Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/11/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	${}\sum$
Punkte	3	3	2	8	3	1	2	4	3	2	2	4	5	4	4	2	2	2	4	4	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine bijektive Abbildung

   $f\colon M\longrightarrow N.$

2. Eine lineare (oder totale) Ordnung ${}\preccurlyeq$ auf einer Menge ${}I$.
3. Ein kommutativer Halbring.
4. Die Kommensurabilität von zwei Strecken ${}s$ und ${}t$.
5. Das arithmetische Mittel zu Elementen ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$ in einem angeordneten Körper ${}K$.
6. Eine (ganzzahlige) Exponentialfunktion.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Eindeutigkeit der Multiplikation auf einem Peano-Modell.
2. Der Vergleichssatz für natürliche Zahlen im Zehnersystem.
3. Das Umformungsprinzip für Gleichungen.

Aufgabe * (2 Punkte)

Wenn Karl an Susanne denkt, bekommt er feuchte Hände, einen Kloß im Hals und einen roten Kopf. Einen roten Kopf bekommt er genau dann, wenn er an Susanne denkt oder wenn er das leere Tor nicht trifft. Wenn Karl das leere Tor trifft, bekommt er feuchte Hände. Karl bekommt den Ball vor dem leeren Tor. Kurz darauf bekommt er feuchte Hände, einen roten Kopf, aber keinen Kloß im Hals. Hat er an Susanne gedacht? Hat er das leere Tor getroffen?

Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise den Isomorphiesatz für Dedekind-Peano-Modelle.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}M$ eine endliche Menge und ${}\varphi \colon M\rightarrow M$ eine Abbildung. Es sei ${}\varphi ^{n}$ die ${}n$-fache Hintereinanderschaltung von ${}\varphi$ mit sich selbst. Zeige, dass es natürliche Zahlen ${}m>n\geq 1$ mit ${}\varphi ^{n}=\varphi ^{m}$ gibt.

Aufgabe * (1 Punkt)

Wie oft sagt man „bitte“, wenn man dreimal „bitte, bitte, bitte, bitte“ sagt.

Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige, dass eine natürliche Zahl genau dann die Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Quadratzahlen ist, wenn sie ungerade ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den binomischen Lehrsatz (für einen kommutativen Halbring) für den Exponenten ${}5$ aus dem binomischen Lehrsatz für den Exponenten ${}4$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Heinz-Peter schaut am Morgen in den Spiegel und entdeckt fünf Pickel auf seiner Stirn. Diese müssen alle ausgedrückt werden, wobei zwei Pickel so nah beieinander liegen, dass sie unmittelbar hintereinander behandelt werden müssen. Wie viele Reihenfolgen gibt es, die Pickel auszudrücken?

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Primfaktorzerlegung von ${}10!$.

Aufgabe * (2 Punkte)

Ersetze im Term ${}3x^{2}+5x+6$ die Variable ${}x$ durch den Term ${}4y^{2}+2y+3$ und vereinfache den entstehenden Ausdruck.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise durch Induktion die Simpson-Formel oder Simpson-Identität für die Fibonacci-Zahlen ${}f_{n}$. Sie besagt (für $n\geq 2$)

${}f_{n+1}f_{n-1}-f_{n}^{2}=(-1)^{n}\,.$

Aufgabe * (5 Punkte)

Finde unter den Zahlen ${}\leq 1000$ diejenige Zahl mit der maximalen Anzahl an Teilern.

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass beim euklidischen Algorithmus zu ${}a$ und ${}b$ der größte gemeinsame Teiler von zwei aufeinanderfolgenden Resten stets gleich bleibt und schließe daraus, dass der Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Zahlen berechnet.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme, ob die Abbildung

$\mathbb {Z} ^{3}\longrightarrow \mathbb {Q} ,\,(m,n,k)\longmapsto 2^{m}\cdot 3^{n}\cdot 5^{k},$

injektiv und ob sie surjektiv ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}x>0$. Zeige, dass auch das inverse Element ${}x^{-1}$ positiv ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Frau Maier-Sengupta ist für ein halbes Jahr in Elternzeit. Ihr Sohn Siddhartha kam mit einem Gewicht von drei Kilogramm auf die Welt und wurde in den sechs Monaten ausschließlich von Muttermilch ernährt. Nach den sechs Monaten wiegt er zehn Kilogramm. Jeden Tag hat das Kind ${}150$ Milliliter Milch getrunken. Wie viel Milch hat Siddhartha in den sechs Monaten getrunken und wie viel Prozent davon ging in die Gewichtszunahme? (Rechne mit Monat = ${}30$ Tage und setze das Milchgewicht gleich dem Gewicht von Wasser an).

Aufgabe * (2 Punkte)

Berechne die Gaußklammer von ${}-{\frac {133}{3}}$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise, dass die ganzzahlige Exponentialfunktion zu einer Basis ${}b>1$ streng wachsend ist.

Aufgabe * (4 (2+1+1) Punkte)

1. Führe sämtliche Divisionen mit Rest

   ${}10\cdot k=q\cdot 17+r\,$

   für

   ${}k=1,\ldots ,16\,$

   aus.

2. Bestimme mit Hilfe von Teil (1) die Dezimalentwicklung von ${}{\frac {3}{17}}$.
3. Bestimme mit Hilfe von Teil (1) die Dezimalentwicklung von ${}{\frac {11}{17}}$.