Abhängigkeit der Lösung von Anfangswerten

Wir betrachten nun zwei Anfangswertaufgaben, die sich nur in den Anfangswerten unterscheiden, ${\begin{aligned}y'=f(t,y),&\quad &y'=f(t,y),\\y(t_{0})=y_{0},&\quad &y(t_{0})=z_{0}.\end{aligned}}$

Sei die Funktion ${\textstyle f}$ auf der rechten Seite Lipschitz stetig. Wir bezeichnen die entsprechende Lösungen dieser zwei Aufgaben in Abhängigkeit von den Anfangswerten als ${\textstyle y(t;y_{0}),\ z(t;z_{0})}$ . Nun schätzen wir die ${\textstyle \mathbb {R} ^{m}}$ -Norm , ${\textstyle m\geq 1}$ , des Unterschiedes dieser zwei Lösungen mithilfe der Gleichung (2.1), der Dreiecksungleichung der Norm, der Lipschitz-Stetigkeit von ${\textstyle f}$ und des Lemmas 2.1 ab, ${\begin{aligned}\|y(t;y_{0})-z(t;z_{0})\|_{\mathbb {R} ^{m}}&=&\left\|y_{0}+\int _{t_{0}}^{t}f(s,y(s))ds-z_{0}-\int _{t_{0}}^{t}f(s,z(s))ds\right\|_{\mathbb {R} ^{m}}\qquad \\&\leq &\|y_{0}-z_{0}\|_{\mathbb {R} ^{m}}+\left\|\int _{t_{0}}^{t}f(s,y(s))ds-\int _{t_{0}}^{t}f(s,z(s))ds\right\|_{\mathbb {R} ^{m}}\\&\leq &\|y_{0}-z_{0}\|_{\mathbb {R} ^{m}}+L\int _{t_{0}}^{t}\|y(s)-z(s)\|_{\mathbb {R} ^{m}}ds.\qquad \qquad \qquad \end{aligned}}$

Nun benutzen wir das folgende bekannte Lemma

Lemma 2.2 (Gronwall)

Sei ${\textstyle \phi :I\to \mathbb {R} }$ stetig und es gelte für jedes ${\textstyle \alpha ,\beta \geq 0}$ , dass $0\leq \phi (t)\leq \alpha +\beta \int _{t_{0}}^{t}\phi (s)ds\quad \forall t\geq 0.$ Dann ist $\phi (t)\leq \alpha e^{\beta (t-t_{0})}\quad \forall t\in I.$

Beweis.

Für den Beweis siehe L. Grüne, O. Junge, Gewöhnliche Differentialgleichungen. Eine Verallgemeinerung findet sich z.B. in L.C. Evans, Partial Differential Equations, Appendix B.j, B.k. ◻

Nun bezeichnen wir in obiger Abschätzung ${\textstyle \phi (s):=\|y(s)-z(s)\|_{\mathbb {R} ^{m}}}$ , ${\textstyle \alpha :=\|y_{0}-z_{0}\|_{\mathbb {R} ^{m}}}$ und ${\textstyle \beta :=L}$ . Mit Anwendung des Gronwall Lemmas erhalten wir schließlich die Abschätzung $\|y(t;y_{0})-z(t;z_{0})\|_{\mathbb {R} ^{m}}\leq \|y_{0}-z_{0}\|_{\mathbb {R} ^{m}}e^{L(t-t_{0})}\leq \|y_{0}-z_{0}\|_{\mathbb {R} ^{m}}e^{L(T-t_{0})}.$

Diese Abschäzung heißt auch stetige Abhängigkeit der Lösung von den Anfangsdaten und es folgt die Eindeutigkeit für ${\textstyle y_{0}=z_{0}.}$