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Kurs:Elementare Algebra/2/Klausur/latex

Aus Wikiversity

%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}

%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 3 }

\renewcommand{\azwei}{ 3 }

\renewcommand{\adrei}{ 3 }

\renewcommand{\avier}{ 2 }

\renewcommand{\afuenf}{ 3 }

\renewcommand{\asechs}{ 2 }

\renewcommand{\asieben}{ 3 }

\renewcommand{\aacht}{ 4 }

\renewcommand{\aneun}{ 3 }

\renewcommand{\azehn}{ 3 }

\renewcommand{\aelf}{ 4 }

\renewcommand{\azwoelf}{ 6 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 4 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 7 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 5 }

\renewcommand{\asechzehn}{ 6 }

\renewcommand{\asiebzehn}{ 3 }

\renewcommand{\aachtzehn}{ 64 }

\renewcommand{\aneunzehn}{ }

\renewcommand{\azwanzig}{ }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabellesiebzehn

\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{0}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {Gruppe} {} $G$.

}{Ein \stichwort {Ring} {} $R$.

}{Die \stichwort {komplexe Konjugation} {.}

}{Der \stichwort {Polynomring} {} in einer Variablen $X$ über einem kommutativen Ring $R$.

}{Der \stichwort {algebraische Abschluss} {} zu einer Körpererweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ \subseteq }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}{Ein aus einer Teilmenge
\mathl{T \subseteq E}{} einer Ebene $E$ \stichwort {elementar konstruierbarer} {} Kreis $C$. }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der \stichwort {Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms} {} über einem Körper $K$.}{Der \stichwort {kleine Fermat} {.}}{Der Satz über das \stichwort {Delische Problem} {.}}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f }
{ \in }{ R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Charakterisiere mit Hilfe der Multiplikationsabbildung \maabbeledisp {\mu_f} {R} {R } {g} {fg } {,} wann $f$ ein \definitionsverweis {Nichtnullteiler}{}{} und wann $f$ eine \definitionsverweis {Einheit}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Führe in $\Z/(5)[X]$ die \definitionsverweis {Division mit Rest}{}{} \anfuehrung{$P$ durch $T$}{} für die beiden \definitionsverweis {Polynome}{}{} \mathkor {} {P=X^3+4X^2+3X+4} {und} {T=3X^2+2X+1} {} durch.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Beweise den Satz, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2 (1+1)}
{


a) Berechne den \definitionsverweis {größten gemeinsamen Teiler}{}{} der ganzen Zahlen \mathkor {} {2 \cdot 3^2 \cdot 7^4} {und} {2^4 \cdot 3^3 \cdot 5^{11} \cdot 7} {.}


b) Berechne den \definitionsverweis {größten gemeinsamen Teiler}{}{} der ganzen Zahlen \mathkor {} {2 \cdot 3^2 \cdot 6 \cdot 7} {und} {2^2 \cdot 3^3 \cdot 5^{4}} {.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Berechne
\mathl{17^{1000000}}{} in
\mathl{\Z/(35)}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Beweise das \stichwort {Lemma von Euklid} {} für einen Hauptidealbereich.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Zeige, dass der \definitionsverweis {Kern}{}{} eines \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {\varphi} {R} {S } {} ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} in $R$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3 (1+2)}
{

Das Polynom
\mathl{X^3-7X^2+3X-21}{} besitzt in $\R[X]$ die Zerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^3-7X^2+3X-21 }
{ =} { (X-7)(X^2+3) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} in irreduzible Faktoren und daher gilt die Isomorphie
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \R[X]/(X^3-7X^2+3X-21) }
{ \cong} { \R[X]/ (X-7) \times \R[X]/(X^2+3) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

a) Bestimme das Polynom kleinsten Grades, das rechts dem Element
\mathl{(1,0)}{} entspricht.


b) Bestimme das Polynom kleinsten Grades, das rechts dem Element
\mathl{(0,1)}{} entspricht.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p }
{ \in }{ \Z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Primzahl und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass der \definitionsverweis {Restklassenring}{}{} $\Z/(p^n)$ nur die beiden trivialen \definitionsverweis {idempotenten Elemente}{}{} \mathkor {} {0} {und} {1} {} besitzt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{6}
{

Es seien \mathkor {} {I} {und} {J} {} \definitionsverweis {Ideale}{}{} in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (I+J)^n }
{ =} { I^n + I^{n-1}J+ I^{n-2}J^2 + \cdots + I^2J^{n-2} + IJ^{n-1} +J^n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Bestimme sämtliche Teiler von $X$ im Ring $R=K[\Q_{\geq 0}]$, wobei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{7 (1+2+4)}
{


a) Zeige, dass
\mathl{X^2+1}{} \definitionsverweis {irreduzibel}{}{} in $\Q[X]$ ist.


b) Zeige, dass
\mathl{X^4+1}{} \definitionsverweis {irreduzibel}{}{} in $\Q[X]$ ist. \zusatzklammer {Tipp: In
\mathl{\R[X]}{} gilt die Zerlegung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X^4+1 }
{ = }{ { \left( X^2+ \sqrt{2} X+1 \right) } { \left( X^2- \sqrt{2} X+1 \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {.} {}


c) Bestimme die \definitionsverweis {Partialbruchzerlegung}{}{} von
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ { \left( X^2+1 \right) } { \left( X^4+1 \right) } } }} { }
in
\mathl{\Q(X)}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{5}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektor\-räume}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \dim_{ K } { \left( V \right) } }
{ = }{ n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \dim_{ K } { \left( W \right) } }
{ = }{ m }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Welche Dimension besitzt der \definitionsverweis {Produktraum}{}{} $V \times W$?

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{6}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ q }
{ \in }{\Q }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {rationale Zahl}{}{,} die in $\Q$ keine dritte Wurzel besitzt. Bestimme den \definitionsverweis {Zerfällungskörper}{}{} $L$ des Polynoms
\mathl{X^3 -q}{} über $\Q$. Welchen \definitionsverweis {Grad}{}{} besitzt er? Man gebe auch eine Realisierung des Zerfällungskörpers als Unterkörper von ${\mathbb C}$ an.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Zeige, dass es auf dem Einheitskreis unendlich viele \definitionsverweis {konstruierbare}{}{} Punkte gibt.

}
{} {}