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Kurs:Elementare Algebra/3/Klausur/latex

Aus Wikiversity

%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}


%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 3 }

\renewcommand{\azwei}{ 3 }

\renewcommand{\adrei}{ 2 }

\renewcommand{\avier}{ 5 }

\renewcommand{\afuenf}{ 4 }

\renewcommand{\asechs}{ 3 }

\renewcommand{\asieben}{ 2 }

\renewcommand{\aacht}{ 3 }

\renewcommand{\aneun}{ 2 }

\renewcommand{\azehn}{ 2 }

\renewcommand{\aelf}{ 3 }

\renewcommand{\azwoelf}{ 3 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 6 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 5 }

\renewcommand{\asechzehn}{ 8 }

\renewcommand{\asiebzehn}{ 5 }

\renewcommand{\aachtzehn}{ 2 }

\renewcommand{\aneunzehn}{ 64 }

\renewcommand{\azwanzig}{ }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabelleachtzehn


\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{0}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Die \stichwort {Ordnung} {} einer endlichen Gruppe $G$.

}{Der \stichwort {Binomialkoeffizient} {}
\mathl{\binom { n } { k }}{.}

}{Eine \stichwort {Körpererweiterung} {.}

}{Ein \stichwort {Hauptideal} {} in einem kommutativen Ring $R$.

}{Ein über einem Körper $K$ \stichwort {algebraisches} {} Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f }
{ \in }{ A }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} einer $K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{} $A$.

}{Eine \stichwort {Fermatsche Primzahl} {.} }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der \stichwort {Satz über die Lösbarkeit von Gleichungen} {} in einer Gruppe $G$.}{Das \stichwort {Lemma von Euklid} {} für einen Hauptidealbereich.}{Der \stichwort {Satz über endliche Körpererweiterungen von $\R$ } {.}}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} und $R[X]$ der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $R$. Zeige, dass die \definitionsverweis {Einheiten}{}{} von $R[X]$ genau die Einheiten von $R$ sind.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{5}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{} einen \definitionsverweis {Körper}{}{} bilden.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Finde im \definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{\Z/(2)[X]}{} ein \definitionsverweis {irreduzibles Polynom}{}{} vom \definitionsverweis {Grad}{}{} vier.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Zeige, dass im \definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{K[X,Y]}{} über einem Körper $K$ das \definitionsverweis {Ideal}{}{}
\mathl{(X,Y)}{} kein \definitionsverweis {Hauptideal}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Es seien \mathkor {} {G} {und} {H} {} \definitionsverweis {Gruppen}{}{} und sei \maabbdisp {\varphi} {G} {H } {} ein \definitionsverweis {Gruppenisomorphismus}{}{.} Zeige, dass auch die \definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{} \maabbeledisp {\varphi^{-1}} {H} { G } {h} {\varphi^{-1}(h) } {,} ein Gruppenisomorphismus ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache und den größten gemeinsamen Teiler der drei Zahlen
\mathdisp {3^4 \cdot 5^2,\, 2^4 \cdot 3^3 \cdot 5^1 \cdot 7^1,\, 2^5 \cdot 3^2 \cdot 5^2} { . }
Die Ergebnisse sollen ausgerechnet vorliegen.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Stifte einen \definitionsverweis {surjektiven}{}{} \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} von der \definitionsverweis {Gruppe}{}{} der komplexen Zahlen ohne null
\mathl{({\mathbb C} \setminus \{0\}, \cdot,1)}{} in die multiplikative Gruppe der positiven reellen Zahlen
\mathl{(\R_+,\cdot,1 )}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Zeige, dass es in der \definitionsverweis {Restklassengruppe}{}{}
\mathl{\Q/\Z}{} zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} Elemente gibt, deren \definitionsverweis {Ordnung}{}{} gleich $n$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Beweise den Homomorphiesatz für Ringe unter Bezug auf den Homomorphiesatz für Gruppen.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Bestimme in $\Q[X]/(X^3+4X^2-7)$ das \definitionsverweis {Inverse}{}{} von ${ \frac{ 1 }{ 3 } } x+5$ \zusatzklammer {$x$ bezeichnet die Restklasse von $X$} {} {.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Beweise den kleinen Satz von Fermat.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{6 (1+1+2+2)}
{

In dieser Aufgabe geht es um den Restklassenring $\Z/(360)$.

a) Schreibe $\Z/(360)$ als Produktring \zusatzklammer {im Sinne des chinesischen Restsatzes} {} {.}

b) Wie viele Einheiten besitzt $\Z/(360)$?

c) Schreibe das Element $239$ in komponentenweiser Darstellung. Begründe, warum es sich um eine Einheit handelt und finde das Inverse in komponentenweiser Darstellung.

d) Berechne die Ordnung von $239$ in $\Z/(360)$.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{5}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s_1 , \ldots , s_k }
{ \in }{ K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_1 , \ldots , v_n }
{ \in }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \sum_{i = 1}^k s_i \right) } \cdot { \left( \sum_{j = 1}^n v_j \right) } }
{ =} { \sum_{ 1 \leq i \leq k,\, 1 \leq j \leq n } s_i \cdot v_j }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{8}
{

Es sei
\mathl{x=\sqrt{2} + \sqrt{5} \in \R}{} und betrachte die Körpererweiterung
\mathdisp {\Q \subseteq \Q (x)= L} { . }
Zeige, dass diese Körpererweiterung algebraisch ist und bestimme den Grad der Körpererweiterung, das Minimalpolynom von $x$ und das Inverse von $x$. (Man darf dabei verwenden, dass
\mathl{\sqrt{2}, \sqrt{5}, \sqrt{10}}{} irrationale Zahlen sind.)

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{5}
{

Berechne die Schnittpunkte der beiden Kreise \mathkor {} {K_1} {und} {K_2} {,} wobei $K_1$ den Mittelpunkt
\mathl{(3,4)}{} und den Radius $6$ und $K_2$ den Mittelpunkt $(-8,1)$ und den Radius $7$ besitzt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z,w }
{ \in }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} konstruierbare Zahlen. Bestimme, ob die Zahl
\mathdisp {z^2 -3 z \sqrt{w} + \sqrt{z +w^2} - { \frac{ 5 }{ 7 } } +4 \sqrt{ \sqrt{z} + w } + \sqrt{11}} { }
konstruierbar ist.

}
{} {}