§1 Die Cauchy-Riemannsche Differentialgleichung
[Bearbeiten]
- Auf der offenen Menge
sei die Funktion
erklärt und
sei ein beliebiger Punkt. Dann heißt
komplex differenzierbar im Punkt
, wenn der Grenzwert

- existiert. Wir nennen
die komplexe Ableitung der Funktion
an der Stelle
. Falls
für alle
existiert und die Funktion
stetig ist, nennen wir
holomorph in
.
§2 Holomorphe Funktionen im 
[Bearbeiten]
- Seien
ein einfach zusammenhängendes Gebiet und
. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
- (a)
ist in
holomorph;
- (b) Realteil und Imaginärteil von
erfüllen das Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungssystem
(1)
in
;
- (c) Für jede geschlossene Kurve
mit
gilt

- (d) es gibt eine holomorphe Funktion
mit

- also eine Stammfunktion
von
.
1. Die Äquivalenz
wurde bereits gezeigt.
2. Wir zeigen
. Offenbar ist

für alle

genau dann erfüllt, wenn gilt

für alle

.
Dies ist wiederum äquivalent zu

in

bzw. zu (1).
3. Wir beweisen nun
. Es ist dann
äquivalent zur Existenz von Funktionen
mit den Eigenschaften

in

bzw.
(2)

Die Gleichungen (2) sind nun äquivalent zu
(3)

Wir erhalten also mit
eine holomorphe Funktion in
mit

4. Schließlich zeigen wir noch
. Sei
, dann gilt


wegen
.
q.e.d.
- Seien
ein Gebiet und
zwei beliebige Punkte. Weiter seien
zwei zueinander homotope Kurven mit festem Anfangspunkt
und Endpunkt
. Ist nun
holomorph, dann gilt

- Seien
ein Gebiet,
sowie
so gegeben, dass die offene Kreisscheibe

- die Inklusion
erfüllt. Weiter sei
. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
- (a)
ist in
holomorph;
- (b) es gilt die Cauchysche Integralformel

- für alle
mit
, wobei das Integral über die positiv orientierte Kreislinie zu verstehen ist;
- (c) es gilt

- mit den Koeffizienten

1. Wir zeigen die Richtung
. Die Funktion

ist in ihrem Definitionsbereich holomorph. Weiter sind für alle hinreichend kleinen
die Kurven

und

in
zueinander homotop. Somit folgt


Für
erhalten wir somit

und

für alle

.
2. Wir zeigen
. Für alle
gilt

Nun ist

so dass wir den Bruch in die gleichmäßig konvergente geometrische Reihe

entwickeln können. Daraus folgt


mit den Koeffizienten

3. Die Richtung
wurde bereits gezeigt.
q.e.d.
Satz 4 (Identitätssatz für holomorphe Funktionen)
[Bearbeiten]
- Auf dem Gebiet
seien die beiden holomorphen Funktionen
gegeben. Weiter sei
eine konvergente Folge mit

- Schließlich sei

- erfüllt. Dann folgt
in
.
Wir nehmen an, dass die holomorphe Funktion
nicht identisch verschwindet. Im Punkt
entwickeln wir
in eine Potenzreihe

Wegen
gibt es ein
mit
, so dass

mit

gilt. Für hinreichend kleines
erhalten wir

Somit folgt

für alle

im Widerspruch zu

q.e.d.
- Eine im Gebiet
erklärte Funktion

- nennen wir holomorph, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
- (a) es ist
;
- (b) für jedes feste
und
ist die Funktion

- mit

- bei hinreichend kleinem
holomorph.
Satz 5 (Cauchysche Integralformel im
)
[Bearbeiten]
- Im Gebiet
sei die Funktion
holomorph. Mit
und
sei auch der Polyzylinder

- kompakt in
enthalten, d. h. es gilt
. Für alle
gilt dann die Integraldarstellung


Die Funktion
ist holomorph bezüglich der Veränderlichen
. Wir berechnen also




Führen wir Polarkoordinaten ein, so folgt auch die zweite Darstellung.
q.e.d.
- Sei
holomorph und es gebe eine Konstante
, so dass
für alle 
- gilt. Dann gibt es ein
, so dass
auf dem 
- richtig ist. Also ist jede beschränkte ganze holomorphe Funktion konstant.
Man kann
auf dem
um
in die Potenzreihe

entwickeln. Wählen wir den Polyzylinder

so liefern die Cauchyschen Abschätzungsformeln

für

für alle
mit
. Somit folgt

für alle

.
q.e.d.
Satz 7 (Identitätssatz im
)
[Bearbeiten]
- Im Gebiet
seien die Funktionen
und
holomorph. Weiter sei
ein fester Punkt, an welchem

- für
erfüllt ist. Dann folgt
für alle
.
Wir betrachten die Funktion

und die nicht leere Menge

Diese Menge ist offenbar abgeschlossen und auch offen, denn in jedem Punkt
ist
in eine verschwindende Potenzreihe entwickelbar. Verbinden wir nun einen beliebigen Punkt
mit dem Punkt
durch einen Weg
mit
und
, so liefert ein Fortsetzungsargument
, denn die Menge
ist abgeschlossen und offen. Somit folgen
und damit
. Dieses liefert
in
, also
in
.
q.e.d.
Satz 8 (Holomorphe Parameterintegrale)
[Bearbeiten]
- Voraussetzungen: Seien
und
Gebiete mit
. Ferner sei

- eine stetige Funktion mit folgenden Eigenschaften:
- (a) Für jedes feste
ist

- holomorph.
- (b) Es gibt eine stetige Funktion
mit

- welche die Funktion
gleichmäßig majorisiert, d. h. es gilt
für alle 
- Behauptung: Dann ist die Funktion

- holomorph in
.
1. Sei
ein abgeschlossener Quader mit
, so zeigen wir, dass die Funktion

holomorph ist. Hierzu zerlegen wir den Quader
mittels

in Teilquader, deren Feinheitsmaß
für
erfüllt. Ist nun
eine beliebige kompakte Menge, so gibt es zu jedem
ein
, so dass für alle
die Abschätzung

für alle
mit
gilt. Auf einem Kompaktum ist die stetige Funktion
nämlich gleichmäßig stetig. Die Folge holomorpher Funktionen

konvergiert auf jedem Kompaktum
gleichmäßig gegen die holomorphe Funktion

2. Wir schöpfen nun die offene Menge
durch eine Folge
aus, wobei jede Menge
Vereinigung endlich vieler abgeschlossener Quader in
ist. Nach dem ersten Punkt ist für jedes
die Funktion

holomorph. Weiter gilt bei beliebig vorgegebenem

für alle

.
Somit folgt für alle
die Ungleichung

für
. Die Folge holomorpher Funktionen
konvergiert also gleichmäßig gegen die holomorphe Funktion

womit alles gezeigt ist.
q.e.d.
§3 Geometrisches Verhalten von holomorphen Funktionen in 
[Bearbeiten]
- Seien
ein Gebiet und
eine nicht konstante holomorphe Funktion. Dann ist die Bildmenge

- wieder ein Gebiet in
.
Man übertrage den Beweis aus Kapitel III, §6, Satz 3 und beachte, dass lokal die Funktion
in einem beliebigen Punkt
die Entwicklung

mit

besitzt. Somit erfüllt die Funktion

die Bedingungen

und

für alle
mit
; dabei ist
hinreichend klein gewählt. Die Argumente im o. a. Beweis liefern dann die Behauptung.
q.e.d.
- In einem Gebiet
sei die nicht konstante holomorphe Funktion
gegeben. Dann gilt für alle
die Ungleichung

Falls
gilt, so ist nichts zu zeigen. Es sei also
erfüllt. Sei nun
beliebig gewählt, dann existiert ein
, so dass für die Kreisscheibe

die Inklusion

gemäß Satz 1 richtig ist. Somit folgt mit

die Behauptung.
q.e.d.
- Auf der offenen Menge
heißt die Funktion
antiholomorph, falls die Funktion

- holomorph in
ist.
Satz 3 (Schwarzsches Spiegelungsprinzip)
[Bearbeiten]
- In der oberen Halbebene sei die offene Menge
so gegeben, dass

- eine nicht leere offene Menge darstellt. Weiter erklären wir die offene Menge

- und setzen

- Schließlich sei die Funktion
holomorph in
und erfülle
. Dann ist die Funktion

- holomorph in Menge
.
1. Offenbar gilt
. Für alle
berechnen wir


Also ist
holomorph in
.
2. Weiter ist
stetig in
, also insbesondere auf
. Seien nun
beliebig gewählt und
eine Punktfolge mit der Eigenschaft

Dann folgt

wobei wir beachten, dass
in
stetig ist.
3. Wir haben noch die Holomorphie von
auf
zu zeigen. Sei dazu
ein beliebiger Punkt, so betrachten wir die Halbkreise

mit hinreichend kleinem, festem
und
. Mit Hilfe des Cauchyschen Integralsatzes und der Cauchyschen Integralformel stellen wir folgendes fest: Für jedes
mit
gibt es ein hinreichend kleines
mit der Eigenschaft

Im Grenzübergang
heben sich die Integrale auf der reellen Achse gegenseitig weg und wir erhalten

Aus dieser Darstellung erhalten wir schließlich die Holomorphie von
um den Punkt
.
q.e.d.
- Eine Menge
nennen wir offen, falls für jeden Punkt
eine Kugel
mit hinreichend kleinem Radius
existiert, so dass

- erfüllt ist. Wie üblich ist dabei

- für alle
und
gemeint.
- Seien
eine offene Menge und
eine Funktion. Dann heißt
stetig im Punkt
, falls es zu jedem
ein
gibt, so dass

- erfüllt ist. Falls
in jedem Punkt
stetig ist, nennen wir die Funktion stetig in
.
§4 Isolierte Singularitäten und der allgemeine Residuensatz
[Bearbeiten]
- Voraussetzungen:
- I. Sei
ein beschränktes Gebiet, dessen Randpunkte
aus dem Äußeren erreichbar sind, d. h. für alle
gibt es eine Folge
mit

- Weiter gebe es
reguläre
-Kurven
![{\displaystyle X^{(j)}(t):[a_{j},b_{j}]\to \mathbb {C} \in C^{1}([a_{j},b_{j}],\mathbb {C} ),\quad j=1,\ldots ,J}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da40c5f1c7eb519de0e81b891f8ab927d246f011)
- mit den Eigenschaften

- sowie
![{\displaystyle {\dot {G}}=\bigcup _{j=1}^{J}X^{(j)}{\Bigl (}[a_{j},b_{j}]{\Bigr )}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/037b5ec8a4084087e82f41e25190c5cfef43fbf8)
- Schließlich liege das Gebiet
zur Linken der Kurven, d. h.

- stellt den äußeren Normalenvektor an das Gebiet
dar. Das Gesamtintegral über diese Kurven bezeichnen wir mit 
- II. Seien ferner
singuläre Punkte (bzw.
, also keine singulären Punkte)
mit
gegeben, so erklären wir die Mengen
sowie
.
- III. Sei
eine Funktion, welche der inhomogenen Cauchy-Riemann-Gleichung
(1)
für alle 
- genügt.
- IV. Schließlich sei

- für die rechte Seite der Differentialgleichung (1) erfüllt.
- Behauptung: Dann existieren die Limites
(2)

- für
und es gilt
(3)

Wir wenden den Gaußschen Integralsatz an auf das Gebiet

mit
und
. Mit
sowie
![{\displaystyle \partial G_{\varepsilon }:z(t)=x(t)+iy(t),\quad t\in [a_{k},b_{k}],\quad k=1,\ldots ,K=J+N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/494ff993e6d263aaaaa67d2170260b0007b92296)
erhalten wir


Für die äußere Normale an das Gebiet
gilt nun


mit
für
. Somit folgt mit dem Gaußschen Integralsatz


mit dem Linienelement

Beachten wir nun

so folgt
(4)

Hierbei wird auf der rechten Seite über die positive orientierten Kreislinien integriert. Da wir nun auf der linken Seite in (4) für jedes
den Grenzübergang
durchführen können, so existiert der Grenzwert auf der rechten Seite, d. h. es gilt

Insbesondere berechnen wir


für
. Beim Grenzübergang
in (4) erhalten wir

und damit die Behauptung.
q.e.d.
- Wir nennen
aus (2) das Residuum von
an der Stelle
.
- Wir bezeichnen Gebiete
, die der Voraussetzung I. von Satz 1 genügen, als Normalgebiete.
- Seien die Voraussetzungen I. bis IV. von Satz 1 erfüllt. Zusätzlich genüge die Funktion
der Bedingung
(5)

- Dann gilt die Integraldarstellung
(6)

- wobei wir
und
benutzen.
Für ein festes
wenden wir Satz 1 auf die Funktion

an. Dann berechnen wir

Also folgt

was der Behauptung entspricht.
q.e.d.
- In der punktierten Kreisscheibe

- mit
und
sei die Funktion
holomorph und beschränkt, d. h. es gilt

- Dann ist
holomorph auf die Kreisscheibe

- fortsetzbar.
Wir wenden Satz 2 auf die Menge
und die Funktion
an und entnehmen der Integraldarstellung
(7)

bereits die Behauptung.
q.e.d.
- In der punktierten Kreisscheibe
mit
und 
- sei die Funktion
holomorph. Dann gilt die Darstellung
(8)
für alle 
- mit den Koeffizienten
für
,
- wobei
beliebig gewählt ist. Die Konvergenz dieser Laurentreihe mit dem Hauptteil

- und dem Nebenteil

- ist gleichmäßig in jedem Kompaktum in
. Schließlich gilt
(9)

Ohne Einschränkung können wir
wählen. Ist nun
, so wählen wir
und wenden den Satz 2 auf das Gebiet

an. Dann folgt

für alle

.
Wie üblich erhalten wir durch Entwicklung die Potenzreihe

für

,
also den Nebenteil der Laurentreihe. Wir entwickeln nun für alle
und
den Ausdruck

wobei die Konvergenz der Reihe in jedem Kompaktum gleichmäßig ist. Für alle
ist demnach


erfüllt, falls
gilt. Dieses liefert den Hauptteil der Laurentreihe. Insgesamt ist die gleichmäßige Konvergenz von

für

gezeigt, wobei
beliebig gewählt werden kann.
q.e.d.
- Die holomorphe Funktion
sei gemäß Satz 4 in der Umgebung von
durch ihre Laurentreihe (8) dargestellt.
- Falls es für jede Zahl
einen Koeffizienten
mit
gibt, so sagen wir, im Punkt
besitzt die Funktion
eine wesentliche Singularität.
- Gibt es nun eine Zahl
mit
, so dass
für alle
sowie
erfüllt sind, so sagen wir,
hat im Punkt
einen Pol der Ordnung
.
- Ist schließlich
für alle
mit
richtig, sagen wir,
besitzt im Punkt
eine hebbare Singularität.
- Seien die Voraussetzungen und Bezeichnungen von Satz 4 gültig und zusätzlich sei die Funktion
stetig. Dann besitzt
im Punkt
keine wesentliche Singularität. Sie hat in diesem Punkt einen Pol genau dann, wenn
richtig ist und sie besitzt in
eine hebbare Singularität genau dann, falls
gilt.
Da die Funktion
stetig in den Punkt
fortsetzbar ist, gibt es eine Konstante
und ein
, so dass

für alle

gilt. Wir gehen nun über zur holomorphen Funktion

Wegen

kann
holomorph in den Punkt
nach dem Riemannschen Hebbarkeitssatz fortgesetzt werden. Somit gibt es eine holomorphe Funktion
mit
sowie ein
, so dass

richtig ist. Dann erhalten wir

für alle
. Hierbei ist
und
ist eine holomorphe Funktion mit
. Nun besitzt
in
einen Pol genau dann, wenn

gilt, also

Ebenso hat die Funktion im Punkt
eine hebbare Singularität genau dann, wenn

bzw.

richtig ist. Daraus folgt die Behauptung.
q.e.d.
- Wir nennen die ganze Zahl
aus der Darstellung

- mit der holomorphen Funktion
die Ordnung der Nullstelle
.
- Seien die Voraussetzungen I. und II. aus Satz 1 erfüllt. Die Funktion
sei holomorph in
und fortsetzbar in die singulären Punkte als stetige Funktion
. Mit
bezeichnen wir die Ordnung der Nullstellen von den singulären Punkten
. Dann gilt die Indexsummenformel
(10)

Wir wenden den Residuensatz an auf die holomorphe Funktion

Wir haben die Entwicklungen
(11)

mit den holomorphen Funktionen
, die
erfüllen. Es folgt

für
und somit
(12)

Der Residuensatz liefert nun


woraus die Behauptung folgt.
q.e.d.
- Sei
eine beschränkte, offene Menge und die beschränkte, stetige Funktion

- sei vorgelegt. Dann nennen wir
(13)
:=-{\frac {1}{\pi }}\iint \limits _{\Omega }{\frac {g(\zeta )}{\zeta -z}}\,d\xi d\eta ,\quad z\in \Omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e776dd231d1eafcf95903666b07365afcef51a6)
- den Cauchyschen Integraloperator; dabei ist wie üblich
gesetzt.
- Seien
eine beschränkte, offene Menge und
eine Funktion mit der Eigenschaft

- Dann gibt es eine Konstante
, so dass die Funktion
,\quad z\in \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1691a0046d415690dc52cb08f06e97b0db572cd)
- die Ungleichung
(14)

- für alle
mit
erfüllt. Hierbei haben wir

- gesetzt.
Seien
mit
, so folgt
(15)

Mit Hilfe der Transformation

mit
bzw.
, welche die Funktionaldeterminante
besitzt, schätzen wir nun wie folgt ab:




Es existiert nun eine Konstante
, so dass
(17)

für alle

richtig ist. Für die Punkte
mit
folgt

und somit erhalten wir mit


die Behauptung.
q.e.d.
- Auf einer Menge
betrachten wir eine Funktion
mit
. Weiter sei
eine stetige Funktion mit
, welche das Stetigkeitsmodul angibt. Dann heißt
Dini-stetig, falls
(18)
für alle 
- gilt. Im Spezialfall

- heißt Lipschitz-stetig mit der Lipschitzkonstanten
. Haben wir

- so nennen wir
Hölder-stetig mit der Hölderkonstanten
und dem Hölderexponenten
.
- Seien die Voraussetzungen I. bis IV. von Satz 1 erfüllt. Weiter genüge die Funktion
der Bedingung

- und die rechte Seite
der inhomogenen Cauchy-Riemannschen Differentialgleichung (1) erfülle

- Dann ist die Funktion
Hölder-stetig in die singulären Punkte
fortsetzbar zu beliebigem Hölderexponenten
.
Man verwende Satz 2 und Satz 7.
q.e.d.
§5 Die inhomogene Cauchy-Riemannsche Differentialgleichung
[Bearbeiten]
- In der offenen Menge
sei die stetige Funktion
gegeben. Zu einem festen Punkt
betrachten wir Normalgebiete
vom topologischen Typ der Kreisscheibe mit dem Flächeninhalt
und der Länge ihrer Randkurven
, welche die Inklusion
(1)

- und die Bedingung
(2)

- erfüllen. Wenn für alle diese Folgen von Gebieten
der Grenzwert
(3)

- existiert, so nennen wir
an der Stelle
(schwach) im Sinne von Pompeiu differenzierbar.
- Für die offene Menge
erklären wir die Vakuasche Funktionenklasse

- Seien
eine offene Menge und
eine stetige Funktion. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:
- (a)
gehört der Vekuaschen Funktionenklasse
an und genügt der Differentialgleichung
(4)

- im Pompeiuschen Sinne;
- (b)
gehört zur Klasse
und für jedes Normalgebiet
gilt die Integraldarstellung
(5)

Wir zeigen die Richtung
. Sei
mit

Dann gibt es eine Folge von Funktionen
mit

gleichmäßig für

in jeder kompakten Menge
. Für jedes Normalgebiet
gilt wegen Satz 2 aus §4 die Identität

Für
erhalten wir also die Integraldarstellung (5).
Wir zeigen die Richtung