Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Liste der Hauptsätze/Zufallsabfrage

???: Satz über die Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen auf einer differenzierbaren Hyperfläche

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Es sei ${}Y\subseteq U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und sei ${}F$ ein differenzierbares Vektorfeld auf ${}U$ mit der Eigenschaft, dass für jeden Punkt ${}P\in Y$ der Vektor ${}F(P)$ zum Tangentialraum an die Faser in ${}P$ an ${}Y$ gehört.

Dann verläuft die Lösung ${}v(t)$ zum Anfangswertproblem zu ${}F$ mit der Anfangsbedingung ${}v(t_{0})\in Y$ ganz in ${}Y$.

 

???: Satz über die Orientierungen auf einer differenzierbaren Hyperfläche

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Es sei ${}Y$ zusammenhängend.

Dann gibt es genau zwei Orientierungen auf ${}Y$.

 

???: Satz über das Bild der Gauß-Abbildung eine Hyperfläche.

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge und sei

$h\colon W\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetig differenzierbare Funktion. Die Faser ${}Y=h^{-1}(c)$ von ${}h$ zu ${}c\in \mathbb {R}$ sei kompakt und in jedem Punkt regulär.

Dann ist die Gauß-Abbildung

$Y\longrightarrow S^{n-1}$

surjektiv.

 

???: Satz über die Beziehung zwischen Krümmung und Einheitsnormalenvektor einer bogenparametrisierten ebenen Kurve

Es sei ${}\gamma \colon I\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ eine zweifach stetig differenzierbare bogenparametrisierte Kurve.

Dann ist die Krümmung von ${}\gamma$ in ${}t$ gleich

${}\kappa (t)=\left\langle \gamma ^{\prime \prime }(t),N(t)\right\rangle =\pm \Vert {\gamma ^{\prime \prime }(t)}\Vert \,,$

wobei

${}N(t)={\begin{pmatrix}-\gamma _{2}'(t)\\\gamma _{1}'(t)\end{pmatrix}}\,$

ein Einheitsnormalenvektor in ${}\gamma (t)$ ist.

 

???: Satz über die Krümmung auf einen implizit gegebenen ebenen Kurve

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Es sei

$N\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

ein auf einer offenen Umgebung ${}Y\subseteq U$ definiertes Einheitsnormalenfeld zu ${}Y$ und sei ${}P\in Y$.

Dann ist für jeden tangentialen Vektor ${}v\in T_{P}Y$

${}{\left(DN\right)}_{P}{\left(v\right)}=-\kappa (P)v\,,$

wobei ${}\kappa (P)$ die Krümmung einer Bogenparametrisierung von ${}Y$ ist, die mit der durch ${}v,N(P)$ gegebenen Orientierung übereinstimmt.

 

???: Satz über die Selbstadjungiertheit der Weingartenabbildung

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei.

Dann ist die Weingartenabbildung ${}L_{P}$ in jedem Punkt ${}P\in Y$ selbstadjungiert.

 

???: Satz über die Normalkrümmung

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweimal stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Es sei ${}P\in Y$. Es sei ${}E\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine Normalebene durch ${}P$ an ${}Y$.

Dann ist die Normalkrümmung von ${}Y$ in ${}P$ gleich der Krümmung der ebenen Kurve ${}Y\cap (P+E)\subseteq P+E\cong \mathbb {R} ^{2}$ im Punkt ${}P$.

 

???: Existenzsatz für den Paralleltransport auf einer Hyperfläche

Es sei ${}Y\subseteq W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, ${}W$ offen, eine differenzierbare Hyperfläche und sei ${}\gamma \colon I\rightarrow Y$ eine differenzierbare Kurve. Es sei ${}t_{0}\in I$, ${}\gamma (t_{0})=P$ und sei ${}v\in T_{P}Y$ ein Tangentialvektor.

Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes tangentiales Vektorfeld ${}F$ längs ${}\gamma$, das parallel ist und

${}F(t_{0})=v\,$

erfüllt.

 

???: Isometriesatz für den Paralleltransport auf einer Hyperfläche

Es sei ${}Y\subseteq W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, ${}W$ offen, eine differenzierbare Hyperfläche und sei ${}\gamma \colon [a,b]\rightarrow Y$ eine differenzierbare Kurve mit ${}\gamma (a)=P$ und ${}\gamma (b)=Q$.

Dann ist der Paralleltransport längs ${}\gamma$ eine Isometrie

$T_{P}Y\longrightarrow T_{Q}Y.$

 

???: Fasern und differenzierbare Mannigfaltigkeiten

Es sei ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei ${}Z=\varphi ^{-1}(Q)$ die Faser über einem Punkt ${}Q\in \mathbb {R} ^{m}$. Das totale Differential ${}\left(D\varphi \right)_{P}$ sei surjektiv für jeden Punkt ${}P\in Z$.

Dann ist ${}Z$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension ${}n-{m}$.

 

???: Eigenschaften der Tangentialabbildung (Punkt)

Es seien ${}M$ und ${}N$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten und es sei

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

eine differenzierbare Abbildung. Es sei ${}P\in M$ , ${}Q=\varphi (P)$ und es sei

$T_{P}(\varphi )\colon T_{P}M\longrightarrow T_{Q}N$

die zugehörige Tangentialabbildung. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Wenn ${}M\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ und ${}N\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offene Teilmengen sind und die Tangentialräume mit den umgebenden euklidischen Räumen identifiziert werden, so ist die Tangentialabbildung gleich dem totalen Differential ${}\left(D\varphi \right)_{P}$.
2. Wenn

   $\alpha \colon U\longrightarrow V$

   mit ${}P\in U$ und ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ und

   $\beta \colon U'\longrightarrow W$

   mit ${}Q\in U'$ und ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ Karten sind, so ist das Diagramm

   ${\begin{matrix}T_{p}M&{\stackrel {T_{P}\varphi }{\longrightarrow }}&T_{Q}N&\\\downarrow &&\downarrow &\\\mathbb {R} ^{m}&{\stackrel {\left(D{\left(\beta \circ \varphi \circ \alpha ^{-1}\right)}\right)_{\alpha (P)}}{\longrightarrow }}&\mathbb {R} ^{n}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

   kommutativ, wobei die vertikalen Abbildungen durch die Isomorphismen ${}[\gamma ]\mapsto (\alpha \circ \gamma )'(0)$ bzw. ${}[\gamma ]\mapsto (\beta \circ \gamma )'(0)$ gegeben sind.

3. ${}T_{P}(\varphi )$ ist ${}\mathbb {R}$- linear.
4. Wenn ${}L$ eine weitere Mannigfaltigkeit, ${}R\in L$ und

   $\psi \colon L\longrightarrow M$

   eine weitere differenzierbare Abbildung mit ${}\psi (R)=P$ ist, so gilt

   ${}T_{R}(\varphi \circ \psi )=T_{P}(\varphi )\circ T_{R}(\psi )\,.$

5. Wenn ${}\varphi$ ein Diffeomorphismus ist, dann ist ${}T_{P}(\varphi )$ ein Isomorphismus.
6. Für eine differenzierbare Kurve

   $\gamma \colon I\longrightarrow M$

   mit einem offenen Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$, ${}0\in I$ und ${}\gamma (0)=P$ gilt im Tangentialraum ${}T_{P}M$ die Gleichheit

   ${}[\gamma ]=(T_{0}(\gamma ))(1)\,.$

 

???: Abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten sind ...

Es sei ${}N$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension ${}n$ und ${}M\subseteq N$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit der Dimension ${}m$ von ${}N$.

Dann ist ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit derart, dass die Inklusion ${}M\rightarrow N$ eine differenzierbare Abbildung ist.

 

???: Tangentialraum einer abgeschlossenen Untermannigfaltigkeit

Es sei ${}N$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension ${}n$ und es sei ${}M\subseteq N$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit der Dimension ${}m$.

Dann ist für jeden Punkt ${}P\in M$ die Tangentialabbildung

$T_{P}M\longrightarrow T_{P}N$

injektiv.

D.h. der Tangentialraum ${}T_{P}M$ ist ein Untervektorraum der Dimension ${}m$ von ${}T_{P}N$.

 

???: Eigenschaften der Tangentialabbildung

Es seien ${}M$ und ${}N$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten und es sei

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

eine differenzierbare Abbildung. Es sei

$T(\varphi )\colon TM\longrightarrow TN$

die zugehörige Tangentialabbildung. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Es gibt ein kommutatives Diagramm

   ${\begin{matrix}TM&{\stackrel {T(\varphi )}{\longrightarrow }}&TN&\\\!\!\!\!\!\pi \downarrow &&\downarrow \pi \!\!\!\!\!&\\M&{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&N&\!\!\!\!\!.\\\end{matrix}}$

2. Für eine Karte

   $\alpha \colon U\longrightarrow V$

   zu ${}U\subseteq M$ offen und mit ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ offen gibt es ein kommutatives Diagramm

   ${\begin{matrix}TU&{\stackrel {T(\alpha )}{\longrightarrow }}&TV=V\times \mathbb {R} ^{m}&\\\downarrow &&\downarrow &\\U&{\stackrel {\alpha }{\longrightarrow }}&V&\!\!\!\!\!.\\\end{matrix}}$

3. Wenn ${}M\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ und ${}N\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offene Teilmengen sind und die Tangentialbündel mit ${}M\times \mathbb {R} ^{m}$ bzw. ${}N\times \mathbb {R} ^{n}$ identifiziert werden, so ist die Tangentialabbildung gleich

   $M\times \mathbb {R} ^{m}\longrightarrow N\times \mathbb {R} ^{n},\,(P,v)\longmapsto \left(\varphi (P),{\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}\right).$

4. Wenn ${}L$ eine weitere Mannigfaltigkeit und

   $\psi \colon L\longrightarrow M$

   eine weitere differenzierbare Abbildung ist, so gilt

   ${}T(\varphi \circ \psi )=T(\varphi )\circ T(\psi )\,.$

5. Die Tangentialabbildung ${}T(\varphi )$ ist stetig.
6. Wenn ${}\varphi$ ein Diffeomorphismus ist, so ist ${}T(\varphi )$ ein Homöomorphismus.

 

???: Abbildungseigenschaften von Produktmannigfaltigkeiten

Es seien ${}M$ und ${}N$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten und ${}M\times N$ ihr Produkt. Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Die Projektionen

   $p_{1}\colon M\times N\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x,$

   und

   $p_{2}\colon M\times N\longrightarrow N,\,(x,y)\longmapsto y,$

   sind differenzierbare Abbildungen.

2. Der Tangentialraum in einem Punkt ${}R=(P,Q)$ ist ${}T_{R}(M\times N)=T_{P}M\times T_{Q}N$.
3. Es sei ${}L$ eine weitere differenzierbare Mannigfaltigkeit. Dann ist eine Abbildung

   $\varphi \times \psi \colon L\longrightarrow M\times N,\,u\longmapsto (\varphi (u),\psi (u)),$

   genau dann differenzierbar, wenn die Komponentenabbildungen ${}\varphi$ und ${}\psi$ differenzierbar sind.

 

???: Der Satz von Heine-Borel

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine Teilmenge. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}T$ ist überdeckungskompakt.
2. Jede Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}T$ besitzt einen Häufungspunkt in ${}T$.
3. Jede Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}T$ besitzt eine in ${}T$ konvergente Teilfolge.
4. ${}T$ ist abgeschlossen und beschränkt.

 

???: Lokale Beschreibung von Differentialformen

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}U\subseteq M$ eine offene Teilmenge mit einer Karte

$\alpha \colon U\longrightarrow V$

und ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen. Es seien

$x_{j}\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$

die zugehörigen Koordinatenfunktionen, ${}1\leq j\leq n$.

Dann lässt sich jede auf ${}U$ definierte ${}k$-Differentialform ${}\omega \in {\mathcal {E}}^{k}(U)$ eindeutig schreiben als

${}\omega =\sum _{J,\,{\#\left(J\right)}=k}f_{J}dx_{J}\,$

mit eindeutig bestimmten Funktionen

$f_{J}\colon U\longrightarrow \mathbb {R} .$

 

???: Lokale Beschreibung von 1-Differentialformen

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}U\subseteq M$ eine offene Teilmenge mit einer Karte

$\alpha \colon U\longrightarrow V$

und ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen. Es seien

$x_{j}\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$

die zugehörigen Koordinatenfunktionen, ${}1\leq j\leq n$. Es sei

$f\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$

eine differenzierbare Funktion.

Dann gilt für die zugehörige ${}1$- Differentialform ${}df$ die Darstellung

${}df=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}dx_{j}\,.$

 

???: Lokale Beschreibung der zurückgezogenen Differentialform

Es seien ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ offene Teilmengen, deren Koordinaten mit ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ bzw. mit ${}y_{1},\ldots ,y_{m}$ bezeichnet seien. Es sei

$\varphi \colon U\longrightarrow V$

eine differenzierbare Abbildung und es sei ${}\omega$ eine ${}k$- Differentialform auf ${}V$ mit der Darstellung

${}\omega =\sum _{I,\,{\#\left(I\right)}=k}f_{I}dy_{I}\,,$

wobei ${}f_{I}\colon V\rightarrow \mathbb {R}$ Funktionen sind.

Dann besitzt die zurückgezogene Form die Darstellung

${}{\begin{aligned}\varphi ^{*}\omega &=\sum _{I,\,{\#\left(I\right)}=k}{\left(f_{I}\circ \varphi \right)}\left(\sum _{J,\,{\#\left(J\right)}=k}\det {\left({\left({\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial x_{j}}}\right)}_{i\in I,j\in J}\right)}dx_{J}\right)\\&=\sum _{J,\,{\#\left(J\right)}=k}\left(\sum _{I,\,{\#\left(I\right)}=k}{\left(f_{I}\circ \varphi \right)}\det {\left({\left({\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial x_{j}}}\right)}_{i\in I,j\in J}\right)}\right)dx_{J}.\end{aligned}}$

 

???: Lokale Beschreibung der zurückgezogenen Volumenform

Es seien ${}U,V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offene Teilmengen, deren Koordinaten mit ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ bzw. mit ${}y_{1},\ldots ,y_{n}$ bezeichnet seien. Es sei

$\varphi \colon U\longrightarrow V$

eine differenzierbare Abbildung und es sei ${}\omega$ eine ${}n$- Differentialform auf ${}V$ mit der Darstellung

${}\omega =fdy_{1}\wedge \ldots \wedge dy_{n}\,.$

Dann besitzt die zurückgezogene Form die Darstellung

${}\varphi ^{*}\omega =(f\circ \varphi )\cdot \det {\left({\left({\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial x_{j}}}\right)}_{1\leq i,j\leq n}\right)}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\,.$

 

???: Wohldefiniertheit des Maßes zu einer positiven Volumenform

Es sei ${}M$ eine ${}n$- dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit mit abzählbarer Basis der Topologie und es sei ${}\omega$ eine positive Volumenform auf ${}M$. Zu einer Karte

$\alpha \colon U\longrightarrow V$

mit ${}\alpha _{*}(\omega {|}_{U})=fdx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}$ und einer messbaren Teilmenge ${}T\subseteq U$ setzen wir

${}\nu (\alpha ,T):=\int _{\alpha (T)}f\,d\lambda ^{n}\,$

Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Wenn ${}T\subseteq U_{1},U_{2}$ zwei Kartenumgebungen sind, so ist ${}\nu (\alpha _{1},T)=\nu (\alpha _{2},T)$.
2. Zu einer messbaren Teilmenge ${}T\subseteq M$ gibt es eine abzählbare disjunkte Vereinigung ${}T=\biguplus _{i\in I}T_{i}$ derart, dass jedes ${}T_{i}$ ganz in einer Karte ${}U_{i}$ liegt.
3. Die Summe ${}\sum _{i\in I}\nu (\alpha _{i},T_{i})$ ist unabhängig von der gewählten abzählbaren disjunkten Zerlegung in (2).

 

???: Volumenform auf abgeschlossener Untermannigfaltigkeit

Es sei ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow \mathbb {R} ^{\ell }$

(mit ${}m=n-\ell \geq 0$) eine stetig differenzierbare Abbildung, die in jedem Punkt der Faser ${}M$ über ${}0\in \mathbb {R} ^{\ell }$ regulär sei.

Dann ist die Abbildung

$\bigwedge ^{m}T_{P}M\longrightarrow \mathbb {R} ,\,v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{m}\longmapsto \det(\operatorname {Grad} \,\varphi _{1}(P),\ldots ,\operatorname {Grad} \,\varphi _{\ell }(P),v_{1},\ldots ,v_{m}),$

in jedem Punkt ${}P\in M$ eine Isomorphie, wodurch eine stetige nullstellenfreie Volumenform auf ${}M$ gegeben ist.

 

???: Berechnung des kanonischen Volumens

Es sei ${}M$ eine orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit und ${}\omega$ die kanonische Volumenform. Es sei

$\alpha \colon U\longrightarrow V$

eine orientierte Karte mit ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen mit Koordinaten ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ mit der metrischen Fundamentalmatrix ${}G=(g_{ij})_{1\leq i,j\leq n}$ und ${}g=\det G$.

Dann ist

${}\alpha _{*}\omega ={\sqrt {g}}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\,.$

Für eine messbare Teilmenge ${}T\subseteq U$ ist

${}\int _{T}\omega =\int _{\alpha (T)}{\sqrt {g}}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}=\int _{\alpha (T)}{\sqrt {g}}\,d\lambda ^{n}\,.$

 

???: Berechnung der Volumenform bei einer Einbettung

Es sei ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ offen und sei ${}M\subseteq G$ eine ${}n$- dimensionale abgeschlossene Untermannigfaltigkeit, die orientiert und mit der induzierten riemannschen Struktur und der kanonischen Volumenform ${}\omega$ versehen sei. Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und es sei

$\varphi \colon W\longrightarrow U$

ein Diffeomorphismus mit der offenen Menge ${}U\subseteq M$.

Dann ist ${}\varphi ^{-1}$ eine Karte von ${}M$, und auf ${}W$ gilt

${}{\begin{aligned}\varphi ^{*}{\left(\omega {|}_{U}\right)}&=\left(\det \left(\left\langle {\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{i}}}\\\vdots \\{\frac {\partial \varphi _{m}}{\partial x_{i}}}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{j}}}\\\vdots \\{\frac {\partial \varphi _{m}}{\partial x_{j}}}\end{pmatrix}}\right\rangle \right)_{1\leq i,j\leq n}\right)^{1/2}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\\&=\left(\det {\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{j}}}+\cdots +{\frac {\partial \varphi _{m}}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial \varphi _{m}}{\partial x_{j}}}\right)}_{1\leq i,j\leq n}\right)^{1/2}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}.\end{aligned}}$

 

???: Inhaltsberechnung für eingebettete Flächen

Es sei ${}M\subseteq G$ eine abgeschlossene Fläche in einer offenen Menge ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{3}$, die mit der induzierten riemannschen Struktur und der kanonischen Flächenform ${}\omega$ versehen sei. Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ offen und es sei

$\varphi \colon W\longrightarrow U$

ein Diffeomorphismus mit der offenen Menge ${}U\subseteq M$. Die Koordinaten von ${}\mathbb {R} ^{2}$ seien ${}u$ und ${}v$ und wir setzen

$E=\left\langle {\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial u}}\\{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial u}}\\{\frac {\partial \varphi _{3}}{\partial u}}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial u}}\\{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial u}}\\{\frac {\partial \varphi _{3}}{\partial u}}\end{pmatrix}}\right\rangle ,\,F=\left\langle {\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial u}}\\{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial u}}\\{\frac {\partial \varphi _{3}}{\partial u}}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial v}}\\{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial v}}\\{\frac {\partial \varphi _{3}}{\partial v}}\end{pmatrix}}\right\rangle {\text{ und }}G=\left\langle {\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial v}}\\{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial v}}\\{\frac {\partial \varphi _{3}}{\partial v}}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial v}}\\{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial v}}\\{\frac {\partial \varphi _{3}}{\partial v}}\end{pmatrix}}\right\rangle .$

Dann gilt auf ${}W$

${}{\begin{aligned}\varphi ^{*}(\omega {|}_{U})&={\sqrt {EG-F^{2}}}du\wedge dv\\\end{aligned}}$

 

???: Flächeninhalt einer Rotationsfläche

Es sei

$\gamma \colon ]a,b[\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (x(t),y(t)),$

eine differenzierbare Kurve mit ${}y(t)>0$, die einen Diffeomorphismus zu ${}M=\gamma (I)$ induziere, wobei ${}M\subseteq G$ eine eindimensionale abgeschlossene Untermannigfaltigkeit in einer offenen Menge ${}G\subseteq \mathbb {R} \times \mathbb {R} _{+}$ sei.

Dann ist die zugehörige Rotationsfläche eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von ${}\mathbb {R} ^{3}$ ohne die ${}x$-Achse, und ihr Flächeninhalt ist gleich

$2\pi \int _{a}^{b}{\sqrt {(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}}}\cdot y(t)\,dt.$

 

???: Transformationsformel für positive Volumenformen auf Mannigfaltigkeiten

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit abzählbarer Basis der Topologie und sei ${}\omega$ eine positive Volumenform auf ${}M$. Es sei

$\varphi \colon L\longrightarrow M$

ein Diffeomorphismus mit der Mannigfaltigkeit ${}L$ und ${}S\subseteq L$ eine messbare Teilmenge.

Dann ist

${}\int _{S}\varphi ^{*}\omega =\int _{\varphi (S)}\omega \,.$

 

???: Theorema egregium

Es sei ${}Y\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ eine orientierte Fläche und sei

$\varphi \colon V\longrightarrow Y,$

${}V\subseteq \mathbb {R} ^{2}$, eine zweifach differenzierbare lokale Parametrisierung von ${}Y$ mit den Parametern ${}u,v$. Es sei ${}{\left(g_{ij}\right)}$ die erste Fundamentalmatrix auf ${}V$.

Dann gilt für die Gaußsche Krümmung unter Verwendung der Christoffelsymbole die Beziehung

$K={\frac {1}{g_{11}}}{\left(\partial _{2}\Gamma _{11}^{2}-\partial _{1}\Gamma _{12}^{2}+\Gamma _{11}^{1}\Gamma _{12}^{2}+\Gamma _{11}^{2}\Gamma _{22}^{2}-\Gamma _{12}^{1}\Gamma _{11}^{2}-{\left(\Gamma _{12}^{2}\right)}^{2}\right)}\,.$

 

???: Eigenschaften der äußeren Ableitung auf Mannigfaltigkeiten

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, ${}k\in \mathbb {N}$ und es sei

$d\colon {\mathcal {E}}_{1}^{k}(M)\longrightarrow {\mathcal {E}}_{0}^{k+1}(M),\,\omega \longmapsto d\omega ,$

die äußere Ableitung. Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Die äußere Ableitung

   $d\colon {\mathcal {E}}_{1}^{0}(M)\longrightarrow {\mathcal {E}}_{0}^{1}(M),$

   ist die Tangentialabbildung.

2. Die äußere Ableitung ist ${}\mathbb {R}$- linear.
3. Für ${}\omega \in {\mathcal {E}}_{1}^{k}(M)$ und ${}\tau \in {\mathcal {E}}_{1}^{\ell }(M)$ gilt die Produktregel

   ${}d(\omega \wedge \tau )=(d\omega )\wedge \tau +(-1)^{k}\omega \wedge d\tau \,$

4. Für jede zweimal stetig differenzierbare Differentialform ${}\omega$ ist ${}d(d\omega )=0$.
5. Es sei ${}L$ eine weitere differenzierbare Mannigfaltigkeit. Für eine stetig differenzierbare Abbildung

   $\psi \colon L\longrightarrow M$

   und jedes ${}\omega \in {\mathcal {E}}_{1}^{k}(M)$ gilt für die zurückgezogenen Differentialformen

   ${}d(\psi ^{*}\omega )=\psi ^{*}(d\omega )\,.$

 

???: Rand einer berandeten Mannigfaltigkeit

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand der Dimension ${}n$.

Dann ist der Rand ${}\partial M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit (ohne Rand) der Dimension ${}n-1$.

 

???: Satz über die Orientierung der Randmannigfaltigkeit

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand, die eine Orientierung trage.

Dann trägt auch die Randmannigfaltigkeit eine kanonische Orientierung, nämlich diejenige, die auf jeder Karte durch die äußere Normale festgelegt ist.

 

???: Satz über die kompakte Ausschöpfung

Es sei ${}M$ eine Mannigfaltigkeit mit einer abzählbaren Basis der Topologie.

Dann besitzt ${}M$ eine kompakte Ausschöpfung.

 

???: Satz über die Partition der Eins

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer abzählbaren Basis der Topologie.

Dann gibt es zu jeder offenen Überdeckung eine der Überdeckung untergeordnete stetig differenzierbare Partition der Eins.

 

???: Orientierbarkeit und positive Volumenform

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer abzählbaren Basis der Topologie.

Dann existiert genau dann eine stetige nullstellenfreie Volumenform auf ${}M$, wenn ${}M$ orientierbar ist.

Diese Volumenform kann dann auch stetig differenzierbar und positiv gewählt werden.

 

???: Der Satz von Stokes (Quaderversion)

Es sei ${}Q\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ ein achsenparalleler ${}n$-dimensionaler Quader (mit Seiten aber ohne Kanten) mit dem Rand ${}\partial Q$ und ${}\omega$ eine auf ${}Q$ definierte stetig-differenzierbare ${}(n-1)$- Differentialform.

Dann ist

${}\int _{Q}d\omega =\int _{\partial Q}\omega \,.$

 

???: Der Satz von Stokes (Mannigfaltigkeit mit Rand)

Es sei ${}M$ eine ${}n$- dimensionale orientierte differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand ${}\partial M$ und mit abzählbarer Basis der Topologie, und es sei ${}\omega$ eine stetig differenzierbare ${}(n-1)$- Differentialform mit kompaktem Träger auf ${}M$.

Dann ist

${}\int _{M}d\omega =\int _{\partial M}\omega \,.$

 

???: Der Satz von Green für den Flächeninhalt

Es sei ${}M\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ eine kompakte Mannigfaltigkeit mit Rand ${}\partial M$.

Dann ist der Flächeninhalt von ${}M$ gleich

${}\lambda ^{2}(M)=\int _{\partial M}xdy=-\int _{\partial M}ydx\,.$

 

???: Retraktionen zum Rand

Es sei ${}M$ eine kompakte orientierte differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand ${}\partial M$ und mit abzählbarer Basis der Topologie.

Dann gibt es keine stetig differenzierbare Abbildung

$\varphi \colon M\longrightarrow \partial M,$

deren Einschränkung auf ${}\partial M$ die Identität ist.

 

???: Der Brouwersche Fixpunktsatz

Es sei

$\psi \colon B\left(0,r\right)\longrightarrow B\left(0,r\right)$

eine stetig differenzierbare Abbildung der abgeschlossenen Kugel im ${}\mathbb {R} ^{n}$ in sich.

Dann besitzt ${}\psi$ einen Fixpunkt.