Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/14/Klausur/latex

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%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}


%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 3 }

\renewcommand{\azwei}{ 3 }

\renewcommand{\adrei}{ 1 }

\renewcommand{\avier}{ 3 }

\renewcommand{\afuenf}{ 3 }

\renewcommand{\asechs}{ 3 }

\renewcommand{\asieben}{ 2 }

\renewcommand{\aacht}{ 3 }

\renewcommand{\aneun}{ 12 }

\renewcommand{\azehn}{ 2 }

\renewcommand{\aelf}{ 3 }

\renewcommand{\azwoelf}{ 3 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 1 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 8 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 3 }

\renewcommand{\asechzehn}{ 4 }

\renewcommand{\asiebzehn}{ 4 }

\renewcommand{\aachtzehn}{ 3 }

\renewcommand{\aneunzehn}{ 1 }

\renewcommand{\azwanzig}{ 65 }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabelleneunzehn


\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{0}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Die \stichwort {Peano-Axiome} {.}

}{Die \stichwort {Summe} {}
\mathl{n+k}{} zweier \definitionsverweis {natürlicher Zahlen}{}{} \mathkor {} {n} {und} {k} {.}

}{Die \stichwort {Multiplikation} {} von ganzen Zahlen.

}{Eine \stichwort {Untergruppe} {} $H$ in einer Gruppe $G$.

}{Eine \stichwort {streng wachsende} {} Abbildung \maabb {f} {K} {K } {} auf einem \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{} $K$.

}{Eine \stichwort {Dezimalbruchfolge} {}
\mathbed {x_n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,} in einem angeordneten Körper $K$. }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über die algebraische Struktur der natürlichen Zahlen.}{Das \stichwort {Lemma von Bezout} {} für teilerfremde natürliche Zahlen \mathkor {} {a} {und} {b} {.}}{Der Satz über die Wachstumsdominanz der \zusatzklammer {ganzzahligen} {} {} Exponentialfunktion.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{1}
{

Wir betrachten den Satz \anfuehrung{Kein Mensch ist illegal}{.} Negiere diesen Satz durch eine Existenzaussage.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

In einem Hörsaal befindet sich ein Tafelgestell mit drei hintereinander liegenden, vertikal verschiebbaren Tafeln. Diese seien mit $V$ \zusatzklammer {vordere Tafel} {} {,} $M$ \zusatzklammer {mittlere Tafel} {} {} und $H$ \zusatzklammer {hintere Tafel} {} {} bezeichnet. Aufgrund der Höhe des Gestells sind nur \zusatzklammer {maximal} {} {} zwei Tafeln gleichzeitig einsehbar. Die Lehrperson schreibt in der Vorlesung jede Tafel genau einmal voll. In welcher Reihenfolge \zusatzklammer {alle Möglichkeiten} {!} {} muss sie die Tafeln einsetzen, wenn beim Beschreiben einer Tafel stets die zuletzt beschriebene Tafel sichtbar sein soll.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Es sei \maabbdisp {\varphi} {L} {M } {} eine \definitionsverweis {injektive Abbildung}{}{.} Zeige, dass es eine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T }
{ \subseteq }{M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart gibt, dass man $\varphi$ als Abbildung \maabbdisp {\varphi'} {L} {T } {} auffassen kann \zusatzklammer {$\varphi$ und $\varphi'$ unterscheiden sich nur hinsichtlich des Wertebereichs} {} {} und dass $\varphi'$ bijektiv ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Beweise das Distributivgesetz für die Differenz von natürlichen Zahlen.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Erstelle das Pascalsche Dreieck bis
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ = }{6 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Petra hat folgende Informationen über die Erfolge von Deutschland bei Fußballweltmeisterschaften: \aufzaehlungvier{Die Fußballweltmeisterschaft findet alle vier Jahre statt. }{Deutschland war schon viermal Weltmeister. }{Deutschland war zum ersten Mal 1954 und zum letzten Mal 2014 Weltmeister. }{Deutschland war nie zweimal hintereinander Weltmeister. } Wie viele Möglichkeiten für die Jahre, in denen Deutschland die zweite bzw. die dritte Weltmeisterschaft gewann, verbleiben?

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{12 (4+3+5)}
{

Wir betrachten die Menge der natürlichen Zahlen mit den beiden Verknüp\-fungen \maabbeledisp {} {\N \times \N} {\N } {(a,b)} { {\operatorname{GgT} \, \left( a , b \right) } } {} und \maabbeledisp {} {\N \times \N} {\N } {(a,b)} { {\operatorname{KgV} \, \left( a , b \right) } } {.} \aufzaehlungdrei{Zeige, dass der größte gemeinsame Teiler eine kommutative und assoziative Verknüpfung ist, die ein neutrales Element besitzt \zusatzklammer {der größte gemeinsame Teiler von $0$ und $0$ sei als $0$ festgelegt} {} {.} }{Zeige, dass das kleinste gemeinsame Vielfache eine kommutative und assoziative Verknüpfung ist, die ein neutrales Element besitzt \zusatzklammer {das kleinste gemeinsame Vielfache von $a$ und $0$ sei als $0$ festgelegt} {} {.} }{Zeige, dass mit diesen Verknüpfungen \zusatzklammer {mit dem GgT als Addition} {} {} ein \definitionsverweis {kommutativer Halbring}{}{} vorliegt. }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Bestimme den Rest von
\mathl{123456789}{} bei Division durch $9$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Erläutere die Rolle der Division mit Rest für die Dezimalentwicklung von natürlichen Zahlen.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Zeige durch Induktion, dass jede natürliche Zahl
\mathl{n \geq 2}{} eine Zerlegung in \definitionsverweis {Primzahlen}{}{} besitzt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{1}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Primfaktorzerlegung}{}{} von $1023$.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{8}
{

Es stehen zwei Eimer ohne Markierungen zur Verfügung, ferner eine Wasserquelle. Der eine Eimer hat ein Fassungsvermögen von $a$ und der andere ein Fassungsvermögen von $b$ Litern, wobei \mathkor {} {a} {und} {b} {} \definitionsverweis {teilerfremd}{}{} seien. Zeige, dass man allein durch Auffüllungen, Ausleerungen und Umschüttungen erreichen kann, dass in einem Eimer genau ein Liter Wasser enthalten ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Bestimme den Exponenten zu $2$ von
\mathl{203264}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Eine Bahncard $25$, mit der man ein Jahr lang $25$ Prozent des Normalpreises einspart, kostet $62$ Euro und eine Bahncard $50$, mit der man ein Jahr lang $50$ Prozent des Normalpreises einspart, kostet $255$ Euro. Für welchen Jahresgesamtnormalpreis ist keine Bahncard, die Bahncard $25$ oder die Bahncard $50$ die günstigste Option?

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Zeige, dass die Größergleichrelation $\geq$ auf $\Q$ wohldefiniert ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Unterteile die Strecke von
\mathl{{ \frac{ 2 }{ 7 } }}{} nach
\mathl{{ \frac{ 3 }{ 4 } }}{} rechnerisch in drei gleichlange Strecken.

}
{} {}




\inputaufgabe
{1}
{

Skizziere die Funktion \maabbeledisp {} {\Q} {\Q } {x} { - \left \lfloor -x \right \rfloor } {.}

}
{} {}