend kleinen die Kurven

und

in zueinander homotop. Somit folgt

Für erhalten wir somit

und

für alle .

2. Wir zeigen . Für alle gilt

Nun ist

so dass wir den Bruch in die gleichmäßig konvergente geometrische Reihe

entwickeln können. Daraus folgt

mit den Koeffizienten

3. Die Richtung wurde bereits gezeigt.

q.e.d.

Satz 4 (Identitätssatz für holomorphe Funktionen)[Bearbeiten]

Auf dem Gebiet seien die beiden holomorphen Funktionen gegeben. Weiter sei eine konvergente Folge mit
Schließlich sei
erfüllt. Dann folgt
in .

Beweis[Bearbeiten]

Wir nehmen an, dass die holomorphe Funktion nicht identisch verschwindet. Im Punkt entwickeln wir in eine Potenzreihe

Wegen gibt es ein mit , so dass

mit

gilt. Für hinreichend kleines erhalten wir

Somit folgt

für alle

im Widerspruch zu

q.e.d.

Definition 1[Bearbeiten]

Eine im Gebiet erklärte Funktion
nennen wir holomorph, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
(a) es ist ;
(b) für jedes feste und ist die Funktion
mit
bei hinreichend kleinem holomorph.

Satz 5 (Cauchysche Integralformel im )[Bearbeiten]

Im Gebiet sei die Funktion holomorph. Mit und sei auch der Polyzylinder
kompakt in enthalten, d. h. es gilt . Für alle gilt dann die Integraldarstellung

Beweis[Bearbeiten]

Die Funktion ist holomorph bezüglich der Veränderlichen . Wir berechnen also

Führen wir Polarkoordinaten ein, so folgt auch die zweite Darstellung.

q.e.d.

Satz 6 (Liouville)[Bearbeiten]

Sei holomorph und es gebe eine Konstante , so dass
für alle
gilt. Dann gibt es ein , so dass
auf dem
richtig ist. Also ist jede beschränkte ganze holomorphe Funktion konstant.

Beweis[Bearbeiten]

Man kann auf dem um in die Potenzreihe

entwickeln. Wählen wir den Polyzylinder

so liefern die Cauchyschen Abschätzungsformeln

für

für alle mit . Somit folgt

für alle .

q.e.d.

Satz 7 (Identitätssatz im )[Bearbeiten]

Im Gebiet seien die Funktionen und holomorph. Weiter sei ein fester Punkt, an welchem
für erfüllt ist. Dann folgt
für alle .

Beweis[Bearbeiten]

Wir betrachten die Funktion

und die nicht leere Menge

Diese Menge ist offenbar abgeschlossen und auch offen, denn in jedem Punkt ist in eine verschwindende Potenzreihe entwickelbar. Verbinden wir nun einen beliebigen Punkt mit dem Punkt durch einen Weg mit und , so liefert ein Fortsetzungsargument , denn die Menge ist abgeschlossen und offen. Somit folgen und damit . Dieses liefert in , also in .

q.e.d.

Satz 8 (Holomorphe Parameterintegrale)[Bearbeiten]

Voraussetzungen: Seien und Gebiete mit . Ferner sei
eine stetige Funktion mit folgenden Eigenschaften:
(a) Für jedes feste ist
holomorph.
(b) Es gibt eine stetige Funktion mit
welche die Funktion gleichmäßig majorisiert, d. h. es gilt
für alle
Behauptung: Dann ist die Funktion
holomorph in .

Beweis[Bearbeiten]

1. Sei ein abgeschlossener Quader mit , so zeigen wir, dass die Funktion

holomorph ist. Hierzu zerlegen wir den Quader mittels

in Teilquader, deren Feinheitsmaß für erfüllt. Ist nun eine beliebige kompakte Menge, so gibt es zu jedem ein , so dass für alle die Abschätzung

für alle mit gilt. Auf einem Kompaktum ist die stetige Funktion nämlich gleichmäßig stetig. Die Folge holomorpher Funktionen

konvergiert auf jedem Kompaktum gleichmäßig gegen die holomorphe Funktion

2. Wir schöpfen nun die offene Menge durch eine Folge aus, wobei jede Menge Vereinigung endlich vieler abgeschlossener Quader in ist. Nach dem ersten Punkt ist für jedes die Funktion

holomorph. Weiter gilt bei beliebig vorgegebenem

für alle .

Somit folgt für alle die Ungleichung

für . Die Folge holomorpher Funktionen konvergiert also gleichmäßig gegen die holomorphe Funktion

womit alles gezeigt ist.

q.e.d.

§3 Geometrisches Verhalten von holomorphen Funktionen in [Bearbeiten]

Satz 1 (Gebietstreue)[Bearbeiten]

Seien ein Gebiet und eine nicht konstante holomorphe Funktion. Dann ist die Bildmenge
wieder ein Gebiet in .

Beweis[Bearbeiten]

Man übertrage den Beweis aus Kapitel III, §6, Satz 3 und beachte, dass lokal die Funktion in einem beliebigen Punkt die Entwicklung

mit

besitzt. Somit erfüllt die Funktion

die Bedingungen

und

für alle mit ; dabei ist hinreichend klein gewählt. Die Argumente im o. a. Beweis liefern dann die Behauptung.

q.e.d.

Satz 2 (Maximumsprinzip)[Bearbeiten]

In einem Gebiet sei die nicht konstante holomorphe Funktion gegeben. Dann gilt für alle die Ungleichung

Beweis[Bearbeiten]

Falls gilt, so ist nichts zu zeigen. Es sei also erfüllt. Sei nun beliebig gewählt, dann existiert ein , so dass für die Kreisscheibe

die Inklusion

gemäß Satz 1 richtig ist. Somit folgt mit

die Behauptung.

q.e.d.

Definition 1[Bearbeiten]

Auf der offenen Menge heißt die Funktion antiholomorph, falls die Funktion
holomorph in ist.

Satz 3 (Schwarzsches Spiegelungsprinzip)[Bearbeiten]

In der oberen Halbebene sei die offene Menge so gegeben, dass
eine nicht leere offene Menge darstellt. Weiter erklären wir die offene Menge
und setzen
Schließlich sei die Funktion holomorph in und erfülle . Dann ist die Funktion
holomorph in Menge .

Beweis[Bearbeiten]

1. Offenbar gilt . Für alle berechnen wir

Also ist holomorph in .

2. Weiter ist stetig in , also insbesondere auf . Seien nun beliebig gewählt und eine Punktfolge mit der Eigenschaft

Dann folgt

wobei wir beachten, dass in stetig ist.

3. Wir haben noch die Holomorphie von auf zu zeigen. Sei dazu ein beliebiger Punkt, so betrachten wir die Halbkreise

mit hinreichend kleinem, festem und . Mit Hilfe des Cauchyschen Integralsatzes und der Cauchyschen Integralformel stellen wir folgendes fest: Für jedes mit gibt es ein hinreichend kleines mit der Eigenschaft

Im Grenzübergang heben sich die Integrale auf der reellen Achse gegenseitig weg und wir erhalten

Aus dieser Darstellung erhalten wir schließlich die Holomorphie von um den Punkt .

q.e.d.

Definition 2[Bearbeiten]

Eine Menge nennen wir offen, falls für jeden Punkt eine Kugel mit hinreichend kleinem Radius existiert, so dass
erfüllt ist. Wie üblich ist dabei
für alle und gemeint.

Definition 3[Bearbeiten]

Seien eine offene Menge und eine Funktion. Dann heißt stetig im Punkt , falls es zu jedem ein gibt, so dass
erfüllt ist. Falls in jedem Punkt stetig ist, nennen wir die Funktion stetig in .

§4 Isolierte Singularitäten und der allgemeine Residuensatz[Bearbeiten]

Satz 1 (Allgemeiner Residuensatz)[Bearbeiten]

Voraussetzungen:
I. Sei ein beschränktes Gebiet, dessen Randpunkte aus dem Äußeren erreichbar sind, d. h. für alle gibt es eine Folge mit
Weiter gebe es reguläre -Kurven
mit den Eigenschaften
sowie
Schließlich liege das Gebiet zur Linken der Kurven, d. h.
stellt den äußeren Normalenvektor an das Gebiet dar. Das Gesamtintegral über diese Kurven bezeichnen wir mit
II. Seien ferner singuläre Punkte (bzw. , also keine singulären Punkte) mit gegeben, so erklären wir die Mengen
sowie .
III. Sei eine Funktion, welche der inhomogenen Cauchy-Riemann-Gleichung
(1) für alle
genügt.
IV. Schließlich sei
für die rechte Seite der Differentialgleichung (1) erfüllt.
Behauptung: Dann existieren die Limites
(2)
für und es gilt
(3)

Beweis[Bearbeiten]

Wir wenden den Gaußschen Integralsatz an auf das Gebiet

mit und . Mit sowie

erhalten wir

Für die äußere Normale an das Gebiet gilt nun

mit für . Somit folgt mit dem Gaußschen Integralsatz

mit dem Linienelement

Beachten wir nun

so folgt

(4)

Hierbei wird auf der rechten Seite über die positive orientierten Kreislinien integriert. Da wir nun auf der linken Seite in (4) für jedes den Grenzübergang durchführen können, so existiert der Grenzwert auf der rechten Seite, d. h. es gilt

Insbesondere berechnen wir

für . Beim Grenzübergang in (4) erhalten wir

und damit die Behauptung.

q.e.d.

Definition 1[Bearbeiten]

Wir nennen aus (2) das Residuum von an der Stelle .

Definition 2[Bearbeiten]

Wir bezeichnen Gebiete , die der Voraussetzung I. von Satz 1 genügen, als Normalgebiete.

Satz 2 (Integraldarstellung)[Bearbeiten]

Seien die Voraussetzungen I. bis IV. von Satz 1 erfüllt. Zusätzlich genüge die Funktion der Bedingung
(5)
Dann gilt die Integraldarstellung
(6)
wobei wir und benutzen.

Beweis[Bearbeiten]

Für ein festes wenden wir Satz 1 auf die Funktion

an. Dann berechnen wir

Also folgt

was der Behauptung entspricht.

q.e.d.

Satz 3 (Riemannscher Hebbarkeitssatz)[Bearbeiten]

In der punktierten Kreisscheibe
mit und sei die Funktion holomorph und beschränkt, d. h. es gilt
Dann ist holomorph auf die Kreisscheibe
fortsetzbar.

Beweis[Bearbeiten]

Wir wenden Satz 2 auf die Menge und die Funktion an und entnehmen der Integraldarstellung

(7)

bereits die Behauptung.

q.e.d.

Satz 4 (Laurent)[Bearbeiten]

In der punktierten Kreisscheibe
mit und
sei die Funktion holomorph. Dann gilt die Darstellung
(8) für alle
mit den Koeffizienten
für ,
wobei beliebig gewählt ist. Die Konvergenz dieser Laurentreihe mit dem Hauptteil
und dem Nebenteil
ist gleichmäßig in jedem Kompaktum in . Schließlich gilt
(9)

Beweis[Bearbeiten]

Ohne Einschränkung können wir wählen. Ist nun , so wählen wir und wenden den Satz 2 auf das Gebiet

an. Dann folgt

für alle .

Wie üblich erhalten wir durch Entwicklung die Potenzreihe

für ,

also den Nebenteil der Laurentreihe. Wir entwickeln nun für alle und den Ausdruck

wobei die Konvergenz der Reihe in jedem Kompaktum gleichmäßig ist. Für alle ist demnach

erfüllt, falls gilt. Dieses liefert den Hauptteil der Laurentreihe. Insgesamt ist die gleichmäßige Konvergenz von

für

gezeigt, wobei beliebig gewählt werden kann.

q.e.d.

Definition 3[Bearbeiten]

Die holomorphe Funktion sei gemäß Satz 4 in der Umgebung von durch ihre Laurentreihe (8) dargestellt.
  1. Falls es für jede Zahl einen Koeffizienten mit gibt, so sagen wir, im Punkt besitzt die Funktion eine wesentliche Singularität.
  2. Gibt es nun eine Zahl mit , so dass für alle sowie erfüllt sind, so sagen wir, hat im Punkt einen Pol der Ordnung .
  3. Ist schließlich für alle mit richtig, sagen wir, besitzt im Punkt eine hebbare Singularität.

Satz 5 (Casorati, Weierstraß)[Bearbeiten]

Seien die Voraussetzungen und Bezeichnungen von Satz 4 gültig und zusätzlich sei die Funktion stetig. Dann besitzt im Punkt keine wesentliche Singularität. Sie hat in diesem Punkt einen Pol genau dann, wenn richtig ist und sie besitzt in eine hebbare Singularität genau dann, falls gilt.

Beweis[Bearbeiten]

Da die Funktion stetig in den Punkt fortsetzbar ist, gibt es eine Konstante und ein , so dass

für alle

gilt. Wir gehen nun über zur holomorphen Funktion

Wegen

kann holomorph in den Punkt nach dem Riemannschen Hebbarkeitssatz fortgesetzt werden. Somit gibt es eine holomorphe Funktion mit sowie ein , so dass

richtig ist. Dann erhalten wir

für alle . Hierbei ist und ist eine holomorphe Funktion mit . Nun besitzt in einen Pol genau dann, wenn

gilt, also

Ebenso hat die Funktion im Punkt eine hebbare Singularität genau dann, wenn

bzw.

richtig ist. Daraus folgt die Behauptung.

q.e.d.

Definition 4[Bearbeiten]

Wir nennen die ganze Zahl aus der Darstellung
mit der holomorphen Funktion die Ordnung der Nullstelle .

Satz 6 (Prinzip vom Argument)[Bearbeiten]

Seien die Voraussetzungen I. und II. aus Satz 1 erfüllt. Die Funktion sei holomorph in und fortsetzbar in die singulären Punkte als stetige Funktion . Mit bezeichnen wir die Ordnung der Nullstellen von den singulären Punkten . Dann gilt die Indexsummenformel
(10)

Beweis[Bearbeiten]

Wir wenden den Residuensatz an auf die holomorphe Funktion

Wir haben die Entwicklungen

(11)

mit den holomorphen Funktionen , die erfüllen. Es folgt

für und somit

(12)

Der Residuensatz liefert nun

woraus die Behauptung folgt.

q.e.d.

Definition 5[Bearbeiten]

Sei eine beschränkte, offene Menge und die beschränkte, stetige Funktion
sei vorgelegt. Dann nennen wir
(13)
den Cauchyschen Integraloperator; dabei ist wie üblich gesetzt.

Satz 7 (Hadamardsche Abschätzung)[Bearbeiten]

Seien eine beschränkte, offene Menge und eine Funktion mit der Eigenschaft
Dann gibt es eine Konstante , so dass die Funktion
die Ungleichung
(14)
für alle mit erfüllt. Hierbei haben wir
gesetzt.

Beweis[Bearbeiten]

Seien mit , so folgt

(15)

Mit Hilfe der Transformation

mit bzw. , welche die Funktionaldeterminante besitzt, schätzen wir nun wie folgt ab:

Es existiert nun eine Konstante , so dass

(17) für alle

richtig ist. Für die Punkte mit folgt

und somit erhalten wir mit

die Behauptung.

q.e.d.

Definition 6[Bearbeiten]

Auf einer Menge betrachten wir eine Funktion mit . Weiter sei eine stetige Funktion mit , welche das Stetigkeitsmodul angibt. Dann heißt Dini-stetig, falls
(18) für alle
gilt. Im Spezialfall
heißt Lipschitz-stetig mit der Lipschitzkonstanten . Haben wir
so nennen wir Hölder-stetig mit der Hölderkonstanten und dem Hölderexponenten .

Satz 8 (Allgemeiner Hebbarkeitssatz)[Bearbeiten]

Seien die Voraussetzungen I. bis IV. von Satz 1 erfüllt. Weiter genüge die Funktion der Bedingung
und die rechte Seite der inhomogenen Cauchy-Riemannschen Differentialgleichung (1) erfülle
Dann ist die Funktion Hölder-stetig in die singulären Punkte fortsetzbar zu beliebigem Hölderexponenten .

Beweis[Bearbeiten]

Man verwende Satz 2 und Satz 7.

q.e.d.

§5 Die inhomogene Cauchy-Riemannsche Differentialgleichung[Bearbeiten]

Definition 1[Bearbeiten]

In der offenen Menge sei die stetige Funktion gegeben. Zu einem festen Punkt betrachten wir Normalgebiete vom topologischen Typ der Kreisscheibe mit dem Flächeninhalt und der Länge ihrer Randkurven , welche die Inklusion
(1)
und die Bedingung
(2)
erfüllen. Wenn für alle diese Folgen von Gebieten der Grenzwert
(3)
existiert, so nennen wir an der Stelle (schwach) im Sinne von Pompeiu differenzierbar.

Definition 2[Bearbeiten]

Für die offene Menge erklären wir die Vakuasche Funktionenklasse

Satz 1 (Pompeiu, Vekua)[Bearbeiten]

Seien eine offene Menge und eine stetige Funktion. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:
(a) gehört der Vekuaschen Funktionenklasse an und genügt der Differentialgleichung
(4)
im Pompeiuschen Sinne;
(b) gehört zur Klasse und für jedes Normalgebiet gilt die Integraldarstellung
(5)

Beweis[Bearbeiten]

Wir zeigen die Richtung . Sei mit

Dann gibt es eine Folge von Funktionen mit

gleichmäßig für

in jeder kompakten Menge . Für jedes Normalgebiet gilt wegen Satz 2 aus §4 die Identität

Für erhalten wir also die Integraldarstellung (5).

Wir zeigen die Richtung . Das Kurvenintegral in (5) stellt eine analytische Funktion in dar, während in stetig und im Pompeiuschen Sinne schwach nach differenzierbar ist. Somit folgt

q.e.d.

Definition 3[Bearbeiten]

Eine Funktion nennen wir auf der offenen Menge Hölder-stetig, falls es zu jeder kompakten Menge eine Konstante und einen Exponenten so gibt, dass
(6) für alle
erfüllt ist.

Definition 4[Bearbeiten]

Seien ein Normalgebiet, ein fester Punkt und eine stetige Funktion. Für alle betrachten wir die Gebiete
Wir nennen
(7)
den Cauchyschen Hauptwert des Integrals
falls der Grenzwert in (7) existiert.

Definition 5[Bearbeiten]

Wir nennen den Vekuaschen Integraloperator.

Satz 2 (Regularitätssatz)[Bearbeiten]

Seien eine offene Menge, in der eine Funktion mit gegeben ist. Weiter gehörten die Funktion zur Vekuaschen Funktionenklasse und genüge der inhomogenen Cauchy-Riemannschen Differentialgleichung
(8)
im Pompeiuschen Sinne. Dann gehört zur Regularitätsklasse und ihre Ableitungen der Ordnung sind Dini-stetig mit dem in §4, Satz 7 angegebenen Stetigkeitsmodul. Falls zusätzlich alle -ten Ableitungen der rechten Seite Hölder-stetige Funktionen in sind, folgt .

Beweis[Bearbeiten]

1. Nach Satz 1 ist die Differentialgleichung (8) äquivalent zur Integralgleichung

in beliebigen Normalgebieten . Der erste Summand auf der rechten Seite stellt eine holomorphe Funktion in dar und folglich wird die Regularität von durch die Regularität der Funktion

bestimmt. Für entnehmen wir Satz 7 aus §4, dass die Funktion