Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/100/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	${}\sum$
Punkte	0	2	3	0	0	0	6	0	1	1	3	0	0	7	0	0	0	3	0	0	26

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (2 Punkte)

Haben Sie schon einmal in einer Zeitung einen Ausdruck der Form ${}2,{\overline {17}}$ (Periodenüberstrich) oder ${}2,17171717...$ gesehen? Warum nicht? Welche Kommazahlen kommen in der Zeitung (in einer Anleitung, bei einer Messung, in einer technischen Beschreibung) vor?

Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)

Bei einer Fußballweltmeisterschaft werden in der Runde der letzten vier die Plätze ${}1,2,3,4$ nach folgendem Modus bestimmt: Es gibt zwei Halbfinals, deren Gewinner das Finale und deren Verlierer das Spiel um Platz ${}3$ bestreiten. Von einer solchen Runde seien die Mannschaften ${}A,B,C,D$ und die Ergebnisse der insgesamt vier Spiele bekannt, aber nicht die Rolle der Spiele.

1. Welche Information über die Platzierung kann man stets aus den Daten erschließen?
2. Unter welcher Bedingung kann man die Rolle aller Spiele erschließen,
3. unter welcher nicht?

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (6 (1+2+3) Punkte)

Die Bernoullische Ungleichung

${}(1+x)^{n}\geq 1+nx\,$

gilt für reelle Zahlen

${}x\geq -1\,$

und natürliche Exponenten  ${}n\in \mathbb {N}$. 

1. Zeige, dass die Bernoullische Ungleichung für den Exponenten  ${}n=2$  für alle ${}x$ gilt.
2. Zeige durch ein Beispiel, dass die Bernoullische Ungleichung für den Exponenten  ${}n=3$  nicht für alle ${}x$ gilt.
3. Zeige, dass die Bernoullische Ungleichung für den Exponenten  ${}n=4$  für alle ${}x$ gilt.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (1 Punkt)

Es sei ${}G$ eine Gruppe. Es seien  ${}x,y\in G$  Elemente mit

${}x\cdot y=1\,$

Zeige, dass ${}y$ das Inverse von ${}x$ ist.

Aufgabe * (1 Punkt)

Es sei ${}{\left(G,\cdot ,1\right)}$ eine Gruppe. Es seien  ${}a,b,c\in G$  Elemente mit

${}a\cdot b\cdot c=1\,.$

1. Was ist das Inverse von ${}a$?
2. Was ist das Inverse von ${}a\cdot b$?
3. Was ist das Inverse von ${}c$?
4. Was ist das Inverse von ${}a\cdot b\cdot c$?

Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)

Es sei ${}{\left(G,\cdot ,1\right)}$ eine Gruppe. Es seien  ${}a,b,c\in G$  Elemente mit

${}a\cdot b\cdot c=1\,.$

1. Zeige, dass das Inverse von ${}b$ gleich ${}c\cdot a$ ist.
2. Zeige, dass das Inverse von ${}b$ im Allgemeinen nicht gleich ${}a\cdot c$ ist.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (7 (2+1+2+2) Punkte)

Zeige, dass für natürliche Zahlen ${}a,b,g$ folgende Aussagen gelten.

1. Für teilerfremde ${}a,b$ ist

   ${}\operatorname {kgV} \,(a,b)=ab\,.$

2. Es gibt  ${}c,d\in \mathbb {Z}$  mit

   $a=c\cdot \operatorname {ggT} \,(a,b)\,\,{\text{ und }}\,\,b=d\cdot \operatorname {ggT} \,(a,b),$

   wobei ${}c,d$ teilerfremd sind.

3. Es ist

   ${}\operatorname {kgV} \,(ga,gb)=g\cdot \operatorname {kgV} \,(a,b)\,.$

4. Es ist

   ${}\operatorname {ggT} \,(a,b)\cdot \operatorname {kgV} \,(a,b)=ab\,.$

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (3 Punkte)

„Eine neue Abstraktionsstufe ist immer auch eine neue Reflexionsstufe“. Äußern Sie sich zu dieser Behauptung!

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)