Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Information/Inhalt

Innerhalb der glatten projektiven Kurven nehmen die elliptischen Kurven eine zentrale Position ein, man kann sie als diejenigen projektiven Kurven charakterisieren, auf denen es eine Gruppenstruktur gibt. Neben den algebraisch-geometrischen Eigenschaften einer elliptischen Kurve sind insbesondere auch ihre arithmetischen Eigenschaften interessant. Es gibt eine Vielzahl von Problemen aus der Zahlentheorie, die man in Fragen über elliptische Kurven übersetzen und damit lösen kann. Das prominenteste Beispiel ist die Lösung des großen Fermat über die Modularitätseigenschaft von elliptischen Kurven über ${}\mathbb {Q}$ durch Andrew Wiles. Ein weiteres Beispiel ist das Problem der kongruenten Zahlen. Dieser enge Zusammenhang hat sich auch darin niedergeschlagen, dass die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer über den Rang von elliptischen Kurven in die Liste der sogenannten Milleniums-Probleme aufgenommen wurde.