Kurs:Einführung in die Physik:Physik I

Physik I: Bewegungen und Kräfte

Auf Schienen in die Zukunft - Geradlinige Bewegungen

Wiederholung wichtiger mathematischer Grundlagen, Einheiten

Wir befassen uns in diesem Abschnitt kurz mit einigen wichtigen mathematischen Grundlagen, die im Laufe des Kurses sehr schnell benötigt werden. Auf weitere mathematische Themen wird dann im Verlauf des Kurses an der Stelle eingegangen, an der der entsprechende Sachverhalt auftaucht.

Variablen, Konstanten und Einheiten

Das Zählen ist wahrscheinlich der (prä-)historische Ursprung der Mathematik und somit auch ihre Basis. Während die Menschen lange mit der Eins (1) zu zählen begonnen haben, hat es recht lange gedauert, bis auch die Null (0) als Zahl akzeptiert wurde. Die Zahlen, die wir zum Zählen benutzen, beginnend mit der Eins, also 1, 2, 3, 4, usw. bezeichnen wir als natürliche Zahlen, manchmal auch als positive ganze Zahlen. Wir benutzen sie auch in der Physik zum Zählen, zum Beispiel um verschiedene Kräfte zu unterscheiden: Die erste Kraft nennen wir $F_{1}$, die zweite Kraft $F_{2}$, die dritte Kraft $F_{3}$ usw. Die tiefgestellten Zahlen nummerieren die Kräfte, d.h. sie zählen diese ab. Tiefgestellte Zeichen bezeichnen wir allgemein als Index (Plural: Indizes). Selten geschieht es auch, dass wir einen hochgestellten Index haben wollen, dann wird dieser in Klammern gesetzt: $F^{(1)}$, um ihn nicht mit Potenzen zu verwechseln, zu denen wir später noch kommen. Neben den natürlichen Zahlen, braucht man bald auch negative ganze Zahlen (historisch beispielsweise, um Schulden machen und eben auch zählen zu können). Die ganzen Zahlen sind dann die Zahlen $0,\,\pm 1,\,\pm 2,\,\pm 3,\ldots$ Dabei bedeutet $\pm 1$ einfach „+1 und -1“. Das Zeichen $\pm$ wird dabei immer von oben nach unten gelesen, also „plus-minus“, falls es auf die Reihenfolge ankommt. (Im Gegensatz bedeutet also $\mp$ einfach „minus-plus“.) Fahren wir fort mit der Erwähnung der aus der Schule bekannten und oft ungeliebten Brüche. Die einfachen Beispiele sind aus dem Alltag geläufig: Ein Halbes, ${\frac {1}{2}}$ (in Form von Bier auch gerne „eine Halbe“), ein Drittel, ${\frac {1}{3}}\,,$ drei Viertel, ${\frac {3}{4}}$, etc. Wir stellen fest: Man findet unendlich viele neue Zahlen, in dem man die ganzen Zahlen nimmt und sie durch andere ganze Zahlen teilt. Aber Achtung! Nicht alle so konstruierten Zahlen sind wirklich neu! Beispiel: Zwei Halbe, also ${\frac {2}{2}}$ kann man kürzen, denn wie jeder weiss, sind zwei Halbe gleich Eins, also ${\frac {2}{2}}=1\,.$ So auch acht Achtel, ${\frac {8}{8}}=1\,,$ fünf Fünftel, ${\frac {5}{5}}=1$ usw.

An dieser Stelle verweise ich auf den Wikipedia-Artikel zum Thema Bruchrechnen und möchte alle, die in diesem Bereich Nachholbedarf verspüren, dazu auffordern, die Zusatzaufgaben (hier: ) zu diesem Thema zu bearbeiten. Die Aufgaben sind so gestaltet, dass sie größtenteils alles abdecken, was im Verlauf des Kurses zum elementaren Bruchrechnen benötigt wird.

Wir besprechen nun kurz den Begriff der Menge. Eine Menge ist in ihrer einfachsten Definition eine Zusammenfassung von Objekten, die wir die Elemente der Menge nennen. Dabei ist zu beachten, dass ein Objekt nicht mehrfach in einer Menge vorkommen kann. Um Mengen aufzuschreiben, benützen wir entweder abkürzende Symbole oder wir listen die Elemente der Menge in geschweiften Klammern und durch Kommata oder Strichpunkte getrennt auf. Zum Beispiel ist die Menge der natürlichen Zahlen $=\{1,\,2,\,3,\,\ldots \}\,.$ Die Tatsache, dass ein Element nicht mehrfach in einer Menge vorkommen kann, können wir nun an folgendem einfachen Beispiel verdeutlichen:

$\{1,\,1,\,2,\,3,\,3,\,3,\,4\}=\{1,\,2,\,3,\,4\}\;.$

Um, die Menge der natürlichen Zahlen nicht immer so umständlich schreiben zu müssen, bezeichnet man sie allgemein mit dem Symbol $\mathbb {N} \,.$ Die Menge der (ganzen) Zahlen bezeichnet man mit $\mathbb {Z}$ und die Menge aller Brüche mit $\mathbb {Q} \,$. Diese Menge heisst auch die rationalen Zahlen. Nebenbei sei die Tatsache erwähnt, dass klarerweise diese drei Mengen alle unendlich sind. Sie sind das jedoch in einer besonderen Weise, da man ihre Elemente abzählen kann. Klar ist das für die Menge $\mathbb {N} \,.$ Es gilt aber auch für die Mengen $\mathbb {Z}$ und $\mathbb {Q} \,.$ Sich eine Zählvorschrift für diese Mengen zu überlegen wird Teil des ersten Aufgabenblattes sein.

Kommen wir nun zu unserer vorerst letzten Zahlenmenge, den reellen Zahlen. Dies sind alle Zahlen, die sich auf der Zahlengeraden von minus unendlich bis plus unendlich befinden. Man bezeichnet die reellen Zahlen allgemein mit $\mathbb {R} \,.$ Diese Menge wird in der Physik beispielsweise benötigt, um Werte für die Zeit auszudrücken. Diese wird nämlich in der klassischen Physik als gleichmässig dahinfliessend und ohne Lücken angesehen, ebenso wie die reellen Zahlen, die den gesamten Zahlenstrahl dicht und ohne Lücken ausfüllen. Da die Zeit an sich kein grösserer Teil dieses Kurses werden soll, so möchte ich an dieser Stelle nur kurz erwähnen, dass diese Eigenschaft, gleichmässig und konstant dahinzufliessen nur für die Naturvorgänge gültig ist, die mit nicht allzu grossen Geschwindigkeiten ablaufen. Genauer heisst das, etwa kleiner als einhundert Millionen Kilometer pro Stunde. Eine unvorstellbare Zahl und deswegen können wir für die meisten Alltagsphänomene der Physik diese Eigenschaft der Zeit gelten lassen.

Nun führen wir einen weiteren sehr wichtigen Begriff ein, mit dem wir in der Physik zu tun haben werden: Variablen. Es geht darum, eine physikalische Grösse zu benennen. Oft wissen wir den Zahlenwert noch nicht oder wir wollen garnicht mit einer bestimmten Zahl rechnen. Es geht darum, Formeln aufzuschreiben, die (möglichst) allgemeingültig sind und in die wir nach belieben verschiedene Werte einsetzen können. Dazu brauchen wir Buchstaben bzw. Abkürzungen. Handelt es sich dabei um eine reine Zahl, zum Beispiel das Verhältnis zweier verschiedener Werte derselben physikalischen Grösse (Verhältnis heisst, der eine Wert geteilt durch den anderen), dann bezeichnen wir diese Zahl - deren genauen Wert wir also noch nicht wissen - mit einem Buchstaben, zum Beispiel $x\,.$ Um zu kennzeichnen, was für eine Zahl das ist, schreiben wir oft auch auf, in welcher der oben besprochenen Mengen $x$ liegt. Schreibweise ist $x\in \mathbb {R} \,,$ gesprochen: „$x$ aus $\mathbb {R}$“ oder „$x$ Element (von) $\mathbb {R}$“.

Parameter sind nun etwas ganz ähnliches wie Variablen. Wie bei Variablen werden auch sie mit einem prinzipiell beliebigen Buchstaben bezeichnet und dürfen aus einem bestimmten Zahlenbereich sein. Während jedoch Variablen innerhalb eines vorher festzulegenden Bereichs tatsächlich beliebige Werte annehmen dürfen, werden Parameter als zwar unbestimmte aber fest gewählte Zahlen angesehen. Das heißt, während sich die Variablen verändern, bleiben die Parameter fest. Da alles mit Buchstaben bezeichnet ist, muß man gut auf den Kontext achten, um die beiden zu unterscheiden. Als Beispiel kann man sagen, dass in einem Versuch zur Elektrizitätslehre die Stromstärke variiert wird (Stromstärke ist eine Variable), während die elektrische Spannung als Parameter fest gewählt wird. Nach einem Versuchsdurchgang stellt man dann eine neue Spannung ein, die dann wieder fest bleibt, während die Stromstärke variiert wird.

Konstanten sind nun Parameter der Physik als Ganzes. Ihre Werte sind wirklich fest und können, so genau sie eben gemessen wurden, in Tabellen nachgeschlagen werden. Sie machen ihrem Namen alle Ehre und sind tatsächlich konstant. Zumindest kann man im Rahmen des Studiums der Physik durchaus davon ausgehen, dass die physikalischen Konstanten, die auch als solche bezeichnet werden wirklich konstant bleiben. In der Forschung allerdings findet man manchmal heraus, dass die eine oder andere Konstante sich doch mit der Zeit ändert. Manchmal ist es so, dass die Veränderung nur so langsam vonstatten geht, dass es innerhalb der menschlichen Lebensspanne kaum zu erkennen ist und daher oft unentdeckt bleibt. Ein bekanntes Beispiel für eine physikalische Konstante ist die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum.

Zum Thema physikalischer Einheiten möchte ich an dieser Stelle nicht viele Worte verlieren. Es ist einleuchtend, dass wir in der Physik Messungen machen. Physik ist eine experimentelle Wissenschaft. Physiker führen Experimente durch, um der Natur eine Frage zu stellen. Wir bekommen Antworten in Form von Messergebnissen. Daraus versucht man eine Theorie zu entwickeln, ein Modell. Wenn dieses eine oder viele Vorhersagen machen kann, die dann wiederum experimentell überprüft und bestätigt werden können, so ist das ein Hinweis darauf, dass das Modell stimmt oder stimmen kann. Man passt es dann an, versucht weitere Vorhersagen zu machen und diese wiederum zu verifizieren und so fort. Das ist die sogenannte wissenschaftliche Methode der Physik. Nun, und um Messungen zu machen brauchen wir neben verschiedenen Zahlenbereichen auch Bezeichnungen für die Art des Messwertes, um die es sich handelt. Dazu dient der Begriff der Einheit oder auch Maßeinheit. Grundlegende Maßeinheiten sind Meter für Längen, Sekunden für die Zeit und Kilogramm für Massen, nicht für das Gewicht, wie man es im Alltagsgebrauch sagt. In der Physik ist Gewicht etwas anderes und wird nicht in Kilogramm gemessen, sondern in Newton, der Maßeinheit für die Kraft. Es gibt verschiedene Einheiten-Systeme, die sich in ihren sog. Basiseinheiten unterscheiden. Dies sind die grundlegenden Einheiten eines Einheiten-Systems. Alle anderen vorkommenden Einheiten sind von ihnen abgleitet. Im SI-Einheitensystem sind die Basiseinheiten die folgenden:

• Meter für Länge,
• Kilogramm für Masse,
• Sekunde für Zeit,
• Ampere für (elektrische) Stromstärke,
• Kelvin für Temperatur (nicht „Grad Kelvin“ wie oft gesagt wird!),
• Mol für die Stoffmenge und
• Candela für die Lichtstärke.

Für den ersten Teil unseres Einführungskurses in die Physik werden wir jedoch nur die ersten drei benötigen. Alle anderen physikalischen Größen, die wir im Laufe dieses Kurses kennenlernen werden wie Kraft, Energie, Leistung, Impuls, etc. sind von diesen abgeleitet. Ich empfehle an dieser Stelle, sich mit dem Wikipedia-Artikel über das SI-Einheitensystem zu beschäftigen.

Mit diesem Wissen können wir nun noch kurz die Schreibweise für ein experimentell gewonnenes physikalisches Messergebnis einführen. Als Beispiel nehmen wir einfach eine zum Beispiel mit einem Lineal mit Millimetereinteilung gemessene Länge:

$\qquad \,(28{,}55\pm 0{,}05)\,{\rm {{cm}\;.}}$

Das bedeutet, dass zwar 28,55 cm gemessen worden, jedoch wegen der Millimetereinteilung ein Fehler von etwa einem halben Millimeter, oder 0,05 cm berücksichtigt werden muß, d.h. das Messergebnis könnte höchstens um diesen Wert größer oder kleiner sein. Außerdem erwähnenswert ist, dass Messfehler grundsätzlich aufgerundet werden, damit der wahre Wert umso sicherer auch im sogenannten Fehlerintervall liegt.

Gleichungen und Ungleichungen

Kommen wir wieder zurück zu ein wenig Mathematik. Nämlich Gleichungen. Ein einfacher physikalische Fall ist, dass wir zum Beispiel einer Variablen einen Messwert zuweisen:

$x=(28{,}55\pm 0{,}05)\,{\rm {{cm}\;.}}$

Oft geht es uns aber darum, über Formeln einen Zusammenhang zwischen Größen herzustellen. Nehmen wir zum Beispiel den Flächeninhalt $F$ eines Rechtecks mit den Seitenlängen $a$ und $b\,$. Allgemeinwissen ist, dass sich der Flächeninhalt als das Produkt von Länge mal Breite ergibt. Als Gleichung geschrieben sieht das so aus:

$F=a\cdot b\;.$

Gleichungen dieser Art kommen häufig vor. Angenommen, wir haben nur eine der Längen - sagen wir $a$ - des Rechtecks gegeben, wissen aber den Flächeninhalt und wollen die andere Länge berechnen. Dann müssen wir die obige Gleichung nach der anderen Länge auflösen. Schritt für Schritt funktioniert das so:

• 1. Originalgleichung anschreiben: $F=a\cdot b$
• 2. Isolieren der gesuchten Größe, also $b\,$.

Da dort außerdem noch $a\cdot$ steht, müssen wir, um dieses zu entfernen durch $a$ teilen. Eine Gleichung ist nun aber wie eine Waagschale, die im Gleichgewicht bleiben muß. Das bedeutet, dass, was immer man tut, es auf beiden Seiten der Gleichung tun muß. Also nun durch $a$ teilen:

• 3. ${\frac {F}{a}}={\frac {a\cdot b}{a}}\,.$
• 4. Vereinfachen: ${\frac {F}{a}}=b\,.$

Was auch gerne nicht beachtet wird, ist folgendes: Während normaler Text sinnvoll nur von links nach rechts gelesen werden kann, ist das bei Gleichungen absolut nicht der Fall! Beide Seiten sind absolut gleichwertig und daher kann man jede Gleichung auch in die andere Richtung lesen. Tun wir das für unser zuletzt gewonnenes Ergebnis, so haben wir, was wir gesucht haben: Eine Formel für die zweite Seite des Rechtecks, bei gegebenem Flächeninhalt und ebenfalls bekannter erster Seite:

$\qquad b={\frac {F}{a}}\;.$

Kehren wir noch einmal zurück zu dem Vergleich mit der Waage und überlegen uns, was alles auf beiden Seiten gemacht werden darf. Wir notieren gleich in mathematischer Form, ausgehend von einer Gleichung der Form

$a=b\;.$

(Kurze Anmerkung zum Symbol $\iff$. Man liest es „ist gleichbedeutend mit“ oder „ist äquivalent zu“ und man schreibt es zwischen umgeformte Gleichungen, wenn die Umformung in beide Richtungen erlaubt ist, d.h. auch wenn man zuvor die neue Gleichung hätte, könnte man wieder die alte daraus machen. Dies wird hoffentlich im weiteren Verlauf noch klarer werden.) Wir dürfen...

• auf beiden Seiten etwas addieren: $a=b\;\iff \;a+c=b+c\;,$
• oder etwas subtrahieren: $a=b\;\iff \;a-c=b-c\;,$
• (Spezialfall $c=b\,:\quad a=b\;\iff \;a-b=0\,$)

Weitere wichtige Aussagen zu Gleichungen sehen wie folgt aus:

$a\cdot b=0\quad \iff \quad a=0\;{\mbox{ oder }}\;b=0\;.$

$a\cdot c=b\cdot c\quad \iff \quad a=b\;{\mbox{ oder }}\;c=0\;.$

$a\cdot a=a^{2}=b^{2}=b\cdot b\quad \iff \quad a=b\;{\mbox{ oder }}a=-b\;.$

${\frac {a}{c}}={\frac {b}{c}}\quad \iff \quad a=b\;{\mbox{ und }}\;c\neq 0\;.$

Das Zeichen für „ungleich“, $\neq$ ist dabei wohl selbsterklärend. Betrachten wir die letzte der obigen Zeilen. Hier handelt es sich um eine sogenannte Bruchgleichung. An dieser Zeile erkennen wir ein mathematisches Verbot:

Es darf nicht durch Null geteilt werden!

Neben diesem Verbot ist für uns vorerst nur ein weiteres Verbot wichtig:

Der Wert unter einer Wurzel darf nicht negativ sein!

Wer jetzt fragt „Was ist eine Wurzel?“ für den ist der folgende Abschnitt gedacht:

Angenommen wir wollen die Gleichung

$x^{2}=4$

nach $x$ auflösen. In Worten heißt das: Welche Zahl $x$ ergibt mit sich selbst multipliziert den Wert $4\,$? Die augenscheinliche Antwort darauf ist $2\,.$ Das bedeutet, dass $x=2$ eine Lösung dieser Gleichung ist. Aber es gibt noch eine Lösung: $x=-2\,.$ Man definiert die Wurzel einer Zahl $a$ als die positive Lösung der Gleichung $x^{2}=a\,$. Die Schreibweise ist ${\sqrt {a}}=x$. Das heißt also für unser Beispiel, dass die Wurzel von $4$ die $2$ ist: : ${\sqrt {4}}=2$.

Wenden wir diese Methode bei der Gleichung

$x^{2}=-4$

an, so fällt auf, dass wir keinen reelen Wert für x finden können, sodass die Gleichung richtig gelöst wird. Folglich ist ${\sqrt {-}}4=$nicht lösbar.

Mit den beiden Verboten können wir nun auch den Begriff der Definitionsmenge erklären: Diese Menge ist die Menge aller Zahlen, die in einen mathematischen Begriff, sei es eine Gleichung oder nur ein Term (d.h. eine Seite einer Gleichung) eingesetzt werden darf, ohne gegen eine dieser Verbote zu verstoßen. Betrachten wir beispielsweise den Term ${\frac {1}{x}}\,,$ so sehen wir, dass man hier für $x$ alle Werte außer der Null einsetzen darf. Da die Definitionsmenge oft mit $\mathbb {D}$ bezeichnet wird, können wir schreiben: $\mathbb {D} =\mathbb {R} \backslash \{0\}\,,$ lies: „$\mathbb {D}$ ist gleich $\mathbb {R}$ ohne Null“.

Kommen wir zu Ungleichungen. Diese tauchen auf, wenn wir Größen vergleichen wollen oder eine obere bzw. untere Grenze für etwas angeben wollen. Wir schreiben also

• $a>b\,,$ d.h. $a$ ist größer als $b$ bzw. $b$ ist kleiner als $a\,,$
• $a<b\,,$ d.h. $a$ ist kleiner als $b$ bzw. $b$ ist größer als $a\,,$
• $a\geq b\,,$ d.h. $a$ ist größer als oder gleich $b$ bzw. $b$ ist kleiner als oder gleich $a\,,$
• $a\leq b\,,$ d.h. $a$ ist kleiner als oder gleich $b$ bzw. $b$ ist größer als oder gleich $a\,.$

Man beachte, dass hier nicht mehr wie bei Gleichungen alles gleichwertig von beiden Seiten her gelesen werden kann, sondern dass eine Umformulierung geschieht. Im Prinzip hatten wir schon eine Ungleichung einer ganz anderen Form, nämlich $a\neq b$ im anderen Zusammenhang. Diese kann man in der Tat doch von beiden Seiten her lesen.

Zunächst noch eine Anmerkung zum Zeichen $\Longrightarrow$ bzw. $\Longleftarrow \,.$ Diese Doppelpfeile werden „daraus folgt“ gesprochen (Fachbegriff: Implikation) und bedeuten, dass die Aussage an der Pfeilspitze aus der Aussage auf der anderen Seite folgt, aber nicht unbedingt umgekehrt (hier gilt, dass das zwar auch der Fall sein kann aber nicht muß). Es gelten die folgenden Rechen- bzw. Umformungsregeln für Ungleichungen, die hier ohne Beweis angegeben werden:

$a>b\quad \Longrightarrow \quad b<a\;,$

$a<b\quad \Longrightarrow \quad b>a\;,$

$a>b\;{\mbox{ und }}\;b>c\quad \Longrightarrow \quad a>c\;,$

$a<b\;{\mbox{ und }}\;b<c\quad \Longrightarrow \quad a<c\;,$

$a>b\quad \Longrightarrow \quad a\pm c>b\pm c\;,$

$a<b\quad \Longrightarrow \quad a\pm c<b\pm c\;,$

etc. Es gibt noch eine ganze Reihe weiterer Rechenregeln, die hier ungenannt bleiben sollen, da sie sonst unnötig wichtig erscheinen, obwohl sie es im Zusammenhang mit diesem Kurs hier nicht sind.

Der nächste wichtige Begriff ist der des Betrages. Er gibt den Abstand einer Zahl $x$ von der Null an. Schreibweise ist $|x|\,,$ sprich: „Betrag von $x$“ und er wird wie folgt definiert:

$\qquad |x|=\left\{{\begin{array}{l}(x)=+x=x\,,\;{\mbox{falls }}\;x\geq 0\;,\\-(x)=-x\,,\;{\mbox{falls }}\;x<0\end{array}}\right.\;.$

D.h. um den Betrag aufzulösen, unterscheidet man immer die beiden Fälle, wann der Ausdruck, der zwischen den Betragsstrichen steht positiv ist und wann er negativ ist. Beispielsweise kann man selbst sehr einfach ausprobieren, dass bei $|x^{2}-1|$ die zweite Zeile der obigen Definition angewandt werden muß, wenn $x$ zwischen $-1$ und $1$ ist (die Grenzen dieses Intervalls selbst dabei ausgeschlossen) und die erste Zeile sonst.

Im Zusammenhang mit Beträgen gibt es die folgende wichtige Ungleichung, genannt Dreiecksungleichung:

$\qquad |a+b|\leq |a|+|b|\;.$

Funktionen

In diesem Abschnitt geht es um ein weiteres wichtiges Thema in der Mathematik: Funktionen. Um diese zu erklären, benötigen wir zunächst den Begriff der unabhängigen und abhängigen Variablen. In der Physik geht es sehr oft darum, die Abhängigkeit einer experimentellen Größe von einer oder mehreren anderen zu überprüfen. Man versucht daher meistens, die eine Größe so zu verändern, dass dabei nicht auch viele andere Größen verändert werden, sondern eben nur diese eine. Wenn man das schafft, so nennt man diese Größe die unabhängige Variable und die Größe, die man dann misst nennt man die eben von der ersten abhängige Variable. In der Mathematik nennt man die unabhängige Variable sehr oft $x$, die abhängige nennt man $f$ und um auszudrücken, von welcher anderen Größe diese abhängt, schreibt man $f(x)$. Das wird auch für die Physik so beibehalten: Man schreibt die Abkürzung für die abhängige Variable und in Klammern die unabhängigen Variablen, von denen die Größe abhängt. Zum Beispiel hängt die Temperatur $T$ unserer Erdatmosphäre ganz sicher auch von der Höhe $h$ ab, in der man sich befindet. Man sagt $T(h)$ ist die Funktion der Temperatur in Abhängigkeit von der Höhe.

Die einfachste Abhängigkeit ist natürlich die, dass es keine Abhängigkeit gibt. Das heißt, wenn ich die unabhängige Größe verändere, ändert sich an der (vermeintlich) abhängigen Größe nichts:

$f(x)={\rm {const.}}$

Auf der rechten Seite der Gleichung (die man auch den Funktionsterm nennt) kommt $x$ garnicht vor, d.h. die Funktion ist eigtl. garnicht von $x$ abhängig. Die nächste Stufe wäre eine lineare Abhängigkeit. Diese hat die Form

$f(x)=mx+t\;,$

wobei $m$ und $t$ beliebige reelle Zahlen sein können, die aber fest gewählt sind (Parameter!). An dieser Stelle empfehle ich wieder die Lektüre des Wikipedia-Artikels zum Thema lineare Funktionen. Dort ist auch das Schaubild oder auch der Graph der Funktion genannt, dargestellt. Für die konstante Funktion ist dieser einfach eine parallele zur $x$-Achse. Erwähnenswert ist hier noch, dass es für Funktionen verschiedene im Wesentlichen gleichwertige Schreibweisen gibt:

$f(x)=...\;,\qquad f:\,x\mapsto ...\;,\qquad y=...$

Wir werden hauptsächlich die erstere verwenden, um klarzustellen, was abhängige und unabhängige Variable ist. In Wikipedia-Artikeln wird scheinbar häufiger die zweite Variante verwendet.

Ein erstes Beispiel zur Erklärung einer linearen Funktion wären zum Beispiel die monatlichen Telefonkosten in einem Haushalt. In diesem Fall erklären sich die Größen wie folgt: $f$ sind die Gesamtkosten in Abhängigkeit von der Anzahl verbrauchten Telefoneinheiten $x$. Der Preis für eine Einheit ist $m$, d.h. $m\cdot x=mx$ ist der Preis für das Telefonieren selbst und $t$ ist die Grundgebühr, die monatlich fällig ist, unabhängig von der Anzahl der verbrauchten Einheiten. (Dies ist natürlich nur ein sehr einfaches Beispiel aber mit Hilfe von viel mehr Mathematik und wesentlich komplizierteren Funktionen schaffen es Mobilfunkanbieter heutzutage sowohl ihre Gewinne zu maximieren als auch den Kunden günstige Angebote zur Verfügung stellen zu können.)

Kommen wir nun noch zu quadratischen Funktionen, die ebenfalls eine sehr große Rolle in der Physik spielen. Sie sind von der Form

$f(x)=ax^{2}+bx+c\;,$

wobei $a$, $b$ und $c$ wieder beliebige reelle Zahlen sind. Jedoch wenn $a=0$, so erhält man wieder die zuvor besprochene lineare Funktion. Auch hier verweise ich auf den sehr guten Wikipedia-Artikel zum Thema quadratische Funktionen. Die einzige Anmerkung, die ich an dieser Stelle noch dazu machen möchte ist folgendes. Sieht man sich den Graph (d.h. das Schaubild) einer quadratischen Funktion an, so erkennt man hier zum ersten Mal zwei geometrische Eigenschaften der Kurve, die vorher (also bei den konstanten und linearen Funktionen) nicht vorhanden waren: Die Kurve (Auch wenn der Graph eine geometrische Gerade ist, nennt man ihn trotzdem oft Kurve.) ist gekrümmt, d.h. sie hat eine Krümmung und es gibt einen niedrigsten oder höchsten Wert (entsprechend einem kleinsten bzw. größten Wert von $f$), den die Funktion annehmen kann. Diesen Wert nennt man Minimum bzw. Maximum. Auch dieser spielt in der Physik öfters eine wichtige Rolle und man sollte sich evtl. noch einmal ansehen, wie man ihn bei einer quadratischen Funktion berechnet. Der Punkt, an dem dieser Wert angenommen wird, heißt Scheitelpunkt.

Wichtige Aussagen der Geometrie

Zum Schluß unserer stark mathematisch orientierten Einführung kommen wir noch kurz zu einigen wichtigen Aussagen aus der (ebenen) Geometrie. Hier sei angemerkt, dass viele Sätze der Geometrie, wie man sie in der Schule lernt, dort selbst von den Lehrern niemals eingeschränkt werden. Es gibt jedoch sehr viele Einschränkungen: Was man in der Schule meist lernt ist nämlich nur ebene Geometrie. Sobald man sich auf einer Kugel befindet, wie zum Beispiel der Erde, kann das sehr schnell eine Rolle spielen und dort gelten einige Dinge nicht mehr. Das ist allgemein in der Physik zu beachten. Ein kleiner Bereich der Erdkugel kann natürlich schon als weitgehend eben angenommen werden. Gut ist diese Näherung meistens für Distanzen, die kleiner als zehn Kilometer sind, da sich hier die Richtung des Gravitationsfeldes kaum ändert.

Nun aber zu den Sätzen der ebenen Geometrie, die ich wiederholen möchte. Ich werde sie nur kurz auflisten und auf die entsprechenden Wikipedia-Artikel verweisen:

• Die Winkelsumme (d.h. die Innenwinkel zusammengezählt) im Dreieck beträgt 180°, im Viereck 360°.
• Satzgruppe von Pythagoras:

1. In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Quadrate über den Katheten gleich dem Quadrat über der Hypotenuse. (Satz von Pythagoras)
2. Das Quadrat der Höhe in einem rechtwinkligen Dreieck ist gleich dem Produkt der beiden Hypotenusenabschnitte. (Höhensatz von Euklid)
3. Das Quadrat über einer Kathete ist gleich dem Produkt aus Hypotenuse und anliegendem Hypotenusenabschnitt. (Kathetensatz von Euklid)

Hier sei erwähnt, was was ist in dem entsprechenden Bild auf der Wikipedia-Seite: $a$ und $b$ sind die Katheten (kürzeren Seiten), $c$ die Hypotenuse (lange Seite, gegenüber dem rechten Winkel), $p$ und $q$ die Hypotenusenabschnitte und $h$ die Höhe. Des Weiteren möchte ich vorschlagen, dass jeder, der hier Nachholbedarf hat, sich noch einmal über die wichtigsten Formeln für (Ober-)Flächeninhalte und Volumina der folgenden geometrischen Figuren und Körper informiert:

• Dreiecke und Vierecke allgemein, rechtwinkliges Dreieck, gleichschenkliges Dreieck, gleichseitiges Dreieck, rechtwinklig-gleichschenkliges Dreieck, Raute, Trapez, Rechteck,
• Kreis, Kugel, Kegel,
• Würfel, Quader, Zylinder,
• Pyramide und Tetraeder.

Nun sind wir am Ende des ersten Abschnittes und Ausfluges in die Mathematik angelangt. Ich hoffe, es war für alle nicht zu anstrengend, sondern halbwegs informativ und lehrreich. Wenn irgendwer Anmerkungen zu inhaltlichen oder Rechtschreibfehlern hat, Verbesserungsvorschläge oder sonstiges anzumerken hat, so ist er jederzeit willkommen, sich an mich zu wenden und zur Verbesserung beizutragen! Ich denke ich habe genügend Elemente eingebaut, die auf freiwilligem Selbststudium basieren und die Möglichkeit geben, ganz allein seinen Kenntnisstand auszuprobieren. Sowohl das Niveau des Kurses als auch der Stil, in dem ich ihn halten werde dürften spätestens jetzt einigermaßen klar geworden sein. Dennoch versuche ich, dass trotzdem für alle irgendwo etwas dabei ist!

Übungsaufgaben zum ersten Abschnitt finden sich hier:

Ich hoffe, alle haben gesehen, dass das 1. Übungsblatt auch eine Rückseite hat!

StudentT 19:58, 22. Feb. 2007 (CET)

Geradlinige Bewegungen

Nach der langen etwas trockenen und mathematischen Einführung können wir uns nun der eigentlichen Physik zuwenden. Das heisst, dass es zunächst etwas einfach wird und wir uns dann wieder zunehmend steigern. Wir beginnen mit einem fundamentalen Konzept der Physik, bei dem jedem viele Beispiele aus dem Alltag geläufig sind: Bewegungen. In diesem Kapitel werde ich versuchen, den reinen Lehrtext etwas kürzer zu fassen und dafür mehr Beispiele einzubauen. Um auch gute Beispiele finden zu können, werden diese evtl. erst nach und nach eingefügt.

Einschränkung auf punktförmige Massen

Wenn wir uns mit Bewegungen beschäftigen, muss die erste Frage danach lauten, was genau sich denn überhaupt bewegt? In der Physik sprechen wir selten von Gegenständen als vielmehr von (physikalischen) Körpern. Da alle diese der Erdanziehungskraft unterworfen sind, sagt man diese seien massebehaftet (nicht zu verwechseln mit dem Begriff massiv aus der Alltagssprache) bzw. man spricht von Massen (mit der SI-(Basis)einheit Kilogramm). Betrachtet man einen beliebigen festen Körper, so gibt es nur zwei verschiedene Arten von Bewegungen, die dieser ausführen kann:

• Rotationen, d.h. Drehungen um die eigene Achse
• Translationen, d.h. Verschiebungen des ganzen Körpers in eine bestimmte Richtung

Dieses sind die beiden fundamentalen Bewegungsarten, die zudem noch meistens beide gemeinsam auftauchen. Die Formulierung „Drehungen um die eigene Achse“ ist natürlich nicht ganz exakt, weil man dazu sagen muss, welche Achse denn gemeint ist. Im allgemeinen haben Körper schliesslich viele Achsen, die man sich vorstellen kann. Dennoch denke ich, dass klar geworden ist, welche Art von Bewegung gemeint ist.

Setzt man diese beiden Bewegungsarten in beliebiger Art und Weise zusammen, so kann man äusserst komplizierte Bewegungen bekommen, wie jeder weiss. Beispiele sind

• ein auf dem Tisch rotierendes Glas, das fast umfällt,
• die Bewegungen einer Eistänzerin oder eines Turners,
• eine Tonne, die einen unebenen Hügel hinabrollt
• u.v.a.m.

Um nach und nach immer mehr Bewegungsformen verstehen zu können, betrachtet man besser zunächst reine Translationsbewegungen (d.h. Verschiebungen) und später reine Rotationsbewegungen (d.h. Drehungen), bevor man dann zusammengesetzte Bewegungen betrachtet. Die einfacheren sind die Verschiebungen, denen wir uns im folgenden zuwenden wollen. Durch eine sehr grobe Vereinfachung aller physikalischen Körper, die wir nun in Beispielen und Übungsaufgaben verschieben werden können wir erreichen, dass sämtliche Rotationen ausgeschlossen sind:

Alle Massen werden als punktförmig angenommen.

Ein mathematischer Punkt hat keinerlei Ausdehnung und daher keine Achse, um die er sich drehen könnte. Daher ist dies ein sehr einfaches Modell für einen Körper, der nur Translationen, aber keine Rotationen ausführen kann. Die Frage ist nun aber, wenn wir ein ausgedehntes Objekt haben, wie zum Beispiel die oben bereits genannte Tonne, die den Hügel hinabrollt: In welchem Punkt der Tonne soll man sich die gesamte Masse der Tonne vereinigt vorstellen? Man könnte einen Punkt auf der Tonnenwand nehmen, beispielsweise in halber Höhe. Physikalisch sinnvoll und meistens auch so gewählt dagegen ist der sogenannte Schwerpunkt eines Körpers, den wir wie folgt definieren wollen.

Der Schwerpunkt eines ausgedehnten (d.h. nicht punktförmigen) physikalischen Körpers ist derjenige Punkt, an dem eine an dem Körper angreifende Kraft (zum Beispiel die Schwerkraft, die wir alle fühlen) den Körper nicht in eine Rotation verstetzt, sondern nur verschieben (oder verformen) kann.

Im Experiment bestimmt man den Schwerpunkt, indem man den Körper an mindestens zwei verschiedenen Stellen seiner Oberfläche aufhängt. Vom ersten Aufhängepunkt aus wird eine Gerade senkrecht nach unten gezogen und fest mit dem Körper verbunden (zum Beispiel durch entsprechende Markierungen zweier Punkte auf der Oberfläche des Körpers, wodurch die Gerade bestimmt ist.) Man verfährt genauso an mindestens einem weiteren Aufhängepunkt des Körpers, wodurch man wieder eine mit dem Körper verbundene Gerade erhält, die die erste im Schwerpunkt schneidet. Je mehr Messungen dieser Art man durchführt desto genauer wird das Ergebnis, d.h. alle Geraden sollten sich im Schwerpunkt schneiden, in der Realität jedoch schneiden sie sich nur nahezu und man kann einen Bereich bestimmen, in dem alle Geraden einander am nächsten kommen, wo der Schwerpunkt liegt.

Bewegungen mit konstanter Geschwindigkeit in eine Richtung

Zu Beginn dieses Abschnitts definieren wir den physikalischen Begriff der Geschwindigkeit.

Die Geschwindigkeit ist die bei einer Bewegung zurückgelegte Strecke geteilt durch die Zeit, die dafür benötigt wurde. Mit dem Begriff der Geschwindigkeit ist auch die Richtung dieser Bewegung verknüpft.

Auf den zweiten Satz dieser Definition verzichten wir gewöhnlicherweise im Alltagsgebrauch des Begriffs Geschwindigkeit. Allerdings gehört dieser im Grunde dazu, denn sonst spricht man eigentlich vom Geschwindigkeitsbetrag. Diesen können wir als Formel wie folgt ausdrücken

$v={\frac {s}{t}}\;,$

wobei $s$ die in der Zeit $t$ zurückgelegte Strecke ist. Typische Einheiten für die Geschwindigkeit sind km/h (sprich „Kilometer pro Stunde“) oder m/s („Meter pro Sekunde“). Diese Begriffe sind für das weitere Verständnis der Physik von grundlegender Bedeutung, da in der (belebten wie der unbelebten) Natur sehr viele Bewegungsvorgänge vorkommen, die u.a. über Geschwindigkeiten beschrieben werden. Zum Beispiel die Bewegung eines Fahrzeugs auf einer kurvigen Strecke oder auch die Bewegung von Planeten auf ihren ellipsenförmigen Bahnen um die Sonne. Dabei fällt auch auf, dass diese Bewegungen nicht mit einer immer gleichbleibenden, d.h. konstanten Geschwindigkeit ablaufen. Bei einem Fahrzeug ist uns das noch eindeutig klar. Wir wissen, dass es Brems- und Beschleunigungsvorgänge gibt, bei denen sich die Geschwindigkeit des Fahrzeugs ändert. Auch bei Planeten ist das der Fall. Wie wir später in diesem Kurs noch lernen werden ist die Geschwindigkeit eines Planeten kleiner, wenn er sich weiter von der Sonne entfernt befindet und grösser, wenn er ihr näher ist. Die Bahn der Erde ist allerdings nahezu kreisförmig. Das bedeutet, dass diese Änderungen der Geschwindigkeit kaum auffallen, wenn wir zum Beispiel nur einen einzigen Tag lang die Bewegung der Erde betrachten. Gehen wir zu sogar noch kürzeren Zeiten über - Stunden oder gar Minuten -, so wird es sogar schwierig zu sehen, dass sich die Erde überhaupt auf einer gekrümmten Bahn befindet und sich nicht geradlinig fortbewegt. Wählt man also einen Wert für $t$, der klein genug ist, so kann man die Bewegung der Erde als geradlinig betrachten und auch mit konstanter Geschwindigkeit ablaufend betrachten. Das funktioniert prinzipiell mit allen Bewegungen. Betrachtet man nur Zeiträume, die kurz genug sind, so kann man sich die gesamte Bewegung aus lauter einzelnen geradlinigen Bewegungen, die mit konstanter Geschwindigkeit ablaufen zusammengesetzt denken. Deswegen ist diese Form der Bewegung auch so wichtig und absolut wert, sich ausgiebig mit ihr zu beschäftigen!

Betrachtet man solche ganz kurzen Zeiträume, über die die Geschwindigkeit einer Bewegung als konstant angenommen werden kann, so spricht man von der Momentangeschwindigkeit. Auch das Gegenteil ist möglich. Wir können sehr lange Zeiträume betrachten und in diesen die Strecke messen, die insgesamt zurückgelegt wurde. Teilen wir diese durch die gesamte Zeit, so erhalten wir die Durchschnittsgeschwindigkeit. Dies ist zum Beispiel nützlich für die Erstellung von Fahrplänen bei der Bahn. So müssen die Zeiten für das Anfahren und Abbremsen eines Zuges nicht berücksichtigt werden, sondern es kann teilweise mit Durchschnittsgeschwindigkeiten gerechnet werden. Die Durchschnittsgeschwindigkeit der Erde auf ihrer Bahn zu berechnen wird Teil der Übungen zu diesem Abschnitt sein.

Gehen wir nun der Frage nach der Strecke nach, die nach einer gewissen Zeit mit einer konstanten Geschwindigkeit zurückgelegt wurde. Dazu müssen wir die Formel für die konstante Geschwindigkeit nach $s$ auflösen:

$v={\frac {s}{t}}\;{\overset {\cdot t}{\iff }}\;v\cdot t=s\;\iff \;s(t)=v\cdot t\;.$

Im letzten Schritt haben wir lediglich die Gleichung umgedreht und betrachten die Strecke als Funktion der Zeit, $s(t)$. Diese Formel gilt allerdings nur für den Fall, dass zum Zeitpunkt $t=0$ auch die Strecke noch auf Null gesetzt ist: $s(t=0)=0$. Das muss aber nicht der Fall sein. Wenn wir beispielsweise ein Rennen zweier Läufer betrachten und einer der beiden einen Vorsprung bekommen soll, so ist es das gleiche, als hätte dieser zum Zeitpunkt 0 bereits eine Strecke $s_{0}$ zurückgelegt. Dann gilt

$s(t)=s_{0}+v\cdot t\;.$

Der Parameter $s_{0}$ ist dann sozusagen der Vorsprung dieses Läufers. Aber auch für andere Bereiche macht es Sinn, dass eine Bewegung nicht bei der Strecke $s=0$ beginnt, wie wir gleich sehen werden.

Bezugssysteme und Überholvorgänge

Die meisten von uns werden die folgende Situation wiedererkennen. Man sitzt in einem Zug, der im Bahnhof steht und sieht zum Fenster hinaus auf einen gegenüber ebenfalls im Bahnhof stehenden Zug. Sanft und ohne Ruck fährt der eigene Zug los und nimmt an Geschwindigkeit zu (d.h. er beschleunigt). Dann sieht man das Ende des gegenüberliegenden Zuges vorbeiziehen und... Dahinter steht der Bahnhof still! Nicht man selbst hat sich bewegt, sondern lediglich der Zug gegenüber hat den Bahnhof verlassen. Man selbst hatte aber den Eindruck, der eigene Zug wäre losgefahren. Dies ist ein Beispiel für die sogenannte Relativität von Bewegungen. „Relativ“ bedeutet dabei „vom Beobachter abhängig“ oder auch „vom Standpunkt abhängig“. In diesem Fall kann man sowohl sagen, der eigene Zug hätte sich in Bezug auf den anderen, abfahrenden Zug bewegt oder man kann sagen, der abfahrende Zug hätte sich in Bezug auf den eigenen, stehenden Zug bewegt.

An diesem Beispiel sieht man sehr deutlich, dass es keinen Sinn macht, von einer absoluten Bewegung zu sprechen, sondern nur von Bewegungen in Bezug auf einen bzw. mehreren festen Punkten, d.h. in Bezug auf ein sogenanntes Bezugssystem. Für die meisten einfachen Beispiele ist das Bezugssystem „Erde“ ein sehr praktisches. Man spricht auch oft vom Bezugssystem „Labor“, das ja mit der Erde verbunden ist. Benutzt man das Bezugssystem „Erde“ für das Zugbeispiel, so ist die Alltagsaussage, der andere Zug hätte sich bewegt und der eigene nicht auch gleich der physikalischen Aussage über den Bewegungsvorgang.

Die Wahl eines geeigneten Bezugssystems kann die Berechnung einer fehlenden Grösse erheblich vereinfachen, wenn man geschickt wählt. Leider kann die Aufgabe natürlich auch erheblich komplizierter werden, wenn man ein ungünstiges Bezugssystem auswählt. Als Beispiel wollen wir uns Überholvorgängen widmen. Betrachten wir zwei Fahrzeuge, beispielsweise einen Lastwagen, der mit konstanter Geschwindigkeit $v_{L}$ auf der Autobahn unterwegs ist und ein von hinten auf der Überholspur herannahendes, schneller fahrendes Auto mit der Geschwindigkeit $v_{A}$. Betrachten wir die Situation im Bezugssystem „Strasse“, so müssen wir für beide Fahrzeuge eine Gleichung der Form

$s(t)=s_{0}+v\cdot t$

aufstellen, mit den Geschwindigkeiten der Fahrzeuge. Auch wenn das für ein so einfaches Beispiel nicht sehr schwierig ist, können wir trotzdem noch geschickter vorgehen. Wir wählen das Bezugssystem „Lastwagen“. Das bedeutet, dass wir annehmen, der Lastwagen ruht und sowohl Strasse als auch Auto bewegen sich. Die Bewegung des Autos findet mit der Differenzgeschwindigkeit $v_{A}-v_{L}$ statt. So erhält man nicht mehr zwei, sondern nur noch eine Gleichung

$s(t)=s_{0}+(v_{A}-v_{L})\cdot t\;.$

Dabei ist $s_{0}<0$ der Abstand des Autos vom Lastwagen bei Beginn des Überholvorgangs. $s(t)$ beschreibt den zeitlichen Verlauf des Abstandes von Auto und Lastwagen. Eine Übungsaufgabe zu einem Überholvorgang befindet sich auf dem Übungsblatt zu diesem Abschnitt.

Geradlinige Bewegungen mit konstanter Beschleunigung

Nach dem vorhergehenden, einfachsten Modell einer Bewegung, also in einer Richtung und mit konstanter Geschwindigkeit verfeinern wir dieses nun etwas. Zwar wollen wir immer noch dabeibleiben, dass die betrachteten Bewegungen nur in einer Richtung, also geradlinig stattfinden, wie beispielsweise auf einem geraden Autobahn- oder Gleisstück. Allerdings wollen wir jetzt Geschwindigkeitsänderungen einer bestimmten Form miteinbeziehen. Zunächst erinnern wir uns daran, dass es sich bei der Geschwindigkeit um einen Vektor handelt und definieren nun den Begriff der Beschleunigung.

Die Beschleunigung ist die Änderung der Geschwindigkeit einer Bewegung geteilt durch die Zeit, die dafür benötigt wurde.

Besonderes Augenmerk sei dabei auf den Begriff „Änderung“ gerichtet. Eine Änderung der Geschwindigkeit kann im wesentlichen auf zweierlei Art und Weise geschehen:

• Richtungsänderung oder
• Änderung des Geschwindigkeitsbetrages.

Wollen wir die Beschleunigung, bzw. genauer den Beschleunigungsbetrag in Formeln ausdrücken, so können wir analog zur Geschwindigkeit bzw. dem Geschwindigkeitsbetrag schreiben

$a={\frac {v}{t}}\;.$

Ähnliche Überlegungen wie für die Geschwindigkeit können auch hier für kurze und lange Zeitdauern $t$ angestellt werden. Diese selbst durchzuführen ist Teil der Übungen. Von konstanter Beschleunigung spricht man, wenn in gleichen Zeiten gleiche Geschwindigkeitsänderungen auftreten und wenn die Änderung des Geschwindigkeitsbetrages derart ist, dass die Bewegung langsamer wird, so spricht man anstatt von Beschleunigung auch von Verzögerung.

Wenden wir uns nun der Frage nach der zurückgelegten Strecke bei konstanter Beschleunigung zu. Dazu erinnern wir uns zunächst nochmals an die zurückgelegte Strecke bei konstanter Geschwindigkeit, die in folgendem Diagramm dargestellt wird. Auf der Achse nach rechts verläuft die Zeit $t$ und auf der Hochachse ist die Geschwindigkeit $v$ dargestellt, die wegen ihrer Konstanz immer auf der gleichen Höhe verläuft.

Man erkennt, dass die aus dem vorhergehenden Abschnitt bekannte Formel $s=v\cdot t$ dort als die (in diesem Fall rechteckige) Fläche unter der Kurve auftaucht. Wenn wir nun eine Geschwindigkeitsänderung, d.h. eine Beschleunigung betrachten, die so verläuft, dass wir mit Geschwindigkeit null starten und gleichmässig bis zu einer Geschwindigkeit $v$ beschleunigen („gleichmässig“ bedeutet „mit konstanter Beschleunigung“), so sieht das entsprechende sogenannten t-v-Diagramm wie folgt aus.

Ohne an dieser Stelle auf die genauen Hintergründe einzugehen, warum auch hier die Fläche unter der Kurve wieder die Strecke beschreibt, möchte ich nur mitteilen, dass dies tatsächlich immer so ist! Egal, welche Form die Kurve hat. (Fortgeschrittene werden erkennen, dass es sich um ein Integral handelt.) Der Ausdruck $s={\frac {1}{2}}\cdot v\cdot t$ für diese Strecke ist allerdings ungünstig, da nun $v$ keine Konstante mehr ist, sondern sich (gleichmässig) verändert. Daher lösen wir die Formel für die Definition der Beschleunigung nach $v$ auf,

$v=a\cdot t\;,$

und setzen dies ein. So ergibt sich

$s={\frac {1}{2}}\cdot v\cdot t={\frac {1}{2}}\cdot a\cdot t\cdot t={\frac {1}{2}}\cdot a\cdot t^{2}\;.$

Auch hier müssen wir wieder bedenken, dass die Bewegung evtl. „mit Vorsprung“ zu betrachten ist und führen diesen durch Addition von $s_{0}$ ein. Zudem ist es gut, dass wir uns wieder einmal darauf besinnen, dass wir $s$ als Funktion der Zeit $t$ betrachten können.

$s(t)=s_{0}+{\frac {1}{2}}\cdot a\cdot t^{2}\;.$

Ausserdem müssen wir noch berücksichtigen, dass die Beschleunigung evtl. erst stattfindet, wenn der Körper sich bereits mit einer Anfangsgeschwindigkeit $v_{0}$ bewegt. Das veränderter t-v-Diagramm sieht aus wie folgt.

Man erkennt, dass man noch zusätzlich den Term $v_{0}\cdot t$ addieren muss. Damit gelangen wir nun zur endgültigen Formulierung der Strecke in Abhängigkeit von der Zeit bei einer Bewegung mit konstanter Beschleunigung.

$s(t)=s_{0}+v_{0}\cdot t+{\frac {1}{2}}\cdot a\cdot t^{2}\;.$

Da sich bei konstanter Beschleunigung auch die Geschwindigkeit ändert, muss man auch die Gleichung $v=a\cdot t$ anpassen, wenn man bei einer Anfangsgeschwindigkeit $v_{0}$ beginnt zu beschleunigen. Man erhält dann

$v(t)=v_{0}+a\cdot t\;.$

Hier fällt auf, dass nun auch $v$ eine (lineare) Funktion von der Zeit ist. Und bei $s(t)$ erkennt man ein erstes Beispiel, warum die früher besprochenen quadratischen Gleichungen so wichtig sind. Hier haben wir nämlich eine davon. Betrachten wir zum Schluss konstant beschleunigte Bewegungen mit Anfangsgeschwindigkeit $v_{0}$, aber ohne Vorsprung, also $s_{0}=0$. Dann haben wir

$v=v_{0}+a\cdot t$

und

$s=v_{0}\cdot t+{\frac {1}{2}}\cdot a\cdot t^{2}\;.$

Aus diesen beiden sehr wichtigen Gleichungen folgt noch eine weitere Gleichung, in der die Zeit $t$ nicht mehr auftaucht,

$v^{2}-v_{0}^{2}=2\cdot a\cdot s\;.$

Diese herzuleiten wird dem Leser zur Übung überlassen. Eine Lösung für diese Aufgabe folgt natürlich später.

Mathematik: Koordinaten und Vektoren

An dieser Stelle möchte ich nur einen ganz kleinen Ausflug in das große Gebiet der Vektorrechnung wagen. Wir werden im folgenden nur geringfügig davon Gebrauch machen, trotzdem ist es für das gesamte weitere physikalische Verständnis wichtig, eine gewisse Grundidee vom Konzept von Vektoren zu haben.

Man kann nicht oft genug darauf hinweisen, dass man immer sehr vorsichtig sein sollte, ob es sich beim verwendeten Begriff „Beschleunigung“ nur um den Beschleunigungsbetrag handelt oder ob auch die Richtung mitinbegriffen ist. Genauso verhält es sich mit der Geschwindigkeit und vielen anderen Grössen in der Physik. Man spricht von diesen Grössen als sog. vektorielle Grössen. Das sind also Grössen, die eine Richtung haben. Im Gegensatz dazu stehen sogenannte skalare Grössen, die keine Richtung haben, wie zum Beispiel die Temperatur. Vektorielle Grössen werden ausgedrückt durch Vektoren. Diese sind mathematische Objekte, die eine sehr abstrakte Definition haben können. Wir werden uns aber mit einer sehr einfachen Definition von Vektoren begnügen, nämlich

ein Vektor ist ein Satz von zwei oder drei räumlichen Koordinatenangaben, mit denen ein Ort oder eine Richtung in einem Koordinatensystem (Bezugssystem) eindeutig festgelegt ist.

Um die Definition zu verstehen, müssen wir auch den Begriff einer Koordinate genau definieren. Im Grunde ist eine Koordinate nur eine Zahl, von der man noch eine qualitative Eigenschaft wissen muss. Es ist so ähnlich als hätte die Zahl eine Einheit, nur dass sie in diesem Fall eher eine Richtung hat. Damit sich hier langsam der Nebel lichtet, fahren wir mit einem Beispiel in der Ebene fort.

Im obigen Bild sieht man zwei Koordinatenachsen $x$ und $y$. Das bedeutet nun, dass der Ort jedes Punktes $P$ in einer von diesen Achsen aufgespannten Ebene durch die Angabe von zwei Zahlen für den $x$-Wert und für den $y$-Wert eindeutig festgelegt werden kann. Diese Werte nennt man die Koordinaten. Von ihnen muss man eben wissen, ob sie eben $x$- oder $y$-Richtung angeben! Die aufgespannte Ebene ist für den Leser nun ganz einfach die Ebene des Bildschirms. Genau wie bei den bereits besprochenen Bezugssystemen gilt auch für Koordinatensysteme, dass es evtl. mehrere Wahlmöglichkeiten gibt, von denen eine besser, die andere schlechter für ein bestimmtes Problem oder eine Aufgabe sein kann. Unser obiges Beispiel mit $x$ und $y$ nennt man kartesische Koordinaten. In diesen wir der Abstand $x$- und $y$-Richtung vom sogenannten Ursprung angegeben. Das ist der Punkt, wo sich die Koordinatenachsen schneiden. Man kann stattdessen aber auch für jeden Punkt die Richtung angeben, in die man vom Ursprung aus gehen muss, mit Hilfe eines Winkels $\phi$ zum Beispiel und dazu den Abstand $r$, wie weit man gehen muss. Diese Koordinaten heissen (ebene) Polarkoordinaten. Im folgenden Bild nun sehen wir einige Vektoren.

Betrachten wir den Vektor

${\vec {a}}={\binom {1}{2}}\;.$

Dieser geht vom Nullpunkt zum Punkt $(1\,|\,2)$. Stellen wir uns vor, ${\vec {a}}$ sei eine Geschwindigkeit. Mit den Angaben, die wir haben, können wir dann sowohl die Richtung ausdrücken, die die Geschwindigkeit hat, als auch den Geschwindigkeitsbetrag. Für diesen benutzen wir einfach die Länge des Vektorpfeils. Im nächsten Abschnitt über die Überlagerung von Bewegungen werden wir zwar nicht unbedingt Vektoren addieren müssen, dennoch sei dies kurz erwähnt. Wenn man Vektoren addiert, so geschieht das Koordinatenweise, d.h. die Einträge der ersten Zeile werden addiert, die Einträge der zweiten Zeile werden addiert und die Einträge der dritten Zeile werden addiert, je nach dem, ob es sich um einen ebenen oder einen räumlichen Vektor handelt. Ein Beispiel haben wir im gleichen Bild. Dort werden die Vektoren ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}={\binom {2}{1}}$ addiert.

${\vec {a}}+{\vec {b}}={\binom {1}{2}}+{\binom {2}{1}}={\binom {3}{3}}\;.$

Dabei ist der untere Vektor von $(0\,|\,0)$ nach $(2\,|\,1)$ der gleiche wie der Vektor von $(1\,|\,2)$ nach $(3\,|\,3)$, denn Vektoren haben nur Richtung und Länge. Wir haben keine Möglichkeiten, noch mehr Informationen in die beiden Angaben zu packen, zum Beispiel über den Anfangspunkt.

Im folgenden Bild sehen wir eine geschlossene Vektorkette.

Hier kann man sehen, dass die Summe der Vektoren Null ergibt, bzw. den sogenannten Nullvektor.

${\vec {a}}+{\vec {b}}+{\vec {c}}+{\vec {d}}+{\vec {e}}={\binom {0}{0}}\;.$

Auf eine Anwendung kommen wir gleich kurz zu sprechen. Doch zunächst sei angemerkt, dass das Subtrahieren, also Abziehen von Vektoren ganz analog zum addieren funktioniert. Hat man also beispielsweise die Vektoren ${\vec {a}}$ bis ${\vec {d}}$ und möchte den noch unbekannten Vektor ${\vec {e}}$ herausfinden, so dass sich eine geschlossene Vektorkette ergibt, so kann man das ganz einfach erreichen. Auch wenn der Kraftbegriff physikalisch noch nicht richtig definiert wurde, so möchte ich die geschlossene Vektorkette an einem Kraftbeispiel demonstrieren. Seien also die Vektoren ${\vec {a}}$ bis ${\vec {d}}$ Kräfte, die an einer Baukonstruktion angreifen. Natürlich möchte man von dieser Konstruktion, dass sie stabil ist. Das heisst, man muss auf welche Weise auch immer noch die zusätzliche Kraft ${\vec {e}}$ an der Konstruktion aufbringen, damit diese nicht zusammenstürzt. Meist werden wir es aber mit viel einfacheren Fällen zu tun haben, wo es nur auf die Richtung der Kraft ankommt. Dann sieht eine geschlossene Vektorkette, die den Nullvektor ergibt beispielsweise so aus, wie in dem Kasten des obigen Bildes aus. An dem Punkt zeigt ein Vektor ${\vec {a}}$ nach rechts, der drei Einheiten lang ist und die Vektoren ${\vec {b}}$ mit einer Einheit und ${\vec {c}}$ mit zwei Einheiten zeigen nach links. Statt zwei Koordinaten würde es hier sogar wieder nur ausreichen, nur eine Koordinate anzugeben - die Länge - und die Richtung des Vektors mit einem Vorzeichen anzuzeigen, also beispielsweise $+$ für nach rechts gerichtete Vektoren und $-$ für nach links gerichtete Vektoren.

Überlagerung (Superposition) von Bewegungen

Verschiedene Bewegungen können einander überlagert werden. Man spricht dann von Superposition von Bewegungen. Am einfachsten ist das an einigen Beispielen zu verstehen.

• Bewegt man sich in einem fahrenden Zug entgegen der Fahrtrichtung, so hat man in Bezug auf die Erde eine niedrigere Gesamtgeschwindigkeit. Bewegt man sich in Fahrtrichtung, so ist die Gesamtgeschwindigkeit höher.
• Wirft man im fahrenden Zug einen Apfel in die Luft und fängt ihn wieder auf, so hat für einen selbst der Apfel nur eine Bewegung in einer Richtung durchgeführt (nach oben). Für einen Beobachter ausserhalb des Zuges jedoch hat der Apfel eine bogenförmige Flugbahn durchlaufen.
• Die Bewegung eines Schwimmers, der versucht, einen schnellströmenden Fluss zu überqueren und dabei genau senkrecht zur Stromrichtung schwimmt, wird überlagert von der Bewegung des Wassers. Der Schwimmer wird den Fluss schräg überqueren, dafür aber die gleiche Zeit benötigen als würde das Wasser nicht fliessen.

Besonders das letzte Beispiel stellt das Besondere an überlagerten Bewegungen heraus.

Überlagerte (superponierte) Bewegungen verlaufen zwar gleichzeitig aber unabhängig voneinander.

Das bedeutet, die Bewegung des Schwimmers senkrecht zur Flussrichtung bleibt unberührt von der Bewegung des Wassers parallel zur Flussrichtung. Sie überlagern sich lediglich. Diese Tatsache wird besonders im nächsten Abschnitt wichtig.

Beim Thema Superposition bzw. Bezugssysteme sollte ein wichtiger Begriff der Physik zumindest nicht unerwähnt bleiben, auch wenn wir nicht näher auf ihn eingehen wollen. Es handelt sich dabei um sogenannte Galilei-Transformationen. Das ist genau das, was wir tun, wenn wir beispielsweise als Bezugssystem den fahrenden Zug wählen oder aber die Strömung eines Flusses „ausgleichen“ wollen, indem wir ein entsprechendes Bezugssystem wählen. Eine Galilei-Transformation beschreibt dabei den Übergang von einem Bezugssystem 1 zu einem anderen Bezugssystem 2, wobei sich 2 relativ zu 1 geradlinig und mit konstanter (!) Geschwindigkeit bewegt. Hier sehen wir einmal wieder, warum es so wichtig ist, sich mit dieser Form der Bewegung zu beschäftigen. Eine weitere wichtige Aussage, die die Physik macht ist, dass die physikalischen Gesetze gleich bleiben, wenn eine Galilei-Transformation durchgeführt wird. All dies sind Aussagen der sogenannten Newton'schen Physik, in deren Bereich wir uns während dieses Kurses immer bewegen. Die Grenzen dieser Newton'schen Physik liegen bei hohen Geschwindigkeiten, wie bereits erwähnt, von etwa über zehn Millionen Kilometern pro Stunde. Dann beginnen die Abweichungen immer größer zu werden und die Newton'sche Physik verliert ihre Gültigkeit. Man ist dann im Bereich der speziellen Relativitätstheorie, die vor etwas mehr als 100 Jahren von Albert Einstein entdeckt wurde.

Übungsaufgaben zum zweiten Abschnitt finden sich hier:

Äpfel, Kurven, Karussells - Einfache krummlinige Bewegungen

Überlagerung von Bewegungen und waagrechter Wurf

1. Freier Fall oder wie Newton der Apfel auf den Kopf fiel
2. Senkrechter Wurf
   1. Bewegungsgesetze
   2. Potentielle und kinetische Energie (Einführung zum Thema Energie)
3. Waagrechter Wurf (Bezug zur Superposition)
4. Mathematik: Parabeln, quadratische Gleichungen
5. Schräger Wurf (optional)

Newton'sche Gesetze und Kreisbewegungen

1. Mathematik: Kreise
2. Kreisfrequenz, Bahngeschwindigkeit
3. Kräfte
4. Erstes Newton'sches Axiom
5. Zentrifugalkraft und Zentripetalkraft
6. Drittes Newton'sches Axiom
7. Ergänzung:
   1. Reibung und Reibungskraft
   2. Leistung und Wirkungsgrad

Zu den Planeten und darüber hinaus - Gravitation und Kepler'sche Gesetze

Newton'sche Gesetze 2 und Impuls

1. Impuls und Drehimpuls
2. Zweites Newton'sches Axiom
3. Erhaltungssätze
   1. Energieerhaltungssatz der Mechanik
   2. Impulserhaltungssatz
   3. Drehimpulserhaltungssatz

Gravitations- und Kepler'sche Gesetze

1. Newtons Gravitationsgesetz
2. Die Kepler'schen Gesetze
3. Vertiefung des Begriffs der potentiellen Energie
4. Anwendungen
   1. Planeten und Satelliten
   2. Fluchtgeschwindigkeit

Strand und Wellen - Schwingungen und Wellenphänomene

Schwingungen verschiedener Pendelarten

1. Fadenpendel
2. Federpendel
3. Drehpendel (Torsionspendel)
4. Mathematik: Trigonometrie
5. Allgemeines zu Schwingungen
   1. Mathematische Beschreibung von Schwingungen
   2. Ausblick auf gedämpfte Schwingungen

Grundlegendes zu Wellen und Flüssigkeitsdynamik

1. Gekoppelte schwingungsfähige Systeme
2. Transversal- und Longitudinalwellen
3. Einige Tatsachen über Wasserwellen
4. Ausblick auf elektromagnetische und Wahrscheinlichkeitswellen
5. Statischer Druck und Staudruck

Fahrräder, Kreisel, Butterbrote - Dynamik starrer Körper

Vergleich von Verschiebungen und Drehungen

1. Wiederholung von Kreisbewegungen
2. Impuls und Drehimpuls
3. Kraft und Drehmoment
4. Masse und Trägheitsmoment
5. Rotationsenergie

Vertiefungen, Anwendungen und Ausblick

1. Der Kreisel
2. Impulserhaltung und Stoßprozesse
3. Massenverteilung in Galaxien
4. Raketengleichung
5. Mathematik: Differentialrechnung

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Einführung in die Physik

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