Kurs:Elementare Algebra/3/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 4 }
\renewcommand{\azwei}{ 4 }
\renewcommand{\adrei}{ 2 }
\renewcommand{\avier}{ 5 }
\renewcommand{\afuenf}{ 4 }
\renewcommand{\asechs}{ 3 }
\renewcommand{\asieben}{ 3 }
\renewcommand{\aacht}{ 2 }
\renewcommand{\aneun}{ 2 }
\renewcommand{\azehn}{ 3 }
\renewcommand{\aelf}{ 3 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 6 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 7 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 8 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 5 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 2 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 1 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 64 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesiebzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungacht{Die \stichwort {Ordnung} {} einer endlichen Gruppe $G$.
}{Der \stichwort {Binomialkoeffizient} {}
\mathl{\binom { n } { k }}{.}
}{Eine \stichwort {Untergruppe} {} $H$ in einer Gruppe $G$.
}{Eine \stichwort {Körpererweiterung} {.}
}{Ein
\stichwort {Primelement} {}
\mathl{p \in R, \, p \neq 0}{,} in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$.
}{Ein \stichwort {Hauptideal} {} in einem kommutativen Ring $R$.
}{Ein über einem Körper $K$ \stichwort {algebraisches} {} Element $f \in A$ einer $K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{} $A$.
}{Eine \stichwort {Fermatsche Primzahl} {.} }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Formuliere die folgenden Sätze.
\aufzaehlungvier{Der
\stichwort {Satz über die Lösbarkeit von Gleichungen} {}
in einer Gruppe $G$.}{Das
\stichwort {Lemma von Euklid} {}
für einen Hauptidealbereich.}{Das
\stichwort {Irreduzibilitätskriterium} {}
für Polynome
\mathl{P \in K[X]}{} von kleinem Grad über einem Körper.}{Der
\stichwort {Satz über endliche Körpererweiterungen von $\R$ } {.}}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} und $R[X]$ der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $R$. Zeige, dass die \definitionsverweis {Einheiten}{}{} von $R[X]$ genau die Einheiten von $R$ sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5 (2+2+1)}
{
Es seien $a,b \geq 2$ und sei $n=ab$.
a) Zeige, dass die beiden Polynome $X^a-1$ und $X^b-1$ Teiler des Polynoms $X^n-1$ sind.
b) Es sei $a \neq b$. Ist $(X^a-1)(X^b-1)$ stets ein Teiler von $X^n-1$?
c) Man gebe drei Primfaktoren von $2^{30} -1$ an.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Finde im
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{\Z/(2)[X]}{} ein
\definitionsverweis {irreduzibles Polynom}{}{}
vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
vier.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Zeige, dass im
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{K[X,Y]}{} über einem Körper $K$ das
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
\mathl{(X,Y)}{} kein
\definitionsverweis {Hauptideal}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} mit $p$ Elementen, wobei $p$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{} sei. Zeige, dass $R$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Stifte einen
\definitionsverweis {surjektiven}{}{}
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
von der
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
der komplexen Zahlen ohne null
\mathl{({\mathbb C} \setminus \{0\}, \cdot,1)}{} in die multiplikative Gruppe der positiven reellen Zahlen
\mathl{(\R_+,\cdot,1 )}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Zeige, dass es in der
\definitionsverweis {Restklassengruppe}{}{}
\mathl{\Q/\Z}{} zu jedem
\mathl{n \in \N_+}{} Elemente gibt, deren
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
gleich $n$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme in $\Q[X]/(X^3+4X^2-7)$ das \definitionsverweis {Inverse}{}{} von ${ \frac{ 1 }{ 3 } } x+5$ \zusatzklammer {$x$ bezeichnet die Restklasse von $X$} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Beweise den kleinen Satz von Fermat.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6 (1+1+2+2)}
{
In dieser Aufgabe geht es um den Restklassenring $\Z/(360)$.
a) Schreibe $\Z/(360)$ als Produktring
\zusatzklammer {im Sinne des chinesischen Restsatzes} {} {.}
b) Wie viele Einheiten besitzt $\Z/(360)$?
c) Schreibe das Element $239$ in komponentenweiser Darstellung. Begründe, warum es sich um eine Einheit handelt und finde das Inverse in komponentenweiser Darstellung.
d) Berechne die Ordnung von $239$ in $\Z/(360)$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7 (1+1+5)}
{
a) Zeige, dass
\mathl{X^2+2}{}
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
in $\Z/(5) [X]$ ist.
b) Zeige, dass
\mathl{X^3+X+1}{}
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
in $\Z/(5) [X]$ ist.
c) Bestimme die
\definitionsverweis {Partialbruchzerlegung}{}{}
von
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ { \left( X^2+2 \right) } { \left( X^3+X +1 \right) } } }} { }
in
\mathl{\Z/(5) (X)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{8}
{
Es sei
\mathl{x=\sqrt{2} + \sqrt{5} \in \R}{} und betrachte die Körpererweiterung
\mathdisp {\Q \subseteq \Q (x)= L} { . }
Zeige, dass diese Körpererweiterung algebraisch ist und bestimme den Grad der Körpererweiterung, das Minimalpolynom
von $x$ und das Inverse von $x$.
(Man darf dabei verwenden, dass
\mathl{\sqrt{2}, \sqrt{5}, \sqrt{10}}{} irrationale Zahlen sind.)
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Berechne die Schnittpunkte der beiden Kreise
\mathkor {} {K_1} {und} {K_2} {,}
wobei $K_1$ den Mittelpunkt
\mathl{(3,4)}{} und den Radius $6$ und $K_2$ den Mittelpunkt $(-8,1)$ und den Radius $7$ besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es seien
\mathl{z,w \in {\mathbb C}}{} konstruierbare Zahlen. Bestimme, ob die Zahl
\mathdisp {z^2 -3 z \sqrt{w} + \sqrt{z +w^2} - { \frac{ 5 }{ 7 } } +4 \sqrt{ \sqrt{z} + w } + \sqrt{11}} { }
konstruierbar ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Finde die primitiven Einheitswurzeln in
\mathl{\Z/(5)}{.}
}
{} {}