Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 21/latex
\setcounter{section}{21}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Beschreibe diverse Kleidungsstücke als zweidimensionale \definitionsverweis {Mannigfaltigkeiten mit Rand}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Definiere die Konzepte differenzierbare Abbildung, Diffeomorphismus, Tangentialraum, Tangentialbündel ... für \definitionsverweis {Mannigfaltigkeiten mit Rand}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beschreibe \definitionsverweis {reelle Intervalle}{}{} als \definitionsverweis {Mannigfaltigkeiten mit Rand}{}{.} Was ist jeweils der \definitionsverweis {Rand}{}{,} welche sind untereinander \definitionsverweis {diffeomorph}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Circle_on_sphere_wireframe_10deg_6r.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Circle on sphere wireframe 10deg 6r.svg } {} {Itai} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
Zeige, dass sowohl das blaue als auch das rote Oberflächenstück einschließlich der Begrenzungslinie eine \definitionsverweis {Mannigfaltigkeit mit Rand}{}{} ist. Was ist der Rand? Sind die beiden Mannigfaltigkeiten \definitionsverweis {diffeomorph}{}{?} Gibt es eine einfachere dazu diffeomorphe Mannigfaltigkeit?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{}
\zusatzklammer {ohne Rand} {} {}
und $N$ eine
\definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand}{}{.}
Was kann man über das
\definitionsverweis {Produkt}{}{}
\mathl{M \times N}{} sagen?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass der abgeschlossene Annulus
\mathdisp {{ \left\{ P \in \R^2 \mid 1 \leq \Vert {P} \Vert \leq 2 \right\} }} { }
und der abgeschlossene Zylinder
\mathdisp {S^1 \times [0,1]} { }
zueinander
\definitionsverweis {diffeomorphe}{}{} \definitionsverweis {Mannigfaltigkeiten mit Rand}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Begründe, dass der $\R^2$ keine Struktur einer
\definitionsverweis {Mannigfaltigkeit mit Rand}{}{}
derart trägt, dass die angegebene Teilmenge $T$ der
\definitionsverweis {Rand}{}{}
ist.
a)
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ = }{ {]0,1[}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei das Intervall auf der $x$-Achse liegt.
b)
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ = }{ [0,1]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei das Intervall auf der $x$-Achse liegt.
c)
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ = }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei $\R$ die $x$-Achse sei.
d)
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ = }{ S^1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die zueinander inversen
\definitionsverweis {Diffeomorphismen}{}{}
\maabbeledisp {\varphi} { {\mathbb H} } { U { \left( 0,1 \right) }
} { z} { { \frac{ z- { \mathrm i} }{ z + { \mathrm i} } }
} {,}
und
\maabbeledisp {\psi} { U { \left( 0,1 \right) } } { {\mathbb H}
} {w} { { \frac{ (w+1) { \mathrm i} }{ 1-w } }
} {,}
\zusatzklammer {siehe
Aufgabe 18.10} {} {}
zu Diffeomorphismen
\zusatzklammer {zwischen
\definitionsverweis {Mannigfaltigkeiten mit Rand}{}{}} {} {}
zwischen der abgeschlossenen Halbebene und der abgeschlossenen punktierten Kreisscheibe
\mathl{B \left( 0,1 \right) \setminus \{ \left( 1 , \, 0 \right) \}}{} ausgedehnt werden können.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand}{}{.}
Unter einem \stichwort {differenzierbaren Halbweg} {} verstehen wir jede
\definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\gamma} {[0, \epsilon [ } {M
} {}
oder
\maabbdisp {\gamma} {] -\epsilon, 0]} {M
} {}
\zusatzklammer {mit \mathlk{\epsilon >0}{.} Sie heißen nach innen bzw. nach außen gerichtet} {} {.}
Definiere, wann zwei Halbwege mit
\mathl{\gamma_1(0) = \gamma_2(0) =P \in M}{} \stichwort {tangential äquivalent} {} sind, und zeige, dass dadurch eine Äquivalenzrelation gegeben ist, und dass die
\definitionsverweis {Quotientenmenge}{}{}
ein reeller Vektorraum ist, der der \stichwort {Tangentialraum} {} in $P$ heißt. Charakterisiere die Äquivalenzklassen, die sowohl nach innen als auch nach außen repräsentierbar sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {Mannigfaltigkeit mit Rand}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ \partial M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Randpunkt. Zeige, dass für einen Tangentialvektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ T_PM
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgende Eigenschaften äquivalent sind.
\aufzaehlungzwei {Es gibt einen stetig differenzierbaren Weg
\maabb {\gamma} { [- \epsilon, 0]} { M
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma(0)
}
{ = }{ P
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma'(0)
}
{ = }{ v
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
} {$v$ wird bei jeder Karte mit einem negativen Halbraum unter der Tangentialabbildung auf den rechten Halbraum abgebildet.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand}{}{}
und es sei
\maabbdisp {\gamma} {{]{-\epsilon}, \epsilon[}} {M
} {}
ein
\definitionsverweis {differenzierbarer Weg}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\gamma (0)
}
{ =} {P
}
{ \in} {\partial M
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige
\mathl{\gamma'(0) \in T_P \partial M}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {Mannigfaltigkeit mit Rand}{}{.}
Zeige, dass jede offene Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ N
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ebenfalls eine Mannigfaltigkeit mit
\zusatzklammer {eventuell leerem} {} {}
Rand ist, und dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \partial N
}
{ =} { \partial M \cap N
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {euklidischer Halbraum}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ H
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es gebe eine in $\R^n$ offene Menge $V$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ V
}
{ \subseteq }{ H
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass
\mathl{P}{} kein Randpunkt von $H$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathl{U_1 \subseteq H_1 \subset \R^n}{} und
\mathl{U_2 \subseteq H_2 \subset \R^n}{}
\definitionsverweis {offene Teilmengen}{}{}
in
\definitionsverweis {euklidischen Halbräumen}{}{}
\mathkor {} {H_1} {und} {H_2} {}
und es sei
\maabbdisp {\varphi} {U_1} {U_2
} {}
ein
\definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{.}
Zeige, dass es zu jedem Punkt
\mathl{P\in U_1}{} offene Umgebungen
\mathl{P\in V_1 \subset \R^n}{} und
\mathl{\varphi(P) \in V_2 \subset \R^n}{} und eine diffeomorphe Fortsetzung
\maabbdisp {\tilde{\varphi}} {V_1} {V_2
} {}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Die abgeschlossene Kreisscheibe
\mathl{B \left( 0,1 \right)}{} trage die
\definitionsverweis {Standardorientierung}{}{}
des $\R^2$. Läuft die durch die
\definitionsverweis {äußere Normale}{}{}
festgelegte Orientierung auf dem Rand
\zusatzklammer {also auf dem Einheitskreis} {} {} mit dem oder gegen den Uhrzeigersinn?
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Not-star-shaped.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Not-star-shaped.svg } {} {Oleg Alexandrov} {Commons} {PD} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Man gebe für den Kreisring
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { { \left\{ x \in \R^2 \mid 1 \leq \Vert {x} \Vert \leq 2 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
explizit
\definitionsverweis {Karten}{}{}
an, die zeigen, dass $M$ eine
\definitionsverweis {Mannigfaltigkeit mit Rand}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Halbebene}{}{} $\R_{\geq 0} \times \R$ und der
\definitionsverweis {Quadrant}{}{}
\mathl{\R_{\geq 0} \times \R_{\geq 0}}{} nicht
\definitionsverweis {diffeomorph}{}{}
sind.
}
{(Was ist hierbei der geeignete Diffeomorphiebegriff?)} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Es sei
\mathl{M= B \left( 0,1 \right) \setminus \{ (0,1), (0,-1)\} \subseteq \R^2}{,} also die
\definitionsverweis {abgeschlossene Kreisscheibe}{}{,} aus der man zwei Randpunkte herausgenommen hat. Es sei
\mathl{N={]{-1},1[} \times [-1,1]}{} das Produkt eines offenen und eines abgeschlossenen Intervalls. Zeige, dass
\mathkor {} {M} {und} {N} {}
\definitionsverweis {diffeomorphe}{}{}
\definitionsverweis {Mannigfaltigkeiten mit Rand}{}{} sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es seien
\mathl{V_1,V_2 \subseteq \R^n}{}
\definitionsverweis {offene Teilmengen}{}{}
und es sei
\maabbdisp {\varphi} {V_1} {V_2
} {}
ein
\definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{,}
der eine
\definitionsverweis {Homöomorphie}{}{}
zwischen
\mathkor {} {V_1 \cap H} {und} {V_2 \cap H} {}
induziert und damit auch zwischen
\mathkor {} {V_1 \cap \partial H} {und} {V_2 \cap \partial H} {}
\zusatzklammer {$H$ bezeichnet den
\definitionsverweis {Halbraum}{}{}
und $\partial H$ seinen Rand} {} {.}
Zeige, dass die Einschränkung auf den Rand ebenfalls ein
\definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Die abgeschlossene Einheitskugel
\mathl{B \left( 0,1 \right)}{} trage die
\definitionsverweis {Standardorientierung}{}{} des $\R^3$. Bestimme, ob die beiden Tangentenvektoren
\mathkor {} {(2,1,0)} {und} {(3,-1,0)} {}
am Nordpol
\mathl{(0,0,1)}{} die durch die
\definitionsverweis {äußere Normale}{}{} induzierte Orientierung auf dem Rand
\zusatzklammer {also auf der Einheitssphäre} {} {} repräsentieren oder nicht?
}
{} {}