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Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 4/latex

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\setcounter{section}{4}






\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial z }{ \partial \overline{ z } } } }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial \overline{ z } }{ \partial \overline{ z } } } }
{ = }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{} eines \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} \definitionsverweis {reellen Vektorraumes}{}{} und es seien \maabbdisp {f,g} {U} { \Complex } {} in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ U }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \zusatzklammer {reell} {} {} \definitionsverweis {total differenzierbare}{}{} Abbildungen. Zeige, dass dann auch die Produktfunktion
\mathl{fg}{} \zusatzklammer {Multiplikation in $\Complex$} {} {} total differenzierbar ist, und dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left(Dfg\right)_{P} }
{ =} { f(P) \left(Dg\right)_{P} + g(P) \left(Df\right)_{P} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{} eines \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} \definitionsverweis {reellen Vektorraumes}{}{} $V$ und es seien \maabbdisp {f,g} {U} { \Complex } {} in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ U }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \zusatzklammer {reell} {} {} \definitionsverweis {total differenzierbare}{}{} Abbildungen, wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g(P) }
{ \neq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sei. Zeige, dass dann auch die Quotientenfunktion
\mathl{f/g}{} \zusatzklammer {Division in $\Complex$} {} {} total differenzierbar ist, und dass dabei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left(D { \frac{ f }{ g } } \right)_{P} }
{ =} { { \frac{ g(P) \left(Df\right)_{P} - f(P) \left(Dg\right)_{P} }{ g(P)^2 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {offen}{}{} und seien \maabb {f,g} {G} {{\mathbb C} } {} reell \definitionsverweis {total differenzierbare}{}{} Abbildungen. Zeige, dass die \definitionsverweis {holomorphe Ableitung}{}{} die Quotientenregel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial { \frac{ f }{ g } } }{ \partial z } } }
{ =} { { \frac{ g { \frac{ \partial f }{ \partial z } } - f { \frac{ \partial g }{ \partial z } } }{ g^2 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} auf dem nullstellenfreien Ort zu $g$ erfüllt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {offen}{}{} und seien \maabb {f} {G} {{\mathbb C} } {} eine reell \definitionsverweis {total differenzierbare}{}{} Abbildung und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c }
{ \in }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial ( cf ) }{ \partial \overline{ z } } } }
{ =} { c { \frac{ \partial f }{ \partial \overline{ z } } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {offen}{}{} und seien \maabb {f,g} {G} {{\mathbb C} } {} reell \definitionsverweis {total differenzierbare}{}{} Abbildungen. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial ( f +g) }{ \partial \overline{ z } } } }
{ =} { { \frac{ \partial f }{ \partial \overline{ z } } } +{ \frac{ \partial g }{ \partial \overline{ z } } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {offen}{}{} und seien \maabb {f,g} {G} {{\mathbb C} } {} reell \definitionsverweis {total differenzierbare}{}{} Abbildungen. Zeige, dass die \definitionsverweis {antiholomorphe Ableitung}{}{} ${ \frac{ \partial }{ \partial \overline{ z } } }$ die Produktregel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial (f g) }{ \partial \overline{ z } } } }
{ =} { f { \frac{ \partial g }{ \partial \overline{ z } } } + g { \frac{ \partial f }{ \partial \overline{ z } } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} erfüllt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die Ableitungen \mathkor {} {{ \frac{ \partial }{ \partial z } }} {und} {{ \frac{ \partial }{ \partial \overline{ z } } }} {} von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(z) }
{ = }{ z^a \overline{ z }^b }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die Ableitung
\mathl{{ \frac{ \partial }{ \partial \overline{ z } } }}{} von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(z) }
{ =} { \overline{ z }^3+5 z^2 \overline{ z }^2 -3 z^2 \overline{ z } + z \overline{ z }^2 +2 z \overline{ z } +4 z +3 \overline{ z } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Berechne
\mathl{{ \frac{ \partial }{ \partial \overline{ z } } }}{} von
\mathl{\arctan { \left( z \overline{ z } \right) }}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Skizziere das Bild von einigen kartesischen \zusatzklammer {horizontalen und vertikalen} {} {} Koordinatenlinien unter der \definitionsverweis {komplexen Exponentialfunktion}{}{} \maabbeledisp {} { {\mathbb C} } { {\mathbb C} } {z} { \exp z } {.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {offen}{}{,} \maabbdisp {f} {U} { {\mathbb C} } {} \definitionsverweis {komplex differenzierbar}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ U }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Punkt mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f'(P) }
{ \neq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es seien \maabbdisp {\gamma_1, \gamma_2} {[- \epsilon, \epsilon] } { U } {} \definitionsverweis {differenzierbare Kurven}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma_1(0) }
{ = }{ \gamma_2(0) }
{ = }{ P }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma'_1(0) , \gamma'_2(0) }
{ \neq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{}
} {}{}{.} Zeige, dass der Winkel zwischen \mathkor {} {\gamma'_1(0)} {und} {\gamma'_2(0)} {} mit dem Winkel zwischen \mathkor {} {(f \circ \gamma_1)'(0)} {und} {(f \circ \gamma_2)'(0)} {} übereinstimmt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(z) }
{ = }{ z^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \geq }{ 2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} und seien \maabbdisp {\gamma_1, \gamma_2} {[- \epsilon, \epsilon] } { {\mathbb C} } {} \definitionsverweis {differenzierbare Kurven}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma_1(0) }
{ = }{ \gamma_2(0) }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma'_1(0) , \gamma'_2(0) }
{ \neq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{}
} {}{}{.} Zeige, dass der Winkel zwischen \mathkor {} {\gamma'_1(0)} {und} {\gamma'_2(0)} {} nicht mit dem Winkel zwischen \mathkor {} {(f \circ \gamma_1)'(0)} {und} {(f \circ \gamma_2)'(0)} {} übereinstimmt. Gibt es eine Regelmäßigkeit, wie sich die Winkel zueinander verhalten?

}
{} {}


Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{.} Eine Abbildung \maabbdisp {f} {G} { {\mathbb C} } {} heißt \definitionswort {antiholomorph}{,} wenn
\mathl{\overline{ f }}{} \definitionsverweis {holomorph}{}{} ist.





\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{} und es sei \maabbdisp {f} {G} { {\mathbb C} } {} eine reell \definitionsverweis {total differenzierbare}{}{} Abbildung. Zeige, dass $f$ genau dann \definitionsverweis {antiholomorph}{}{} ist, wenn das \definitionsverweis {totale Differential}{}{} ${\mathbb C}$-\definitionsverweis {antilinear}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{} und es sei \maabbdisp {f} {G} { {\mathbb C} } {} eine reell \definitionsverweis {total differenzierbare}{}{} Abbildung. Zeige, dass $f$ genau dann \definitionsverweis {antiholomorph}{}{} ist, wenn für die \definitionsverweis {holomorphe Ableitung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial f }{ \partial z } } }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{} und es sei \maabbdisp {f} {G} { {\mathbb C} } {} eine \definitionsverweis {antiholomorphe Funktion}{}{} mit nirgends verschwindender \zusatzklammer {reeller} {} {} \definitionsverweis {Jacobimatrix}{}{.} Zeige, dass $f$ in jedem Punkt \definitionsverweis {winkeltreu}{}{} ist \zusatzklammer {also dass die Jacobimatrix in jedem Punkt winkeltreu ist} {} {.}

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{1}
{

Bestimme die Ableitung
\mathl{{ \frac{ \partial }{ \partial \overline{ z } } }}{} von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(z) }
{ =} { \overline{ z }^4-6 z^3 \overline{ z }^3 -4 z^2 \overline{ z }^3 + 5 { \mathrm i} z \overline{ z }^2 +3 z \overline{ z } +4 z + { \left( 2+5 { \mathrm i} \right) } \overline{ z } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {offen}{}{} und seien \maabb {f,g} {G} {{\mathbb C} } {} reell \definitionsverweis {total differenzierbare}{}{} Abbildungen. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial { \frac{ f }{ g } } }{ \partial \overline{ z } } } }
{ =} { { \frac{ g { \frac{ \partial f }{ \partial \overline{ z } } } - f { \frac{ \partial g }{ \partial \overline{ z } } } }{ g^2 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} auf dem nullstellenfreien Ort zu $g$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3 (1+1+1)}
{

Bestimme für die folgenden Funktionen von $\Complex$ nach $\Complex$, ob dazu die \definitionsverweis {holomorphe}{}{} bzw. die \definitionsverweis {antiholomorphe Ableitung}{}{} existieren und bestimme sie gegebenenfalls. \aufzaehlungdrei{ $\operatorname{Re} \, { \left( z \right) }$, }{ $\betrag { z }$, }{ $\betrag { z }^2$. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Gebiet}{}{} und es sei \maabbdisp {f} {G} { {\mathbb C} } {} eine reell \definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{} Abbildung mit der Eigenschaft, dass das \definitionsverweis {totale Differential}{}{} zu $f$ in jedem Punkt \definitionsverweis {winkeltreu}{}{} \zusatzklammer {und insbesondere invertierbar} {} {} ist. Zeige, dass $f$ entweder \definitionsverweis {holomorph}{}{} oder \definitionsverweis {antiholomorph}{}{} ist.

}
{} {}