Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Liste der Hauptsätze

???: Charakterisierung von Glattheit einer Kurve

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}F\in K[X,Y]$ ein von ${}0$ verschiedenes Polynom mit der zugehörigen Kurve ${}C=V(F)$. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.

1. ${}C$ ist eine glatte Kurve.
2. Jeder Punkt ${}P\in C_{\overline {K}}\subseteq {\mathbb {A} }_{\overline {K}}^{2}$ ist glatt, wobei ${}{\overline {K}}$ einen algebraischen Abschluss von ${}K$ bezeichnet.
3. Die Polynome ${}F,{\frac {\partial F}{\partial X}},{\frac {\partial F}{\partial Y}}$ erzeugen in ${}{\overline {K}}[X,Y]$ das Einheitsideal.
4. Die Polynome ${}F,{\frac {\partial F}{\partial X}},{\frac {\partial F}{\partial Y}}$ erzeugen in ${}K[X,Y]$ das Einheitsideal.

 

???: Ring an einem glatten Punkt einer Kurve

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}F\in K[X,Y]$ ein Polynom ${}\neq 0$ ohne mehrfache Faktoren und sei ${}P\in C=V(F)$ ein glatter Punkt der Kurve. Es sei ${}R$ der lokale Ring der Kurve im Punkt ${}P$.

Dann ist ${}R$ ein diskreter Bewertungsring.

 

???: Affine Überdeckung des projektiven Raumes

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}{\mathbb {P} }_{K}^{n}$ ein projektiver Raum. Es sei ${}i\in \{0,1,\ldots ,n\}$ fixiert.

Dann gibt es eine natürliche Abbildung

$\varphi _{i}\colon {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{n},\,(u_{1},\ldots ,u_{n})\longmapsto (u_{1},\ldots ,u_{i},1,u_{i+1},\ldots ,u_{n}).$

Diese Abbildung ist injektiv und induziert eine Bijektion zu denjenigen Punkten des projektiven Raumes, bei denen die ${}i$-te homogene Koordinate nicht ${}0$ ist. Die Umkehrabbildung wird durch

${\mathbb {P} }_{K}^{n}\supset D_{+}(X_{i}):={\left\{(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})\mid x_{i}\neq 0\right\}}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}},\,(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto {\left({\frac {x_{0}}{x_{i}}},{\frac {x_{1}}{x_{i}}},\ldots ,{\frac {x_{i-1}}{x_{i}}},{\frac {x_{i+1}}{x_{i}}},\ldots ,{\frac {x_{n}}{x_{i}}}\right)},$

gegeben.

Der projektive Raum wird überdeckt von diesen ${}n+1$ affinen Räumen. Das Komplement eines solchen affinen Raumes ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\cong D_{+}(X_{i})\subset {\mathbb {P} }_{K}^{n}$ ist ein ${}(n-1)$-dimensionaler projektiver Raum.

 

???: Verschwinden von homogenen Polynomen

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}F\in K[X_{0},\ldots ,X_{n}]$ ein homogenes Polynom vom Grad ${}d$.

Dann gilt für einen Punkt ${}\left(x_{0},\,\ldots ,\,x_{n}\right)$ und einen Skalar ${}\lambda$ die Beziehung

${}F\left(\lambda x_{0},\,\ldots ,\,\lambda x_{n}\right)=\lambda ^{d}F\left(x_{0},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\,.$

Insbesondere verschwindet ${}F$ in ${}\left(x_{0},\,\ldots ,\,x_{n}\right)$ genau dann, wenn ${}F$ für ein beliebiges ${}\lambda \neq 0$ in ${}\lambda \left(x_{0},\,\ldots ,\,x_{n}\right)$ verschwindet.

 

???: Wendepunkt auf kubischer Kurve

Es sei ${}V_{+}(F)\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ eine glatte projektive Kurve von Grad ${}3$ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$ der Charakteristik ${}\neq 2,3$.

Dann besitzt die Kurve zumindest einen Wendepunkt.

 

???: Gruppenstruktur auf elliptischer Kurve

Es sei ${}E=V_{+}(F)\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ eine elliptische Kurve über einem Körper ${}K$ und sei ${}{\mathfrak {O}}\in E$ ein fixierter ${}K$- Wendepunkt der Kurve.

Dann bildet die Menge der ${}K$-Punkte von ${}E$ mit der Addition eine kommutative Gruppe mit ${}{\mathfrak {O}}$ als neutralem Element.

 

???: Formeln für Addition auf elliptischer Kurve

Es sei ${}E$ eine elliptische Kurve über einem Körper ${}K$ mit kurzer Weierstraßgleichung ${}y^{2}=x^{3}+ax+b$. Es sei der unendlich ferne Punkt ${}{\mathfrak {O}}=(0,1,0)$ als neutrales Element festgelegt.

Dann ist die Negation auf ${}E$ durch

${}-(x,y)=(x,-y)\,$

und die Addition auf ${}E$ durch die rationalen Ausdrücke

$(x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})=\left(\alpha ^{2}-x_{1}-x_{2},\,-\alpha ^{3}+\alpha (x_{1}+x_{2})-\beta \right)\,$

mit

${}\alpha ={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {x_{1}^{2}+x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}+a}{y_{2}+y_{1}}}\,$

und

${}\beta =y_{1}-\alpha x_{1}={\frac {x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}}\,$

gegeben.

 

???: Quotient zu einem komplexen Gitter

Zu einem Gitter ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$

ist der Quotientenraum ${}{\mathbb {C} }/\Gamma$ in natürlicher Weise eine eindimensionale kompakte kommutative komplexe Lie-Gruppe.

 

???: Erzeuger der speziellen linearen Gruppe

Die spezielle lineare Gruppe ${}\operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}$

wird von den beiden Matrizen ${}S={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}$ und ${}T={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}$ erzeugt.

 

???: Repräsentant eines Gitters

Jedes Gitter in ${}{\mathbb {C} }$

ist streckungsäquivalent zu einem Gitter der Form ${}\mathbb {Z} +\mathbb {Z} u$ mit ${}u\in {\mathbb {H} }$.

 

???: Streckungsäquivalente Gitter und komplexe Tori.

Es seien ${}\Gamma _{1},\Gamma _{2}\subseteq {\mathbb {C} }$ Gitter.

Dann sind ${}\Gamma _{1}$ und ${}\Gamma _{2}$ genau dann zueinander streckungsäquivalent, wenn ${}{\mathbb {C} }/\Gamma _{1}$ und ${}{\mathbb {C} }/\Gamma _{2}$ als komplexe Lie-Gruppen isomorph sind.

 

???: Der Körper der elliptischen Funktionen

Es sei ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter.

Dann besitzt der Körper der elliptischen Funktionen die Beschreibung

${}{\mathbb {C} }(\wp ,\wp ')={\mathbb {C} }(\wp )[\wp ']/(\wp '^{2}-g(\wp ))\,$

mit dem kubischen Polynom

${}g(\wp )=4\wp ^{3}-60G_{4}(\Gamma )\wp -140G_{6}(\Gamma )=4\wp ^{3}-g_{2}\wp -g_{3}\,$

in der Weierstraßschen ${}\wp$-Funktion, wobei ${}G_{4}(\Gamma )$ und ${}G_{6}(\Gamma )$ die Werte der Eisensteinreihen für ${}\Gamma$ bezeichnen.

 

???: Komplexer Torus und elliptische Kurve

Es sei ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter.

Dann ist die holomorphe Abbildung

$\varphi \colon {\mathbb {C} }/\Gamma \longrightarrow V_{+}(F)\subseteq {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}$

aus Satz 12.13 ein Gruppenisomorphismus, wenn man für die kubische Kurve ${}V_{+}(F)$ den Punkt ${}(0,1,0)$ als Nullpunkt nimmt.

 

???: Morphismen zwischen projektiver Gerade und elliptischer Kurve

Es sei ${}E$ eine elliptische Kurve über einem Körper ${}K$.

Dann ist jeder Morphismus

${\mathbb {P} }_{K}^{1}\longrightarrow E$

konstant.

 

???: Grad der Multiplikationsabbildung auf einer elliptischen Kurve

Es sei ${}E$ eine elliptische Kurve über einem Körper ${}K$ und ${}m\in \mathbb {N} _{+}$.

Dann ist der Grad der Multiplikationsabbildung

$[m]\colon E\longrightarrow E,\,P\longmapsto mP,$

gleich ${}m^{2}$.

 

???: Grad eines Hauptdivisors

Es sei ${}C$ eine glatte projektive Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$.

Dann ist der Grad eines Hauptdivisors gleich ${}0$.

 

???: Divisorenklassengruppe einer elliptischen Kurve

Es sei ${}E$ eine elliptische Kurve über dem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$ mit dem Nullpunkt ${}{\mathfrak {O}}\in E$.

Dann ist die Abbildung

$E\longrightarrow \operatorname {DKG} _{0}{\left(E\right)},\,P\longmapsto P-{\mathfrak {O}},$

ein Gruppenisomorphismus.

 

???: Rückzug von Differentialformen

Es sei ${}E$ eine elliptische Kurve über einem Körper ${}K$ und sei ${}\omega$ eine Differentialform auf ${}E$. Es seien

$\varphi _{1},\varphi _{2}\colon E\longrightarrow E$

Morphismen auf ${}E$.

Dann gilt für den Rückzug die Gleichheit ${}(\varphi _{1}+\varphi _{2})^{*}\omega =\varphi _{1}^{*}\omega +\varphi _{2}^{*}\omega$.

 

???: Torsionsgruppe der Ordnung n einer elliptischen Kurve

Es sei ${}E$ eine elliptische Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$. Es sei ${}n$ teilerfremd zur Charakteristik von ${}K$.

Dann gilt für die Torsionsuntergruppen zur Ordnung ${}n$ die Isomorphie

${}\operatorname {Tor} _{n}{\left(E(K)\right)}\cong \mathbb {Z} /(n)\times \mathbb {Z} /(n)\,.$

Ohne die Voraussetzung der Teilerfremdheit gilt

${}{\#\left(\operatorname {Tor} _{n}{\left(E(K)\right)}\right)}\leq n^{2}\,.$

 

???: Der schwache Satz von Mordell-Weil

Es sei ${}E$ eine elliptische Kurve ${}E$ über einem Zahlkörper ${}K$.

Dann ist ${}E(K)/2E(K)$ endlich.

 

???: Der Schrankensatz für die Höhe

Zu jeder vorgegebenen Gradschranke ${}d\in \mathbb {N} _{+}$ und jeder Höhenschranke ${}S\in \mathbb {R} _{+}$

ist die Menge

${\left\{P\in {\mathbb {P} }_{}^{1}({\overline {\mathbb {Q} }})\mid P{\text{ besitzt Koordinaten in }}K{\text{ und }}\operatorname {grad} _{\mathbb {Q} }K\leq d{\text{ und }}H(P)\leq S\right\}}$

endlich.

 

???: Der Satz von Mordell-Weil

Es sei ${}E$ eine elliptische Kurve über einem Zahlkörper ${}K$.

Dann ist ${}E(K)$ endlich erzeugt.

 

???: Satz von Faltings

Es sei ${}C$ eine projektive glatte Kurve vom Geschlecht ${}g(C)\geq 2$ über einem Zahlkörper ${}K$.

Dann ist die Menge der ${}K$-rationalen Punkte ${}K(C)$ endlich.

 

???: Hasse-Schranke für elliptische Kurven

Es sei ${}E$ eine elliptische Kurve über einem endlichen Körper mit ${}q$ Elementen.

Dann ist

${}\vert {{\#\left(E(K)\right)}-q-1}\vert \leq 2{\sqrt {q}}\,.$

 

???: Beschreibung der Zetafunktion einer elliptischen Kurve

Es sei ${}E$ eine elliptische Kurve über dem endlichen Körper ${}{\mathbb {F} }_{q}$ mit ${}N_{1}={\#\left(E({\mathbb {F} }_{q})\right)}$.

Dann gilt für die Zeta-Funktion

${}Z(E;t)={\frac {1+(N_{1}-q-1)t+qt^{2}}{(1-t)(1-qt)}}\,.$

 

???: Rangcharakterisierung kongruenter Zahlen

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ und sei ${}E$ die durch ${}y^{2}=x^{3}-n^{2}x$ gegebene elliptische Kurve über ${}\mathbb {Q}$.

Dann ist ${}n$ genau dann eine kongruente Zahl, wenn der Rang von ${}E(\mathbb {Q} )$ zumindest ${}1$ ist.

 

???: Modularitätssatz

Es sei ${}E$ eine elliptische Kurve über ${}\mathbb {Q}$ und sei

${}L(E,s)=\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}a_{n}n^{-s}\,$

die zugehörige ${}L$- Reihe.

Dann gibt es eine natürliche Zahl ${}N$ derart, dass die Funktion

${}g(z):=\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}a_{n}e^{2\pi {\mathrm {i} }nz}\,$

eine Modulform bezüglich ${}\Gamma _{0}(N)$ vom Gewicht ${}2$ ist.

Das bedeutet, dass ${}g$ die funktionale Identität

${}g(Mz)=(cz+d)^{2}g(z)\,$

für jedes ${}M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \Gamma _{0}(N)$ erfüllt.

 

???: Satz von Wiles (Großer Fermat)

Die diophantische Gleichung

${}x^{n}+x^{n}=z^{n}\,$

besitzt für kein ${}n\geq 3$ eine ganzzahlige nichttriviale Lösung.